Álgebra de BOOLE

Álgebra de BOOLE
Tema 4
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Definición formal del álgebra de Boole.
Leyes y reglas del álgebra de Boole.
Operaciones y expresiones booleanas.
Formas canónicas de las expresiones booleanas.
Expresiones booleanas, tablas de verdad y formas estándar.
Teoremas de DeMorgan.
Minimización lógica algebraica.
Minimización lógica mediante mapas de Karnaugh.
Mapa de Karnaugh de cinco variables
Definición del Álgebra de BOOLE
Dr. Oscar Ruano - 2011-2012
2
Definición del Álgebra de BOOLE
Dr. Oscar Ruano - 2011-2012
3
Definición formal de operaciones básicas
Dr. Oscar Ruano - 2011-2012
4
Leyes y Reglas del Algebra de BOOLE
Dr. Oscar Ruano - 2011-2012
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Teoremas de DeMORGAN
Primer teorema: el complemento de un producto de variables es igual a la
suma de los complementos de las variables.
Segundo teorema: el complemento de una suma de variables es igual al
producto de los complementos de las variables.
NOTA: Cada variable puede representar una combinación de variables (e.g. X puede ser = AB+C)
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Principio de dualidad I
A toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el
intercambio de los operadores suma con los de producto, y de los 1s con
los 0s.
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Principio de dualidad II
(a)
X
Y
type 2
Z
(b)
X
Y
Z =X+Y
type 2
(c)
X
Y
type 2
Z =X•Y
X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
LOW
LOW
LOW
LOW
HIGH
HIGH
HIGH
LOW
HIGH
HIGH
HIGH
0
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
HIGH
0
0
1
1
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0
8
Principio de dualidad III
X1
X2
X3
type 1
type 2
type 2
type 1
X4
type 2
X5
type 1
type 1
type 1
type 2
Copyright © 2000 by Prentice Hall, Inc.
Digital Design Principles and Practices, 3/e
Xn
X1′
X2′
X3′
type 1
F(X1, X2, ... , Xn)
type 2
type 2
type 1
X4′
X5′
type 2
type 1
Xn′
type 1
type 1
FD(X1′, X2′, ... , Xn′)
type 2
Copyright © 2000 by Prentice Hall, Inc.
Digital Design Principles and Practices, 3/e
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Operaciones y expresiones booleanas I
Mediante el Álgebra Booleana
buscamos
un
método
sistemático y versátil para la
implementación de circuitos
combinacionales.
El Álgebra Booleana utiliza
variables y operadores para
obtener expresiones lógicas
que representan un circuito
combinacional. Luego describe
una serie de teoremas que
utilizaremos para manipular las
expresiones lógicas.
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Operaciones y expresiones booleanas II
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Operaciones y expresiones booleanas III
Ejemplo: Construcción de la Tabla de Verdad a partir
de la expresión booleana
Un circuito lógico puede describirse mediante una tabla de verdad.
Evaluar la expresión booleana para todas las posibles combinaciones de
valores de las variables de entrada
X
Y
Y′
X + Y′
(X + Y′ ) • Z
Z
F = ((X + Y′) • Z) + (X′ • Y • Z′)
X′
X′ • Y • Z′
Z′
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Operaciones y expresiones booleanas III
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Formas normalizadas de las expresiones
booleanas
Existen dos formas de representar expresiones booleanas:
Suma de Productos AND-OR
Producto de Sumas OR-AND
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Expresiones booleanas, tablas de verdad y
formas canónicas
Cualquier función Booleana se puede expresar como suma de
miniterminos (minterms) o como producto de maxiterminos (maxterms) y a
estas formas se les dice que están en forma estándar o canónica (el conjunto
completo de variables del dominio está representado en cada término ).
F=ΣA,B,C (1, 4, 7) = A’B’C + AB’C’ + ABC
F= Π A,B,C (0, 2, 3, 5, 6) = (A+B+C)(A+B’+C)(A+B’+C’)(A’+B+C’)(A’+B’+C)
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Operaciones y expresiones booleanas II
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Propiedad universal de las puertas NAND
Las puerta NAND es una puerta universal porque puede emplearse para
generar cualquier función lógica
inversor
AND
OR
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Propiedad universal de las puertas NOR
Las puerta NOR es una puerta universal porque puede emplearse para
generar cualquier función lógica
INVERSOR
AND
OR
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Ejecución con puertas NAND y NOR
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Ejemplo de ejecución con puertas NAND
y NOR
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20
Ejemplo de ejecución con puertas NAND
y NOR
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Ejemplo de propiedad universal de las
puertas NAND
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Ejemplo de propiedad universal de las
puertas NOR
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Simplificación mediante el álgebra de
BOOLE
El propósito de la minimización lógica es tomar una expresión algebraica y
reducirla a una forma que sea más fácil de realizar
Simplificación algebraica
Mapas de Karnaugh
Simplificación Algebraica
A partir de una expresión Booleana en su forma suma de productos se combinan
los términos, reduciendo la complejidad, mediante las reglas, leyes y teoremas
del álgebra de Boole.
ESCASA SISTEMATIZACIÓN.
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Forma canónica y normalizada
Se llama término canónico de una función lógica a todo producto o suma de literales en
los cuales aparecen todas la variables en su forma directa o complementada.
Los términos canónicos producto reciben el nombre de “minitérminos”
Los términos canónicos suma reciben el nombre de “maxitérminos”
Una función de BOOLE está en forma canónica cuando se expresa como suma de
minitérminos o producto de maxotérminos.
Dos funciones lógicas son equivalentes si, y solo si, sus formas canónicas son idénticas.
La expresión algebraica en suma de productos o productos de sumas en la que no todos
los términos son canónicos recibe el nombre de normalizada
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Forma canónica de la suma de productos
La metodología empleada en la transformación de una suma de productos a
su forma canónica se basa en la regla 6, que establece que una variable
sumada con su complemento es siempre igual a 1; A + A' = 1. Los pasos son
los siguientes:
Los términos producto que no contengan la(s) variable(s) del dominio, multiplicarlos
por un término formado por dicha variable más el complemento de la misma (regla 6).
Repetir el paso 1 para todos los términos de la expresión que no contengan todas las
variables (o sus complementos) del dominio. Resolver los términos intervenidos.
Ejemplo
Convertir la expresión booleana ABC' + BC + A' a su forma canónica.
Término BC
El dominio de la expresión es el conjunto de variables A, B y C. Se observa la falta de formato
estándar para el segundo y tercer término producto. Sobre ellos se aplicará el procedimiento,
para luego volver a agrupar toda la expresión:
BC = BC ·(A+A') = ABC + A'BC
Término A’
A' = A'(C+C') = A'C+A'C' ; la expresión aún no tiene el formato canónico, entonces
multiplicamos cada término por (B+B')
A'C(B+B') +A'C'(B+B') = A'BC + A'B'C + A'BC' + A'B'C'
ABC' + BC + A' = ABC + A'BC + A'BC + A'B'C + A'BC' + A'B'C‘
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Forma canónica del producto de sumas
La metodología empleada en la transformación de un producto de sumas a su
forma canónica se basa en la regla 8, que establece que una variable
multiplicada por su complemento es siempre igual a 0; AA' = 0. Los pasos son
los siguientes:
Los términos suma que no contengan la(s) variable(s) del dominio, sumarlos un
término formado por dicha variable y su complemento según regla 8.
Aplicar la regla 12: A + BC = (A+B)(A+C)
Repetir el paso 1 para todos los términos de la expresión que no contengan todas las
variables (o sus complementos) del dominio.
Ejemplo
Convertir la expresión booleana (A+B’+C)(B’+C+D’)(A+B’+C+D’) a su forma canónica.
Término A+B’+C
A+B’+C = A+B’+C+DD’ = (A+B’+C+D)(A+B’+C+D’)
Término B’+C+D’
B’+C+D’ = B’+C+D’+AA’ =(A+ B’+C+D’)(A’+ B’+C+D’)
(A+B’+C)(B’+C+D’)(A+B’+C+D’) =
= (A+B’+C+D)(A+B’+C+D’) (A+ B’+C+D’)(A’+ B’+C+D’) (A+B’+C+D’)
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Conversión entre formas canónicas
Ejemplo: A’B’C’ +A’BC’+A’BC+AB’C+ABC
Solución: (A+B+C’)(A’+B+C)(A’+B’+C)
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Mapas de Karnaugh
Proporciona un método sistemático de simplificación de sentencias booleanas
generando expresiones mínimas (‘receta de simplificación’)
CARACTERÍSTICAS
Útiles para expresiones de dos, tres, cuatro y cinco variables
Es una matriz de 2n celdas en la que cada una representa un valor binario de las variables de entrada.
El orden de los valores en filas y columnas es tal que celdas adyacentes difieren únicamente en una varible
La simplificación de una determinada expresión consiste en agrupar adecuadamente las celdas
Un número mayor de variables exige el uso de un método llamado Quine-McClusky
PASOS A SEGUIR
Obtener la función lógica en suma de productos canónica
Representar en el mapa de Karnaugh la función algebraica o tabla de verdad que se desee
representar
Agrupar unos (maximizar el tamaño de los grupos minimizando el número es estos):
Un grupo tiene que contener 1, 2, 4, 8 o 16 celdas
Cada celda del grupo tiene que ser adyacente a una o mas celdas del grupo sin necesidad de que
todas las celdas del grupo sean adyacentes entre sí.
Incluir siempre en cada grupo el mayor número posible de 1s
Cada 1 del mapa tiene que estar incluido en al menos un grupo. Los 1s que ya pertenezcan a un grupo
pueden estar incluidos en otro, siempre que los grupos que se solapen contengan 1s no comunes.
Simplificar:
Eliminar variables que aparecen complementadas y sin complementar dentro del mismo grupo
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Ejemplos agrupación & simplificación
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Ejemplos de agrupamientos NO
permitidos
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Agrupamientos alternativos
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Simplificación de 2 variables
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Simplificación 3 variables
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Simplificación 3 variables
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Simplificación 3 variables
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Simplificación 4 variables
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Simplificación 4 variables
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Simplificación 4 variables
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Simplificación 5 variables
Mapa con A=0 colocarlo encima del mapa A=1.
Cada celda del mapa A=0 es adyacente con la
celda que está justo debajo en el mapa A=1
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Condiciones indiferentes
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Condiciones indiferentes
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