EJEMPLOS DE OPTIMIZACIZN CON RESTRICCIONES Profesor

EJEMPLOS DE OPTIMIZACIÓN CON RESTRICCIONES
Profesor: Carlos Pitta Arcos
EJEMPLO 1. Suponga el siguiente problema:
min 3x2 + xy + 4y 2
st 3x + y = 6
PASO 1: Contruya el Langrageano Asociado
L = 3x2 + xy + 4y 2 + (6 3x y)
PASO 2: Escriba y resuelva las Condiciones de Primer Orden (CPO)
CPO: La condición de gradiente nula equivale a:
1.
2.
3.
@L
@x
@L
@y
@L
@
= 6x + y
= x + 8y
= 6 3x
3 =0
=0
y=0
Resolviendo:
2
3 2 3 2
3
6
1
3
x
0
4 1
8
1 5 4 y 5=4 0 5
3
1 0
6
Lo que equivale a:
2
3 2
x
6
4 y 5=4 1
3
1
8
1
3
3
1 5
0
1
2
3 2
0
4 0 5=4
6
23
12
1
4
47
12
3
5
PASO 3: Veri…que las Condiciones de Segundo Orden (CSO)
CSO: La condición su…ciente se resume en el Hessiano Orlado:
2
3 2
3
0 g1 g2
0 3 1
H =4 g1 L11 L12 5 = 4 3 6 1 5
g2 L21 L22
1 1 8
CRITERIO: Exigimos a la secuencia de los últimos (n-m) menores principales alternar
signo. En este caso chequearemos (2-1)= 1 es decir, únicamente el último determinante que
viene a ser la matriz misma. El criterio para un máximo es que alternen signo empezando
en el signo (-1)m+1 = ( 1)1+1 > 0: En este caso basta checar que el determinante comience
en positivo. Calculando el determinante:
0 3 1
3 6 1 = 72 < 0; por lo que se trata de un minimo. Adicionalmente podemos
1 1 8
darnos cuenta que la concavidad del hessiano NO depende de nuestro punto óptimo ( 23
; 1)
12 4
dado que en el Hessiano orlado no …gura ninguna variable. Por lo tanto, podemos concluir
que el mínimo local es también un mínimo global.
NOTA SOBRE EL CRITERIO PARA MINIMOS: En clase nos hemos concentrado en
el criterio para máximos, pues arguímos que todo problema de maximización puede ser
transformado a uno de minimización y viceversa. Si queremos deducir una condición para
los mínimos, ésta sería: que los últimos (n-m) menores principales conserven todos
el signo (-1)m , lo que en nuestro caso imparía que todos los menores principales fueran
negativos. Dado que en este caso solo existe un menor principal pertinente, que resulta ser
la propia matriz, y ésta cumple con el criterio, se trata de un mínimo local y global.
EJEMPLO 2. Ahora suponga:
máx x2 + y 2 + z 2
st x + y + z = 1
PASO 1: Contruya el Langrageano Asociado
L = x2 + y 2 + z 2 + (1 x y z)
PASO 2: Escriba y resuelva las Condiciones de Primer Orden (CPO)
CPO: La condición de gradiente nula equivale a:
= 2x
1. @L
@x
= 2y
2. @L
@y
@L
3. @z = 2z
4. @L
=1 x
@
=0
=0
=0
y y=0
Resolviendo:
2
2
0
0
6 0
2
0
6
4 0
0
2
1
1
1
3 2
1
x
7
6
1 7 6 y
1 5 4 z
0
3
2
3
0
7 6 0 7
7=6
7
5 4 0 5
1
Lo que equivale a:
2
3 2
x
2
6 y 7 6 0
6 7=6
4 z 5 4 0
1
0
2
0
1
0
0
2
1
3
1
1 7
7
1 5
0
1
2
3 2
0
6 0 7 6
7 6
6
4 0 5=4
1
1
3
1
3
1
3
2
3
3
7
7
5
PASO 3: Veri…que las Condiciones de Segundo Orden (CSO)
CSO: La condición su…ciente se resume en el Hessiano Orlado:
2
3 2
0 g1 g2 g3
0 1
6 g1 L11 L12 L13 7 6 1 2
7 6
H =6
4 g2 L21 L22 L23 5 = 4 1 0
g3 L31 L32 L33
1 0
1
0
2
0
3 2
1
0 1
6 1 2
0 7
7=6
0 5 4 1 0
2
1 0
1
0
2
0
3
1
0 7
7
0 5
2
CRITERIO: Exigimos a la secuencia de los últimos (n-m) menores principales alternar
signo. En este caso chequearemos (3-1) = 2, dos últimos determinantes:
0 1 1 1
0 1 1
1 2 0 0
H3 = 1 2 0 y H4 =
El criterio para un máximo es que alternen
1 0 2 0
1 0 2
1 0 0 2
signo empezando en el signo(-1)m+1 = ( 1)1+1 > 0: Requerimos H3 > 0;
este caso, H3 =
4 y H4 =
H4 < 0: En
12; por lo que nuestro único candidato cumple más bien
con el criterio que los últimos (n-m) menores principales conserven todos el signo
(-1)m = (-1)1 <0, por lo que podemos concluir que se trata de un mínimo local.
NOTA SOBRE CONCAVIDAD: 2Es útil veri…car
la sección estrictamente hessiana del
3
2 0 0
Hessiano Orlado, es decir, la matriz 4 0 2 0 5 , cuyos menores principales son A1 =j2j =
0 0 2
2 0 0
2 0
2 > 0 , A2 =
= 4 > 0 , A2 = 0 2 0 = 8 > 0: En este caso, el Hessiano es De…nido
0 2
0 0 2
Positivo, por lo que la forma funcional es convexa, lo que de nuevo nos sugiere la existencia
de un mínimo.
EJERCICIOS PARA AYUDANTÍA: Por favor resueltan los siguientes problemas:
1. mín x2 +y2 +z2 -2x-2y
st
1) x+y-2z=0
2) y-x=0
2. máx x+y
st
x2 +y2 = 1
3. máx x2 y2 z2
st
x2 +y2 +z2 = 3