Resolución de problemas aplicando leyes de Newton y

UDB Física
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
Cátedra FÍSICA I
Facultad Regional Rosario
Resolución de problemas aplicando leyes de Newton y consideraciones energéticas
1º) Aplicando leyes de Newton (Dinámica)
Pasos a seguir:
a) Comprender la situación física planteada en el enunciado, leyéndolo cuidadosamente.
b) Identificar los cuerpos cuya masa no se desprecia.
c) Representar todas las fuerzas que actúan sobre los mismos.
d) Representar (si se conoce o puede preverse) el vector aceleración (recordar que no es una
fuerza).
e) Escoger y dibujar los ejes coordenados “x” e “y” y representar el sentido positivo de cada uno. Es
conveniente seleccionar la dirección y sentido de uno de los ejes, en la dirección y sentido de la
aceleración (así cuando se aplique la segunda Ley de Newton las componentes de la aceleración
serán positivas). Si la componente de la aceleración es nula, el sentido adoptado para el eje es
arbitrario.
f) Calcular las componentes de todas las fuerzas en las direcciones de ambos ejes (para esto se
utilizan las funciones trigonométricas seno y coseno)
g) Plantear la segunda Ley de Newton para cada cuerpo, en las direcciones elegidas:
F=m.a
Fx = m . a x
Fy = m . a y
h) Comprobar que se dispone de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, y calcular la/s
incógnita/s resolviendo matemáticamente el sistema.
i) Verificar la validez de las soluciones halladas.
Ejemplo de resolución de un problema:
En el sistema de la Figura 1, el bloque A de masa mA se ubica
sobre el plano inclinado sin roce, que forma un ángulo con
respecto a la horizontal. La polea por donde cuelga el bloque B de
masa mB conectado a A, es de masa despreciable y la cuerda se
considera inextensible y también de masa despreciable. Calcular
la aceleración del sistema.
A
B
Figura 1
Resolución:
a) Se trata de un sistema físico que podría estar en equilibrio, en reposo o moviéndose ambos cuerpos
con velocidades constantes, o bien estar acelerados. Por acción de la atracción gravitatoria, el cuero B
puede caer, arrastrando hacia arriba al cuerpo A sobre el plano inclinado, o bien, el cuerpo A cae
sobre el plano y el cuerpo B asciende. Que ocurra cualquiera de estas situaciones dependerá, como
veremos, de las masas de los cuerpos y del ángulo del plano inclinado.
b) Identificar los cuerpos cuya masa no se desprecia: Cuerpos A y B
c) Representar todas las fuerzas que actúan sobre los mismos, realizando el DCL de cada uno:
1
d) Representar (si se conoce o puede preverse) el vector aceleración (recordar que no es una fuerza).
De los casos que hemos considerado posibles, suponemos uno de ellos (esto es arbitrario en este
caso) que el sistema se acelera de modo que A asciende y B desciende.
aA
N
T2
T1
aB
PB
PA
e) Escoger y dibujar los ejes coordenados “x” e “y” y representar el sentido positivo de cada uno. De
acuerdo con la aceleración que suponemos adquiere el sistema, escogemos el eje “x” en la dirección y
sentido de la aceleración para el cuerpo A y el eje “y” para el cuerpo B. De este modo, ambas
aceleraciones tienen una única componente y ésta es positiva. De este modo, la elección del sentido
positivo del eje “y” perpendicular al eje “x” en el Bloque A es indistinto, porque no hay componente
de la aceleración en esa dirección.
aA
axA ≠ 0
ayA = 0
aA
T2
y
N
x
T1
axB = 0
aB ayB ≠ 0
PB
y
PA
f) Calcular las componentes de todas las fuerzas en las direcciones de ambos ejes. En este caso, sólo es
necesario descomponerla fuerza PA:
PAX = mB . g . cos
aAx
PAy = mA . g . sen
y
N
x
T1
mA . g . sen
T2
mA . g . cos
mB . g
mA . g
ayB
y
g) Plantear la segunda ley de Newton para cada cuerpo:
Para el Bloque A:
Fy = mA . aAy
Fx = mA . aAX
Para el Bloque B:
Fy = mB . aBy
→
N - mA . g . cos = 0
T1 - mA . g . sen = mA .aAX
(1)
(2)
→
mB . g – T2 = mB .aBy
(3)
→
h) Comprobar que se dispone de un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, y calcular la/s
incógnita/s resolviendo matemáticamente el sistema.
T1 = T2 = T ya que la masa de la polea se consideró despreciable.
ax = ay = a si se considera que la cuerda es de masa despreciable e inextensible.
2
Con estas consideraciones, la ecuación (2) queda: T = mA . g . sen + mA .a
Y la (3) queda:
T = mB .g - mB . a
En este caso, tenemos entonces tres ecuaciones, en las que se desconocen N, T y a. Como se solicita
sólo la aceleración, la ecuación (1) no aporta información y debemos resolver el sistema de las dos
ecuaciones anteriores:
mA . g . sen + mA .a = mB .g - mB . a
mA .a + mB . a = mB .g - mA . g . sen
de donde obtenemos finalmente:
a=
g . (mB - mA . sen )
mA + mB
i) Verificar la validez de las soluciones halladas. Analizando la expresión anterior, vemos que:
si mB > mA . sen entonces a > 0 y el sistema se acelerará según lo supuesto.
si mB < mA . sen entonces a < 0 y el sistema se acelerará en el sentido opuesto al supuesto.
si mB = mA . sen entonces a = 0 y el sistema no tiene aceleración, en cuyo caso puede estar en reposo
o bien moviéndose con velocidad constante en cualquiera de los dos sentidos.
También vemos que cuanto mayor es la inercia total del sistema (mA + mB), menor es la aceleración
que éste adquiere.
Problema Resuelto Nº 1:
En la Figura 2 se representan:
 El bloque A de 10,0 kg que se desliza por un plano inclinado
que forma un ángulo =36,9o con respecto a la horizontal. El
coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque A y la
A
superficie inclinada es 0,200.
B
 El bloque B de 20,0 kg que se encuentra inicialmente en
reposo.
= 36,9°
 Una polea de masa despreciable montada en un eje sin
Figura 2
fricción que pasa por su centro.
 Una cuerda inextensible que no resbala en la polea y se considera de masa despreciable.
Calcula la magnitud de la aceleración del sistema y la tension de la cuerda aplicando las leyes de
Newton.
Bloque A:
a
Fy = mA . ay
y
x
N - mA . g . cos = 0
T2
N
N = mA . g . cos
T1
Fr = C . N = C . mA . g . cos
a
mA . g .sen
mA . g . cos
mB . g
Fx = mA . ax
Fr
T1 - mA . g . sen - Fr = mA .ax
T1 - mA . g . sen - C . mA . g . cos = mA .ax
mA . g
y
T1 = mA . g . sen + C . mA . g . cos + mA .ax (1)
Bloque B:
Fy = mB . ay
mB . g - T2 = mB .ay
T2 = mB .g - mB . ay (2)
3
T1 = T2 = T porque se considera la masa de la polea nula.
ax = ay porque la cuerda es de masa despreciable e inextensible.
Igualando (1) y (2)
mA . g . sen + C . mA . g . cos + mA .a = mB . g - mB . a
mA . a + mB . a = mB . g - mA . g . sen - C . mA . g . cos
a (mA + mB) = g (mB - mA . sen - C . mA . cos )
a = g (mB - mA . sen - C . mA . cos ) = g (20,0 kg - 10,0 kg . 0,600 - 0,200 . 10,0 kg . 0,800)
(mA + mB)
20,0 kg + 10,0 kg
a = 4,05 m/s2
Reemplazando a en (1) ó (2) T =115 N
2º) Aplicando consideraciones energéticas
Pasos a seguir:
a) Comprender la situación física planteada en el enunciado, leyéndolo cuidadosamente.
b) Identificar los cuerpos cuya masa no se desprecia.
c) Representar todas las fuerzas que actúan sobre los mismos.
d) Seleccionar un estado inicial y otro final
e) Representar el vector desplazamiento ( r) entre los dos estados
f) Plantear para todo el sistema físico el Teorema de Trabajo y Energía:
W = EC
En este caso en W tenemos que tener en cuenta el trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre
cada cuerpo del sistema, incluso la del peso.
O podemos plantear:
WF NO CONS = EM
Recordemos que estas dos ecuaciones son escalares y se aplican entre el estado inicial y final del
sistema a todo el sistema.
g) Disponemos de una sola ecuación donde obtendremos la incógnita del problema resolviendo
matemáticamente.
h) Verificar la validez de las soluciones halladas.
Problema Resuelto Nº 2:
Del problema anterior:
Calcula la rapidez del Bloque B cuando ha descendido 50,0 cm aplicando consideraciones
energéticas.
d) Seleccionamos el estado inicial cuando los
bloques se encuentran en reposo y el estado final
cuando el bloque A ha ascendido 50,0 cm por el
plano inclinado y el bloque B ha descendido
verticalmente 50,0 cm
Por lo tanto: vA1 = 0
vA2 ≠ 0
VB1 = 0
vB2 ≠ 0
vA21 = vB2 = v porque la cuerda es inextensible
e) El desplazamiento de cada cuerpo se indica en la
figura con r, tal que r = d
4
r
T2
N
T1
mA . g .sen
mA . g . cos
Fr
mA . g
r
mB . g
El trabajo de la Tensión de la cuerda sobre cada uno de los cuerpos es distinto de cero (W de fuerzas
no conservativas). Pero como la suma del trabajo de la T1 sobre el cuerpo A es positiva y el trabajo de
T2 sobre el bloque B es negativo la suma de los Trabajos de las Tensiones se anula  WT = 0
WT1 = T1 . d
WT2 = - T2 . d
y T1 = T2
W = T1 . d - T2 . d = 0
f) WF NO CONS = EM
WF NO CONS = ECA + ECB + EPA + EPB
- Fr . d = ½ . mA . v2 + ½ . mB . v2 + mA . g . sen . d - mB . g . d
- C . mA . g . cos d = ½ . mA . v2 + ½ . mB . v2 + mA . g . sen . d - mB . g . d
mB . g . d - C . mA . g . cos d - mA . g . sen . h = ½ . mA . v2 + ½ . mB . v2
2 . g . d . (mB - C . mA . cos - mA . sen ) = v2 (mA + mB )
v2 = 2 . g . d . (mB - C . mA . cos - mA . sen )
(*)
(mA + mB)
g) Reemplazando en (*)
v2 = 2 . g . d.(20,0 kg - 0,200. 10,0 kg . 0,800 - 10,0 kg . 0,600)
20,0 kg + 10,0 kg
v = 2,01 m/s
h) En la relación (*) puede observarse que:
 Cuando mayor sea el desplazamiento d mayor será la velocidad v.
 Cuando mayor sea C menor será la velocidad v.
 Cuando mayor sea la inércia del sistema (mA + mB) menor será la velocidad v.
Problema Resuelto Nº 3:
Utilizando la rapidez calculada en el problema anterior determina la magnitud de la aceleración y
compararla con la calculada en el problema Resuelto Nº 1.
v2 = vo2 + 2 . a . h → a = v2/ (2 .h) = (2,01 m/s)2 / (2 . 0,500 m)
a = 4,05 m/s2
Conclusiones:
Como vimos se puede resolver el mismo problema utilizando:
a) las Leyes de Newton:
FFext = m . a
b) consideraciones energéticas:
W = EC ó
WF NO CONS = EM
En el primer caso son ecuaciones vectoriales donde se debe plantear las componentes “x” e “y”
para cada bloque que compone el sistema (previa realización del diagrama de cuerpo libre D.C.L.).
En cambio por trabajo y energía es una ecuación escalar aplicada a todo el sistema.
En el caso que el problema no especifique una determinada resolución, el alumno podrá elegir
el método que le resulte más conveniente. Si debemos determinar las tensiones de las cuerdas o la
aceleración del sistema será más adecuado resolver por leyes de Newton, pero si debemos determinar
la rapidez o el desplazamiento será más adecuado utilizar consideraciones energéticas.
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