Ilustración del problema de la identificación en los modelos

ILUSTRACIÓN DEL PROBLEMA DE LA IDENTIFICABILIDAD
EN LOS MODELOS MULTIECUACIONALES
El objetivo de este documento es ilustrar matemáticamente, y con un caso concreto, el problema
de la identificación en los modelos multiecuacionales. Para ello, es necesario tener saber en todo
momento que la estimación de un modelo multiecuacional simultáneo de forma correcta debe
tener en cuenta, en cada ecuación, el valor de estimación de la otra(s).
Aunque siempre será posible estimar de una en una cada ecuación de forma independiente, esta
solución rompe con la idea de simultaneidad que intenta incluirse en un modelo como el que
estamos viendo.
La dificultad para estimar simultáneamente, unido a su evidente interés para dotar de
congruencia al esquema propuesto, exige pasar, en muchos sistemas de estimación, de la forma
estructural a la reducida, de forma que queden perfectamente agrupadas las endógenas a un lado
de la igualdad y las exógenas (no obtenibles a partir del propio modelo) al otro. Con ello,
podríamos estimar de una en una sin romper el principio de simultaneidad.
Además, la forma reducida tiene un carácter intrínsecamente interesante, dado que se
elimina el problema de los regresores estocásticos innato en un modelo multiecuacional,
ya que, en dicha forma reducida, la agrupación da lugar a que cada endógena (y), sólo
venga explicada por exógenas del modelos (x’s).
El ejemplo que servirá para la ilustración parte de una especificación simultánea de dos
ecuaciones, referidas al tipo de interés del BCE (TBCE) y al de la Reserva Federal
americana (TRF).
Se plantearán tres especificaciones diferentes para explicar dichos tipos de interés,
siempre manteniendo la referencia simultánea entre uno y otro (el BCE explica al de la
Reserva y viceversa), pero incluyendo más explicativas cada vez en el modelo.
Las especificaciones propuestas son las siguientes:
Caso 1
TBCE=α0+α1TRF
TRF=β 0+β 1TBCE
Caso 2
TBCE=α0+α1TRF+α2IPCUE
TRF=β 0+β 1TBCE
Caso 3
TBCE=α0+α1TRF+α2IPCUE
TRF=β 0+β 1TBCE+β 2IPCUSA
Donde TBCE y TRF son los tipos de interés Europeo y Americano, IPCUE e IPCUSA son los
índices de precios Europeo.
CASO PRIMERO
TBCE=α 0 +α 1 TRF
TRF=β0 +β1 TBCE
Estimando en las formas estructurales:
Estimación forma estructura ecuación 1:
TBCE=α 0 +α 1 TRF
Dependent Variable: TBCE
Method: Least Squares
Date: 04/10/01 Time: 11:38
Sample: 1995:01 2000:12
Included observations: 72
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
TRF
-1.009657
0.965412
1.599211
0.279838
-0.631347
3.449889
0.5299
0.0010
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.145317
0.133108
1.103655
85.26379
-108.2506
0.089111
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
4.489167
1.185361
3.062516
3.125757
11.90174
0.000954
Estimación forma estructura ecuación 2:
TRF=β0 +β1 TBCE
Dependent Variable: TRF
Method: Least Squares
Date: 04/10/01 Time: 11:39
Sample: 1995:01 2000:12
Included observations: 72
Variable
C
TBCE
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
Coefficient
5.020108
0.150524
0.145317
0.133108
0.435792
13.29403
-41.34695
0.096193
Std. Error
t-Statistic
0.202490
24.79185
0.043631
3.449889
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Prob.
0.0000
0.0010
5.695833
0.468055
1.204082
1.267323
11.90174
0.000954
Esta estimación siempre será posible, pero los resultados no serán congruentes, ya que los
valores del tipo de interés estimado en la ecuación uno no serán los mismos que los empleados
luego para estimar dos (en esta se utilizarán también los valores reales, no los estimados). Lo
mismo ocurre en la segunda ecuación.
Por ello, parece conveniente estimar el modelo (cada ecuación) en forma reducida y, después,
volver a la forma estructural:
Para pasar de estas formas estructurales a las correspondientes reducidas, despejaría en cada una
de ellas la variable “explicativa-endógena de la otras”, es decir:
FORMA ESTRUCTURAL:
TBCE=α 0 +α 1 TRF
TBCE=α 0 +α 1 (β0 +β1 TBCE) =
TBCE =
FORMA REDUCIDA:
α0
α β
+ 1 0 = π 10
1 − α1β 1 1 − α1 β 1
Obtengo así una endógena en función de una exógena (en este caso, dicha exógena es sólo la
constante). En cualquier caso, en esta forma reducida puedo estimar el parámetro π 10 :
Estimación forma reducida ecuación 1:
Dependent Variable: TBCE
Method: Least Squares
Date: 04/10/01 Time: 11:46
Sample: 1995:01 2000:12
Included observations: 72
Variable
Coefficient
C
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
4.489167
0.000000
0.000000
1.185361
99.76075
-113.9035
Std. Error
t-Statistic
Prob.
0.139696
32.13522
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
0.0000
4.489167
1.185361
3.191763
3.223384
0.080116
Siguiendo los mismos pasos para la otra endógena:
-
La escribo en forma reducida:
TRF=β0 +β1 TBCE
TRF=β0 +β1 (α 0 +α 1 TRF)=
-
FORMA REDUCIDA:
Estimo dicha forma reducida:
TRF = β 0 + β1α 0 + β 1 Π 10 = π 20
Estimación forma reducida ecuación 2:
Dependent Variable: TRF
Method: Least Squares
Date: 04/10/01 Time: 11:48
Sample: 1995:01 2000:12
Included observations: 72
Variable
C
R-squared
Adjusted R-squared
Coefficient
5.695833
0.000000
0.000000
Std. Error
t-Statistic
Prob.
0.055161
103.2587
0.0000
Mean dependent var
5.695833
S.D. dependent var
0.468055
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
0.468055
15.55435
-46.99984
Akaike info criterion
Schwarz criterion
Durbin-Watson stat
1.333329
1.364949
0.087197
Para pasar ahora a la forma estructural, nuevamente (y saber así como depende el tipo de interés
de la UE del tipo de interés americano y viceversa), tendría el siguiente sistema de ecuaciones
(una vez los valores π 10 y π 20 ya han sido estimados:
4 ,489167 =
α0
αβ
+ 1 0 = π 10
1 − α1 β 1 1 − α1β 1
5, 695833 = β 0 + β 1α 0 + β1 Π 10 = π 20
En definitiva, tendría un SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO, ya que tendría dos
ecuaciones y cuatro incógnitas, luego infinitas soluciones una vez dé un valor para dos de las
incógnitas (sea cual sea): el modelo es NO IDENTIFICABLE
CASO SEGUNDO
Las formas estructurales propuestas ahora son las siguientes (se ha incluido una explicativa más
en una de las dos ecuaciones iniciales):
TBCE=α 0 +α 1 TRF+α 2 IPCUE
TRF=β0 +β1 TBCE
Estimando directamente ambas formas (en la forma estructural) obtengo:
Estimación forma estructural ecuación 1:
TBCE=α 0 +α 1 TRF+α 2 IPCUE
Dependent Variable: TBCE
Method: Least Squares
Date: 04/10/01 Time: 11:56
Sample: 1995:01 2000:12
Included observations: 72
Variable
C
TRF
IPCUE
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regresión
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
Coefficient
33.26621
1.666413
-0.375077
0.832803
0.827957
0.491665
16.67967
-49.51446
0.540619
Std. Error
t-Statistic
2.156021
15.42944
0.131428
12.67929
0.022268 -16.84390
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Estimación forma estructural ecuación 2:
TRF=β0 +β1 TBCE
Prob.
0.0000
0.0000
0.0000
4.489167
1.185361
1.458735
1.553596
171.8437
0.000000
Dependent Variable: TRF
Method: Least Squares
Date: 04/10/01 Time: 11:56
Sample: 1995:01 2000:12
Included observations: 72
Variable
C
TBCE
Coefficient
5.020108
0.150524
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.145317
0.133108
0.435792
13.29403
-41.34695
0.096193
Std. Error
0.202490
0.043631
t-Statistic
24.79185
3.449889
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
Prob.
0.0000
0.0010
5.695833
0.468055
1.204082
1.267323
11.90174
0.000954
Nuevamente escribo cada una de las dos ecuaciones en su forma reducida de cara a hacer una
estimación más congruente con la simultaneidad implícita en el modelo:
-
Escritura en forma reducida:
FORMA ESTRUCTURAL:
TBCE=α 0 +α 1 TRF+α 2 IPCUE=
α 0 +α 1 (β0 +β1 TBCE )+α 2 IPCUE=
α 0 /(1- α 1 β1 )+ α 1 β0 /(1- α 1 β1 ) + (α 2 / (1- α 1 β1 ))*IPCUE=
FORMA REDUCIDA:
TBCE =Ð 10 + Ð11 *IPCUE
Donde:
Ð10 = α 0 /(1- α 1 β1 )+ α 1 β0 /(1- α 1 β1 )
Ð11 = (α 2 /(1- α 1 β1 ))
-
Estimo los parámetros de la forma reducida
Estimació n forma reducida ecuación 1:
TBCE =Ð 10 + Ð11 *IPCUE
Dependent Variable: TBCE
Method: Least Squares
Date: 04/10/01 Time: 12:04
Sample: 1995:01 2000:12
Included observations: 72
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
IPCUE
33.63594
-0.285672
3.905761
0.038267
8.611879
-7.465206
0.0000
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.443248
0.435295
0.890762
55.54197
-92.82059
0.145716
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
4.489167
1.185361
2.633905
2.697146
55.72929
0.000000
Para la otra ecuación seguiría los mismos pasos, sustituyendo TBCE explicativa por su
correspondiente forma reducida que acabamos de obtener:
FORMA ESTRUCTURAL:
TRF=β0 +β1 TBCE
TRF=β0 +β1 (Ð10 + Ð11 *IPCUE) =
β0 +β1 Ð10 + β1 Ð11 *IPCUE
FORMA REDUCIDA:
TRF= Ð20 + Ð21 *IPCUE
Donde:
Ð20 = β0 +β1 Ð10
Ð21 = β1 Ð11
Estimando la forma reducida, tendríamos:
Estimación forma reducida ecuación 2:
TRF= Ð20 + Ð21 *IPCUE
Dependent Variable: TRF
Method: Least Squares
Date: 04/10/01 Time: 12:10
Sample: 1995:01 2000:12
Included observations: 72
Variable
Coefficient
C
IPCUE
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.221874
0.053651
0.100271
0.087418
0.447129
13.99469
-43.19601
0.096847
Std. Error
t-Statistic
Prob.
1.960544
0.019209
0.113170
2.793070
0.9102
0.0067
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
5.695833
0.468055
1.255445
1.318685
7.801238
0.006728
En definitiva, tendríamos los siguientes valores estimados para los parámetros de la forma
reducida de ambas ecuaciones:
Ð10 = 33.63594
Ð11 = -0.285672
Ð20 = 0.221874
Ð21 = 0.053651
Y tendríamos las siguientes ecuaciones:
[1]
[2]
[3]
[4]
33.63594 = α 0 /(1- α 1 β1 )+ α 1 β0 /(1- α 1 β1 )
-0.285672 = (α 2 /(1- α 1 β1 ))
0.221874 = β0 +β1 33.63594
0.053651 = β1 *(-0.285672)
El resultado tiene cuatro ecuaciones y cinco incógnitas, nuevamente un sistema compatible
indeterminado (con infinitas soluciones posibles). Sin embargo, en este caso sí podemos
conocer los parámetros de la forma estructura de la ecuación de los tipos de interés americanos
(TRF), ya que, con las ecuaciones [3] y [4], obtenemos los parámetros β0 y β1:
β1 = 0.053651 / (-0.285672) = - 0,18749125
β0 = 0.221874 - β1 33.63594 = -6,08457039
La segunda ecuación sería identificable (de su estimación en forma reducida se podría pasar a la
estructural) y la primera no.
NÓTESE QUE LOS RESULTADOS DE ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS
PASANDO PRIMERO A LA FORMA REDUCIDA Y LUEGO A LA ESTRUCTURAL
NO SON LOS MISMOS. EVIDENTEMENTE, ESTIMAR DIRECTAMENTE
ECUACIÓN POR ECUACIÓN ES LO MISMO QUE OBVIAR EL CARÁCTER
SIMULTÁNEO DEL SISTEMA, LUEGO LA ESTIMACIÓN PRIMERA ES UN
CAMINO ERRÓNEO PORQUE, SIMPLEMENTE, ELIMINA EL CARÁCTER
MULTIECUACIONAL SIMULTÁNEO DEL MODELO.
Ecuación 2:
TRF=β0 +β1 TBCE
Estimación forma estructural Estimación forma Reducida
5.020108
-6.08457039
0.150524
-018749125
β0
β1
CASO TERCERO
TBCE=α0+α1TRF+α2IPCUE
TRF=β 0+β 1TBCE+β 2IPCUSA
Estimación en forma estructural ecuación 1:
TBCE=α0+α1TRF+α2IPCUE
Dependent Variable: TBCE
Method: Least Squares
Date: 04/10/01 Time: 12:52
Sample: 1995:01 2000:12
Included observations: 72
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
TRF
IPCUE
33.26621
1.666413
-0.375077
2.156021
0.131428
0.022268
15.42944
12.67929
-16.84390
0.0000
0.0000
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.832803
0.827957
0.491665
16.67967
-49.51446
0.540619
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
4.489167
1.185361
1.458735
1.553596
171.8437
0.000000
Estimación en forma estructural ecuación 2:
TRF=β 0+β 1TBCE+β 2IPCUSA
Dependent Variable: TRF
Method: Least Squares
Date: 04/10/01 Time: 12:52
Sample: 1995:01 2000:12
Included observations: 72
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
TBCE
IPCUSA
-8.113219
0.419033
0.112245
0.999968
0.030987
0.008496
-8.113482
13.52291
13.21184
0.0000
0.0000
0.0000
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.757863
0.750844
0.233632
3.766284
4.057206
0.567596
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
5.695833
0.468055
-0.029367
0.065494
107.9813
0.000000
Escritura en forma reducida de cada una de las ecuaciones:
Ecuación 1:
FORMA ESTRUCTURAL:
TBCE=α0+α1TRF+α2IPCUE
TBCE=α0+α1(β 0+β 1TBCE+β 2IPCUSA )+α2IPCUE =
(α0+α1β 0)/(1-α1β 1)+ (β 2 /(1-α1β 1))* IPCUSA+ α2 /(1-α1β 1)IPCUE =
FORMA REDUCIDA:
TBCE = Ð10 + Ð11 IPCUSA+ Ð12 IPCUE
Donde:
Ð10 = α 0 /(1- α1 β1 )+ α 1 β0 /(1-α1 β1 )
Ð11 = α 1 β2 /(1- α1 β1 )
Ð12 = α 2 /(1- α1 β1 )
Ecuación 2:
FORMA ESTRUCTURAL:
TRF = β 0+β 1TBCE+β 2IPCUSA =
β 0+β 1(Ð10 + Ð11 IPCUSA+ Ð12 IPCUE)+β 2IPCUSA =
β 0+β 1Ð10 + β 1Ð11 IPCUSA+ β 1Ð12 IPCUE+β 2IPCUSA =
FORMA REDUCIDA:
TRF = Ð20 + Ð21 IPCUSA+ Ð22 IPCUE
Donde:
Ð20 = β 0 +β 1 Ð10
Ð21 =β 1 Ð11 +β 2
Ð22 = β 1 Ð12
Estimación de la forma reducida ecuación 1
TBCE = Ð10 + Ð11 IPCUSA+ Ð12 IPCUE
Dependent Variable: TBCE
Method: Least Squares
Date: 04/10/01 Time: 12:48
Sample: 1995:01 2000:12
Included observations: 72
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
IPCUSA
IPCUE
50.44640
0.317904
-0.781541
16.33827
0.300031
0.469551
3.087623
1.059568
-1.664442
0.0029
0.2930
0.1006
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.452162
0.436283
0.889982
54.65273
-92.23956
0.150895
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
4.489167
1.185361
2.645543
2.740404
28.47482
0.000000
Estimación de la forma reducida ecuación 2
TRF = Ð20 + Ð21 IPCUSA+ Ð22 IPCUE
Dependent Variable: TRF
Method: Least Squares
Date: 04/10/01 Time: 12:49
Sample: 1995:01 2000:12
Included observations: 72
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
IPCUSA
IPCUE
21.96132
0.411116
-0.587612
7.816023
0.143531
0.224628
2.809782
2.864296
-2.615940
0.0064
0.0055
0.0109
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.195882
0.172574
0.425756
12.50753
-39.15151
0.155126
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
5.695833
0.468055
1.170875
1.265736
8.404154
0.000541
Donde, como ya tenemos estimados los parámetros en forma reducida, podríamos escribir:
Ð10 = 50.44640
Ð11 = 0.317904
Ð12 = -0.781541
Ð20 = 21.96132
Ð21 = 0.411116
Ð22 = -0.587612
Y sabemos que:
Ð10 = α 0 /(1- α1 β1 )+ α 1 β0 /(1-α1 β1 )
Ð11 = α 1 β2 /(1- α1 β1 )
Ð12 = α 2 /(1- α1 β1 )
Ð20 = β 0 +β 1 Ð10
Ð21 =β 1 Ð11 +β 2
Ð22 = β 1 Ð12
En definitiva, tendríamos un sistema de 6 ecuaciones con 6 incógnitas, SISTEMA
COMPATIBLE DETERMINADO, que llamaremos SISTEMA POSIBLEMENTE
IDENTIFICABLE1
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
50.44640 = α 0 /(1- α1 β1 )+ α 1 β0 /(1-α1 β1 )
0.317904 = α 1 β2 /(1- α1 β1 )
-0.781541 = α 2 /(1- α1 β1 )
21.96132 = β 0 +β 1 (50.44640)
0.411116=β 1 (0.317904)+β 2
-0.587612 = β 1 (-0.751541)
Ecuación 1:
Parámetro
α0
α1
α2
Estimada forma estructural
Directamente
Deducidos a partir forma
reducida
33.26621
1.666413
-0.375077
Ecuación 2:
1
Parámetro
Estimada forma estructural
Directamente
β0
β1
β2
-8.113219
0.419033
0.112245
Deducidos a partir forma
reducida
13,762702
0.78187617
0.16255444
Evidentemente, para que el sistema tenga una solución única, el número de incógnitas ha de ser igual al
número de ecuaciones, TODAS ELLAS DIFERENTES (NO COMBINACIÓN LINEAL LAS UNAS DE
LAS OTRAS), por lo que, posteriormente, daremos una condición suficiente que nos asegura el estar en
este caso.
CONCLUSIONES A MODO DE RESUMEN
Siempre es posible estimar directamente las formas estructurales de cada ecuación del modelo,
pero ello implica una incongruencia con el carácter simultáneo del mismo: las explicativas
utilizadas en una ecuación no son las estimadas en la que a esta corresponde.
No siempre es posible encontrar un paso único de la forma reducida a la estructural. En muchas
ocasiones, dicho paso es múltiple, ya que el sistema obtenido es compatible indeterminado
(tiene infinitas soluciones).
A medida que hemos ido incluyendo variables exógenas en una de las dos ecuaciones (y no en
la otra), hemos ido logrando que fueran siendo identificables.
Una ecuación es posiblemente identificable cuando el número de variable totales del
modelo (endógenas y exógenas) excluidas en una dicha ecuación es igual al número de
ecuaciones menos uno2 .
Para que haya un solución única y no trivial (todo ceros) es necesario incluir una
condición más que nos asegure que el sistema al que llegamos tiene tantas incógnitas
como ecuaciones no combinación lineal las unas de las otras.
2
Sobre esta conclusión se hará una demostración matricial, ya que así es difícil intuir lo dicho y no
generalizable