FIS120: FÍSICA GENERAL II GUÍA#5: Conducción eléctrica y

Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
FIS120: FÍSICA GENERAL II
GUÍA#5: Conducción eléctrica y circuitos.
Objetivos de aprendizaje
Esta guı́a es una herramienta que usted debe usar para lograr los siguientes objetivos:
Conocer y analizar la corriente eléctrica y los fenómenos asociados al transporte de carga en
conductores.
Conocer el funcionamiento de distintos elementos eléctricos dentro de un circuito.
Resolver circuitos eléctricos.
Analizar los fenómenos asociados al ciclo de carga y descarga de un condensador.
I. Preguntas Conceptuales
Responda usando argumentos técnicos las siguientes preguntas. Apóyese en gráficos y ecuaciones
según corresponda. Sea preciso y claro en sus respuestas. Ver capı́tulos 32 y 33 del libro1
a) ¿Cuál es la diferencia entre fem y diferencia de potencial ?
b) Las baterı́as siempre se rotulan con su fem; por ejemplo una baterı́a AA se rotula como de
“1,5 Volt”. ¿Serı́a apropiado también incluir un rótulo en las baterı́as que indique cuánta
corriente suministran? ¿porqué?
c) ¿Por qué las ampolletas se queman cuando uno las enciende, pero casi nunca cuando permanecen encendidas?
d ) ¿En qué ampolleta de 220[V] tiene más resistencia el filamento: en una de 60[W] o en una de
100[W]? Si ambas ampolletas se conectan en serie a una lı́nea de de 220[V], ¿a través de cual
ampolleta habrá mayor caı́da de voltaje? ¿y si se conectan en paralelo?
e) ¿Cuánto cambia la resistencia de un alambre si se estira de forma que su nueva longitud
es “n”veces mayor que su longitud inicial?, ¿qué supuestos son necesarios para resolver esta
situación?, ¿porqué?
f ) En un circuito RC, ¿de qué depende la carga máxima que puede acumular el condensador?
g) Describa el funcionamiento del circuito RC, ¿cómo funciona el circuito justo después de
conectar la baterı́a?, ¿luego de mucho tiempo?, ¿para un tiempo cualquiera?, ¿qué magnitudes
se pueden considerar como un tiempo infinito?
1 Halliday, Resnick and Krane, volumen 2 cuarta edición. Y/O los capı́tulos correspondientes de cualquiera de los otros
libros de consulta.
1
Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
II. Problemas propuestos
(1) Un cable, de material Óhmico conductor,
tiene resistencia R = 5[Ω], y está conectado a una fem ε = 100[V ].
Entonces, la relación entre las corrientes
que circulan por la resistencia en ambos
circuitos (ia /ib ), es:
a) La potencia PR ≡ dQR /dt de disipación de la energı́a por este cable es:
b) El cable de la pregunta anterior ahora
se funde y se hace de él un cable cuatro
veces más largo (nota: el cable se pone más delgado). Se conecta el nuevo
cable a la fuente de fem aludida. Entonces, la potencia de disipación de la
energı́a por este cable es:
(4) La intensidad de corriente que atraviesa un hilo conductor está dada por:
i(t) = 5 · cos(πt) [A], con t medido en segundos. Determine cuál es la carga neta
que atraviesa el hilo conductor en un intervalo de 10[s].
(2) La figura muestra un circuito de tres resistencias y dos baterı́as.
R1=3Ω
R2=4Ω
(5) Un cilindro homogéneo de material de resistividad ρ, área transversal A y largo L,
se conecta a una baterı́a, como muestra la
figura. Sabemos que como consecuencia de
la conexión, el cilindro disipa calor con una
potencia constante de dQ
dt = 0, 2[W ] ¿Cuál
es el valor de la f em de la baterı́a?
FIG.1
I1
R3=10Ω
I3
I2
L
ε1 =11V
A
ε 2 =40 V
+
--
ε
Datos: ε1 = 11[V ]; ε2 = 40[V ]; R1 = 3[Ω];
R2 = 4[Ω]; R3 = 10[Ω]
Datos: ρ = 4 · 10−7 [Ωm], A = 1[cm2 ] y
L = 2[cm]
Determine:
a) La corriente I3 a través de R3 .
(△t)
Wε1
b) El trabajo
de la baterı́a ε1 en un
intervalo de tiempo △t = 10 [s], y el
(△t)
calor QR2 disipado por la resistencia
R2 en el mismo intervalo de tiempo.
(3) Un resistor con forma de paralelepı́pedo
recto (lados a, a y 4a), se puede conectar a una baterı́a formando un circuito como muestra la figura, el resistor se conecta
a través de dos placas conductoras en dos
orientaciones distintas (figura a y b).
Figura a
+
--
ε
FIG.2
+
ε
A
+
C
−
B
−
ε
D
(7) La figura muestra dos ampolletas iguales y
una baterı́a, todos en un circuito. Se conecta el cable (se cierra el interruptor S) como
mostrado en la Figura; el cable tiene resistencia cero. ¿Cómo cambia el brillo de las
ampolletas? (Recuerde: brillo ⇔ potencia.)
Figura b
+
(6) La figura muestra un sistema de circuitos,
con cuatro ampolletas (es decir, resistencias) iguales, y dos baterı́as iguales. Ordene
cada ampolleta, según se produce de mayor
a menor “brillo”(brillo ⇔ (proporcional a
la) potencia)
--
ε
2
Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
S
+
ε
Ic
(t=0)
FIG.3
S1
A
−
B
(t=0)
C1 =C
R
ε
FIG.4
R =6Ω
[0,t ]
(9) En el circuito de la figura, el interruptor
se cierra en el instante t = 0[s], cuando el
condensador se encuentra descargado.
Los valores de los elementos son: ε = 20[V ],
R1 = R4 = 2[Ω], R2 = R3 = 3[Ω] y
C = 5[µF ].
d) La corriente Ibat. (t2 ) a través de la baterı́a en el instante t2 = t0 + 0 (justo
después de cerrar el S2 ) es aproximadamente (en unidades de A)
[Sugerencia: calcule primero △VC en
t2 = t0 +0.]
S
+
qc
c) El trabajo Wε 0 de la baterı́a en el
intervalo [0, t0 ], en unidades de J, es
aproximadamente
[Sugerencia: ¿Qué es Ibat. (t) como función de tiempo para 0 < t < t0 ? No
olvidar: qc (0) = 0, 18[C].]
C1
ε
t 0 =0,5s
q c(0) =0,18 C
R =2Ω
b) La corriente Ibat. (t2 ) a través de la baterı́a en el instante t2 = t0 − 0 (justo
antes de cerrar el S2 ) es aproximadamente (en unidades de A)
C3
e. La corriente Ibat. (t3 ) a través de la baterı́a en el instante t3 = 2t0 es aproximadamente (en unidades de A)
R2
R1
(t=t 0)
C=5mF
a) La corriente Ibat. (t1 ) a través de la
baterı́a en el instante t1 = 2[ms] =
2·10−3 [s] es aproximadamente (en unidades de A)
C2 =C3 =C/2
C2
S2
IR
ε =60V
(8) La figura muestra un sistema de circuitos.
¿Cual es el valor de las diferencias de potencial eléctrico |△VCj | en los capacitores
(condensadores) luego de que ha transcurrido mucho tiempo desde que se cerró el
interruptor S?
S
R c=4Ω
(t=0)
C
-_-
R3
(11) La figura muestra un circuito compuesto
por tres resistencias y tres baterı́as.
R4
a) Luego de un tiempo largo, la potencia
entregada por la baterı́a es:
b) Luego de largo tiempo, la carga del
condensador es:
ε = 1 [V]
ε = 2 [V]
+
-_-
R =1 [Ω
Ω]
-_+
-_+
R =2 [Ω
Ω]
ε = 2 [V]
R =1 [Ω
Ω]
(10) En los circuitos mostrados en la figura, en
los instantes t < 0 los interruptores S1 y S2
están abiertos y el capacitor cargado con
a) ¿Cuál es la corriente que circula por la
qc (t) = 0, 18[C]. En el instante t = 0 se ciebaterı́a ε3 ?
rra S1 , pero S2 queda abierto. En el instanb) ¿Cuál es la potencia disipada en las
te t0 = 0, 5[s] se cierra S2 , ası́ que para los
tres resistencias?
instantes t > t0 ambos interruptores están
cerrados.
Datos: ε = 60[V ]; Rc = 4[Ω]; C = 5[mF ]; (12) En el circuito de la figura, inicialmente el
R = 6[Ω]; R′ = 2[Ω];
interruptor está abierto, y los condensadoqc (0) = 0, 18[C]; t0 = 0, 5[s]
res se encuentran descargados.
3
FIG.5
Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
Ω
Respuestas a ejercicios propuestos:
S
ε = 10[V]
+
-_-
Ω
µ
(1) a) P = 2000[W ] b) P = 125[W ]
(2) a) I3 = 2[A] b) Wε1 = −330[J] y
QR2 = 1000[J]
(3) iiab = 16
µ
a) Se cierra el interruptor S1 . ¿cuál es la
carga acumulada en el condensador C1
en el instante t0 = 8 · ln2 · 10−3 [s]?
b) ¿cuál es la corriente que circula a
través de la baterı́a en el instante t0
mencionado en la pregunta anterior?
c) ¿cuál es la energı́a almacenada,
Uc1 (q0 ) + Uc2 (q0 ), en ambos condensadores en el instante t0 mencionado en
la pregunta anterior?
d) ¿cuál es la energı́a disipada en ambas
resistencias durante el perı́odo de tiempo entre t = 0 y t0 = 8 · ln2 · 10−3 [s]?
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
Qneta = 0
ε = 4 · 10−3 [V ]
B>C=D>A
B se apaga y A brilla con una potencial igual a 4 veces la inicial.
|∆VC1 | = |∆VC2 | = |∆VC3 | = 2ε
a) 160[W ] b) 20[µC]
a) ibat (t1 ) = 4[A] b) ibat (t2 − 0) =
0[A] c) Wε = 7, 2[J] d) ibat (t2 +
0) = 5, 5[A] e) ibat (t3 ) = 7, 5[A]
a) i3 = 1, 2[A]
b) Presistencias =
5, 4[W ]
a) q1 = 15[µC] b) ibat = 2, 5[mA]
c) Uq1 + Uq2 = 112, 5[µJ] d) Edis =
187, 5[µJ]
III. Problemas resueltos.
(1) “La navidad se adelantó”. Suponga que usted tiene un juego de luces de navidad que puede
conectar a una fuente continua de 12[V]. El juego de luces tiene 10 ampolletas cada una con
valores nominales (12[V ], 5[W ]).
Entonces, para cada una de las siguientes aseveraciones determine si es verdadera o falsa.
I: Se forma un circuito con las 10 ampolletas en serie y se conecta a la fuente, entonces podemos
asegurar que la potencia efectiva en cada ampolleta es 5[W ].
Respuesta: Falso. Los valores nominales, (12[V ], 5[W ]), nos indican que si la ampolleta tiene
un caı́da de potencial de 12[V ], su potencia disipada será de 5[W ]. Entonces, si las 10 ampolletas
están en serie con una fuente de 12[V ] (la suma de las caı́das de potencial es igual al potencial de
la fuente 12[V ]), cada una tendrá una caı́da de potencial menor a 12[V ] (especı́ficamente 1, 2[V ])
con lo cual su potencia disipada será menor a 5[W ] (en este caso 0,05[W]).
II: Se forma un circuito con las 10 ampolletas en paralelo y se conectan a la fuente. Si una de
las ampolletas se quema, entonces todas las otras ampolletas se apagarán.
Respuesta: Falso. Al estar las ampolletas conectadas en paralelo y quemarse una de ellas, el
circuito de corriente se corta por la rama donde está la ampolleta, pero las otras siguen conectadas
a la fuente, por lo tanto siguen prendidas y con el mismo brillo.
4
Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
(2) La figura adjunta muestra el circuito “ε − R1 − R2 − C”
y el ciclo de carga del condensador (carga en función del
tiempo), en el gráfico se especifican tres tiempos, t1 , t2 y t3 ,
donde t1 < t2 < t3 . Inicialmente el condensador tiene una
carga 0, 2Q, donde Q corresponde a su nivel de carga luego
de largo tiempo. El interruptor (S1 ) se cierra en t = 0 y
comienza el ciclo de carga.
S
R1
Q
ε
+
--
R2
Q (t)
C
0,2Q
tiempo
t1
t2
Entonces, para cada una de las siguientes aseveraciones determine si es verdadera o falsa.
I: Si comparamos la potencia disipada en la resistencia R2 en los instantes t1 y t2 , entonces
podemos decir que será mayor en el instante t1 .
Respuesta: Falso. La potencia disipada en la resistencia R2 se puede determinar como P2 =
V2
i22 R2 = R22 , donde V2 es la diferencias de potencial es la resistencia 2. Como la resistencia 2
y el condensador están en paralelo, sus diferencias de potencial son iguales en todo instante de
tiempo. Entonces: Sabemos que VC = qCC , del gráfico vemos que la carga en t2 es mayor que en
t1 , por lo tanto VC (t2 ) > VC (t1 ), lo que indica que V2 (t2 ) > V2 (t1 ) ⇒ P2 (t2 ) > P2 (t1 ).
II: Si ambas resistencias fueran iguales (R1 = R2 ), entonces podrı́amos decir que la carga del
condensador en el instante t3 es Q = 0, 5Cε.
Respuesta: Verdadero. En el instante t3 observamos del gráfico que el condensador ya se
encuentra cargado, por lo tanto la corriente que circula por él es cero (pendiente del gráfico).
Dado lo anterior, las dos resistencias quedan en serie, al ser ambas iguales y circular por ellas la
misma corriente, su diferencia de potencial es la misma (iR1 = iR2 ). Entonces, una ley de malla
en el circuito: ε − V1 − V2 = 0, donde V1 = V2 , reemplazando en la ecuación: V2 = 0, 5ε, como
la resistencia 2 y el condensador están en paralelo: Q = CVC (t3 ) = CV2 (t3 ) = 0, 5Cε
(3) Los protones que emergen desde un acelerador de partı́culas conforman un haz con simetrı́a cilı́ndrica de radio R = 1[mm]. La corriente asociada a este flujo de carga es de 3[mA]. La densidad de
~
corriente del haz tiene dependencia radial y está dada por J(r)
= Jo (1 − Rr )ẑ. donde el eje del
cilindro está en la dirección del eje z. Entonces, la densidad de referencia J0 es aproximadamente
igual a:
Respuesta:
=
Z
i
=
Z
i
=
i
=
3 · 103 [A]
=
Jo
≈
i
− −
→
→
J · dA
R
r
Jo 1 −
2πrdr
R
0
2
R
R3
Jo 2π
−
2
3R
2
R
Jo π
6
(10−3 [m])2
Jo 2π
6
A
3
3 · 10
m2
5
t3
Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
(4) La figura muestra un circuito con dos baterı́as y tres resistencias, los valores de cada una se
disponen en la figura.
(a) Plantee las ecuaciones de Kirchhoff necesarias para resolver el circuito y calcule los valores de
las corrientes I1 , I2 e I3 (use la convención de signos para las corrientes, dada por las fechas
de la figura.)
Respuesta: Planteando la ley de nodo:
I1 + I2
=
I3
(1)
planteando la ley de malla (observación: sólo es necesario plantear dos (L.I) de estas tres ecuaciones).
ε1 − R1 I1 − R3 I3
ε2 − R2 I2 − R3 I3
=
=
0
0
(2)
(3)
ε1 − R1 I1 + R2 I2 − ε2
=
0
(4)
Usando la ecuación (1) y dos de las ecuaciones (2), (3) ó (4), despejamos el valor de las corrientes:
I1
=
−2[A]
(5)
I2
I3
=
=
4[A]
2[A]
(6)
(7)
(b) Determine el trabajo realizado por cada baterı́a en un intervalo de tiempo de 10[s], sea
riguroso en el signo de cada trabajo e interprete sus resultados.
R
Respuesta: El trabajo realizado por la baterı́a j es: Wj = εj Ij dt como la corriente es constante
en el tiempo: Wj = εj Ij ∆t, luego:
Wε1
Wε2
=
=
−80[J]
800[J]
(8)
(9)
Como la corriente I1 circula en el sentido contrario a la baterı́a ε1 esa baterı́a en vez de entregar
energı́a al sistema, está realizando un trabajo negativo impidiendo la circulación de carga. La
baterı́a ε2 entrega energı́a la sistema.
6
Departamento de Fı́sica, UTFSM
Fı́sica General II / Prof: A. Brunel.
(5) En el circuito de la figura, se abre el interruptor en el instante t = 0[s], cuando el condensador se
encuentra completamente cargado.
a) Para el instante t = 0[s] ¿Cuál es la potencia entregada por la baterı́a?
Respuesta: Pbat = ε · ibat =
ε2
Req
=
92
3
= 27[W ]
b) Justo antes de t = 0[s] la carga en el condensador es:
Respuesta: Cuando el circuito está cerrado y el condensador cargado, circula corriente por ambas
ramas del circuito, excepto por la lı́nea donde está el condensador, QC = CVC , usando un circuito
equivalente ibat = 3[A], luego por cada rama i1 = i2 = 1, 5[A]. Haciendo una ley de malla que
incluye al condensador, tenemos que:
VC + i1 R1 − i2 R2 = 0 ⇒ VC = 3[V ]
QC = 3 · 10−6 · 3 = 9 · 10−6 [C]
c) Justo después de t = 0[s] la corriente que circula por la resistencia, R2 es:
Respuesta: Se abre el interruptor y ya no circula corriente por la baterı́a, pero si por el resto del
circuito hasta que el condensador se descargue, luego:
VC + iR1 − iR2 = 0 ⇒ i =
7
VC
= 0, 5[A]
R1 + R2