REDUCCION DE SISTEMAS DE FUERZAS

REDUCCION DE SISTEMAS DE FUERZAS
Es el proceso que consiste en obtener, de un sistema de fuerzas cualquiera, un
sistema equivalente que se considera irreductible (mínimo en sus componentes) que
produzca los mismos efectos externos que el sistema original.
Los sistemas irreductibles son:
a) el constituido por una sola fuerza,
Los sistemas de fuerzas que pueden reducirse a una sola fuerza son los
colineales, concurrentes (coplanares y espaciales), paralelos y generales en el
plano.
En este tipo de reducción se consideran dos posibilidades:
a.1) la reducción consiste en una fuerza que pasa por el origen del sistema de
referencia. Las coordenadas vectoriales del sistema por reducir son
r n r
R = ∑ Fi ≠ 0
i =1
n
r
M O = ∑ ri xFi = 0
i =1
1
a.2) la reducción consiste en una fuerza cuyo soporte no pasa por el origen
del sistema de referencia. Cuado las coordenadas vectoriales del sistema
por reducir son
r n r
R = ∑ Fi ≠ 0
i =1
n
r
M O = ∑ ri xFi ≠ 0
i =1
tendremos
para estas condiciones existen dos posibilidades
a.2.1.) que el momento MO y la fuerza F sean perpendiculares
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resumiendo
Dado que los sistemas I y II deben ser equivalentes y como se
conoce R, lo único que cabria aclarar es la localización del
punto P. Sabemos que RI = RII ; analizando ahora la expresión
de momentos
n
n
i =1
i =1
M = ∑ (ri x Fi )I = ∑ (ri x R i )II = M O
R
O
II
ya que se tiene una sola fuerza en el sistema II, su momento
con respecto al origen necesariamente debe ser igual a MO,
entonces
M OR = rP x RII
Se desconocen las coordenadas del punto P, pero se puede
suponer un punto cualquiera en el espacio P(X, Y, Z), como
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i
rP x R = x
j
y
Rx
Ry
k
z =
Rz
( yRZ − zRY ) i − (xRZ − zRX )
j + ( xRY − yRX ) k
y dado que son vectores, es posible formar un sistema de tres
ecuaciones con tres incógnitas.
( yRZ − zRY ) = M OR
(xRZ − zRX ) = M OR
(xRY − yRX ) = M OR
X
Y
Z
cuya solución proporcionará las coordenadas del punto
buscado.
Cabe mencionar que la determinación de los valores de x, y y
z definen la ecuación del eje central: “El lugar geométrico de
todos los puntos del espacio tridimensional con respecto a los
cuales el momento del sistema es de módulo mínimo”.
Como puede proporcionarse cualquier punto de la línea de
acción de la fuerza y en virtud de que las fuerzas se pueden
considerar como vectores deslizantes, en lugar de escoger un
punto cualquiera, es posible seleccionar el punto en el cual la
línea de acción de la fuerza intersecte a cualquiera de los
planos coordenados.
Por lo que deberá analizarse el vector fuerza ya que,
dependiendo de la dirección de dicho vector, intersecará o no
a los planos coordenados, por lo que es conveniente observar
las siguientes posibilidades.
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R = xi + yj +zk
P1(x1,y1,0)
R = xi + yj
R = xi
R=
+zk
P1(x1,y1,0)
yj +zk
P1(x1,y1,0)
P1(x1,0,z1)
P1(0,y1,z1)
P1(x1,0,z1)
P1(0,y1,z1)
P1(0,y1,z1)
P1(x1,0,z1)
R = xi
R=
P1(0,y1,z1)
yj
R=
P1(x1,0,z1)
zk
P1(x1,y1,0)
b) a.2.2 ) el constituido por una fuerza y un par no coplanares (motor)
Los sistemas de fuerzas que pueden reducirse a una fuerza y un par no
coplanares son los sistemas generales en el espacio, siempre y cuando no
sean reductibles a una fuerza, a un par de fuerzas o al equilibrio y cuando
las coordenadas vectoriales canónicas sean
r n r
R = ∑ Fi ≠ 0
i =1
n
r
M O = ∑ ri xFi ≠ 0
i =1
y además se cumple que R • MO ≠ 0, es decir, estos vectores no son
perpendiculares.
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teniendo una fuerza y un momento en el origen
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c) el conformado por un par de fuerzas,
Los sistemas de fuerzas que pueden reducirse a un par de fuerzas son los
conformados por fuerzas paralelas y los generales tanto en el plano como
en el espacio, siempre y cuando sus coordenadas vectoriales sean
r n r
R = ∑ Fi = 0
i =1
n
r
M O = ∑ ri xFi ≠ 0
i =1
Esto implica que el único efecto externo que los sistemas mencionados
pueden ocasionar a cuerpos sobre los que se apliquen, sea una tendencia al
giro. No se conoce la magnitud de las fuerzas, ni dirección y puntos de
aplicación.
d) un sistema de fuerzas en equilibrio.
r n r
R = ∑ Fi = 0
i =1
n
r
M O = ∑ ri xFi = 0
i =1
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