noviembre-02 - IES Bachiller Sabuco

Curso 2009/10
PRIMERO DE B.I.
HOJA 2. PROGRESIONES Y APLICACIONES
*1(P1).- Halle la suma de los infinitos términos de la serie geométrica
2 4 8 16
 
  ...
3 9 27 81
Sol: S=2/5
*2(P2).- La compañía aseguradora Acme vende dos planes de ahorro, el plan A y el plan B.

En el plan A un inversor comienza con un depósito inicial de 1000$ y aumenta esta
cantidad en 80$ cada mes, de modo que en el segundo mes, el depósito es de 1080$, en
el siguiente mes es de 1160$, etc.

En el plan B, el inversor comienza de nuevo con 1000$ y cada mes deposita un 6% más
que en el mes anterior.
a) Escriba la cantidad de dinero invertido en el plan B en el segundo y tercer mes.
Sol: b2=1060, b3=1124
Dé sus respuestas a los apartados b) y c) aproximando al dólar.
b) Halle la cantidad de dinero de la 12ª imposición en cada plan.
Sol: a12=1880, b12=1898
c) Halle la cantidad total de dinero invertido durante los 12 primeros meses
i) en el plan A;
ii) en el plan B.
Sol: 17280$
Sol: 16870$
*3(P1).- a) Diga cuántos términos tiene la siguiente suma de términos de una progresión
aritmética 258  251  244  ...  288  295 .
Sol: n=80
b) Calcule la suma del apartado a).
Sol: Sn=-1480
*4(P1).- El primer término t1 de una progresión aritmética es 17, y el séptimo término t 7 es 59.
a) Halle la diferencia de la progresión.
b) Halle el valor de la suma S  t 28  t 29  ...  t 35 .
Sol: d=7
Sol: S=1844
*5(P1).- En la siguiente suma de términos de una progresión geométrica
S n  a  ar  ar 2  ...  ar n1 ,
S 2  3.5 S3  11.375, y r  0 . Halle a y r .
Sol: a=14, r=-0.75
*6(P1).- Una sucesión de veinte pagos anuales está indexada según la inflación de modo que
cada pago es un 3% mayor que el pago anterior. Si el primer pago es de 500 dólares, halle
a) la cantidad del octavo pago, aproximando al centavo.
b) La suma de los veinte pagos, aproximando al dólar.
Sol: a8=614,94
Sol: S20=13435
*7(P2).- La suma S n , de los n primeros términos de una progresión geométrica viene
representada por
S n  a  ar  ar 2  ...  ar n1 ,
a) Exprese S3  S 2 en función de a y r .
Sol: S3-S2=ar2
b) Exprese S 4  S3 en función de a y r .
Sol: S4-S3=ar3
Se sabe que, para valores particulares de a y r , S 2  2,844, S 3  3,8552, S 4  4,66416.
c) Utilice los resultados de las partes a) y b), junto con los valores dados de S 2 , S 3 y
S 4 para representar dos ecuaciones en a y r .Partiendo de aquí, halle los valores
de a y r .
Sol: a=1,58, r=0,8
d) Calcule el valor de S 50 , dando la respuesta con 7 cifras significativas.
Sol: S50=7,899887
*8(7/05/01.P1).- La tasa de inflación desde el comienzo de 1995 ha sido del 4,5% cada año.
(a) Un panecillo costaba 1,70$ el primero de enero de 1996. ¿Cuánto costaba el primero de
enero de 1999?
Sol: 1,94$
(b) Un coche costaba 40 000$ el primero de enero de 1999. ¿Cuánto costaba el primero de
enero de 1997? (Dé su respuesta aproximada al millar de dólares).
Sol: 37 000$
*9(4/05/00.P2).- Miranti para hacer una inversión, deposita 1000$ en una cuenta que da un
interés del 5% anual.
(a) ¿Cuál será el valor de la inversión al cabo de 5 años si el interés se reinvierte?
Sol: 1276$
(b) ¿Cuántos años tardará la inversión de 1000$ de Miranti en duplicar su valor?
Sol: 14 años
Para hacer una inversión al comienzo de cada año Brenda deposita 1000$ en una cuenta que da
un interés del 5% anual. El interés se calcula anualmente y se reinvierte.
(c) ¿Cuánto habrá en la cuenta de Brenda pasados 5 años?
Sol: 5747$
*10(3/05/00.P1).- Hassan invirtió 10 000 CHF a finales de 1971. La tasa de interés anual era del
5%. Diga qué cantidad total en forma de intereses hubiera ganado Hassan a finales del año 1999
si
(a) al final de cada año hubiera retirado de su cuenta los intereses;
Sol: 14 000 CHF
(b) no hubiera retirado los intereses de su cuenta al final de cada año. Sol: 29201 CHF
*11(3/05/00.P1).- La población de Bangor aumenta cada año. A finales de 1996, la población
era de 40 000 habitantes. A finales de 1998, la población era de 44 100. Suponiendo que estas
cifras anuales siguen una progresión geométrica, calcule
(a) la población de Bangor a finales de 1997;
(b) la población de Bangor a finales de 1992.
Sol: 42000
Sol: 32908
*12(8/05/01.P2).(i) La siguiente es una tabla de conversión de divisas:
Francos franceses (FFR)
Dólares EU (USD)
Yenes japoneses (JPY)
Libras inglesas (GBP)
FFR
1
6,289
0,057
9,901
USD
p
1
0,009
1,585
JPY
q
111,111
1
166,667
GBP
0,101
0,631
0,006
1
Por ejemplos, vemos en la tabla que 1 USD=0,631 GBP. Use la tabla para resolver las
siguientes preguntas.
(a) Hallar los valores de p y q .
(b) Mireille quiere cambiar dinero en un banco de Londres.
Sol: p=0,159, q=17,544
(i)
¿Cuántos francos franceses (FFR) tendrá que cambiar para obtener 140 libras
inglesas (GBP)?
Sol: 1386 FFR
(ii)
El banco cobra una comisión del 2,4% en todas las operaciones. Si efectúa esta
operación, ¿cuántas libras inglesas recibirá en realidad Mireille del banco?
Sol: 1353 FFR=136,6 GBP
(c) Jean invirtió 5000 FFR en París al 8% de interés simple anual. Paul invirtió 800 GBP en
Londres al 6% de interés simple anual.
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
¿Cuánto interés obtuvo Jean en FFR pasados 4 años?
Sol: 1600 FFR
¿Cuánto interés obtuvo Paul en dólares EU pasados 4 años?
Sol: =1914 FFR=154,4 USD
¿Quién había obtenido mayor interés pasados 4 años?
Sol: Paul
Explique su razonamiento en el apartado (c) (iii).
Sol: se pasa a la misma moneda
(ii) Takaya invirtió 1000 JPY al 6,3% de interés simple anualmente durante 15 años. Morimi
invirtió 900 JPY al 6,3% de interés compuesto durante 15 años. ¿Quién tenía más dinero al
terminar el año 15º? Justifique su respuesta claramente.
Sol: Morimi, porque invierte los intereses
13.- Halla el capital acumulado para un depósito bancario de 2700 euros, en las siguientes
condiciones:
(a) Al 5 % anual, durante 9 años.
Sol: 4189 €
(b) Al 6 % semetral, durante 8 años,
Sol: 4333 €
(c) Al 6,24 % semanal, durante 7 años. (Considera que un año tiene 52 semanas.)
Sol: 4178 €
(d) Al 7 % continuo, durante 6 años.
Sol: 4109 €
14.- Un tío tuyo, que tiene 40 años, se ha hecho un plan de pensiones en las siguientes
condiciones:
Edad prevista de jubilación: 65 años. Duración: 25 años
Cuota periódica: 240 euros (trimestrales). Tipo de interés: 10 %
¿Cuánto dinero tendrá ahorrado cuando se jubile?
Sol.: 106 407 €
15.- Cuando cumplas 18 años, siguiendo el ejemplo de tu tío, vas a depositar en una cartilla de
ahorros 12 euros todos los meses al 10% anual ¿Cuánto dinero tendrás 40 años después?
Sol: 76521 €
16.- Una persona tiene 18000 euros para depositar en una cuenta bancaria, pudiendo mantener el
depósito durante 5 años. Estudia las condiciones de diferentes bancos:
(a) El banco A le ofrece un interés del 7,8% abonando los intereses anualmente.
(b) El banco B ofrece el 7,7% con intereses liquidables (abonados) trimestralmente.
(c) El banco C, el 7,65% e intereses abonados mensualmente.
(d) El banco D, el 7,6% a interés continuo.
¿En qué banco le interesa más depositar su dinero?
Sol.: en el B
17.- Calcula el capital acumulado por 60 euros durante 6 años a una tasa anual del 5,8% a
interés compuesto:
(a) Anual
(c) Trimestral
Sol.: 84,15€
Sol.: 84,76€
(b) Semestral
(d) Continuo
Sol.: 84,55€
Sol.: 84,97€
18.- Supongamos que tu abuelo abrió, cuando tú naciste, una cuenta corriente a tu nombre, en la
que ha ido metiendo 6 € cada mes, a un interés del 6 % anual, liquidable mensualmente. Cuando
cumplas 18 años deseas comprarte un ordenador que vale 1200 €. ¿Tendrás suficiente dinero en
tu cuenta?
Sol.: si, 2335,74 €
*19 (Nov 97. Prueba 2).- a) Hallar la diferencia y razón común de una progresión aritmética y
una geométrica cuyo primer término es 1, tal que coincidan la suma del tercer y del cuarto
términos en ambas.
Sol.: d1  r1 
3 5
; d 2  r2  2
2
b) De las posibles soluciones, qué valor hace que la suma de todos los términos de la progresión
geométrica sea finita y hallar dicha suma.
Sol.: r 
3 5
5 5
; S 
2
10
c) Hallar también para dicho valor la suma de los 20 primeros términos de la progresión
Sol.: S 20  95 5  265
aritmética.
*20 (May 98. Prueba 1) .- El primero, segundo, nº términos de una progresión (sucesión)
aritmética son 2, 6 y 58, respectivamente.
a) Halle el valor de n.
Sol.: n=15
b) Para dicho valor halle el valor exacto de la suma de n términos de una sucesión
geométrica cuyo primer término sea 2 y cuya razón común sea 1/2.
Sol.: S15 
215  1
213
*21 (Nov 98. Prueba l).- A partir de un rombo de lado 4 y formando dos lados un ángulo de
60°, uniendo sucesivamente los puntos medios de sus lados, se forman paralelogramos. Se pide
la suma de las áreas de todos ellos.
Sol.: S n  16 3 u2
*22 (May 99. Prueba l).- Hallar el primer término y la diferencia de una progresión aritmética
sabiendo que el segundo término es 7 y que la suma de los 4 primeros términos es 12.
Sol.: a1  15; d  8
*23 (May 99. Prueba 2).- En una progresión aritmética de términos positivos, la razón entre el
5° término y el 12° término es 6/13. Y el producto del 1° y 3° términos es 32. Hallar la suma de
los 100 primeros términos.
Sol.: S100  10300
*24 (Nov 99. Prueba l).- Si en una progresión aritmética el primer término es 5 y la diferencia
es 8, hallar la expresión del término n-simo. ¿Cuántos términos hay menores que 400?
Sol.: 50 términos
*25 (May 00 Prueba l).- La suma de los n primeros términos de una sucesión aritmética es
Sol.: un  6n  5
S n  3n 2  2n . Halle el término n-simo u n .
*26 (May 00. Muestra. Prueba l).- Halle la suma de los infinitos términos de la serie
geométrica
-12+8-16/3+ ....
Sol.: S   
36
5
*27 (May 01. Prueba l).- El término n-simo, u n , de una sucesión geométrica viene dado por
un  3  4 , n  Z  .
n1
a) Hallar la razón r .
Sol.: r  4
b) De aquí o de otro modo, halle S n , suma de los n primeros términos de la sucesión.


Sol.: S n  16  411  1