SISTEMAS ELÁSTICOS

SISTEMAS ELÁSTICOS
Pablo Játiva Carbajal
Prácticas Curso 2011-2012:
Práctica sobre sistemas elásticos
Profesores: Antonio J. Barbero García y
Mª Mar Artigao Castillo
Sea un resorte en un instante inicial:
Si se le aplica una fuerza que lo deforme:
l0
l
𝑭
x
Donde l0 es la longitud inicial del mismo y l la longitud del resorte traccionado;
𝑥 = 𝑙 − 𝑙0 .
Resulta que la deformación es proporcional a la fuerza aplicada, de acuerdo
con la Ley de Hooke:
𝑭 = 𝒌 · 𝒙 = 𝒌 · (𝒍 − 𝒍𝟎 )
La constante k es la constante elástica del resorte, medida en N/m. La Ley de Hooke
se cumplirá siempre que no se sobrepase un determinado valor de fuerza aplicada o de
deformación, llamado límite elástico, sobrepasado el cual el resorte no recupera su
forma original.
Si se tienen tres resortes, pueden combinarse, por ejemplo, dos en serie, o dos en
paralelo, o de una forma mixta (por ejemplo, colocando dos en paralelo y el tercero en
serie con respecto a los anteriores). Hallar el valor de la constante equivalente de estos
tres tipos de sistemas de resortes es el objetivo de esta práctica.
Primeramente, se tienen tres resortes, como ya se ha mencionado. Para trabajar con
ellos en los sistemas en serie, paralelo y mixto hay que conocer sus respectivas
constantes elásticas. Para ello, se mide la longitud inicial de cada uno (en reposo) l0
y a continuación se sujeta uno de los extremos del resorte que estemos considerando
y del extremo libre se tira con un dinamómetro, de forma que la fuerza que se ejerza
sobre el muelle al traccionar se vea reflejada en el mismo, pudiéndose medir además
la longitud que alcanza el muelle. Al repetir el proceso varias veces, y llevando los
datos obtenidos a una gráfica en la que se represente la fuerza F frente al incremento
de la longitud 𝑥 = 𝑙 − 𝑙0 , si se realiza un ajuste lineal y se traza la recta que mejor se
ajuste a los puntos señalados, la pendiente de esta será igual a la constante elástica
del muelle.
RESORTE 1
Dl (mm)
l0 (mm) 150
1
l (mm) Dl (mm) F (N) DF (N)
1
0,1
0,01
1 193
1
0,2
0,01
2 223
1
0,3
0,01
3 263
1
0,4
0,01
4 292
1
0,5
0,01
5 333
1
0,6
0,01
6 358
x (m)
0,043
0,073
0,113
0,142
0,183
0,208
Dx(m)
0,002
0,002
0,002
0,002
0,002
0,002
En la siguiente diapositiva se
muestra el ajuste lineal manual
realizado para el resorte 1.
RESORTE 1
F (N)
0,6
𝑁 = 0,605 − 0,085 = 0,52
𝐷 = 0,209 − 0,039 = 0,17
𝑁
𝑚 = 𝑘 = = 3,06
𝐷
∆𝑁 = ∆𝐹1 + ∆𝐹2 = 0,02
∆𝐷 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,004
𝛿𝑚
𝛿𝑚
∆𝑁
𝑁
∆𝑚 = ∆𝑘 = 𝛿𝑁 ∆𝑁 + 𝛿𝐷 ∆𝐷 = 𝐷 + 𝐷2 ∆𝐷 = 0,19
P2 = (0’209, 0’605)
𝑘 = 𝟑, 𝟎𝟔 ± 𝟎, 𝟏𝟗 𝑵 𝒎 = 𝒌𝟏
0,5
0,4
0,3
𝐹 = 𝑘𝑥 + 𝑏; 𝑏 = 𝐹 − 𝑘𝑥
𝑏 = 0,605 − 3,06 · 0,209 = −0,04
𝛿𝑏
𝛿𝑏
𝛿𝑏
∆𝑏 =
∆𝐹 +
∆𝑘 +
∆𝑥
𝛿𝐹
𝛿𝑘
𝛿𝑥
∆𝑏 = ∆𝐹 + 𝑥 ∆𝑘 + 𝑘 ∆𝑥 = 0,06
N
𝑏 = −0,04 ± 0,06 𝑁
0,2
0,1
D
P1 = (0’039, 0’085)
0,050
0,100
0,150
0,200
x (m)
De igual forma, se procede a hallar la constante elástica de los resortes 2 y 3.
RESORTE 2
Dl (mm)
l0 (mm) 135
1
l (mm) Dl (mm) F (N) DF (N)
1
0,1
0,01
1 189
1
0,2
0,01
2 218
1
0,3
0,01
3 248
1
0,4
0,01
4 281
1
0,5
0,01
5 321
1
0,6
0,01
6 360
x (m)
0,054
0,083
0,113
0,146
0,186
0,225
Dx(m)
0,002
0,002
0,002
0,002
0,002
0,002
x (m)
0,042
0,083
0,123
0,131
0,171
0,214
Dx(m)
0,002
0,002
0,002
0,002
0,002
0,002
RESORTE 3
Dl (mm)
l0 (mm) 155
1
l (mm) Dl (mm) F (N) DF (N)
1
0,1
0,01
1 197
1
0,2
0,01
2 238
1
0,3
0,01
3 278
1
0,4
0,01
4 286
1
0,5
0,01
5 326
1
0,6
0,01
6 369
RESORTE 2
F (N)
0,6
𝑁 = 0,645 − 0,090 = 0,555
𝐷 = 0,227 − 0,050 = 0,177
𝑁
𝑚 = 𝑘 = = 3,11
𝐷
∆𝑁 = ∆𝐹1 + ∆𝐹2 = 0,02
∆𝐷 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,004
𝛿𝑚
𝛿𝑚
∆𝑁
𝑁
∆𝑚 = ∆𝑘 = 𝛿𝑁 ∆𝑁 + 𝛿𝐷 ∆𝐷 = 𝐷 + 𝐷2 ∆𝐷 = 0,18
𝑘 = 𝟑, 𝟏𝟏 ± 𝟎, 𝟏𝟖 𝑵 𝒎 = 𝒌𝟐
0,5
0,4
0,3
P2 = (0’227, 0’645)
𝐹 = 𝑘𝑥 + 𝑏; 𝑏 = 𝐹 − 𝑘𝑥
𝑏 = 0,645 − 3,11 · 0,227 = −0,06
𝛿𝑏
𝛿𝑏
𝛿𝑏
∆𝑏 =
∆𝐹 +
∆𝑘 +
∆𝑥
𝛿𝐹
𝛿𝑘
𝛿𝑥
∆𝑏 = ∆𝐹 + 𝑥 ∆𝑘 + 𝑘 ∆𝑥 = 0,07
𝑏 = −0,06 ± 0,07 𝑁
N
0,2
0,1
D
P1 = (0’050, 0’090)
0,050
0,100
0,150
0,200
x (m)
RESORTE 3
F (N)
0,6
𝑁 = 0,615 − 0,095 = 0,52
𝐷 = 0,221 − 0,035 = 0,186
𝑁
𝑚 = 𝑘 = = 2,80
𝐷
∆𝑁 = ∆𝐹1 + ∆𝐹2 = 0,02
∆𝐷 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,004
𝛿𝑚
𝛿𝑚
∆𝑁
𝑁
∆𝑚 = ∆𝑘 = 𝛿𝑁 ∆𝑁 + 𝛿𝐷 ∆𝐷 = 𝐷 + 𝐷2 ∆𝐷 = 0,18
P2 = (0’221, 0’615)
𝑘 = 𝟐, 𝟖𝟎 ± 𝟎, 𝟏𝟖 𝑵 𝒎 = 𝒌𝟑
0,5
0,4
𝐹 = 𝑘𝑥 + 𝑏; 𝑏 = 𝐹 − 𝑘𝑥
𝑏 = 0,615 − 2,80 · 0,221 = −0,004
𝛿𝑏
𝛿𝑏
𝛿𝑏
∆𝑏 =
∆𝐹 +
∆𝑘 +
∆𝑥
𝛿𝐹
𝛿𝑘
𝛿𝑥
∆𝑏 = ∆𝐹 + 𝑥 ∆𝑘 + 𝑘 ∆𝑥 = 0,05
𝑏 = 0 ± 0,05 𝑁
0,3
N
0,2
0,1
D
P1 = (0’035, 0’095)
0,040
0,100
0,150
0,200
x (m)
l1,0
l2,0
k1
Se colocan en serie los resortes 1
y 2. Si se aplica una fuerza en el
extremo libre, la fuerza que actúa
sobre cada uno de los resortes es
la misma.
k2
l1
l2
k1
𝑭
k2
𝑭
kS
l1 + l2
𝐹 = 𝑘1 (𝑙1 − 𝑙1,0 )
𝐹 = 𝑘2 (𝑙2 − 𝑙2,0 )
𝐹 = 𝑘𝑆 𝑙1 + 𝑙2 − 𝑙1,0 + 𝑙2,0
𝐹 = 𝑘𝑆
𝐹 𝐹
+
𝑘1 𝑘2
𝟏
𝟏 𝟏
=
+
𝒌 𝑺 𝒌𝟏 𝒌𝟐
Resorte
equivalente
l0
Se colocan en paralelo los resortes
2 y 3. Si se aplica una fuerza en el
extremo libre, esta se repartirá
entre los dos resortes, de forma
que 𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 .
k1
k2
l
l
𝑭1
𝑭
𝑭
𝑭2
𝐹1 = 𝑘1 (𝑙 − 𝑙0 )
𝐹2 = 𝑘2 (𝑙 − 𝑙0 )
kP
Resorte equivalente
𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 = 𝑘1 𝑙 − 𝑙0 + 𝑘2 𝑙 − 𝑙0 = 𝑘𝑃 𝑙 − 𝑙0
(𝑘1 +𝑘2 ) 𝑙 − 𝑙0 = 𝑘𝑃 𝑙 − 𝑙0
𝒌𝑷 = 𝒌𝟏 +𝒌𝟐
l0
l3,0
k1
Se colocan en paralelo los resortes
1 y 2, y con respecto a ellos, el
resorte 3 se coloca en serie.
k3
k2
l3
l
k1
𝑭
Se pueden considerar los
dos resortes dispuestos en
paralelo como un único
resorte equivalente que se
halla en serie con el
resorte 3.
k3
k2
l
l3
𝑭
kP
k3
Como están dispuestos en
serie, se sigue de manera
similar a lo ya dispuesto
para
los
resortes
colocados en serie.
l3
l
𝑭
kP
k3
l + l3
𝑭
kM
𝐹3 = 𝑘3 (𝑙3 − 𝑙3,0 )
𝐹𝑃 = 𝑘𝑃 (𝑙 − 𝑙0 )
𝐹 = 𝑘𝑀 𝑙 + 𝑙3 − 𝑙0 + 𝑙3,0
𝐹 = 𝑘𝑀
𝐹 𝐹
+
𝑘3 𝑘 𝑃
𝟏
𝟏 𝟏
=
+
𝒌𝑴 𝒌𝟑 𝒌𝑷
Según se ha hallado anteriormente, para dos resortes en paralelo
𝒌𝑷 = 𝒌𝟏 +𝒌𝟐 , luego al sustituir queda:
𝟏
𝟏
𝟏
=
+
𝒌𝑴 𝒌𝟑 𝒌𝟏 + 𝒌𝟐
Con las expresiones obtenidas, se hallan los valores teóricos de las constantes de los
resortes equivalentes.
𝑘1 = 3,06 ± 0,19 𝑁 𝑚
𝑘2 = 3,11 ± 0,18 𝑁 𝑚
SISTEMA DE RESORTES EN SERIE
𝑘3 = 2,80 ± 0,18 𝑁 𝑚
𝟏
𝟏 𝟏
=
+
𝒌 𝑺 𝒌𝟏 𝒌𝟐
∆𝑘𝑠 =
𝛿𝑘𝑠
𝛿𝑘1
𝑘𝑠 =
∆𝑘1 +
1
1 1
+
𝑘1 𝑘2
𝛿𝑘𝑠
𝛿𝑘2
=
∆𝑘2 =
𝑘1 𝑘2
𝑘1 𝑘2
=
= 1,54 𝑁/𝑚
𝑘1 + 𝑘2 𝑘1 + 𝑘2
𝑘2 2
𝑘1 2
∆𝑘
+
1 𝑘 2 +2𝑘 𝑘 +𝑘 2 ∆𝑘2
𝑘1 2 +2𝑘1 𝑘2 +𝑘2 2
1
1 2
2
= 0,09 𝑁/𝑚
SISTEMA DE RESORTES EN PARALELO
𝒌𝑷 = 𝒌𝟏 +𝒌𝟐
∆𝑘𝑃 =
𝑘𝑃 = 6,2 𝑁/𝑚
𝛿𝑘𝑃
𝛿𝑘𝑃
∆𝑘1 +
∆𝑘2 = ∆𝑘1 + ∆𝑘2 = 0,4 𝑁/𝑚
𝛿𝑘1
𝛿𝑘2
SISTEMA DE RESORTES MIXTO
𝟏
𝟏
𝟏
=
+
𝒌𝑴 𝒌𝟑 𝒌𝟏 + 𝒌𝟐
∆𝑘𝑀 =
+
+
𝑘𝑀 =
1
1
1
+
𝑘3 𝑘1 + 𝑘2
=
𝑘1 𝑘2 𝑘3
= 1,92 𝑁/𝑚
𝑘1 𝑘2 + 𝑘1 𝑘3 + 𝑘2 𝑘3
𝛿𝑘𝑀
𝛿𝑘𝑀
𝛿𝑘𝑀
𝑘2 2 𝑘3 2
∆𝑘1 +
∆𝑘2 +
∆𝑘3 = 2 2
∆𝑘1 +
𝛿𝑘1
𝛿𝑘2
𝛿𝑘3
𝑘1 𝑘2 + 2𝑘1 2 𝑘2 𝑘3 + 𝑘1 2 𝑘3 2 + 2𝑘1 𝑘2 2 𝑘3 + 2𝑘1 𝑘2 𝑘3 2 + 𝑘2 2 𝑘3 2
𝑘1 2 𝑘3 2
𝑘1 2 𝑘2 2 + 2𝑘1 2 𝑘2 𝑘3 + 𝑘1 2 𝑘3 2 + 2𝑘1 𝑘2 2 𝑘3 + 2𝑘1 𝑘2 𝑘3 2 + 𝑘2 2 𝑘3 2
𝑘1 2 𝑘2 2
𝑘1 2 𝑘2 2 + 2𝑘1 2 𝑘2 𝑘3 + 𝑘1 2 𝑘3 2 + 2𝑘1 𝑘2 2 𝑘3 + 2𝑘1 𝑘2 𝑘3 2 + 𝑘2 2 𝑘3 2
∆𝑘2 +
∆𝑘3 = 0,08 𝑁/𝑚
Experimentalmente, con la toma de datos se va a calcular también el valor de las constantes,
y posteriormente se compararán los resultados teóricos con los experimentales para
comprobar su validez.
PARALELO
Dl (mm)
l0 (mm) 176
1
SERIE
Dl (mm)
l0 (mm) 239
1
1
2
3
4
5
6
Cálculo teórico paralelo (1+2)
k (N/m) =
Dk (N/m) =
l (mm) Dl (mm) F (N) DF (N)
Cálculo teórico serie (1+2)
k (N/m) =
Dk (N/m) =
l (mm) Dl (mm) F (N) DF (N)
424
1
0,2 0,01
466
1
0,3 0,01
533
1
0,4 0,01
600
1
0,5 0,01
666
1
0,6 0,01
730
1
0,7 0,01
x (m)
0,13
0,172
0,239
0,306
0,372
0,436
1,54
0,09
Dx(m)
0,002
0,002
0,002
0,002
0,002
0,002
1
2
3
4
5
6
199
219
233
249
266
280
1
1
1
1
1
1
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
0,01
6,2
0,4
x (m)
Dx(m)
0,023
0,043
0,057
0,073
0,090
0,104
0,002
0,002
0,002
0,002
0,002
0,002
MIXTO
Dl (mm)
l0 (mm) 322
1
2
3
4
5
6
1
Cálculo teórico paralelo
(1+2) + serie (3)
k (N/m) =
Dk (N/m) =
l (mm) Dl (mm) F (N) DF (N)
367
1
0,1 0,01
415
1
0,2 0,01
482
1
0,3 0,01
537
1
0,4 0,01
577
1
0,5 0,01
624
1
0,6 0,01
x (m)
0,045
0,093
0,160
0,215
0,255
0,302
1,92
0,12
Dx(m)
0,002
0,002
0,002
0,002
0,002
0,002
SISTEMA DE RESORTES EN SERIE
F (N)
0,7
𝑁 = 0,720 − 0,200 = 0,52
𝐷 = 0,510 − 0,178 = 0,332
𝑁
𝑚 = 𝑘 = = 1,57
𝐷
∆𝑁 = ∆𝐹1 + ∆𝐹2 = 0,02
∆𝐷 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,004
𝛿𝑚
𝛿𝑚
∆𝑁
𝑁
∆𝑚 = ∆𝑘 = 𝛿𝑁 ∆𝑁 + 𝛿𝐷 ∆𝐷 = 𝐷 + 𝐷2 ∆𝐷 = 0,08
P2 = (0’510, 0’720)
𝑘 = 𝟏, 𝟓𝟕 ± 𝟎, 𝟎𝟖 𝑵 𝒎 = 𝒌𝑺
0,6
0,5
𝐹 = 𝑘𝑥 + 𝑏; 𝑏 = 𝐹 − 𝑘𝑥
𝑏 = 0,720 − 1,57 · 0,510 = −0,08
𝛿𝑏
𝛿𝑏
𝛿𝑏
∆𝑏 =
∆𝐹 +
∆𝑘 +
∆𝑥
𝛿𝐹
𝛿𝑘
𝛿𝑥
∆𝑏 = ∆𝐹 + 𝑥 ∆𝑘 + 𝑘 ∆𝑥 = 0,05
𝑏 = −0,08 ± 0,05 𝑁
0,4
N
0,3
0,2
D
P1 = (0’178, 0’200)
0,080
0,140
0,200
0,260
0,320
0,380
0,420
x (m)
SISTEMA DE RESORTES EN PARALELO
F (N)
0,6
𝑁 = 0,625 − 0,085 = 0,54
𝐷 = 0,108 − 0,023 = 0,085
𝑁
𝑚 = 𝑘 = = 6,35
𝐷
∆𝑁 = ∆𝐹1 + ∆𝐹2 = 0,02
∆𝐷 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,004
𝛿𝑚
𝛿𝑚
∆𝑁
𝑁
∆𝑚 = ∆𝑘 = 𝛿𝑁 ∆𝑁 + 𝛿𝐷 ∆𝐷 = 𝐷 + 𝐷2 ∆𝐷 = 0,17
𝑘 = 𝟔, 𝟑𝟓 ± 𝟎, 𝟏𝟕 𝑵 𝒎 = 𝒌𝑷
0,5
0,4
P2 = (0’108, 0’085)
𝐹 = 𝑘𝑥 + 𝑏; 𝑏 = 𝐹 − 𝑘𝑥
𝑏 = 0,085 − 6,35 · 0,108 = −0,06
𝛿𝑏
𝛿𝑏
𝛿𝑏
∆𝑏 =
∆𝐹 +
∆𝑘 +
∆𝑥
𝛿𝐹
𝛿𝑘
𝛿𝑥
∆𝑏 = ∆𝐹 + 𝑥 ∆𝑘 + 𝑘 ∆𝑥 = 0,07
𝑏 = −0,06 ± 0,07 𝑁
0,3
N
0,2
0,1
D
P1 = (0’023, 0’085)
0,010
0,040
0,070
0,100
x (m)
SISTEMA DE RESORTES MIXTO
F (N)
0,6
𝑁 = 0,600 − 0,080 = 0,52
𝐷 = 0,310 − 0,042 = 0,268
𝑁
𝑚 = 𝑘 = = 1,94
𝐷
∆𝑁 = ∆𝐹1 + ∆𝐹2 = 0,02
∆𝐷 = ∆𝑥1 + ∆𝑥2 = 0,004
𝛿𝑚
𝛿𝑚
∆𝑁
𝑁
∆𝑚 = ∆𝑘 = 𝛿𝑁 ∆𝑁 + 𝛿𝐷 ∆𝐷 = 𝐷 + 𝐷2 ∆𝐷 = 0,08
P2 = (0’310, 0’600)
𝑘 = 𝟏, 𝟗𝟒 ± 𝟎, 𝟎𝟖 𝑵 𝒎 = 𝒌𝑴
0,5
0,4
𝐹 = 𝑘𝑥 + 𝑏; 𝑏 = 𝐹 − 𝑘𝑥
𝑏 = 0,600 − 1,94 · 0,310 = −0,001
𝛿𝑏
𝛿𝑏
𝛿𝑏
∆𝑏 =
∆𝐹 +
∆𝑘 +
∆𝑥
𝛿𝐹
𝛿𝑘
𝛿𝑥
∆𝑏 = ∆𝐹 + 𝑥 ∆𝑘 + 𝑘 ∆𝑥 = 0,04
𝑏 = 0 ± 0,04 𝑁
0,3
N
0,2
0,1
D
P1 = (0’042, 0’080)
0,020
0,080
0,140
0,200
0,260
0,320
x (m)
Ahora que se han obtenido los resultados experimentales, se pueden comparar
con los resultados teóricos:
2,04
1,65
2,02
1,63
1,57
1,94
1,54
1,92
1,49
1,86
1,45
1,80
Teórico
Experimental
SISTEMA DE RESORTES EN SERIE
Teórico
Experimental
SISTEMA DE RESORTES MIXTO
SISTEMA DE RESORTES EN PARALELO
Teórico
6,2
6,6
5,8
6,35
Experimental
6,18
6,52
Se han obtenido, tal y como se observa, resultados aceptables. Por lo tanto, la toma y
análisis de datos y el ajuste lineal manual han sido correctos.
©
2012 Pablo Játiva Carbajal