El TAD Tabla Dispersa El TAD Tabla Dispersa

Tema 5
El TAD Tabla Dispersa
Objetivos
! Conocer el TAD Tabla Dispersa como estructura eficiente de almacenamiento
! Conocer las funciones de dispersión, así como los métodos de gestión de colisiones más habituales
! Implementar una tabla dispersa con gestión de colisiones mediante encadenamiento
Contenidos
5.1 Conceptos
5.2 Funciones de dispersión
5.3 Resolución de colisiones
5.4 Especificación algebraica
5.5 Implementación
Duración
! 2 clases (3 h)
Algoritmos y Estructuras de Datos II
Tema 5
I.T. en Informática de Gestión/Sistemas
Universidad de Huelva
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El TAD Tabla Dispersa
Bibliografía
! Estructuras de datos: especificación, diseño e implementación
Autor: Xavier Franch Gutiérrez
Editorial : Ediciones UPC, 1999
! Estructuras de datos. Algoritmos, abstracción y objetos
Autor: Luis Joyanes Aguilar, Ignacio Zahonero Martínez
Editorial: McGraw-Hill
Págs. 622-645
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5.1 Conceptos
! El TAD de las funciones f: Dclaves " Dvalores, donde Dclaves representa el conjunto de claves y
Dvalores el conjunto de valores es conocido, en el ámbito de las estructuras de datos, con el
nombre de tabla (también conocido como tipo asociativo, funcional o diccionario)
! Una tabla se define como un conjunto de pares (c, v), donde c se denomina clave y v
representa el valor asociado a la clave. En este conjunto no puede haber dos pares con la
misma clave, es decir, las claves son únicas
!
Las principales operaciones que suelen realizarse sobre valores de tipo tabla son:
#
crear una tabla vacía
#
insertar un nuevo par (c, v)
#
comprobar la existencia de una clave en la tabla
#
consultar el valor v asociado a una clave c
#
modificar el valor v asociado a una clave c
#
borrar un par (c, v)
#
comprobar si la tabla está vacía
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! Si el conjunto de las claves está formado por un número relativamente pequeño de números
naturales (cercanos entre ellos) y no hay dos elementos con la misma clave, se puede utilizar
una representación mediante una tabla (tabla de acceso directo)
! Si las claves no son numéricas o no se cumple lo anterior, debería existir una función
inyectiva que transforme cada clave en un número comprendido en el subrango [1..máximo]
de la tabla
TV
f: Dclaves " 1.. max
valor 1
valor 2
claves
c1
c10
valor 6
c8
valor 8
c6
valor 10
max
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! Todas las operaciones son de orden O(1). En contraposición, los principales
inconvenientes de este tipo de representación son:
# desaprovechamiento de la memoria si el número de elementos almacenados
en la tabla T es pequeño en relación con el número posible de claves
# es difícil encontrar funciones inyectivas que transformen claves en índices
! Una alternativa a las tablas de acceso directo son las tablas dispersas o tablas
hash, que consiguen, aproximadamente, un coste constante para todas las
operaciones sobre tablas
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! Una tabla dispersa es una estructura similar a la tabla de acceso directo
! En lugar de utilizar la clave para indexar directamente sobre la tabla, el índice es
calculado a partir de la clave utilizando una función de dispersión (h)
T
h: Dclaves " 1.. max
h(c24)
h(c5)
1
valor24
valor5
claves
h(c3)
c78
c5
función de
dispersión (h)
c24
h(c78)
c3
valor3
valor78
max
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! No es necesario que la función h sea inyectiva. Se dividen las claves en n clases de
equivalencia. En cada clase se encuentran las claves que al aplicarles la función h
devuelven el mismo valor (posición en la tabla)
! h(ci) es el índice o valor de dispersión calculado por h al suministrarle la clave ci
! Se dice que ci se dispersa en la posición T[h(ci)] de la tabla dispersa T
! De esta forma se soluciona el problema de las claves no numéricas o números muy
grandes
! Uno de los aspectos fundamentales en las tablas dispersas consiste en realizar una
buena elección de la función h
! Esta función debe distribuir las claves esperadas de la manera más uniforme posible
en el rango 1..max, de forma que la probabilidad de que 2 claves distintas (c1 ≠ c2)
obtengan el mismo valor de h (h(c1) = h(c2)) sea lo más baja posible
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!
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Para definir una tabla dispersa, el programador debe tomar 2 decisiones
importantes
1.
Elegir la función h. Como la función no es inyectiva es posible que una
posición calculada para una clave c ya esté ocupada (colisión)
2.
Seleccionar un método para resolver las colisiones
a.
Dispersión abierta. Los elementos que colisionan se sitúan en una lista
a partir de la posición calculada
b.
Dispersión cerrada. Los elementos que colisionan se sitúan en la
propia tabla. Hace falta un algoritmo de recolocación
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5.2 Funciones de dispersión
!
Características de una función de dispersión
1.
Rapidez de cálculo
2.
Exhaustividad. Todo índice o valor de dispersión debe tener asociada, como
mínimo, una clave
3.
Distribución uniforme. Todos los valores de dispersión deben tener
aproximadamente el mismo número de claves asociadas
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Traducción de cadenas a enteros
!
Suma de los caracteres
• A cada carácter se le calcula su valor decimal
• Se suman los números obtenidos
c = “pérez”
!
num (c) = dec (‘p’) + dec (‘é’) + dec (‘r’) + dec (‘e’) + dec (‘z’) = 112 + 130 + 114 + 101 + 122 = 579
Suma ponderada de los caracteres
• La cadena se trata como un entero en base n (n ≡ número de caracteres del código)
c = “pérez”
num (c) = dec (‘p’) * 2564 + dec (‘é’) * 2563 + dec (‘r’) * 2562 + dec (‘e’) * 256 + dec (‘z’) = “número muy grande”
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Funciones que obtienen valores en un intervalo
!
División
Se calcula el resto de dividir el número entre N (N ≡ tamaño de la tabla)
h (c) = c mod N
Puede funcionar mal, por ejemplo si N = 10 y casi todas las claves son múltiplos de
10, habrá muchas colisiones ya que para casi todas las claves h(c) = 0
NOTA: el N más apropiado es un número primo
!
Método del cuadrado
Consiste en calcular el cuadrado de la clave c. El índice se obtiene de los
dígitos de c2 que ocupan una determinada posición
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265 " 70225
h (265) = 22
1340 " 1795600
h (1340) = 956
777 " 603729
h (777) = 372
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Funciones que obtienen valores en un intervalo
!
Plegamiento
• Consiste en dividir la clave c en partes de igual número de dígitos (la última puede
tener menos dígitos) y operar con ellas, tomando como índice los dígitos menos
significativos del resultado
• La operación entre las partes puede hacerse por medio de sumas o multiplicaciones
h (152635) = 15 + 26 + 35 = 76
h (934058) = 93 + 40 + 58 = 191; h (934058) = 91
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5.3 Resolución de colisiones
5.3.1 Dispersión abierta: por encadenamiento
! Todos los pares (clave, valor) cuya clave es asignada por la función de dispersión h a una
misma posición, se almacenan en una lista asociada a dicha posición
! La zona de memoria dinámica donde se almacenan las listas asociadas a cada posición de
la tabla se denomina: zona de desbordamiento
T
(c1, v1)
1
h
2
Función de
Dispersión
(c2, v2)
.
.
(c3, v3)
n
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5.3.2 Dispersión cerrada: recolocación en la tabla
! Consiste en almacenar los pares (clave, valor) cuya entrada primaria (índice) ya esté
ocupada (colisión), en otra posición libre de la propia tabla
! Las colisiones se resuelven calculando una secuencia de huecos de dispersión " se evita
el uso de estructuras auxiliares
! Los pares (c, v) recolocados ocupan posiciones de futuras claves. El funcionamiento de
este método será bueno si el factor de carga α se mantiene por debajo de 0.9
# Factor de carga α= N / max
•
N: nº de pares (c, v) almacenados en la tabla
•
max: tamaño de la tabla
! El factor de carga indica el nivel de ocupación de la tabla con pares almacenados
#
Si N=max " α=1
#
Si α<1" Hay menos pares que posiciones
#
Si α>1" Hay más pares que posiciones
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5.4 Especificación algebraica
espec TablasDispersas
usa booleanos
parámetro formal
género clave
operaciones
_ = _ : clave clave " booleano
fpf
Gen (tabla) = { tVacia, asigna }
Obs (grafo) = {esta?, observa, elimina}
género tablaD
operaciones
tVacía: " tablaD
asigna: tablaD clave valor " tablaD
esta?: tablaD clave " booleano
parcial observa: tablaD clave " valor
elimina: tablaD clave " tablaD
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dominios de definición t: tablaD; c: clave
observa(t,c) está definido sólo si esta?(t,c)
ecuaciones t: tablaD; c, c1,c2: clave; v, v1,v2: valor
asigna (asigna (t, c1, v1), c2, v2) = si c1 = c2 entonces asigna (t, c2, v2)
sino asigna (asigna (t, c2, v2), c1, v1)
fsi
esta?(tvacia, c) = falso
esta?(asigna (t, c1, v), c2) = (c1 = c2) o esta? (t, c2)
observa (asigna (t, c1, v), c2) = si c1 = c2 entonces v
sino observa (t, c2)
fsi
elimina(tvacia, c) = falso
elimina(asigna (t, c1, v), c2) = si c1 = c2 entonces elimina(t, c2)
sino asigna(elimina (t, c2), c1, v)
fsi
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5.5 Implementación
! Resolución de colisiones por encadenamiento
#
Si el factor de carga α es pequeño, la resolución de colisión por encadenamiento es
rápida → las listas de desbordamiento son cortas
#
Si la tabla tiene dimensión max y hay N pares (clave, valor), con una función h uniforme,
la longitud media de las listas es
N
max
! Implementación de la clase tablaDispersa:
par = clase
público
constructor creaPar(c: clave; v: elemento);
{ clave admite comparaciones de igualdad }
función getClave: clave;
función getValor: elemento;
privado
clave: clave;
valor: elemento
fclase;
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Implementación de los métodos
creaTablaVacía y asigna
acción tablaDispersa.creaTablaVacía;
var
i: 0..max – 1;
fvar;
para i := 0 hasta max – 1 hacer
t[i].creaLista
fpara
facción;
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tablaDispersa = clase
publico
constructor creaTablaVacía;
acción asigna (p: par);
función observa (c: clave; var v: valor):booleano;
acción elimina (c: clave);
privado
constante max = ...;
t: tabla [0..max –1] de lista<par>;
fclase;
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acción tablaDispersa.asigna(p: par);
var
entrada: 0..max – 1;
parAct: par;
claveAct: clave;
i, long: entero;
fvar;
entrada := h(p.getClave);
si t[entrada].esVacía entonces
t[entrada].creaUnitaria(p)
sino
i := 1;
long := t[entrada].longitud;
parAct := t[entrada].observaIzq;
claveAct := parAct.getClave;
mientras (i < long) y (claveAct ≠ p.getClave) hacer
i := i + 1;
parAct := t[entrada].observa(i);
claveAct := parAct.getClave
fmientras;
si claveAct = p.getClave entonces
t[entrada].modifica(i, p)
sino
t[entrada].añadeIzq(p)
fsi
fsi
ffunción;
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Implementación de los métodos
elimina y observa
acción tablaDispersa.elimina (c: clave);
var
entrada: 0..max – 1;
parAct: par;
claveAct: clave;
i, long: entero;
fvar;
entrada := h(p.getClave);
si no t[entrada].esVacía entonces
i := 1;
long := t[entrada].longitud;
parAct := t[entrada].observaIzq;
claveAct := parAct.getClave;
mientras (i < long) y (claveAct ≠ p.getClave) hacer
i := i + 1;
parAct := t[entrada].observa(i);
claveAct := parAct.getClave
fmientras;
si claveAct = p.getClave entonces
t[entrada].elimina(i)
fsi
fsi
facción;
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función tablaDispersa.observa (c: clave; var v: valor):booleano;
var
entrada: 0..max – 1;
parAct: par;
claveAct: clave;
i, long: entero;
fvar;
entrada := h(p.getClave);
si t[entrada].esVacía entonces
observa := falso;
sino
i := 1;
long := t[entrada].longitud;
parAct := t[entrada].observaIzq;
claveAct := parAct.getClave;
mientras (i < long) y (claveAct ≠ p.getClave) hacer
i := i + 1;
parAct := t[entrada].observa(i);
claveAct := parAct.getClave
fmientras;
si claveAct = p.getClave entonces
v := parAct.getValor;
observa := verdad
sino
observa := falso
fsi
fsi
facción;
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