3.2. Contraste de significatividad conjunta

ECONOMETRIA I- TECNICAS CUANTITATIVAS DE GESTION I
CURSO 2003-04
TEMA 3. CONTRASTES DE HIPOTESIS
SOLUCIONES EJERCICIOS
1.
1.1. Utilizaríamos el siguiente estadístico:
t
ˆ1  ˆ 2  1
var(ˆ1 )  var(ˆ 2 )  2 cov(ˆ1 , ˆ 2 )
Rechazaríamos en el caso de que el estadístico calculado fuese en valor absoluto mayor que el valor
en tablas de una t con (n-k-1) grados de libertad.
1.2. Teniendo la RSS (o VNE) de los modelos restringido y no restringido, utilizaríamos el estadístico
(VNE R  VNE ) / J
F
VNE / n  k  1
con J=1. Rechazaríamos en el caso de que el estadístico calculado fuese mayor que el valor en tablas
de una F con 1 y (n-k-1) grados de libertad.
2. Modelo: I t   0   1t t   2 PNBt   3it   4  t   t
Tabla ANOVA
Regresión
Residual
Total
Fuente de
variación
0.0159023
0.0004507
0.016353
Grados de
libertad
4
10
14
Cuadrados
medios
0.0039755
0.000045
0.001168
2.1. Calcular el coeficiente de determinación y el de determinación ajustado:
R2 1
VNE
0.0004507
1
 0.9724
VT
0.016353
R 2 1
VNE / T  k  1
0.0004507 / 10
1
 0.9615
VT / T  1
0.016353 / 14
2.2. ¿Las cuatro variables son conjuntamente significativas?
VE / k
0.0039755

 88.207 . Puede calcularse también como
VNE / T  k  1 0.00004507
R2 / k
0.9724 / 4
F

 881
.
2
(1  R ) / T  k  1 0.0276 / 10
F
El valor crítico de la F al 95% de significación con 4 y 10 grados de libertad es 3.48, por lo que hay
evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula de que ninguna de las variables explicativas es
significativa.
Contrastes de significatividad individual de las distintas variables explicativas:
1. H0:  1=0; H1:  1  0
t
ˆ1
desv( ˆ1 )

 0.01658
 8.39
0.0000039
Por lo tanto, rechazaremos la hipótesis nula, porque el valor del estadístico es en valor absoluto (cogemos
en valor absoluto porque es un contraste bilateral) mayor que 2.228 (t-Student con 10 grados de libertad)
2. H0:  2=0; H1:  2  0
 2
0.67038
t

 12.19

0.00302
desv (  )
2
Por lo tanto, rechazaremos la hipótesis nula, porque el valor del estadístico es mayor que 2.228.
3. H0:  3=0; H1:  3  0
ˆ 3
 0.00232
t

 1.89
0.0000015
desv( ˆ 3 )
Al ser el valor del estadístico menor que el valor crítico, no podemos rechazar la hipótesis nula.
4. H0:  4=0; H1:  4  0
 4
0.00009
t

 0.067

0.0000018
desv (  )
4
Al ser el valor del estadístico menor en valor absoluto que el valor crítico, no podemos rechazar la
hipótesis nula de no significatividad de la tasa de inflación.
2.3. Otros contrastes:
1. H0:  2=1; H1:  2  1
ˆ 2  1
0.67038 1
t

 6.00
ˆ
0.00302
desv(  2 )
Hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula (el estadístico es en valor absoluto mayor que el
valor crítico 2.228).
2. H0:  3+ 4=0; H1:  3+ 4  0
ˆ  ˆ4
 0.00232 0.00009
 0.00241
t 3


 1.854
ˆ
0.0013
desv(  3 )
var(ˆ3 )  var(ˆ4 )  2 cov(ˆ3 , ˆ4 )
No hay evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula (el estadístico es en valor absoluto menor que
el valor crítico).
3.
log(Yi)=1.4677-0.115log(Ki)+1.1002log(Li)+0.1522(log(Ki/Li))2+ui
3.1. Contrastes de significatividad individual de las distintas variables explicativas
1. H0:  1=0; H1:  1  0
ˆ1
 0.115
t

 0.2763
0.1732
desv( ˆ )
1
El valor crítico de la t-Student con 23 grados de libertad al 95% es -2.069, por lo que no puedo rechazar
la hipótesis nula.
2. H0:  2=0; H1:  2  0
2
t
ˆ 2

1.1002
 2.53
0.1885
desv( ˆ 2 )
Por lo tanto, rechazaremos la hipótesis nula, porque el valor del estadístico es mayor que 2.069.
3. H0:  3=0; H1:  3  0
ˆ 3
0.1522
t

 0.38
ˆ
0.1622
desv(  3 )
Al ser el valor del estadístico menor que el valor crítico, no podemos rechazar la hipótesis nula.
3.2. Contraste de significatividad conjunta
R2 / k
0.9468 / 3
F

 136.45
2
(1  R ) / T  k  1 0.0532 / 23
Rechazamos la hipótesis nula, por lo que al menos una de las variables explicativas es significativa.
3.3. Otros contrastes
H0:  1+ 2=1; H1:  1+ 2  1
ˆ1  ˆ 2  1
 0.115 1.1002 1
 0.015
t


 0.24
ˆ
ˆ
0.062
desv(  1   2 )
var(ˆ1 )  var(ˆ 2 )  2 cov(ˆ1 , ˆ 2 )
Al ser el valor del estadístico menor en valor absoluto que el valor crítico, no podemos rechazar la
hipótesis nula.
4.
4.1. Varianzas residuales:
VNE
n  k 1
2
ˆ
 1  1,52
ˆ 2 
ˆ 22  1,53
ˆ 32  1,67
ˆ 42  7,83
4.2.
R12  0,806
R22  0,805
R32  0,787
R42  0
4.3. Porque en el modelo 4 no hemos incluido variables explicativas. VT=101,815 en todos los modelos.
Calcularemos VE como la diferencia entre VT y VNE de cada uno de los modelos.
VE 1  83,54
VE 2  84,95
VE 3  85,11
VE 4  0
3
4.4.
F1  54,861
F2  27,767
F3  16,989
4.5.
Contrastes de significatividad individual:
Modelo 1:
Superficie: t=7,407**
Modelo 2:
Superficie: t=6,993**
Nº habitaciones: t=-0,97
Modelo 3:
Superficie: t=4,847**
Nº habitaciones: t=-0,799
Nº baños: t=-0.282
**: significativo al 5%.
4.6. Elegiríamos el modelo 1, con la variable explicativa significativa y con el mayor coeficiente de
determinación ajustado.
4.7. Contraste mediante sumas residuales, comparando los modelos A y C:
F
(VNE R  VNE ) / J (18,274  16,7) / 2

 0,47
VNE / g.l.
16,7 / 10
Por lo tanto, no podemos rechazar la hipótesis nula de que ni la variable nº habitaciones ni el nº de baños
es significativa.
5.
2
2
5. R  1  (1  R ) *
n  k 1
n 1
R12  0,7828
R22  0,7822
R32  0,5873
R2 / k
(1  R 2 ) / n  k  1
F1  31,56
5.2. F 
F2  43,09
F3  26,33
Para todos los modelos podemos rechazar la hipótesis nula de que ninguna de las variables explicativas
es significativa.
5.3. Contrastes de significatividad individual:
H0 : i  0
H1 :  i  0
4
t
ˆ
var(ˆ )
Modelo 1:
Rechazamos la hipótesis nula para las variables PRECIO e INTERES.
Modelo 2:
Rechazamos la hipótesis nula para las tres variables explicativas (PRECIO, RENTA, INTERES)
Modelo 3:
Rechazamos la hipótesis nula para las tres variables explicativas (PRECIO, INTERES,
DESEMPLEO)
5.4. Elegiríamos el segundo modelo, el del coeficiente de determinación ajustado más alto.
5.5.
H0 : 2  4  0
H 1 : a lg uno  0
A partir de estas hipótesis, podemos comprobar que el modelo restringido es el modelo C y el no
restringido el A.
(VNE R  VNE ) / J (44,65914 23,510464) / 2
F

 15,74
VNE / n  k  1
23,510464/ 35
Por lo tanto, podemos rechazar la hipótesis nula porque el valor del estadístico es mayor que el valor en
tablas de una F con 2 y 35 grados de libertad.
6.
6.1. No le gustan los resultados obtenidos al estimar el modelo (1) porque de las dos variables
explicativas, una de ellas (la tasa de inflación) no es significativa.
6.2. El modelo (2) es una versión restringida del modelo (1). La restricción es  1=- 2. Se puede
comprobar que incluyendo esta restricción en el modelo (1), obtenemos el modelo (2).
(VNE R  VNE ) / J 987,1  967,9

 0,734, por lo que no podemos rechazar la hipótesis nula
VNE / n  k  1
967,9 / 37
porque el valor en tablas de una F con 1 y 37 grados de libertad con =0,05 es 4,105.
6.3. F 
6.4. Utilizaríamos el estadístico
t
ˆ1  ˆ 2
var(ˆ1 )  var(ˆ 2 )  2 cov(ˆ1 , ˆ 2 )
6.5. El modelo (3) es una versión restringida del modelo (1) con  2=0.
6.6. Utilizaríamos los siguientes estadísticos
ˆ 2
 3,19
t

 1,47
2,17
var(ˆ )
2
F
(VNE R  VNE ) / J 1024,3  967,9

 2,156
VNE / n  k  1
967,9 / 37
5
Por lo tanto, no podemos rechazar la hipótesis nula porque el valor en tablas de una t con 37 grados de
libertad con =0,05 es 2,02 y el de una F con 1 y 37 grados de libertad es 4,105.
6.7. Elegiremos el modelo con un mayor coeficiente de determinación ajustado, el segundo.
R12  0,1778
R22  0,1789
R32  0,148
7.
7.1. El coeficiente que acompaña a ln(e) mide el porcentaje en que aumenta el precio de la acción de una
compañía cuando las ganancias de esa compañía aumentan un 1%, manteniendo ln(g) constante
(elasticidad). El coeficiente que acompaña a ln(g) mide el porcentaje en que aumenta el precio de la
acción de una compañía cuando la tasa de crecimiento de las ganancias de esa compañía aumenta en un
1%, manteniendo ln(e) constante (elasticidad).
7.2. El modelo (2) es una versión restringida del modelo (1). La restricción es  1=1. Se puede comprobar
que incluyendo esta restricción en el modelo (1), obtenemos el modelo (2).
7.3. Utilizaríamos los siguientes estadísticos
ˆ1  1
1,2493 1
t

 1,81
0,1374
var(ˆ )
1
F
(VNE R  VNE ) / J 6,5376 6,0035

 3,29
VNE / n  k  1
6,0035/ 37
Por lo tanto, no podemos rechazar la hipótesis nula de que  1=1 porque el valor en tablas de una t con 37
grados de libertad con =0,05 es 2,02 y el de una F con 1 y 37 grados de libertad es 4,105.
6