Cálculo 1. Nociones básicas Oct, 2007 Nociones básicas Números complejos Funciones reales de variable real Valor absoluto Funciones polinómicas y racionales Función exponencial y logarı́tmica Funciones trigonométricas Funciones trigonométricas inversas Lı́mites Continuidad Derivación de funciones reales de variable real Conjuntos de números IN ⊂ Z ⊂ Q ⊂ IR ⊂ C Densidad de Q en IR: dados a, b ∈ IR, a < b, existe q ∈ Q t.q. a < q < b Sea un subconjunto A ⊂ IR, A 6= φ . Definición Decimos que s ∈ IR es cota superior de A si: x ≤ s, ∀x ∈ A En este caso, decimos que A está acotado superiormente I I I De manera análoga, se dice que i ∈ IR es cota inferior del conjunto A si i ≤ x, ∀x ∈ A, y decimos que A está acotado inferiormente Si un subconjunto de IR está acotado superior e inferiormente, lo llamamos acotado Las cotas superior e inferior no son necesariamente únicas Conjuntos de números Definición Decimos que s ∈ IR es supremo de A si s es cota superior de A y cualquier otra cota superior, s 0 , de A verifica: s ≤ s 0 . Decimos que i ∈ IR es ı́nfimo de A si i es cota inferior de A y cualquier otra cota inferior, i 0 , de A verifica: i 0 ≤ i I I El supremo e ı́nfimo de A se representan por sup(A) e ı́nf(A), resp. Si, además, pertenecen al propio conjunto A, se les llama máximo y mı́nimo: sup(A) ∈ A =⇒ sup(A) = máx(A) ı́nf(A) ∈ A =⇒ ı́nf(A) = mı́n(A) Axioma del supremo. Sea A un subconjunto de IR no vacı́o y acotado superiormente. Entonces existe sup(A) Números complejos Definición El conjunto de los números complejos es C = {a + bi / a, b ∈ IR}, √ donde i = −1 es la unidad imaginaria. En C operaremos de la siguiente manera: I (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i I (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i Distintas representaciones de un número complejo z: a + ib = (a, b) = |z|θ √ |z| = a2 + b2 es el módulo, o distancia al origen θ ∈ [0, 2π) se denomina argumento Propiedades: I Sea a ∈ IR; entonces a = a + 0i ∈ C. Podemos considerar IR ⊂ C I Todo polinomio p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 (ai ∈ C) tiene n raı́ces en C Función real de variable real Sea A ⊂ IR Definición La correspondencia f : A −→ IR es una función si a cada x ∈ A le corresponde una única imagen f (x) ∈ IR Llamamos: I I dominio: D(f ) = {x / existe f (x)} = {x /f (x) ∈ IR} imagen: Im (f ) = {y ∈ IR / y = f (x) para algún x ∈ IR} Definición Decimos que f es una función acotada si su imagen es un conjunto acotado (respectivamente, hablaremos de función acotada inferiormente y/o acotada superiormente). Función real de variable real Sea f : A −→ IR una función real de variable real. Definición Sea B ⊂ A. f es creciente en B si x1 < x2 =⇒ f (x1 ) ≤ f (x2 ) , I ∀x1 , x2 ∈ B Análogamente se define función estrictamente creciente, decreciente y estrictamente decreciente Definición Decimos que f es inyectiva si: x1 6= x2 =⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) Función real de variable real. Simetrı́as Definición Decimos que una función f es par si f (x) = f (−x), y decimos que es impar si f (x) = −f (−x) Función par Función impar Nota El nombre proviene de los monomios fundamentales. Los monomios con exponente par (x2 , x4 , x6 ,...) tienen simetrı́a par y los monomios con exponente impar (x, x3 , x5 ,...) tienen simetrı́a impar. Función real de variable real. Periodicidad Definición Sea f : R → R. Diremos que f es periódica, con perı́odo T si f (x) = f (x + T), ∀x ∈ R. El ejemplo más clásico de funciones periódicas son las funciones trigonométricas. Si sabemos que una función tiene un perı́odo T nos será suficiente con representarla en [0, T]. Después se repetirá. T Composición de funciones Definición Sean f : A ⊂ R → R, g : B ⊂ R → R, con f (A) ⊂ B. Definimos la función compuesta g ◦ f (se lee “f compuesta con g”) a la función g◦f : A⊂R x∈A f → R → (g ◦ f )(x) := g (f (x)) . g x ∈ A −→ f (x) −→ g (f (x)) . Función inversa Definición Sea f : A ⊂ R → R una función inyectiva. Existe una única función h : im f → R tal que h (f (x)) = x, ∀x ∈ A. Esta función se denomina inversa de f y suele denotarse como f −1 . Es decir, f −1 ◦ f = Id. Además, en este caso se verifica que la composición es conmutativa, es decir, que f ◦ f −1 = Id (la función Id es la función identidad, es decir, Id(x) = x, ∀x ∈ R). x y = f −1 (x) ¡No se debe pensar que f −1 = 1f ! La forma práctica de calcular una función inversa es despejar la x en función de la y (es decir, de f (x)) e intercambiar sus papeles. Valor absoluto Sea x ∈ IR Definición Llamamos valor absoluto de x a la cantidad: −x, si x < 0, |x| = x, si x ≥ 0. Definición Sean x, y ∈ R. Definimos la distancia entre estos dos puntos como d(x, y) := |x − y|. Valor absoluto Propiedad Sean x, y ∈ IR I |x| ≥ 0 I |x| = 0 ⇐⇒ x = 0 |x + y| ≤ |x| + |y| (desigualdad triangular) x |x| = . |xy| = |x| |y|, y |y| Si C > 0, |x| ≤ C ⇐⇒ −C ≤ −|x| ≤ x ≤ |x| ≤ C I I I Funciones polinómicas Las funciones polinómicas son funciones del tipo p(x) = an xn + an−1 xn−1 + ... + a1 x + a0 , con a0 , a1 , ..., an ∈ R, y an 6= 0. Diremos que I I grado del polinomio es n, coeficiente principal es an . Ejemplos de polinomios son 1. p1 (x) = 5x3 − 4x + 2, √ 2. p2 (x) = 8x3 − 2, 3. p3 (x) = πx4 + 2x3 − 3x. El dominio de una función polinómica es siempre R, mientras que su imagen varı́a en cada caso. Funciones racionales Las funciones racionales son cocientes de funciones polinómicas, es decir, f (x) = p(x) . q(x) Ejemplos de funciones racionales son 5x3 − 4x + 2 √ , 1. f1 (x) = 8x3 − 2 1 2. f2 (x) = 3 . x +2 El dominio de estas funciones son todos los reales, excepto aquéllos que anulen el denominador, Dom f = R − {x ∈ R : q(x) = 0} , mientras que su imagen varı́a en cada caso. Función exponencial Sea a > 0. Definimos la función exponencial de base a como f (x) = ax . Siempre que a 6= 1, I Dom f = R, I Im f = (0, +∞), I f (0) = a0 = 1. 1. a < 1. En este caso, I f (x) = ax es una función estrictamente decreciente, x < y ⇒ ax > ay , I lı́m ax = +∞, x→−∞ I lı́m ax = 0. x→+∞ 2. a > 1. En este caso, I f (x) = ax es una función estrictamente creciente, x < y ⇒ ax < ay , I lı́m ax = 0, x→−∞ I lı́m ay = +∞. x→+∞ Función exponencial 16 2x 0.5x 14 12 10 8 6 4 2 0 −4 −2 0 2 4 f (x) = ex (recordemos que El caso más importante es la función e = 2,7182818...). A esta función es a la que se suele conocer, por defecto, como función exponencial. Propiedad i) ax+y = ax ay , ∀x, y ∈ R, ii) (ax )y = axy , ∀x, y ∈ R, 1 ∀x ∈ R (consecuencia de la anterior propiedad). iii) a−x = x a Función logarı́tmica Es la inversa de la función exponencial. Definición Dado a > 0, a 6= 1, decimos que y es el logaritmo en base a de x si ay = x, y = loga (x) :⇐⇒ ay = x. Propiedad Para cualquier valor de a, I el dominio de la función logaritmo lo forman los números positivos (Dom log = (0, +∞)), I la imagen es todo R, I loga (1) = 0. Propiedad i) loga (xy) = loga (x) + loga (y) , ∀x, y ∈ R, ii) loga (xy ) = y loga (x) , ∀x, y ∈ R, x iii) loga = loga (x) − loga (y) ∀x, y ∈ R, y y 6= 0. Función logarı́tmica 1. a < 1. En este caso, I f (x) = loga (x) es una función estrictamente decreciente, x < y ⇒ loga (x) > loga (y), I lı́m loga (x) = +∞, x→0+ I lı́m loga (x) = −∞. x→+∞ 2. a > 1. En este caso, I f (x) = loga (x) es una función estrictamente creciente, x < y ⇒ loga (x) < loga (y), I lı́m loga (x) = −∞, x→0+ I lı́m loga (y) = +∞. x→+∞ 6 4 2 0 −2 −4 log2(x) log0.5(x) Función logarı́tmica 6 log2(x) log (x) 0.5 4 2 0 −2 −4 −6 0 1 2 3 4 El logaritmo más importante es el que tiene como base el número e, f (x) = loge (x). Se denomina logaritmo neperiano, y suele denotarse por ln(x) o, simplemente, log(x). Cualquier otro logaritmo se puede expresar en función del ln mediante la fórmula loga (x) = ln (x) . ln (a) Funciones trigonométricas Función seno La función f (x) = sin(x), verifica I su dominio es todo R, I su imagen es [−1, 1], I es una función impar, I es una función periódica con perı́odo 2π. 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.2 sen(x) −0.4 −0.6 −0.8 −10 −5 0 5 10 Funciones trigonométricas Función coseno La función f (x) = cos(x), verifica I su dominio es todo R, I su imagen es [−1, 1], I es una función par, I es una función periódica con perı́odo 2π. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 cos(x) 0 −0.2 −0.4 −0.6 −0.8 −10 −5 0 5 10 Funciones trigonométricas El seno y el coseno pueden entenderse como las longitudes de las proyecciones sobre los ejes del ángulo, en radianes, dibujado sobre la circunferencia de radio unidad. 1 sin(x) x cos(x) Propiedad I sin2 (x) + cos2 (x) = 1 I sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y), cos(x + y) = cos(x) cos(y) − sin(x) sin(y). I ∀x, Funciones trigonométricas Definimos la función tangente como tan(x) := sin(x) . cos(x) El dominio de esta función lo forman todos los puntos de R en los que el coseno no se anule, es decir, nπ o + kπ : k ∈ Z , Dom tan = R − 2 mientras que su imagen es todo R. Además, es una función impar y periódica, con perı́odo π. 6 4 2 0 −2 −4 −6 −6 tan(x) −4 −2 0 2 4 6 Funciones trigonométricas Otras funciones trigonométricas 1 , sin(x) I Cosecante, cosec(x) := I Secante, sec (x) := I Cotangente, cotan(x) := 1 , cos(x) 1 . tan(x) Funciones trigonométricas inversas Función arco-seno Es la inversa de la función seno. Como ésta no es una función inyectiva, restringimos su dominio, quedándonos con el seno definido sólo en el intervalo [− π2 , π2 ]. Definimos entonces la función arco-seno, arcsin(x), como la función que, dado un x ∈ [−1, 1], le asocia el único y en [− π2 , π2 ]. x y = asin(x) Funciones trigonométricas inversas Función arco-seno Por tanto la función arcsin(x) tiene como dominio el intervalo [−1, 1] y como imagen el [− π2 , π2 ]. Es una función impar. 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 asin(x) -1.5 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Funciones trigonométricas inversas Función arco-coseno Es la inversa de la función coseno. En este caso, restringimos el dominio para quedarnos con el coseno definido en el intervalo [0, π]. Definimos entonces la función arco-coseno, arc cos(x), como la función que, dado un x ∈ [−1, 1], le asocia el único y en [0, π] tal que x = cos(y). 3 acos(x) 2.5 2 1.5 1 0.5 0 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Funciones trigonométricas inversas Función arco-tangente Es la inversa de la función tangente. Restringimos su dominio al intervalo − π2 , π2 . Definimos entonces la función arco-tangente, arctan(x), como la función que, dado un x ∈ R, le asocia el único y en − π2 , π2 tal que x = tan(y). y = arctan(x) x Funciones trigonométricas inversas Función arco-tangente Por tanto la función arctan(x) tiene como dominio todo R y como imagen el intervalo − π2 , π2 . Es una función impar. 1 0 −1 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 atan(x) 4 Definición de lı́mite. Introducción ε δ Figura: Eligiendo x en el intervalo azul, f (x) estará en el verde Figura: Si x está en el intervalo azul, f (x) está dentro del rectángulo verde Lı́mite de una función en un punto Sea f : (a, b) −→ IR Definición Decimos que ` ∈ IR es lı́mite de f en x0 ∈ (a, b) si: ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que 0 < |x − x0 | < δ Se representa por lı́m f (x) = ` x→x0 =⇒ |f (x) − `| < ε Propiedad El lı́mite de una aplicación en un punto, si existe, es único. Propiedad Supongamos que lı́m f (x) = `1 y lı́m g(x) = `2 . Entonces, x→x0 I I I x→x0 lı́m (f (x) + g(x)) = `1 + `2 x→x0 lı́m (f (x) g(x)) = `1 `2 `1 f (x) si `2 6= 0 = lı́m x→x0 g(x) `2 x→x0 Lı́mites laterales Definición I Diremos que el lı́mite de f , cuando x se acerca a x0 por la derecha, es l si h . i lı́m f (x) = l :⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 0 < x − x0 < δ =⇒ |f (x) − l| < ε . x→x0+ I Diremos que el lı́mite de f , cuando x se acerca a x0 por la izquierda, es l si h . i lı́m f (x) = l :⇐⇒ ∀ε > 0, ∃δ > 0 0 < x0 − x < δ =⇒ |f (x) − l| < ε . x→x0− Lı́mites laterales x0 x0 Lı́mite por la derecha Lı́mite por la izquierda Propiedad Existe lı́m f (x) si y sólo si existen lı́m f (x) y lı́m f (x) y son iguales. x→x0 x→x0+ x→x0− Lı́mites infinitos Definición I I i h . lı́m f (x) = +∞ :⇐⇒ ∀M > 0, ∃δ > 0 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) > M , x→x0 lı́m f (x) = −∞ :⇐⇒ i h . ∀M > 0, ∃δ > 0 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) < −M . x→x0 M −M lı́m f (x) = +∞ x→x0 lı́m f (x) = −∞ x→x0 Lı́mites en el infinito Definición I I h . i lı́m f (x) = l :⇐⇒ ∀ε > 0, ∃M > 0 x > M ⇒ |f (x) − l| < ε , x→+∞ h . i lı́m f (x) = l :⇐⇒ ∀ε > 0, ∃M > 0 x < −M ⇒ |f (x) − l| < ε . x→−∞ l l M lı́m f (x) = l x→+∞ −M lı́m f (x) = l x→−∞ Decimos que la función f tiene: I una ası́ntota horizontal en y = l si: lı́m f (x) = l I una ası́ntota vertical en x = x0 si: lı́m f (x) = ±∞ I una ası́ntota oblicua si lı́m (f (x) − (mx + n)) = 0. x→±∞ x→x0 x→±∞ f (x) y n = lı́m (f (x) − mx); x→±∞ x→±∞ x la ecuación de la ası́ntota es: y = mx + n Para calcular m y n: m = lı́m Continuidad Sea f : (a, b) −→ IR, x0 ∈ (a, b) Definición Decimos que la aplicación f es continua en x0 si y sólo si: ∀ε > 0, ∃ δ > 0 tal que |x0 − x| < δ =⇒ |f (x0 ) − f (x)| < ε o bien, teniendo en cuenta la definición de lı́mite, si lı́m f (x) = f (x0 ) x→x0 En caso de no cumplir la condición anterior, decimos que f es discontinua en x0 . Las discontinuidades pueden ser de varios tipos: I evitable: lı́m f (x) 6= f (x0 ) I esencial: no existe el lı́mite de f en x0 , porque: x→x0 I lı́m f (x) 6= lı́m+ f (x) x→x0− I x→x0 alguno de los lı́mites laterales (o ambos) no existe Propiedad Si f , g : (a, b) −→ IR son funciones continuas en x0 ∈ (a, b), I λ f es continua en x0 , ∀λ ∈ R, I (f ± g) y (f · g) son continuas en x0 , f si g(x0 ) 6= 0, entonces es continua en x0 . g I Propiedad La composición de funciones continuas es una función continua. Además, si f y g son funciones tales que lı́m f (x) = ` y g es continua en `, entonces x→x0 lı́m g(f (x)) = g(`) x→x0 Propiedad El lı́mite conmuta con las funciones continuas. Es decir, sean f y g funciones tales que existe lı́m f (x) = l ∈ R y g es una función continua en l. Entonces x→x0 lı́m g (f (x)) = g lı́m f (x) = g(l). x→x0 x→x0 Continuidad en intervalos Definición Sea f : (a, b) ⊂ R → R. Diremos que f es continua en (a, b) si es continua en todos los puntos de (a, b). Definición Sea f : [a, b] ⊂ R → R. Diremos que f es continua en [a, b] si 1. f es continua en (a, b), 2. f es continua en a por la derecha, 3. f es continua en b por la izquierda. Teorema de Bolzano Teorema (de Bolzano) Sea f : [a, b] −→ IR continua. Supongamos que f (a)f (b) < 0. Entonces ∃x0 ∈ (a, b) tal que f (x0 ) = 0 Teorema de Bolzano. Comentarios 1. Pueden existir varias raı́ces, a b 2. Si se suprime alguna de las hipótesis, el teorema no es válido (en general), a b f (a)f (b) > 0 a b f no continua en [a, b] Teorema de Weierstrass Teorema (de Weierstrass) Si f : [a, b] −→ IR es continua, entonces f alcanza el máximo y el mı́nimo en el intervalo [a, b], es decir, existen x1 , x2 ∈ [a, b] tales que: f (x1 ) ≤ f (x) ≤ f (x2 ) , ∀x ∈ [a, b] Derivada. Introducción Recordemos la definición de pendiente de una recta: y1 α x0 Pendiente= m = tan α = y0 x1 y1 − y0 x1 − x0 Y ahora consideremos las pendientes de las rectas secantes a una función, lo que, en el lı́mite, será la definición de derivada: f (x) f (x0 ) α x0 α x x0 x → x0 tan α = f (x1 ) − f (x0 ) x1 − x0 f (x0 + h) f (x0 ) x0 + h h→0 tan α = f (x0 + h) − f (x0 ) h Definición de derivada Sea f : (a, b) −→ IR Definición Se dice que f es derivable en el punto x0 ∈ (a, b) si existe el siguiente lı́mite: lı́m x→x0 f (x) − f (x0 ) f (x0 + h) − f (x0 ) = lı́m h→0 x − x0 h en cuyo caso dicho lı́mite se representa por f 0 (x0 ). Definición de derivada. Observaciones 1. Vemos la utilidad de no incluir el punto x0 (en este caso, el punto h = 0) f (x0 + h) − f (x0 ) en la definición de lı́mite. En la expresión lı́m no h→0 h podemos hacer nada si h = 0, ya que tendrı́amos una división entre 0. (x0 ) 2. El cociente f (x)−f mide la variación de la función respecto a la x−x0 variación de la variable. Por ese motivo a f 0 (x0 ) se le denomina, en ocasiones, coeficiente de variación de f , o razón de cambio de la función f , en el punto x0 . 3. Ahora ya podemos calcular la ecuación de la recta tangente utilizando la fórmula punto-pendiente, y − y0 = m (x − x0 ) =⇒ y = y0 + m (x − x0 ) . En este caso, (x0 , y0 ) = (x0 , f (x0 )), m = f 0 (x0 ). Y la recta tangente, y = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x − x0 ) . Derivadas laterales Definición Sea f : (a, b) → R, x0 ∈ (a, b). Definimos I derivada por la izquierda de f en x0 como f 0 (x0− ) := lı́m h→0− I f (x0 + h) − f (x0 ) , h derivada por la derecha de f en x0 como f 0 (x0+ ) := lı́m h→0+ f (x0 + h) − f (x0 ) . h Propiedad Sea f : (a, b) → R, x0 ∈ (a, b). f es derivable en x0 si y sólo si es derivable por la izquierda y por la derecha en x0 y ambas derivadas coinciden. Derivable ⇒ continua Propiedad Si f es derivable en x0 , entonces f es continua en x0 . El recı́proco no siempre es cierto. Consecuencia: Si f no es continua en x0 entonces f no puede ser derivable en x0 . Recuerda: I I Derivable en x0 ⇒ continua en x0 No continua en x0 ⇒ no derivable en x0 Derivadas elementales . d n x = nxn−1 , dx . d 1 log x = , dx x d 1 loga x = loga e, dx x . d x e = ex , dx d x a = ax log a, dx . d sin x = cos x, dx d cos x = − sin x, dx . 1 d tan x = , dx cos2 x . d 1 , arcsin x = √ dx 1 − x2 . d 1 . arctan x = dx 1 + x2 −1 arccos x = √ , 1 − x2 Propiedades aritméticas de la derivada Propiedad Sean f , g : (a, b) → R, dos funciones derivables en un punto x0 ∈ (a, b). Entonces I para cualquier λ ∈ R, la función λ f es derivable en x0 y (λ f )0 (x0 ) = λ f 0 (x0 ), I f ± g es derivable en x0 y (f ± g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) ± g0 (x0 ), I fg es derivable en x0 y (fg)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g0 (x0 ), I si g(x0 ) 6= 0, entonces f g es derivable en x0 y 0 f f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g0 (x0 ) (x0 ) = . g g(x0 )2 Regla de la cadena Sean f y g dos funciones tales que f es derivable en x0 y g es derivable en f (x0 ). Entonces (g ◦ f ) es derivable en x0 y (g ◦ f )0 (x0 ) = g0 (f (x0 )) f 0 (x0 ) Derivación implı́cita dy Se trata de calcular el valor de dx a partir de expresiones de la forma F(x, y) = 0. Para hacerlo debemos tener en cuenta que al derivar una expresión que dependa de y debemos derivar de la forma ordinaria y añadir dy al final dx = y0 . Derivación logarı́tmica Para obtener la expresión de y0 a partir de fórmulas como y = f (x)g(x) , tomaremos logaritmos, log y = g(x) log (f (x)), y después aplicaremos derivación implı́cita para obtener g(x)f 0 (x) 0 g(x) 0 y = f (x) g (x) log (f (x)) + . f (x)