Probabilidad Condicional Eventos Independientes

Probabilidad Condicional
Eventos Independientes
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Probabilidad Condicional


2
La probabilidad de un evento se calcula con
base en la información disponible.
Sin embargo, después puede contarse con
nueva información que nos haga revisar
nuestra estimación de la probabilidad.
Probabilidad Condicional

Para dos eventos A y B con P(B) > 0, la
probabilidad condicional de A dado B está definida
como:
P( A B)
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P( A B)
P( B)
Probabilidad Condicional
Ejercicio
De las personas que compran una cámara digital,
el 60% compra tarjeta de memoria, 40% compra
una batería extra y el 30% compran ambos
aditamentos.
Si se elige a un comprador al azar, …
1. y se observa que compró una batería extra,
¿cuál es la probabilidad de que haya
comprado tarjeta de memoria?
2. y se observa que compró una tarjeta de
memoria, ¿cuál es la probabilidad de que haya
comprado batería extra?
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Probabilidad Condicional
Regla de la Multiplicación para P(A
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P( A B)
P( A B)
P( B)
P( A
P( A B) P( B)
B)
B)
Probabilidad Condicional
Regla de la Multiplicación para P(A
B)
Una tienda vende 3 marcas distintas de reproductores de DVD. El
50% de sus ventas son de la marca 1, el 30% son de la marca 2 y el
20% son de la marca 3. Se ofrece 1 año de garantía y el 25% de los
aparatos de marca 1 regresan por reparación, el 20% de la marca 2
y el 10% de la marca 3.
–
–
–
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¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un comprador al azar
que haya comprado la marca 1 y necesite reparación en el periodo de
garantía?
¿Cuál es la probabilidad de que se seleccione un comprador al azar
cuyo aparato necesite reparación en el periodo de garantía?
Si un cliente regresa a la tienda con un aparato que necesita
reparación por garantía, ¿cual es la probabilidad de que su aparato
sea de la marca 1, 2 y 3?
Utiliza un diagrama de árbol
Probabilidad Condicional
Ley de la Probabilidad Total

Si A1, …., Ak son eventos mutuamente excluyentes y
exhaustivos. Entonces, para otro evento B:
P( B)
P (B
A1 )
...
P( B)
P( B
A1 )
P( B)
P( B
A1 ) P ( A1 ) .... P( B
...
(B
Ak )
P( B
Ak )
Ak ) P ( Ak )
A1
k
P( B)
P( B
i 1
7
S
B
A3
Ai ) P ( Ai )
A2
A4
Probabilidad Condicional
TEOREMA DE BAYES

Si A1, …., Ak son eventos mutuamente excluyentes y
exhaustivos con P(Ai) > 0 para i = 1, … k. Entonces,
para otro evento B con P(B) > 0:
P( A j
B)
P( A j
P( B)
B)
P( B
Aj ) P ( Aj )
k
P( B
Ai ) P ( Ai )
i 1
j = 1, … k
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Thomas
Bayes
Probabilidad Condicional
Ejercicio
Sólo 1 de 1000 adultos tiene una rara enfermedad
para la cual se ha desarrollado una prueba
diagnóstica.
La prueba funciona de tal modo que cuando un
individuo está enfermo, da positivo 99% de las
veces y cuando un individuo está sano, la prueba
da positivo el 2% de las veces.
Si se selecciona un individuo al azar,
y se le hace la prueba y da positivo,
¿cuál es la probabilidad de que
realmente esté enfermo?
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R: 0.0472
Independencia
10

Dos eventos A y B son independientes si
P(A | B) = P(A)
y no son independientes en otro caso.

A y B son independientes sí y sólo sí
P(A B) = P(A) P(B)
Independencia
Ejercicio
Suponga que la proporción de
una población con cada
fenotipo de sangre es:
A
B
AB
O
0.42 0.10 0.04 0.44
Suponiendo que los fenotipos de dos personas seleccionadas
al azar son independientes,
a.
b.
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c.
d.
¿Cuál es la probabilidad de que ambos fenotipos sean
O?
¿Cuál es la probabilidad de que los fenotipos de las dos
personas sean iguales?
¿Cuál es la probabilidad de obtener fenotipos A y O?
¿Cuál es la probabilidad de no seleccionar el fenotipo O?
Independencia
Ejercicio
Un boiler tiene 5 válvulas idénticas. La probabilidad de que una
válvula en particular se abra cuando se necesita es 0.90.
Suponiendo independiente operación de las válvulas.
a.
b.
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¿Cuál es la probabilidad de que al menos una válvula
abra?
¿Cuál es la probabilidad de que al menos una válvula
falle en abrir?
Independencia
Ejercicio.
Se tiene un sistema con cuatro componentes conectados en serie o en
paralelo como se indica. La probabilidad de que cada componente
funcione se indica en el dibujo.
Calcula la probabilidad de que el sistema trabaje.
A
B
0.9
0.8
D
0.9
0.7
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C
Independencia
Ejercicio
Una popular estación de radio hace
pronósticos del clima. Durante 5 días
anunció que había un 80% de
probabilidad de que lloviera al día
siguiente y sin embargo, cada uno de los
5 días ocurrió lo contrario.
¿Cuál es la probabilidad de que esto
pase?
Suponga que el 80% es correcto, y que
los pronósticos son independientes de
un día para otro.
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0.00032
Independencia
El 60% de todos los carros pasan una verificación vehicular. Se
observan a los siguientes 3 carros. (suponga que vehículos
sucesivos pasan independientemente uno de otro).
Calcule la probabilidad de que…
a)
Los 3 carros pasan la verificación.
b)
El primer carro pasa y los otros dos no pasan.
c)
Exactamente uno de los tres carros pasa la verificación.
d)
Exactamente dos de los tres carros pasan la verificación.
e)
Al menos dos carros pasan la verificación.
IMPORTANTE: Escriban los eventos y cada inciso en
términos de probabilidad de eventos.
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