1 - Colegio Fuentelarreyna

Lógica de cálculo proposicional
Teoría de las condiciones de: razonamiento, inferencia y argumento.
Inferencia (silogismo en lógica Aristotélica): proceso mental que partiendo de unos conocimientos
expresados en las premisas pasa a otros conocimientos implícitamente contenidos en las premisas y
explícitamente expresados en la conclusión (consiguiente).
Es una lógica bivalente, un sistema binario (sólo puede haber V/1 o F/0).
Tipos de razonamiento:
Inductivo: particulargeneral.
Deductivo: general  particular.
Esta lógica se interesa por:
La estructura, las relaciones entre enunciados.
No por:
Actividad mental.
Aspecto gramatical.
Todo pensamiento no es razonamiento. Premisas  conclusión (implícita en las premisas).
Los razonamientos pueden ser:
Correctos: válidos.
Incorrectos: no válidos.
Los enunciados, sin embargo son o verdaderos o falsos. No tiene nada que ver con la corrección e
incorrección del razonamiento. Un razonamiento válido puede dar enunciados verdaderos y viceversa.
Tipos de enunciados:
Atómicos: ‘’A’’. No se pueden separar.
Moleculares: “-A” Se pueden separar.
Formalizamos con dos tipos de signos:
Variables: letras del abecedario p, q, m, n…A, B, C…
Conectores (constantes): -,v, , .
Conectores
Negación (-).
Se lee ‘no’ y cambia el signo del argumento. Es monoargumental (no relaciona variables).
Tabla de verdad (valores veritativos del conector). Para hacer una tabla de verdad hay que tener en cuenta
esta relación:
Número de valores
número de variables
= 22=4
De una tabla de verdad obtenemos los números veritativos o matriarcales. Cuando todo el número
está formado por 1 se denomina tautología. Cuando todo el número está formado por 0 se denomina
contradictorio.
1
p
-p
1
0
0
1
O: falso. 1: verdadero. Una misma letra sólo puede ser verdadera y falsa.
En la tabla de valores, lo que va negado se empieza con 0.
Si lleva no, o se refiere a cosas negativas, lleva el signo -.
Conjunción ().
Se lee ‘y’. Es biargumental (relaciona dos argumentos). Es verdadera siempre que lo sean sus dos
argumentos. Es la multiplicación lógica. pq.
p

q
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
Número matriarcal o valor veritativo: 1000.
Disyunción (v).
Se lee ‘o’. Representa la suma lógica. Es falsa cuando lo son sus dos argumentos y verdadera en los
demás casos.
p
v
q
1
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
Número matriarcal/veritativo: 1110.
Condicional/Implicación ().
Se lee ‘si’. ‘P entonces q’ o ‘p implica q’.
Es biargumental. Al primer argumento se le llama antecedente y al segundo consecuente. La
implicación es verdadera siempre menos cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso.
Es condición suficiente. No puede cambiar el orden.
p

q
2
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
0
Número matriarcal/veritativo: 1011.
Bicondicional. ().
Equivalencia, p  q. Se lee ‘equivale’. Es verdadero siempre que coincidan sus argumentos. Es
condición necesaria. Puede cambiar el orden.
p

q
1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
Número matriarcal/veritativo: 1001.
La navaja de Ockham: si hay dos teorías, siempre funciona la más sencilla.
Reglas para operar
Conversiones:
1.
v



2.
3



v
3.



v
Leyes:
Ley de Morgan: equivalencia entre conjunción y disyunción consiste en cambiar el todo y cada una de
las partes. pvq = -(-p -q).
La equivalencia es una conjunción de implicaciones. p  q = (p  q)  (q  p).
1a)
pvq = -(-p-q).
Para comprobar si el razonamiento es correcto, se hace la tabla de valores.
p
V
P

-
(-p

-q)
1
1
1
1
1
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
1
0
1
1
1
Número matriarcal/veritativo: 1111. Cuando todo el número está formado por 1 se denomina
tautología. Cuando todo el número está formado por 0 se denomina contradictorio.
1b)
Implicación: disyunción negando el 1º argumento.
p  q = - pvq.
Si se mueven disparo. No se muevan o disparo.
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1c)
Aplicando la ley de equivalencia y la de Morgan.
p  q = (p  q)  (q  p)
p  q = -[-(-pv-q) v – (-qv-p)].
2a) pvq= -(-p-q). Ley de Morgan
2b) pq
-pvq (disyunción).
-[--p-q)].
-(p-q). Niego todo y la segunda parte.
pq = -(p -q).
2c) p  q.
[(p  q)  (q  p)]  [- (p-q) -(q-p)].
p  q = [- (p-q) -(q-p)].
3a)
pvq = -p q.
3b)
pq = -(p  -q).
3c) p  q.
(p  q)  (q  p).
-[(p  q)  - (q  p)].
p  q = -[(p  q)  - (q  p)].
Modus ponens.
[(p  q)  p]  q.
Pq
p
.
q
Modus tollens.
[(pq)  -q]  -p.
Pq
-q
.
-p
Reglas de introducción y eliminación
De la negación.
Introducción: p => --p.
Eliminación: --p => p.
Se pueden quitar o introducir si van de dos en dos.
De la conjunción
Introducción: p ; q => p  q.
Eliminación: p  q => p; p  q => q; p  q => p ; q.
Donde p y q son las que nos sirven para seguir la deducción.
De la disyunción
Introducción: p  (p v q) ; q  (p v q). (Introduzco un argumento).
Eliminación: [(p v q)  -p]  q.
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[(p v q)  -q]  p.
Silogismo disyuntivo.
Otra eliminación de la v cuando es la misma premisa: pvp es p.
De la implicación
Introducción: Prueba condicional (PC), introducción de la implicación…
p
…
q
.
pq
Eliminación:
[(p  q)  p]  q
Modus ponendo ponens.
[(p  q)  -q]  -p
Modus tollendo tollens.
Ley conmutativa:
Conjunción: pqqp.
Disyunción: pvqqvp.
No existe la ley conmutativa de la .
Leyes
Introducción disyunción (Bertrand Russell):
p  (pvq)
q  (pvq)
Ley conmutativa de la conjunción:
(pq)  (qp)
Ley conmutativa de la disyunción:
(pvq)  (qvp)
Ley distributiva de la conjunción:
[p  (qvm)]  [(pq) v (pm)]
Ley distributiva de la disyunción:
[p v (qm)]  [(pvq)  (pvm)]
Ley asociativa de la conjunción:
[(pq)  m]  [p  (qm)]
Ley asociativa de la disyunción:
[(pvq) v m]  [p v (qvm)]
Ley transitiva:
[(p q)  (qm)]  (pm)
Silogismo condicional:
(pq)  [(qm)  (pm)]
Principio de identidad:
pp
pp
Principio de no contradicción:
- ( p-p)
Reducción al absurdo:
p  (q-q)  -p
Eliminación de la disyunción:
(pvp)  p
Dilema
Es un problema con más de una solución.
Los dilemas son formas de razonamiento cuyas premisas son una disyunción y dos condicionales
(implicaciones). Está formado por tres premisas y la conclusión será otra fórmula disyuntiva (v) [3
premisas].
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Dilemas
Constructivo
Similar a MP
Simple
Compuesto
Destructivo
Similar a MT
Simple
Compuesto
Dilema constructivo simple:
1) xvy
2) xz
3) yz
4) zvz
Dilema constructivo compuesto:
1) xvy
2) xz
3) yw
4) zvw
En el dilema constructivo la v afirma los antecedentes de los condicionales.
La conclusión de los dilemas es otra fórmula disyuntiva que en el dilema constructivo está formada
por los consecuentes afirmados (con el mismo signo, consecuentes tal cual de los condicionales.
Dilema destructivo simple:
1) –xv-y
2) zx
3) zy
4) –zv-z
Dilema destructivo compuesto:
1) –xv-y
2) zx
3) wy
4) –zv-w
En el dilema destructivo la v niega los consecuentes de los condicionales.
La conclusión de los dilemas es otra fórmula disyuntiva que en el dilema destructivo está formada por
los antecedentes negados de los condicionales.
PREMISAS PROVISIONALES
Prueba condicional
Es necesario tener una condición en la conclusión.
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Se toma el antecedente de esa conclusión (y se indica abriendo un corchete a la izquierda del
razonamiento) y de éste se infieren las premisas hasta obtener el consecuente(momento en el que se
cierra el corchete), entonces se forma de nuevo la conclusión mediante la prueba condicional.
 -q  (rs)
1) pq
2) –pt
3) (rs) v –t
4) –q
5) –p
6) t
7) (rs)
8) –q rs
Por PC en conclusión.
Modus tollens 1 y 4.
Modus ponens 2 y 5.
Silogismo disyuntivo 3 y 6.
Por PC 4 y 7.
Los corchetes nunca pueden cruzarse si utilizo varias premisas provisionales.
Reducción al absurdo
Hay que partir de lo contrario de lo que se quiere demostrar, introduciéndolo como premisa y
señalándolo con un corchete.
-D
1) DW
2) Av-W
3) –(DA)
4) D
5) W
6) A
7) -D-A
8) –A
9) A-A
10) D
RA en conclusión.
Modus ponens 1 y 4.
Silogismo disyuntivo 2 y 5.
Ley de Morgan 4.
Silogismo disyuntivo 7 y 4.
Introducción de la conjunción 6 y 8.
RA 9.
8
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