Cálculo 1. Nociones básicas

Cálculo
1. Nociones básicas
Oct, 2007
Nociones básicas
Números complejos
Funciones reales de variable real
Valor absoluto
Funciones polinómicas y racionales
Función exponencial y logarı́tmica
Funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas inversas
Lı́mites
Continuidad
Derivación de funciones reales de variable real
Conjuntos de números
IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR ⊂ C
Densidad de Q en IR: dados a, b ∈ IR, a < b, existe q ∈ Q t.q. a < q < b
Sea un subconjunto A ⊂ IR, A 6= φ .
Definición
Decimos que s ∈ IR es cota superior de A si:
x ≤ s,
∀x ∈ A
En este caso, decimos que A está acotado superiormente
I
I
I
De manera análoga, se dice que i ∈ IR es cota inferior del conjunto A si
i ≤ x, ∀x ∈ A, y decimos que A está acotado inferiormente
Si un subconjunto de IR está acotado superior e inferiormente, lo
llamamos acotado
Las cotas superior e inferior no son necesariamente únicas
Conjuntos de números
Definición
Decimos que s ∈ IR es supremo de A si s es cota superior de A y cualquier
otra cota superior, s 0 , de A verifica: s ≤ s 0 . Decimos que i ∈ IR es ı́nfimo de A
si i es cota inferior de A y cualquier otra cota inferior, i 0 , de A verifica: i 0 ≤ i
I
I
El supremo e ı́nfimo de A se representan por sup(A) e ı́nf(A), resp.
Si, además, pertenecen al propio conjunto A, se les llama máximo y
mı́nimo:
sup(A) ∈ A =⇒ sup(A) = máx(A)
ı́nf(A) ∈ A =⇒ ı́nf(A) = mı́n(A)
Axioma del supremo. Sea A un subconjunto de IR no vacı́o y acotado
superiormente. Entonces existe sup(A)
Números complejos
Definición
El conjunto de los números complejos es
C = {a + bi / a, b ∈ IR},
√
donde i = −1 es la unidad imaginaria.
En C operaremos de la siguiente manera:
I (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
I (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
Distintas representaciones de un número complejo z:
a + ib = (a, b) = |z|θ
√
|z| = a2 + b2 es el módulo, o distancia al origen
θ ∈ [0, 2π) se denomina argumento
Propiedades:
I Sea a ∈ IR; entonces a = a + 0i ∈ C. Podemos considerar IR ⊂ C
I Todo polinomio p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 (ai ∈ C) tiene
n raı́ces en C
Función real de variable real
Sea A ⊂ IR
Definición
La correspondencia f : A −→ IR es una función si a cada x ∈ A le
corresponde una única imagen f (x) ∈ IR
Llamamos:
I
I
dominio: D(f ) = {x / existe f (x)} = {x /f (x) ∈ IR}
imagen: Im (f ) = {y ∈ IR / y = f (x) para algún x ∈ IR}
Definición
Decimos que f es una función acotada si su imagen es un conjunto acotado
(respectivamente, hablaremos de función acotada inferiormente y/o acotada
superiormente).
Función real de variable real
Sea f : A −→ IR una función real de variable real.
Definición
Sea B ⊂ A. f es creciente en B si
x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) ,
I
∀x1 , x2 ∈ B
Análogamente se define función estrictamente creciente, decreciente
y estrictamente decreciente
Definición
Decimos que f es inyectiva si:
x1 6= x2
=⇒
f (x1 ) 6= f (x2 )
Función real de variable real. Simetrı́as
Definición
Decimos que una función f es par si f (x) = f (−x), y decimos que es impar
si f (x) = −f (−x)
Función par
Función impar
Nota
El nombre proviene de los monomios fundamentales. Los monomios con
exponente par (x2 , x4 , x6 ,...) tienen simetrı́a par y los monomios con
exponente impar (x, x3 , x5 ,...) tienen simetrı́a impar.
Función real de variable real. Periodicidad
Definición
Sea f : R → R. Diremos que f es periódica, con perı́odo T si
f (x) = f (x + T),
∀x ∈ R.
El ejemplo más clásico de funciones periódicas son las funciones
trigonométricas.
Si sabemos que una función tiene un perı́odo T nos será suficiente con
representarla en [0, T]. Después se repetirá.
T
Composición de funciones
Definición
Sean f : A ⊂ R → R, g : B ⊂ R → R, con f (A) ⊂ B. Definimos la función
compuesta g ◦ f (se lee “f compuesta con g”) a la función
g◦f
: A⊂R
x∈A
f
→ R
→ (g ◦ f )(x) := g (f (x)) .
g
x ∈ A −→ f (x) −→ g (f (x)) .
Función inversa
Definición
Sea f : A ⊂ R → R una función inyectiva. Existe una única función
h : im f → R tal que h (f (x)) = x, ∀x ∈ A.
Esta función se denomina inversa de f y suele denotarse como f −1 .
Es decir, f −1 ◦ f = Id. Además, en este caso se verifica que la composición es
conmutativa, es decir, que f ◦ f −1 = Id (la función Id es la función identidad,
es decir, Id(x) = x, ∀x ∈ R).
x
y = f −1 (x)
¡No se debe pensar que f −1 = 1f !
La forma práctica de calcular una función inversa es despejar la x en función
de la y (es decir, de f (x)) e intercambiar sus papeles.
Valor absoluto
Sea x ∈ IR
Definición
Llamamos valor absoluto de x a la cantidad:
−x,
si x < 0,
|x| =
x,
si x ≥ 0.
Definición
Sean x, y ∈ R. Definimos la distancia entre estos dos puntos como
d(x, y) := |x − y|.
Valor absoluto
Propiedad
Sean x, y ∈ IR
I
|x| ≥ 0
I
|x| = 0 ⇐⇒ x = 0
|x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdad triangular)
x |x|
= .
|xy| = |x| |y|,
y |y|
Si C > 0, |x| ≤ C ⇐⇒ −C ≤ −|x| ≤ x ≤ |x| ≤ C
I
I
I
Funciones polinómicas
Las funciones polinómicas son funciones del tipo
p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 ,
con a0 , a1 , ..., an ∈ R, y an 6= 0.
Diremos que
I
I
grado del polinomio es n,
coeficiente principal es an .
Ejemplos de polinomios son
1. p1 (x) = 5x3 − 4x + 2,
√
2. p2 (x) = 8x3 − 2,
3. p3 (x) = πx4 + 2x3 − 3x.
El dominio de una función polinómica es siempre R, mientras que su
imagen varı́a en cada caso.
Funciones racionales
Las funciones racionales son cocientes de funciones polinómicas, es decir,
f (x) =
p(x)
.
q(x)
Ejemplos de funciones racionales son
5x3 − 4x + 2
√ ,
1. f1 (x) =
8x3 − 2
1
2. f2 (x) = 3
.
x +2
El dominio de estas funciones son todos los reales, excepto aquéllos que
anulen el denominador,
Dom f = R − {x ∈ R : q(x) = 0} ,
mientras que su imagen varı́a en cada caso.
Función exponencial
Sea a > 0. Definimos la función exponencial de base a como
f (x) = ax .
Siempre que a 6= 1,
I Dom f = R,
I Im f = (0, +∞),
I f (0) = a0 = 1.
1. a < 1. En este caso,
I
f (x) = ax es una función estrictamente decreciente,
x < y ⇒ ax > ay ,
I
lı́m ax = +∞,
x→−∞
I
lı́m ax = 0.
x→+∞
2. a > 1. En este caso,
I
f (x) = ax es una función estrictamente creciente,
x < y ⇒ ax < ay ,
I
lı́m ax = 0,
x→−∞
I
lı́m ay = +∞.
x→+∞
Función exponencial
16
2x
0.5x
14
12
10
8
6
4
2
0
−4
−2
0
2
4
f (x) = ex
(recordemos que
El caso más importante es la función
e = 2,7182818...). A esta función es a la que se suele conocer, por defecto,
como función exponencial.
Propiedad
i) ax+y = ax ay ,
∀x, y ∈ R,
ii) (ax )y = axy ,
∀x, y ∈ R,
1
∀x ∈ R (consecuencia de la anterior propiedad).
iii) a−x = x
a
Función logarı́tmica
Es la inversa de la función exponencial.
Definición
Dado a > 0, a 6= 1, decimos que y es el logaritmo en base a de x si ay = x,
y = loga (x) :⇐⇒ ay = x.
Propiedad
Para cualquier valor de a,
I el dominio de la función logaritmo lo forman los números positivos
(Dom log = (0, +∞)),
I
la imagen es todo R,
I
loga (1) = 0.
Propiedad
i) loga (xy) = loga (x) + loga (y) ,
∀x, y ∈ R,
ii) loga (xy ) = y loga (x) ,
∀x, y ∈ R,
x
iii) loga
= loga (x) − loga (y)
∀x, y ∈ R,
y
y 6= 0.
Función logarı́tmica
1. a < 1. En este caso,
I
f (x) = loga (x) es una función estrictamente decreciente,
x < y ⇒ loga (x) > loga (y),
I
lı́m loga (x) = +∞,
x→0+
I
lı́m loga (x) = −∞.
x→+∞
2. a > 1. En este caso,
I
f (x) = loga (x) es una función estrictamente creciente,
x < y ⇒ loga (x) < loga (y),
I
lı́m loga (x) = −∞,
x→0+
I
lı́m loga (y) = +∞.
x→+∞
6
4
2
0
−2
−4
log2(x)
log0.5(x)
Función logarı́tmica
6
log2(x)
log (x)
0.5
4
2
0
−2
−4
−6
0
1
2
3
4
El logaritmo más importante es el que tiene como base el número e,
f (x) = loge (x). Se denomina logaritmo neperiano, y suele denotarse por
ln(x) o, simplemente, log(x). Cualquier otro logaritmo se puede expresar en
función del ln mediante la fórmula
loga (x) =
ln (x)
.
ln (a)
Funciones trigonométricas
Función seno
La función f (x) = sin(x), verifica
I su dominio es todo R,
I su imagen es [−1, 1],
I es una función impar,
I es una función periódica con perı́odo 2π.
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−0.2
sen(x)
−0.4
−0.6
−0.8
−10
−5
0
5
10
Funciones trigonométricas
Función coseno
La función f (x) = cos(x), verifica
I su dominio es todo R,
I su imagen es [−1, 1],
I es una función par,
I es una función periódica con perı́odo 2π.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
cos(x)
0
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−10
−5
0
5
10
Funciones trigonométricas
El seno y el coseno pueden entenderse como las longitudes de las
proyecciones sobre los ejes del ángulo, en radianes, dibujado sobre la
circunferencia de radio unidad.
1
sin(x)
x
cos(x)
Propiedad
I
sin2 (x) + cos2 (x) = 1
I
sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y),
cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y).
I
∀x,
Funciones trigonométricas
Definimos la función tangente como
tan(x) :=
sin(x)
.
cos(x)
El dominio de esta función lo forman todos los puntos de R en los que el
coseno no se anule, es decir,
nπ
o
+ kπ : k ∈ Z ,
Dom tan = R −
2
mientras que su imagen es todo R. Además, es una función impar y
periódica, con perı́odo π.
6
4
2
0
−2
−4
−6
−6
tan(x)
−4
−2
0
2
4
6
Funciones trigonométricas
Otras funciones trigonométricas
1
,
sin(x)
I
Cosecante, cosec(x) :=
I
Secante, sec (x) :=
I
Cotangente, cotan(x) :=
1
,
cos(x)
1
.
tan(x)
Funciones trigonométricas inversas
Función arco-seno
Es la inversa de la función seno. Como ésta no es una función inyectiva,
restringimos su dominio, quedándonos con el seno definido sólo en el
intervalo [− π2 , π2 ].
Definimos entonces la función arco-seno, arcsin(x), como la función que,
dado un x ∈ [−1, 1], le asocia el único y en [− π2 , π2 ].
x
y = asin(x)
Funciones trigonométricas inversas
Función arco-seno
Por tanto la función arcsin(x) tiene como dominio el intervalo [−1, 1] y
como imagen el [− π2 , π2 ]. Es una función impar.
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
asin(x)
-1.5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Funciones trigonométricas inversas
Función arco-coseno
Es la inversa de la función coseno. En este caso, restringimos el dominio
para quedarnos con el coseno definido en el intervalo [0, π].
Definimos entonces la función arco-coseno, arc cos(x), como la función que,
dado un x ∈ [−1, 1], le asocia el único y en [0, π] tal que x = cos(y).
3
acos(x)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Funciones trigonométricas inversas
Función arco-tangente
Es la inversa
de la función tangente. Restringimos su dominio al intervalo
− π2 , π2 .
Definimos entonces la función arco-tangente, arctan(x),
como la función
que, dado un x ∈ R, le asocia el único y en − π2 , π2 tal que x = tan(y).
y = arctan(x)
x
Funciones trigonométricas inversas
Función arco-tangente
Por tanto la función
arctan(x) tiene como dominio todo R y como imagen el
intervalo − π2 , π2 . Es una función impar.
1
0
−1
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
atan(x)
4
Definición de lı́mite. Introducción
ε
δ
Figura: Eligiendo x en el intervalo azul, f (x) estará en el verde
Figura: Si x está en el intervalo azul, f (x) está dentro del rectángulo verde
Lı́mite de una función en un punto
Sea f : (a, b) −→ IR
Definición
Decimos que ` ∈ IR es lı́mite de f en x0 ∈ (a, b) si:
∀ε > 0,
∃δ > 0 tal que 0 < |x − x0 | < δ
Se representa por lı́m f (x) = `
x→x0
=⇒
|f (x) − `| < ε
Propiedad
El lı́mite de una aplicación en un punto, si existe, es único.
Propiedad
Supongamos que lı́m f (x) = `1 y lı́m g(x) = `2 . Entonces,
x→x0
I
I
I
x→x0
lı́m (f (x) + g(x)) = `1 + `2
x→x0
lı́m (f (x) g(x)) = `1 `2
`1
f (x)
si `2 6= 0
=
lı́m
x→x0
g(x)
`2
x→x0
Lı́mites laterales
Definición
I
Diremos que el lı́mite de f , cuando x se acerca a x0 por la derecha, es l
si
h
.
i
lı́m f (x) = l :⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 0 < x − x0 < δ =⇒ |f (x) − l| < ε .
x→x0+
I
Diremos que el lı́mite de f , cuando x se acerca a x0 por la izquierda, es
l si
h
.
i
lı́m f (x) = l :⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 0 < x0 − x < δ =⇒ |f (x) − l| < ε .
x→x0−
Lı́mites laterales
x0
x0
Lı́mite por la derecha
Lı́mite por la izquierda
Propiedad
Existe lı́m f (x) si y sólo si existen lı́m f (x) y lı́m f (x) y son iguales.
x→x0
x→x0+
x→x0−
Lı́mites infinitos
Definición
I
I
i
h
.
lı́m f (x) = +∞ :⇐⇒ ∀M > 0, ∃δ > 0 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) > M ,
x→x0
lı́m f (x) = −∞ :⇐⇒
i
h
.
∀M > 0, ∃δ > 0 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) < −M .
x→x0
M
−M
lı́m f (x) = +∞
x→x0
lı́m f (x) = −∞
x→x0
Lı́mites en el infinito
Definición
I
I
h
.
i
lı́m f (x) = l :⇐⇒ ∀ε > 0, ∃M > 0 x > M ⇒ |f (x) − l| < ε ,
x→+∞
h
.
i
lı́m f (x) = l :⇐⇒ ∀ε > 0, ∃M > 0 x < −M ⇒ |f (x) − l| < ε .
x→−∞
l
l
M
lı́m f (x) = l
x→+∞
−M
lı́m f (x) = l
x→−∞
Decimos que la función f tiene:
I
una ası́ntota horizontal en y = l si: lı́m f (x) = l
I
una ası́ntota vertical en x = x0 si: lı́m f (x) = ±∞
I
una ası́ntota oblicua si lı́m (f (x) − (mx + n)) = 0.
x→±∞
x→x0
x→±∞
f (x)
y n = lı́m (f (x) − mx);
x→±∞
x→±∞ x
la ecuación de la ası́ntota es: y = mx + n
Para calcular m y n: m = lı́m
Continuidad
Sea f : (a, b) −→ IR, x0 ∈ (a, b)
Definición
Decimos que la aplicación f es continua en x0 si y sólo si:
∀ε > 0,
∃ δ > 0 tal que |x0 − x| < δ
=⇒
|f (x0 ) − f (x)| < ε
o bien, teniendo en cuenta la definición de lı́mite, si lı́m f (x) = f (x0 )
x→x0
En caso de no cumplir la condición anterior, decimos que f es discontinua
en x0 . Las discontinuidades pueden ser de varios tipos:
I
evitable: lı́m f (x) 6= f (x0 )
I
esencial: no existe el lı́mite de f en x0 , porque:
x→x0
I
lı́m f (x) 6= lı́m+ f (x)
x→x0−
I
x→x0
alguno de los lı́mites laterales (o ambos) no existe
Propiedad
Si f , g : (a, b) −→ IR son funciones continuas en x0 ∈ (a, b),
I
λ f es continua en x0 , ∀λ ∈ R,
I
(f ± g) y (f · g) son continuas en x0 ,
f
si g(x0 ) 6= 0, entonces es continua en x0 .
g
I
Propiedad
La composición de funciones continuas es una función continua. Además, si
f y g son funciones tales que lı́m f (x) = ` y g es continua en `, entonces
x→x0
lı́m g(f (x)) = g(`)
x→x0
Propiedad
El lı́mite conmuta con las funciones continuas. Es decir, sean f y g funciones
tales que existe lı́m f (x) = l ∈ R y g es una función continua en l. Entonces
x→x0
lı́m g (f (x)) = g lı́m f (x) = g(l).
x→x0
x→x0
Continuidad en intervalos
Definición
Sea f : (a, b) ⊂ R → R. Diremos que f es continua en (a, b) si es continua
en todos los puntos de (a, b).
Definición
Sea f : [a, b] ⊂ R → R. Diremos que f es continua en [a, b] si
1. f es continua en (a, b),
2. f es continua en a por la derecha,
3. f es continua en b por la izquierda.
Teorema de Bolzano
Teorema (de Bolzano)
Sea f : [a, b] −→ IR continua. Supongamos que f (a)f (b) < 0. Entonces
∃x0 ∈ (a, b) tal que f (x0 ) = 0
Teorema de Bolzano. Comentarios
1. Pueden existir varias raı́ces,
a
b
2. Si se suprime alguna de las hipótesis, el teorema no es válido (en
general),
a
b
f (a)f (b) > 0
a
b
f no continua en [a, b]
Teorema de Weierstrass
Teorema (de Weierstrass)
Si f : [a, b] −→ IR es continua, entonces f alcanza el máximo y el mı́nimo en
el intervalo [a, b], es decir, existen x1 , x2 ∈ [a, b] tales que:
f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) ,
∀x ∈ [a, b]
Derivada. Introducción
Recordemos la definición de pendiente de una recta:
y1
α
x0
Pendiente= m = tan α =
y0
x1
y1 − y0
x1 − x0
Y ahora consideremos las pendientes de las rectas secantes a una función, lo
que, en el lı́mite, será la definición de derivada:
f (x)
f (x0 )
α
x0
α
x
x0
x → x0
tan α =
f (x1 ) − f (x0 )
x1 − x0
f (x0 + h)
f (x0 )
x0 + h
h→0
tan α =
f (x0 + h) − f (x0 )
h
Definición de derivada
Sea f : (a, b) −→ IR
Definición
Se dice que f es derivable en el punto x0 ∈ (a, b) si existe el siguiente lı́mite:
lı́m
x→x0
f (x) − f (x0 )
f (x0 + h) − f (x0 )
= lı́m
h→0
x − x0
h
en cuyo caso dicho lı́mite se representa por f 0 (x0 ).
Definición de derivada. Observaciones
1. Vemos la utilidad de no incluir el punto x0 (en este caso, el punto h = 0)
f (x0 + h) − f (x0 )
en la definición de lı́mite. En la expresión lı́m
no
h→0
h
podemos hacer nada si h = 0, ya que tendrı́amos una división entre 0.
(x0 )
2. El cociente f (x)−f
mide la variación de la función respecto a la
x−x0
variación de la variable. Por ese motivo a f 0 (x0 ) se le denomina, en
ocasiones, coeficiente de variación de f , o razón de cambio de la
función f , en el punto x0 .
3. Ahora ya podemos calcular la ecuación de la recta tangente utilizando
la fórmula punto-pendiente,
y − y0 = m (x − x0 ) =⇒ y = y0 + m (x − x0 ) .
En este caso, (x0 , y0 ) = (x0 , f (x0 )), m = f 0 (x0 ). Y la recta tangente,
y = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) .
Derivadas laterales
Definición
Sea f : (a, b) → R, x0 ∈ (a, b). Definimos
I derivada por la izquierda de f en x0 como
f 0 (x0− ) := lı́m
h→0−
I
f (x0 + h) − f (x0 )
,
h
derivada por la derecha de f en x0 como
f 0 (x0+ ) := lı́m
h→0+
f (x0 + h) − f (x0 )
.
h
Propiedad
Sea f : (a, b) → R, x0 ∈ (a, b). f es derivable en x0 si y sólo si es derivable
por la izquierda y por la derecha en x0 y ambas derivadas coinciden.
Derivable ⇒ continua
Propiedad
Si f es derivable en x0 , entonces f es continua en x0 . El recı́proco no siempre
es cierto.
Consecuencia: Si f no es continua en x0 entonces f no puede ser derivable
en x0 .
Recuerda:
I
I
Derivable en x0 ⇒ continua en x0
No continua en x0 ⇒ no derivable en x0
Derivadas elementales
.
d n
x = nxn−1 ,
dx
.
d
1
log x = ,
dx
x
d
1
loga x = loga e,
dx
x
.
d x
e = ex ,
dx
d x
a = ax log a,
dx
.
d
sin x = cos x,
dx
d
cos x = − sin x,
dx
.
1
d
tan x =
,
dx
cos2 x
.
d
1
,
arcsin x = √
dx
1 − x2
.
d
1
.
arctan x =
dx
1 + x2
−1
arccos x = √
,
1 − x2
Propiedades aritméticas de la derivada
Propiedad
Sean f , g : (a, b) → R, dos funciones derivables en un punto x0 ∈ (a, b).
Entonces
I para cualquier λ ∈ R, la función λ f es derivable en x0 y
(λ f )0 (x0 ) = λ f 0 (x0 ),
I
f ± g es derivable en x0 y
(f ± g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) ± g0 (x0 ),
I
fg es derivable en x0 y
(fg)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g0 (x0 ),
I
si g(x0 ) 6= 0, entonces
f
g
es derivable en x0 y
0
f
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g0 (x0 )
(x0 ) =
.
g
g(x0 )2
Regla de la cadena
Sean f y g dos funciones tales que f es derivable en x0 y g es derivable en
f (x0 ). Entonces (g ◦ f ) es derivable en x0 y
(g ◦ f )0 (x0 ) = g0 (f (x0 )) f 0 (x0 )
Derivación implı́cita
dy
Se trata de calcular el valor de dx
a partir de expresiones de la forma
F(x, y) = 0. Para hacerlo debemos tener en cuenta que al derivar una
expresión que dependa de y debemos derivar de la forma ordinaria y añadir
dy
al final dx
= y0 .
Derivación logarı́tmica
Para obtener la expresión de y0 a partir de fórmulas como
y = f (x)g(x) ,
tomaremos logaritmos, log y = g(x) log (f (x)), y después aplicaremos
derivación implı́cita para obtener
g(x)f 0 (x)
0
g(x)
0
y = f (x)
g (x) log (f (x)) +
.
f (x)