Propiedades ondulatorias de las partículas

Universidad de Sonora
Departamento de Física
Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano
© 2013
Temario
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Propiedades ondulatorias de las partículas.
Estructura atómica.
Mecánica cuántica.
Teoría cuántica del átomo de Hidrógeno.
Átomos de muchos electrones.
Moléculas.
Mecánica estadística.
Estado sólido.
Temario
1.
Propiedades ondulatorias de las partículas.
1.
2.
3.
Ondas de De Broglie.
La función de onda.
El principio de incertidumbre.
1. Ondas de De Broglie
A principios de la década de 1920 se había aceptado que la teoría de
Bohr no estaba completa:
 Fracasaba en la predicción de las intensidades observadas en las
líneas espectrales.
 Era parcialmente exitosa para predecir las longitudes de ondas de
emisión y absorción para átomos de muchos electrones.
 No proporcionaba una ecuación de movimiento que rigiese la
evolución temporal de los sistemas atómicos, a partir de un estado
inicial.
 Recalcaba en exceso la naturaleza corpuscular de la materia y no
podía explicar la recién descubierta dualidad onda-partícula de la luz.
 No proporcionaba un esquema general para “cuantizar” otros sistemas,
especialmente aquellos que no presentaban un movimiento periódico.
El primer paso hacia una nueva mecánica de los sistemas atómicos fue
dado en 1923 por el físico francés Louis Víctor de Broglie.
1. Ondas de De Broglie
De Broglie en su tesis doctoral postuló que,
debido a que los fotones poseen características
ondulatorias y corpusculares, quizá todas las
formas de la materia también tengan propiedades
ondulatorias y corpusculares.
En 1923 esta idea no tenía ninguna evidencia
experimental; sin embargo, en 1927 Clinton J.
Davisson (1881-1958) y Lester H. Germer (18961971) lograron una prueba experimental que
confirmó la idea de de Broglie: la difracción de
electrones no relativistas mediante un cristal.
Louis Víctor de Broglie
(1892-1987).
Clinton J. Davisson (izquierda) y
Lester H. Germer (centro) en los Bell
Laboratories en Nueva York.
1. Ondas de De Broglie
A continuación revisemos con un poco más de detalle la idea de de
Broglie.
Un fotón de frecuencia n tiene un momento p dado por
p
E hn h


c
c l
donde hemos usado que ln = c.
Por lo tanto, podemos escribir la longitud de onda de un fotón, en
h
términos de su momento, como
l
p
Considerando la idea de de Broglie, para una partícula de masa m y
velocidad v, podemos escribir su longitud de onda de de Broglie como
h
l
g mv
donde se ha tomado p = gmv, y el factor relativista g definido como g 
1
1 v
2
c2
1. Ondas de De Broglie
La expresión anterior implica que, conforme aumenta el momento de la
partícula, la longitud de de Broglie asociada disminuye, y viceversa.
Al igual que en el caso de las ondas electromagnéticas (fotones), los
aspectos de onda y partícula de un objeto en movimiento no se pueden
observar de manera simultánea, por lo que no podemos decir cuál es la
descripción “correcta”.
Es importante mencionar que lo único que podemos decir es que en
ciertas situaciones un objeto en movimiento se comporta como onda y en
otras situaciones lo hace como partícula.
Las propiedades ondulatorias de un objeto toman relevancia cuando su
longitud de onda de de Broglie, dada por
l
h
g mv
es comparable con las dimensiones propias y de su entorno de interacción.
2. La función de Onda
La onda de materia que representa a una partícula en movimiento debe
reflejar el hecho de que esta tiene una gran probabilidad de ser encontrada
en una pequeña región del espacio sólo en un tiempo específico.
Una onda sinusoidal de extensión infinita y amplitud constante NO puede
representar apropiadamente a una partícula localizada en movimiento; por lo
que se requiere un pulso, grupo de ondas o paquete de ondas de extensión
espacial limitada, el cual puede formarse sumando ondas sinusoidales con
longitudes de ondas diferentes.
Se puede demostrar que este paquete de ondas se mueve a una
velocidad de grupo vg, idéntica a la velocidad clásica de la partícula.
En realidad todas las ondas observadas están limitadas a regiones
definidas del espacio, por lo que una onda plana con una longitud de onda
exacta y extensión infinita es una abstracción
2. La función de Onda
a) Partícula de masa m y
velocidad v0.
b) Superposición de muchas
ondas de materia con una
dispersión de longitudes
de onda centradas en l0 =
mv0,
que
representa
correctamente a la misma
partícula
Representación de una partícula mediante ondas
2. La función de Onda
Para continuar, vamos a considerar una onda unidimensional que se
propaga en la dirección x positiva con una velocidad de fase (o velocidad de
la onda viajera) vp, la cual puede escribirse como
 2p x

y ( x, t )  ACos 
 2p ft 
 l

donde l y f están relacionadas por
vp  l f
O, en términos del número de onda k (= 2p/l) y la frecuencia angular w (=2pf)
y ( x, t )  ACos  kx  wt 
con
vp 
w
k
2. La función de Onda
A continuación consideremos que se tienen dos ondas viajando a la
derecha con la misma amplitud, pero longitudes de onda, frecuencias y
velocidad de fase ligeramente diferentes:
y1 ( x, t )  ACos  k1 x  w1t 
y
y2 ( x, t )  ACos  k2 x  w2t 
con lo que la onda resultante es
yR ( x, t )  A Cos  k1 x  w1t   Cos  k 2 x  w2t  
Esta expresión puede simplificarse si usamos la identidad
 a b 
 ab
Cosa  Cosb  2Cos 
 Cos 

2
2




2. La función de Onda
Con ello, la expresión para la onda resultante se puede rescribir como
yR ( x, t )  2 ACos

1
2

 k2  k1  x  w2  w1  t  Cos

1
2
Para el caso de dos ondas con valores de k y w, ligeramente diferentes se
observa que Dk = k2 - k1 y Dw = w2 - w1 son pequeños, pero k2 + k1 y w2 + w1 son
grandes
Lo
anterior
puede
interpretarse como una
envolvente sinusoidal
ancha (la parte en rojo)
que limita o modula
una onda de alta
frecuencia dentro de la
envolvente (la parte en
negro).

 k2  k1  x  w2  w1  t 
2. La función de Onda
Aunque este modelo es muy sencillo y no representa un pulso limitado a
una pequeña región del espacio, muestra varias características interesantes
comunes a modelos más complicados.
1. La envolvente y la onda en su interior se mueven a velocidades
diferentes:
•
Para la onda dentro de la envolvente
vp 
•
w2  w1  / 2  w1  v
 k2  k1  / 2 k1 1
Para la onda envolvente (o grupo)
w2  w1  / 2 Dw

vg 

 k2  k1  / 2 Dk
2. La función de Onda
Aunque este modelo es muy sencillo y no representa un pulso limitado a
una pequeña región del espacio, muestra varias características interesantes
comunes a modelos más complicados.
2. Mientras más pequeño es el ancho espacial del pulso, Dx, mayor es el
intervalo de longitudes de onda o números de onda, Dk, necesario para
formar el pulso, matemáticamente planteado como
Dx  Dk  1
3.
De manera semejante, si la duración temporal, Dt, del pulso es pequeña,
se requiere una amplia distribución de frecuencias, Dw, para formar el
grupo, es decir
Dt  Dw  1
Estas ecuaciones constituyen relaciones de incertidumbre o
relaciones de reciprocidad para pulsos de cualquier tipo:
electromagnéticos, sonoros e, incluso, ondas de materia.
3. El principio de incertidumbre
El principio de incertidumbre de Heisenberg
establece que “es imposible conocer de manera
simultánea y exacta la posición y el momento de un
objeto”. Dicho principio fue descubierto por W.
Heisenberg en 1927, siendo uno de los más significativos
de las leyes físicas.
Es necesario un análisis formal para justificar la
conclusión anterior y estar en condiciones de
cuantificarla; no basta considerar un paquete de ondas
formado por dos ondas armónicas como se hizo
anteriormente.
Werner Karl Heisenberg
(1901-1976).
De hecho, se necesita un número infinito de ondas
a
armónicas
con diferentes frecuencias, números de onda y amplitudes para
tener un grupo aislado de forma arbitraria.
En tal caso, vamos a requerir de una herramienta desarrollada por Joseph
Fourier y que se conoce como análisis de Fourier.
3. El principio de incertidumbre
El análisis de Fourier surgió a partir del
intento de éste matemático francés por hallar
la solución a un problema práctico, la
conducción del calor en un anillo de hierro.
Fourier demostró que se puede
descomponer una función periódica en
series
trigonométricas
convergentes
(basadas en senos y cosenos) y que, en su
honor, reciben el nombre de Series de
Fourier.
Las ondas armónicas continuas e infinitas
no existen realmente, ya que los sistemas
están limitados tanto espacial como
temporalmente, así que toma sentido analizar
ondas localizadas.
Jean Baptiste Joseph Fourier
(1768-1830)
3. El principio de incertidumbre
Para formar un pulso que sea cero en todas partes fuera de un intervalo
espacial finito Dx, se requiere sumar un número infinito de ondas armónicas
cuyas longitudes de onda y amplitudes varíen de manera continua. Esta
suma puede efectuarse con una integral de Fourier.
Siguiendo la idea anterior, a un cierto tiempo t, el grupo de ondas
localizado espacialmente, yR(x), se puede representar mediante la integral de
Fourier
1
yR ( x) 
2p



g (k )eikx dk
donde la función g(k) describe cómo la amplitud de las ondas que
contribuyen a yR(x) varía con el número de onda k (=2p/l), y eikx es la
expresión abreviada de Euler para una onda armónica.
La función g(k) recibe el nombre de Transformada de Fourier de yR(x).
3. El principio de incertidumbre
Si se conoce yR(x), la función de distribución de amplitud o Transformada
de Fourier g(k) se puede obtener mediante la expresión
1
g (k ) 
2p



yR ( x)e  ikx dx
Este par de ecuaciones son válidas para el caso de un pulso espacial en
un tiempo dado, pero es importante mencionar que son matemáticamente
idénticas al caso de un pulso temporal que pasa por una posición fija. En este
segundo caso, bastará hacer los cambios x por t y k por w, resultando
1
F (w ) 
2p

1
f (t ) 
2p





f (t )e
 iwt
iwt
dt
F (w )e d w
Transformada de
Fourier
Transformada
inversa de Fourier
3. El principio de incertidumbre
Regresando a nuestro asunto de interés, se requiere conocer qué valores
toma (o puede tomar) el producto Dx∙Dk.
Sin entrar en detalles, se puede mostrar que la relación entre la distancia
Dx y la dispersión del número de onda Dk depende del aspecto del paquete
de ondas y también de la forma en cómo sean definidos Dx y Dk.
3. El principio de incertidumbre
El valor mínimo del producto Dx∙Dk ocurre cuando la envolvente del
paquete de ondas tiene la conocida forma de campana de la función
Gaussiana; en este caso, la transformada de Fourier tiene la misma forma que
la función original, tal como se muestra en la figura.
Si Dx y Dk se toman como las
desviaciones estándar del grupo de ondas
y su transformada, respectivamente, se
encuentra que el valor que toma el
producto Dx∙Dk es ½, por lo que al
corresponder al valor mínimo, permite
escribir que
1
Dx  Dk 
2
3. El principio de incertidumbre
Por otro lado, la longitud de onda de de Broglie para una partícula de
momento p es l = h / p, y su correspondiente número de onda es
2p p
h
2pDp
Dk 
h
k
de donde
Con esto, podemos escribir la relación de incertidumbre
Dx  Dk 
como
1
2
 2pDp  1
Dx  

 h  2
La relación anterior es el bien conocido principio de incertidumbre de
Heisenberg:
h
Dx  Dp 
4p
3. El principio de incertidumbre
La desigualdad anterior implica que, en cualquier instante, el producto
de la incertidumbre en la posición de un objeto (Dx) por la incertidumbre en
su momento (Dp) tiene el valor mínimo de h/4p, independientemente de la
precisión con que se intente medir, es decir, no es un problema de medición,
sino de la propia naturaleza de las cantidades física involucradas.
Finalmente, dado la aparición recurrente en la física moderna del
término h/2p, resulta útil abreviarlo mediante el empleo de la constante
reducida de Planck o “h barra”:

h
 1.054571628 1034 J  s
2p
Con lo que podemos escribir el principio de incertidumbre de Heisenberg
como
Dx  Dp 
2
Universidad de Sonora
Departamento de Física
Dr. Roberto Pedro Duarte Zamorano
© 2013