ECUACIONES DE MAXWELL ∫ ∫

COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
1
ECUACIONES DE MAXWELL
∇⋅D = ρ
∫ D ⋅ dS = ∫ ρ dV
S
VS
∇⋅B = 0
∫ B ⋅ dS = 0
∂B
∇× E = −
∂t
d
∫ LE ⋅ dl = − dt ∫ SL B ⋅ dS
Ley de Faraday
∂D
∇× H =
+J
∂t
∂
∫ LH ⋅ dl = ∂t ∫ SL D ⋅ dS + ∫ SL J ⋅ dS
Ley de Ampère-Maxwell
En el vacío
S
D = ε 0 E , B = µ0 H
Las ecuaciones de Maxwell, junto con condiciones de contorno/iniciales
apropiadas resuelven cualquier problema electromagnético.
2
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
CONSERVACIÓN DE LA CARGA
•Las ecuaciones de Maxwell implican convervación
de la carga
∂ρ
∇⋅ J +
=0 ,
∂t
d
⋅
=
−
J
ds
Q
∫S
dt
•La fuerza que actúa sobre una partícula en movimiento en el seno de un
campo electromagnético viene dada por ley de Lorentz
  qE
  v  
F
B
3
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
NOTACIÓN
•Densidad de carga ρ
•Densidad de corriente J = ρ v
•Intensidad de campo eléctrico E
•Desplazamiento eléctrico D
•Intensidad de campo magnético H
•Densidad de flujo magnético B
4
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
MEDIOS DIELÉCTRICOS
Muchos materiales sometidos a un campo eléctrico,
polarizan sus moléculas por deformación,
produciéndose dipolos eléctricos.
El vector desplazamiento
incluye los efectos de la
polarización
  0 E
P

D
Materiales comunes: lineales,
isótropos, homogéneos,
independientes del tiempo y no
dispersivos:
P = ε 0 χ e E ⇒ D = ε 0 (1 + χ e ) E = ε 0ε r E = ε E
5
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
MEDIOS MAGNÉTICOS
Muchos materiales sometidos a un campo magnético,
orientan sus dipolos atómicos en contra/a favor del
campo magnético.
El vector intensidad de campo
magnético incluye los efectos
de la magnetización
H = B / µ0 − M
Materiales no tan comunes:
lineales, isótropos, homogéneos,
independientes del tiempo y no
dispersivos:
M = χ m H ⇒ B = µ 0 (1 + χ m ) H = µ 0 µ r H = µ H
6
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
CLASIFICACIÓN MATERIALES MAGNÉTICOS
•
Materiales paramagnéticos:
χm es positivo y del orden
de 10-5. Varía de forma
inversa con la temperatura.
•
Materiales diamagnéticos:
χm es negativo entre -10-5
y -10-8 y no depende de
la temperatura.
•
Materiales ferromagnéticos: La relación entre B y H
puede ser complicada e incluso depender de la
historia de magnetización del material (histéresis)
7
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
MATERIALES CONDUCTORES
• La corriente J que aparece en las ecuaciones de
Maxwell puede ser debido a movimientos de cargas
producidos mediante fuentes electromotrices o a
movimiento de cargas inducido por campos electricos
externos en el seno de materiales conductores por la
movilidad interna de sus cargas.
•Para muchos de ellos (medios óhmicos) también se
cumple una relación de linealidad entre el campo
eléctrico que le es aplicado y la corriente que se
generan en él
con σ constante que se
J
=
σ
E
denomina conductividad del material.
J total = ρ v + σ E
8
TEMA 2: FUNDAMENTOS
MATERIALES CONDUCTORES
Ec. Ampère-Maxwell en la frecuencia
∂
→ jω
∂t
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
∇ × H = J + σ E + jωε E
Corr. libre
Corr. Conducción
La tangente de pérdidas
(inversa del factor de
calidad) mide si predomina la
corriente de desplazamiento
(buen aislante) o la de
conducción (buen conductor)
Corr. desplazamiento
σ
1
tan δ d =
=
ωε Q
9
TEMA 2: FUNDAMENTOS
CONDUCTORES: CLASIFICACIÓN
• Buen dieléctrico o aislante: Predomina la corriente reactiva
ωε
Si
σ =0
σ ⇒ tan δ d < 1/100
el medio se denomina dieléctrico perfecto
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
• Cuasiconductor
ωε ≈ σ ⇒ 1/100 < tan δ d < 100
• Buen conductor
ωε
Si
σ →∞
σ ⇒ tan δ d > 100
el medio se denomina conductor perfecto
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
10
CONDUCTORES: TIEMPO DE RELAJACIÓN
∂ρ
∇⋅E = ρ /ε
∇⋅J =σ ∇⋅E = −
∂t
σ
∂ρ
ρ+
=0
ε
∂t
  0 e
−/t
⎛σ
∂J ⎞
∇ ⋅⎜ J + ⎟ = 0
∂t ⎠
⎝ε
J = J 0e
− (σ / ε ) t
+ J estacionaria
∇ ⋅ J estacionaria = 0
  /
Tiempo de relajación
•Las cargas en el interior de un conductor tienden a
neutralizarse exponencialmente.
•Las corrientes en su interior tienen exponencialmente a
ser estacionarias
11
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
CONDUCTORES PERFECTOS
Al someterlos a un campo eléctrico externo:
•Presentan movilidad total de las cargas en su interior
•Reaccionan instantáneamente al campo eléctrico externo
(tiempo de relajación nulo)
Por tanto:
•Las cargas se depositan sobre la superficie quedando
neutro el interior
•El campo eléctrico en su interior es nulo (por ser
eléctricamente neutro)
•El campo eléctrico es perpendicular a la superficie
•Es equipotencial
12
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
SOLUCIÓN ECS. MAXWELL
¿ES POSIBLE RESOLVER LAS
ECUACIONES DE MAXWELL EN
GENERAL?
EL SISTEMA DE ECUACIONES
DIFERENCIALES TIENE SOLUCIÓN
ÚNICA EN TODO EL ESPACIO CON
CONDICIONES INICIALES DADAS
13
TEMA 2: FUNDAMENTOS
REPLANTEAMIENTO
∂ tψ ( x, y , z , t ) = R T ψ ( x, y , z , t ) − K ( x, y , z , t )
Vector electromagnético
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
ψ = ( Ex , E y , Ez , H x , H y , H z )
T
Vector de corrientes
⎛ Jx J y Jz
⎞
K = ⎜ , , , 0, 0, 0 ⎟
⎝ε ε ε
⎠
Rotacional hexadimensional (conductividades nulas)
1 ⎞
⎛
R⎟
⎜ 0
ε
⎟
RT = ⎜
⎜− 1 R 0 ⎟
⎜ µ
⎟
⎝
⎠
T
⎛ 0
⎜
R = ⎜ ∂z
⎜ −∂
⎝ y
−∂ z
0
∂x
∂y ⎞
⎟
−∂ x ⎟
0 ⎟⎠
14
TEMA 2: FUNDAMENTOS
SOLUCIÓN NUMÉRICA
DIFERENCIAS CENTRADAS
f (u + ∆u / 2,...) − f (u − ∆u / 2,...)
δ u f (u,...) =
∆u
∂ u f (u ,...)
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
NUMÉRICO
ANALÍTICO
R T = RT
RT
{
ψ , E, H , K , J , M
}
( i∆x , j ∆y , k ∆z , n∆t )
∂ u →δ u
{ψ , E , H ,K , J , M }
n
i , j ,k
15
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
DISCRETIZACIÓN ESPACIAL
En cada cubo las
propiedades ε , µ , σ del
material son constantes
ε , µ ,σ
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
ε ,σ
16
EN FUNCIÓN DE LA FRECUENCIA
µ = µ0
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
ε ,σ
17
EN FUNCIÓN DE LA FRECUENCIA
µ = µ0
18
TEMA 2: FUNDAMENTOS
Esquema en diferencias (FDTD)
ECUACIONES
ROTACIONALES
DE MAXWELL
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
Ψ
∂ tψ = R T ψ − K
n +1
i , j ,k
-Ψ
∆t
n
i , j ,k
= R TΨ
n +1/ 2
i , j ,k
Supuestos conocidos los valores iniciales
n +1/ 2
- K i , j ,k
0
Ψ yΨ
Es posible obtener un algoritmo de solución autoconsistente.
Ψ
n +1
i , j ,k
=Ψ
n
i , j ,k
+ ∆ tR T Ψ
n +1/ 2
i , j ,k
n +1/ 2
- ∆tK i , j ,k
1/ 2
Piel
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
Tumor
EJEMPLOS 3D
ENERGÍA ABSORBIDA
Mama
Ultrabroadband
antenna array
ECOS
19
20
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
SOLUCIÓN ANALÍTICA
∇⋅D = ρ
∂B
∇× E = −
∂t
∇⋅B = 0
∂D
∇× H =
+J
∂t
SALVO QUE SE DIGA LO CONTRARIO, ASUMIREMOS
MATERIALES LINEALES, HOMOGÉNEOS (a trozos),
ISÓTROPOS, NO DISPERSIVOS E INDEPENDIENTES
DEL TIEMPO
D = µ E , B = µ H , J conducción = σ E
21
TEMA 2: FUNDAMENTOS
DISCONTINUIDADES EN LA FRONTERA ENTRE MEDIOS
σ 1 ,σ 2 finitas
ρ S (r , t )
ε1 , µ1 , σ 1
(
)
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
)
nˆ × E1 − E2 = 0
(
)
nˆ ⋅ ( D − D ) = ρ
∂ρ
ˆn ⋅ ( J − J ) = −
∂t
nˆ ⋅ B1 − B2 = 0
1
2
S
S
1
2
ε 2 , µ2 ,σ 2
Medio 1
nˆ × H1 − H 2 = 0
(
Medio 2
n̂
dQ
ρS =
dS
Densidad superficial
⎛ B1 B2 ⎞
ˆ
⇒ n×⎜ − ⎟ = 0
⎝ µ1 µ 2 ⎠
⎛ D1 D2 ⎞
⇒ nˆ × ⎜ −
⎟=0
⎝ ε1 ε 2 ⎠
de carga
(
)
⇒ nˆ ⋅ ( ε E − ε E ) = ρ
∂ρ
ˆ
⇒ n ⋅ (σ E − σ E ) = −
∂t
⇒ nˆ ⋅ µ1 H1 − µ 2 H 2 = 0
1
1
2
2
S
S
1
1
2
2
22
TEMA 2: FUNDAMENTOS
DISCONTINUIDADES EN LA FRONTERA ENTRE MEDIOS
Medio 1: CONDUCTIVIDAD FINITA ε1 , µ1 , σ 1
Medio 2: CONDUCTOR PERFECTO ε 2 , µ 2 , σ 2
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
En un conductor perfecto las
corrientes son superficiales
nˆ × H1 = J S ⇒ nˆ × B1 = µ1 J S
nˆ × E1 = 0
⇒ nˆ × D1 = 0
nˆ ⋅ B1 = 0
⇒ nˆ ⋅ H1 = 0
→∞
E2 (r , t ) = 0 = H 2 (r , t )
J S = ρS v
, H1 y B1
tangenciales no nulas
, nˆ × J1 = 0, E1 , D1 y J1 tangenciales nulas
nˆ ⋅ D1 = ρ S ⇒ nˆ ⋅ E1 = ρ S / ε1 , nˆ ⋅ J1 =
, B1 y H1
normales nulas
σ1
ρ S , D1 ,E1 y J1 normales no nulas
ε1
23
TEMA 2: FUNDAMENTOS
SOLUCIÓN ESTÁTICA
∂B
∂t
=0=
∂E
∂t
⇒ ∇⋅ E = ρ /ε , ∇⋅ B = 0 , ∇× E = 0 , ∇× B = µJ
Más fácil trabajar con
los potenciales
E = −∇V , B = ∇ × A
EC. DE POISSON → ∇ V = − ρ / ε , ∇ A = − µ J
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
2
EC. LAPLACE
2
→ ∇ V =0 , ∇ A=0
2
2
El potencial V tiene una interpretación energética
WLa→b =
−∆E potencial
∫
La→b
qE ⋅ dl = −
∫
q∇V ⋅ dl = qVa − qVb
La→b
E pot a
E pot b
El trabajo hecho por el campo eléctrico sobre una carga (el
magnético no trabaja directamente por ser Fmagn = qv × B ⊥ dl )
no depende del camino sino de los potenciales inicial y final.
{
}
24
SOLUCIÓN ESTÁTICA
TEMA 2: FUNDAMENTOS
CAMPO ELÉCTRICO ► LEY DE COULOMB
CAMPO MAGNÉTICO ►LEY DE BIOT-SAVART
P
R = r −r '
V (r ) =
R
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
r'
dV '
µ
A(r ) =
4π
r
E (r ) =
S
O
n̂
4πε ∫
ρ (r ')
V'
J (r ', t ); ρ (r ', t )
V'
1
1
∫
4πε
V'
µ
B(r ) =
4π
J (r ')
∫V ' R3 dV '
ρ (r ') R
R
R
dV '
3
dV '
J (r ') × R
∫V ' R3 dV '
25
TEMA 2: FUNDAMENTOS
AUSENCIA DE FUENTES LIBRES
SOLUCIONES DE ONDA PLANA
∂H
∂E
J = 0 = ρ ⇒ ∇ × E = −µ
, ∇× H = σ E +ε
∂t
∂t
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
Busquemos soluciones
monocromáticas
  re jt
Cualquier otra solución se
puede poner
r, t 
2
∂
E
2
∇ E − εµ 2 − µσ
∂t
2
∂
H
2
∇ H − εµ 2 − µσ
∂t
∂E
=0
∂t
∂H
=0
∂t

 −   re jt d
∇ 2 H = −ω 2ε e µ H
⎛σ
⎞
, εe ≡ ⎜
+ε ⎟
2
2
∇ E = −ω ε e µ E
⎝ jω
⎠
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
AUSENCIA DE FUENTES LIBRES
SOLUCIONES DE ONDA PLANA UNIFORME
∇ H = −ω ε e µ H ⎫⎪
⎬
2
2
∇ E = −ω ε e µ E ⎪⎭
2
2
⎧⎪ H = H 0e j (ω t −γ nˆ ⋅r )
2
2
,
γ
ω
µε
=
⎨
e
j (ω t −γ nˆ ⋅r )
⎪⎩ E = E0e
⎧⎪ H = H 0e−α nˆ ⋅r e j (ω t − β nˆ⋅r )
⎨
−α nˆ ⋅r j (ω t − β nˆ ⋅r )
e
⎪⎩ E = E0e
Que deben cumplir las
ecuaciones originales de
Maxwell
n̂
E
H
nˆ × E
µ
H=
, Z=
Z
εe
γ = β − jα
•Se dice onda plana
por ser su fase
constante en los
planos n̂ ⋅ r = cte
•Se dice uniforme
por ser su amplitud
constante en esos
planos
26
27
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
NOTACIÓN
γ = ω µε e = β − jα
n̂ × E0
H0 =
Z
β
α
Relación de
estructura
Número de onda
(propagación)
Cte. Atenuación
c = ω / β ≠ 1/ εµ
Z onda
E0
=
H0
Relación de
dispersión
γ = γ n̂
Número de
onda complejo
µ
Z=
εe
Impedancia
intrínseca
del medio
Longitud de onda
λ = 2π / β
δ = 1/ α Prof. de penetración
Velocidad de fase (depende de la
frecuencia, hay dispersividad de fase)
Impedancia de onda. Igual en este caso a
la impedancia intrínseca del medio
28
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
MEDIO CONDUCTOR (Q finito): ONDA PLANA
Q)
εr
ε − jσ / ω
1
1 j arctan(1/
2
4 1+
=
E0
e
µ
µr
120π
Q2
• Conocido E0 → H 0 = E0
i. e., campo eléctrico y
magnético perpendiculares
entre sí y a la dirección
de propagación, pero
están desfasados
• Existe atenuación de la
onda al propagarse
α=
ω
c0
ωε
Q=
σ
⎧⎪
1 ⎫⎪
µ r ε r Re ⎨ 1 +
⎬≠0
jQ ⎪⎭
⎩⎪
• La velocidad de fase
depende de la frecuencia
c(ω ) =
⎧⎪
c0
ω
1 ⎫⎪
=
Im ⎨ 1 +
⎬
β
jQ
µrε r
⎪⎩
⎪⎭
−1
Nota: Z 0 = µ 0 / ε 0 = 120π , c0 = 1/ ε 0 µ 0 , ε = ε 0ε r , µ = µ 0 µ r
29
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
MEDIO AISLANTE (Q →∞): ONDA PLANA
• Dado E0
H 0 = 120π E0 ε r / µ r
campo eléctrico
y magnético
perpendiculares
entre sí y a la
dirección de
propagación y
están en fase
• La onda se propaga sin atenuación α = 0
• La velocidad de fase no depende c = c /
0
de la frecuencia
µ r ε r ≠ c(ω )
30
TEMA 2: FUNDAMENTOS
BUEN CONDUCTOR (Q <0.01): ONDA PLANA
γ
{
jωσµ = ± (1 + j )
} {
H0
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
}
E , H = E0 , H 0 e
Z0
2
−( δ
x)
e
, δ
j (ω t − x )
2
ωσµ
, ,α
β
1
δ
, nˆ = xˆ
δ
1 j π4
e
Q
εr
1
E0
Z0
µr
E0
= Z
H0
ωσµ
µr
εr
Onda
”magnética”
• Agua de mar a bajas frecuencias aprox. ε r = 81, µ r = 1, σ = 4
Por tanto a 3 KHz, δ=5m. Una antena suele necesitar al menos 1/6
de la longitud de onda, que a 3 KHz en el aire mediría 1.6 Km, pero
en el agua sólo necesitaría del orden de 5m. Luego las comunicaciones
submarinas son más factibles a baja frecuencia.
• Apantallamiento a altas frecuencias. Por ejemplo, el cobre
ε r = 1, µ r = 1, σ = 5.8 107a 60 Hz , δ=8.5 mm y a 30 GHz, δ=0.38mm
31
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
MEDIO BUEN CONDUCTOR (Q <0.01): ONDA PLANA
γ
jωσµ = ± (1 + j )
E = E0 e
− ( δx )
e
j (ω t − δx )
ωσµ
2
, δ
2
ωσµ
, J = σ E0 e
,α
− ( δx )
e
β
1
δ
j (ω t − δx )
Existen grandes diferencias entre las corrientes a distinta
profundidad del conductor. El efecto es el de una aparición de una
resistencia extra, que llamaremos resistencia superficial.
Supongamos un hilo cuadrado que transporta una intensidad
total I, la mitad por una sección de resistencia R1 y la otra
mitad por R2. La potencia consumida es P = I 2 (R1 + R2 )/ 4
Si por R1 circulase I/2-x y por R2 circulase
2
2
I/2+x, P = I ( R1 + R2 ) / 4 + ξ ( R1 + R2 )
se consumiría más potencia. Por tanto,
conductores que transportan corrientes
grandes deben ser huecos para minimizar
pérdidas.
32
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
BUEN CONDUCTOR (Q <0.01): DIFUSIÓN DE B
εω
Q=
σ
∂E
1 ⇒J =σE
⇒ ∇ × B = σ E (Aprox.)
∂t
0
∂B
2
∇ × ∇ × B = µσ ∇ × E = − µσ
= ∇ ∇B − ∇ B
∂t
∂B Ecuación de difusión (similar a la del
2
∇ B = µσ
calor)
∂t
(
)
( )
Solución 1D con Bx (0, t ) = 0 , Bx ( L, t ) = 0 , Bx ( x, 0) = B0 ( x)
Bx ( x, t ) = e
− µσ t / λ 2
⎛
⎛ x⎞
⎛ x ⎞⎞
⎛ nπ x ⎞
⎜ K1 cos ⎜ λ ⎟ + K 2 sin ⎜ λ ⎟ ⎟ = ∑ K n sin ⎜ L ⎟ e
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎠ n =1
⎝
⎠
⎝
∞
⎛ nπ ⎞
− µσ ⎜
⎟ t
⎝ L ⎠
2
2
⎛ nπ x ⎞
Kn = ∫ sin ⎜
⎟B0 (x)dx
L0 ⎝ L ⎠
L
Tiempo de difusión ∼ µσ L2 (cobre 1cm: 5ms)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
PRESENCIA DE FUENTES LIBRES.
MEDIO SIN PÉRDIDAS
EN EL CASO MÁS GENERAL (con σ=0)


B ∇A

∂A
  −∇V −
E
∂t
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
La elección de los potenciales no es ÚNICA. Pueden
escogerse con ligaduras (gauge) analíticas.
Por ej. Ligadura de Lorenz
∂V
∇A + µε
=0
∂t
Introduciendo los potenciales en las ecuaciones de
Maxwell y utilizando la ligadura de Lorenz
∂ A
∇ A − µε 2 = − µ J
∂t
2
2
∂V
ρ
∇ V − µε 2 = −
∂t
ε
2
2
33
34
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
SOLUCIÓN PARTICULAR EC. INHOMOGÉNEA
[ ρ ]r
1
V (r , t ) =
dV ′ +
∫
4πε V ′ R
4π
⎧ 2 ⎡ ∂V ⎤
∂ ⎛ [V ]r
∫ S ⎨⎩ R ⎢⎣ ∂n ⎥⎦ r − ∂n ⎜⎝ R
⎞⎫
⎟ ⎬ dS
⎠⎭
µ
A(r , t ) =
4π
⎧⎪ 2 ⎡ ∂A ⎤
∂ ⎛ [ A]r
∫ S ⎨⎪ R ⎢⎣ ∂n ⎥⎦ − ∂n ⎜⎝ R
⎩
r
⎞ ⎫⎪
⎟ ⎬ dS
⎠ ⎪⎭
1
[ J ]r
1
∫ V ′ R dV ′ + 4π
35
TEMA 2: FUNDAMENTOS
SOLUCIÓN PARTICULAR EC. INHOMOGÉNEA
Donde F r  Fr
′ , t − Rc  representa a las
magnitudes retardadas, es decir, los valores de tal
magnitud en instantes anteriores.
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
•
•
Si en el volumen V’ , limitado por S no hay fuentes,
solo quedan las integrales de superficie, y los
potenciales en
son debidos a las fuentes externas
(integrales de Kirchoff)
Si existen fuentes en V’ , y esta región es finita,
es posible calcular el campo debido a estas fuentes,
R cuando
→ 
extendiendo las integrales de superficie
hasta el infinito, quedando los potenciales reducidos
a las integrales de volumen (aproximación de campo
lejano).
36
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
CAMPO LEJANO Y CERCANO
Un problema central en EMC es el de la interacción a
distancia de un dispositivo electromagnético con otro.
Llamaremos a este fenómeno acoplamiento. Puede ser
reactivo (capacitivo o inductivo) o radiativo (transmisión
de energía electromagnética en forma de ondas).
El mecanismo práctico más usual para producir radiación
de campos es la antena. Dos casos
37
TEMA 2: FUNDAMENTOS
ANTENAS LINEALES
Dipolo eléctrico hertziano: antena lineal pequeña en vacío
(de longitud L
λ ).
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
I 0 Le j (ω t − β r ) cos(θ ) ⎡ 2 j β 2 ⎤
Er =
+ 2⎥
⎢
jωε 0 4π r
r ⎦
⎣ r
I 0 Le j (ω t − β r ) sin(θ ) ⎡ 2 j β 1 ⎤
Eθ = −
β −
− 2⎥
⎢
jωε 0 4π r
r r ⎦
⎣
I 0 Le j (ω t − β r ) sin(θ ) ⎡
1⎤
Hϕ =
jβ + ⎥
⎢
4π r
r⎦
⎣
c = ω / β = 1/ ε 0 µ 0
38
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
ANTENAS LINEALES
Antena circular pequeña (de radio
I 0 a 2 e jt−r cos
Hr 
4r
a
λ
)
2j
2

r
r2
I 0 a 2 e jt−r sin 2 j
H  −
 − r − 12
4r
r
j 0 a 2 e jt−r sin
E  −
j  1r
4r
c = ω / β = 1/ ε 0 µ 0
39
TEMA 2: FUNDAMENTOS
ANTENAS LINEALES
Campo lejano: términos con 1/r
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
Antena lineal
Antena circular
jI 0 Le jt−r sin
E 
 0 4rc
jI 0 Le jt−r sin
H 
4r
 2 I 0 a 2 e jt−r sin
H  −
4r
 0 a 2 e jt−r sin
E 
4r
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
40
CAMPO LEJANO Y CAMPO CERCANO
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
41
CAMPO LEJANO Y CAMPO CERCANO
42
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
CAMPO LEJANO Y CAMPO CERCANO
Por ejemplo, a una frecuencia de 30 MHz, /2  159cm
a 300 MHz,λ / 2π = 15.9cm, a 3 GHz, λ / 2π = 1.59cm
43
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
ANTENAS ELÉCTRICAS Y MAGNÉTICAS
µ0
Z0 =
ε0
ZW ≡ Z onda
E0
=
≠
H0
ε
= Z INTRÍNSECA
µ
,
λ
λ≡
2π
44
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
TEOREMA DE POYNTING
Si en una región del espacio hay un aporte de energía
mediante un movimiento de cargas producido por un campo
electromotor E ′no necesariamente de naturaleza eléctrica,
esta energía se transforma en
V E ′JdV  dtd
V
2
J
1 E
D


H
 dS
BHdV    dV   E
2
V
SV
A
B
C
D
A-Potencia proporcionada por los generadores.
B-Variación temporal de la energía eléctrica y magnética
C-Pérdida irreversible de potencia por efecto Joule
D-Flujo de potencia que entra o sale
VECTOR DE POYTING
P = E×H
45
TEMA 2: FUNDAMENTOS
TEOREMA COMPLEJO DE POYNTING
Para variaciones armónicas
2
0
d
dt
= jω
J
1 ′ ∗
∫ V Re{ 2 E0 J 0 }dV = ∫ V 2σ dV
POTENCIA ACTIVA
+
1
∗
∫ SV Re{ 2 E0 × H 0 }dS
FLUJO DE POTENCIA A TRAVÉS DE S
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
POTENCIA DISIPADA EN CALOR
1 ′ ∗
1 ⎛ µ H 02 ε E02 ⎞
1
∗
=
−
+
×
E
J
dV
V
E
H
I
m{
}
2
Im
{
ω
d
⎟
0
0 }dS
∫V 2 0 0
∫ V 2 ⎜⎝ 4
∫
S
V
4 ⎠
2
FLUJO DE POTENCIA REACTIVA
POTENCIA REACTIVA
A TRAVÉS DE S
DIFERENCIA DE VALORES DE PICO
ENERGÍA ELÉCTRICA-MAGNÉTICA
∗
1
Im{
E
×
H
∫ SV
0 }dS ≠ 0
2 0
EL MEDIO ES REACTIVO
∗
1
Re{
E
×
H
∫ SV
0 }dS ≠ 0
2 0
EL MEDIO ES PASIVO
46
TEMA 2: FUNDAMENTOS
FLUJO DE POTENCIA LEJANO/CERCANO
Campo lejano: SÓLO activo
Im{P} = 0 , Re{P} ≠ 0
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
Campo cercano: activo y reactivo Im{P} ≠
0 , Re{P} ≠ 0
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
ONDA PLANA UNIFORME
∇ H = −ω ε e µ H ⎫⎪
⎬
2
2
∇ E = −ω ε e µ E ⎪⎭
2
2
⎧⎪ H = H 0e j (ω t −γ nˆ ⋅r )
2
2
,
γ
ω
µε
=
⎨
e
j (ω t −γ nˆ ⋅r )
⎪⎩ E = E0e
⎧⎪ H = H 0e−α nˆ ⋅r e j (ω t − β nˆ⋅r )
γ = β − jα
⎨
−α nˆ ⋅r j (ω t − β nˆ ⋅r )
e
⎪⎩ E = E0e
nˆ × Eo
E0
µ
Ho =
= Z onda =
, Z intrínseca =
εe
Z
H0
n̂
E
H
⎛σ
⎞
εe ≡ ⎜
+ε ⎟
⎝ jω
⎠
47
48
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
INCIDENCIA NORMAL EN MULTICAPAS
Dos ondas: una reflejada y otra transmitida
x
Condiciones de contorno
H1tangencial = H 2tangencial
E1tangencial = E2tangencial
Impedancias
intrínsecas
Er Z 2 − Z1
ρ=
=
Ei Z 2 + Z1
Et
2Z 2
τ = 1+ ρ = =
Ei Z1 + Z 2
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
49
Reflejada+Incidente=Estacionaria
50
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
Onda estacionaria: IMPEDANCIA DE ONDA
Z 2 + Z1 tanh( jγ x)
Z ( x) = Z1
Z1 + Z 2 tanh( jγ x)
Caso sin pérdidas γ = β
Z 2 + Z1 tanh( j β x)
Z 2 + jZ1 tan( β x)
Z ( x) = Z1
= Z1
Z1 + Z 2 tanh( j β x)
Z1 + jZ 2 tan( β x)
51
TEMA 2: FUNDAMENTOS
ADAPTACIÓN DE IMPEDANCIAS: lámina de cuarto de onda
Z ( x = − L) − Z1
ρ ( x = − L) =
=0
Z ( x = − L) + Z1
Z1
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
L=
λ2
4
, λ2 =
Z2
c
f ε r µr
Z3
2π λ2
Z 3 + jZ 2 tan(−
)
λ2
λ2 4
= Z1 ⇒ Z 2 = Z1Z 3
Z ( x = − ) = Z1 ⇒ Z 2
2π λ2
4
Z 2 + jZ 3 tan(−
)
λ2 4
52
TEMA 2: FUNDAMENTOS
ADAPTACIÓN DE IMPEDANCIAS: lámina de media onda
Z ( x = − L) − Z1
ρ ( x = − L) =
=0
Z ( x = − L) + Z1
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
L=
λ2
2
, λ2 =
c
f ε r µr
2π λ2
Z1 + jZ 2 tan(−
)
λ2
λ2 2
= Z1 ∀Z 2
Z ( x = − ) = Z1 ⇒ Z 2
2π λ2
2
Z 2 + jZ1 tan(−
)
λ2 2
53
TEMA 2: FUNDAMENTOS
APLICACIONES: DISEÑO DE ABSORBENTES
γ i = ωµi ( jσ i − ωε i )
ρ=
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
Zi =
De onda
Z w1 − Z 0
Z w1 + Z 0
µ
ε i − jσ i / ω
Intrínseca
Z w 2 + Z1 tanh( jγ 1d1 )
Z w3 + Z 2 tanh( jγ 2 d 2 )
Z w1 = Z1
, Z w2 = Z 2
, .....
Z1 + Z w 2 tanh( jγ 1d1 )
Z 2 + Z w3 tanh( jγ 2 d 2 )
Z k + Z k −1 tanh( jγ k −1d k −1 )
Z wk −1 = Z k −1
Z k −1 + Z k tanh( jγ k −1d k −1 )
54
TEMA 2: FUNDAMENTOS
APLICACIONES: DISEÑO DE ABSORBENTES
Un buen material absorbente debe:
1. Tener un coeficiente de reflexión pequeño.
2. Ser capaz de disipar toda la energía que absorbe.
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
Cómo?
Utilizando conductores:
• Disipan por efecto Joule la energía en su interior
tanto más cuanto más reflejan la que la incide
Compromiso: material con variación gradual de sus
parámetros manteniendo el coeficiente de reflexión
pequeño, y que disipe paulatinamente la energía.
55
TEMA 2: FUNDAMENTOS
ABSORBENTE MULICAPA
Ejemplo: Material no magnético formado por 50 capas
con obtimizado a 1 GHz
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
 k  1. 5  1. 06logk/log50
 k  5. 810 5 k/50 5
d k = 2δ
2 2 / ωσµ
Longitud total: 0.99 m
Es una infravoloración en
las primeras capas (pocas
pérdidas) pero funciona!
56
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
ABSORBENTE MULICAPA
Coeficiente de reflexión y de absorción en función de la frecuencia (los resultados
mejoran con el incremento de frecuencia)
Espumas absorbentes
comerciales ECCOSORB
AN75, AN77, AN79
Reflectivity dB = 20 log10 ( ρ )
57
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
APLICACIÓN: CÁMARAS ANECOICAS
•Uno de los primeros absorbentes, usados desde la década de
los 30, consitía en polvo de carbón esparcido sobre pelo animal.
•Los absorbentes típicos de hoy que se montan sobre las
paredes de cámaras anecoicas, suelen ser piramidales, con
conductividades variables, calculadas sobre la frecuencia
mínima que se quiere absorber, y son tanto más grandes cuanto
menor es la frecuencia.
•La forma piramidal favorece mayores superficies de absorción,
las ondas reflejadas reinciden sobre otras partes del
absorbente y cerca de la punta, al no haber casi material, la
impedancia de la onda es casi la misma que la de la onda
incidente.
•La tecnología Stealth utiliza materiales exóticos junto con un
cuidadoso diseño geométrico para absorber las ondas de
RADAR, lo que se aprovecha para aumentar la indetectabilidad
de blancos.
COMPATIBILIDAD ELECTROMAGNÉTICA (ING. ELECTRÓNICA)
TEMA 2: FUNDAMENTOS
58
APLICACIÓN: CÁMARAS ANECOICAS