ρ φ ρ φ φ φ φ φ φ φ φ φ θ φ θ φ θ φ θ θ φ θ φ θ φ φ θ φ θ φ θ θ φ θ φ

Transformation
Cartesian to
Cylindrical
Cylindrical to
Cartesian
Cartesian to
Spherical
Coordinate Transformation Relations
Coordinate Variables
Unit Vectors
2
2
ˆ
ˆ
aρ = ax cos φ + aˆ y sin φ
ρ= x +y
aˆφ = − aˆ x sin φ + aˆ y cos φ
Aφ = − Ax sin φ + Ay cos φ
z=z
aˆ z = aˆ z
Az = Az
x = ρ cos φ
aˆ x = aˆ ρ cos φ − aˆφ sin φ
Ax = Aρ cos φ − Aφ sin φ
y = ρ sin φ
z=z
aˆ y = aˆ ρ sin φ + aˆφ cos φ
Ay = Aρ sin φ + Aφ cos φ
aˆ z = aˆ z
aˆr = aˆ x sin θ cos φ
+ aˆ y sin θ sin φ + aˆ z cos θ
Az = Az
Ar = Ax sin θ cos φ + Ay sin θ sin φ
aˆθ = aˆ x cos θ co s φ
+ aˆ y cos θ sin φ − aˆ z sin θ
Aθ = Ax cos θ cos φ + Ay cos θ sin φ
aˆφ = −aˆ x sin φ + aˆ y cos φ
Aφ = − Ax sin φ + Ay cos φ
aˆ x = aˆr sin θ cos φ
+ aˆθ cos θ cos φ − aˆφ sin φ
Ax = Ar sin θ cos φ + Aθ cos θ cos φ
aˆ y = aˆr sin θ sin φ
Ay = Ar sin θ sin φ + Aθ cos θ sin φ
φ = tan −1 ( y / x)
r = x2 + y2 + z 2
θ = tan −1 ⎡ x 2 + y 2 / z ⎤
⎣
φ = tan [ y / x ]
−1
Spherical to
Cartesian
Vector Components
Aρ = Ax cos φ + Ay sin φ
x = r sin θ cos φ
y = r sin θ sin φ
z = r cos θ
⎦
+ aˆθ cos θ sin φ + aˆφ cos φ
aˆ z = aˆr cos θ − aˆθ sin θ
+ Az cos θ
− Az sin θ
− Aφ sin φ
+ Aφ cos φ
Az = Ar cos θ − Aθ sin θ