1 Ejercicios de producto directo 1. Probar que S3 y Cpn ,p primo no

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Ejercicios de producto directo
1. Probar que S3 y Cpn , p primo no son producto directo de sus subgrupos
propios.
Esquema de solución:
Para S3 se necesita el concurso de C3 y C2 . Pero un tal producto directo es
C6 , abeliano.
Para Cpn se necesitarı́a el concurso de r Cpmi , con
mi = n. Ahora bien,
dicho grupo no puede ser cı́clico, pues el orden de cada elemento, es pm ,
donde m = max mi .
2. Probar que (C3 × C2 ) × C2 ∼
= C6 × C2 .
Esquema de solución:
(C3 × C2 ) ∼
= C6
C2 ∼
= C2 =⇒ (C3 × C2 ) × C2 ∼
= C6 × C2
3. Sea G un grupo abeliano y {x1 , . . . , xr } un sistema generador minimal1 de
G tal que o(xi ) = p, i = 1, . . . , r. Probar que G ∼
= Z/Zp × · · · × Z/Zp .
Esquema de solución:
G es producto directo interno de los < xi > que son Cp ; ahora cada Cp es
isomorfo a Z/pZ
4. Probar que
G = G1 × · · · × Gn =⇒ G = G1 × · · · × Gn
Dar un ejemplo de grupo perfecto (G = G ) no simple
Esquema de solución:
Por inducción, sea G = A × B. Puesto que
(A × B)/(A × B ) ∼
= A/A × B/B abeliano
(A × B) ≤ A × B .
Recı́procamente, cualquier generador de A × B :
([a1 , a2 ], [b1 , b2 ]) = [(a1 , b1 ), (a2 , b2 )] ∈ (A × B)
5. Pruébese que el producto directo de n grupos resolubles, lo es.
Esquema de solución: La serie derivada debe terminar; de otra forma, se
deduce del caso n = 2, por inducción, y del hecho:
(A × B)/A ∼
=B
1 ningún
resoluble y
subconjunto propio genera G
A
resoluble =⇒ (A × B) resoluble
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TEORIA DE GRUPOS
6. Dar un ejemplo de 4 grupos A, B, C, D tales que
(A × B) ∼
= (C × D)
pero
A∼
C, D
=
B∼
C, D
=
Esquema de solución: Cp , Cq , Cpq , 1
7. Sean M, N ✁ G. Probar que G/(M ∩ N ) es isomorfo a un subgrupo de
G/M × G/N . Deducir que si G/M , G/N son abelianos, nilpotentes, resolubles, G/(M ∩ N ) lo es.
Esquema de solución:
x −→ (xM, xN ) tiene por núcleo M ∩ N
8. Sea N ✁ G = G1 × · · · × Gn . Probar que N ≤ Z(G) o corta no trivialmente
a algún Gi .
Esquema de solución: [n, gi ] ∈ N ∩ Gi Por tanto,
N ∩ Gi = 1, ∀i =⇒ [n, gi ] = 1, ∀n ∀gi ∀i =⇒ N ≤ Z(G)
9. Dar un ejemplo de un producto directo A×B con un subgrupo normal N = 1
que corte trivialmente a A y a B
Esquema de solución: Klein
10. Dar ejemplos que contradigan las siguientes afirmaciones:
A∼
=B
C∼
= D =⇒ A/C ∼
= B/D
A∼
=B
A/C ∼
= B/D =⇒ C ∼
=D
∼ B/D =⇒ A ∼
C∼
= D A/C =
=B
Esquema de solución:
A = C = D = 2Z B = Z
A = B = D4
A = C4
C = C2 × C2
C = D = C2
D = C4
B = C2 × C2
11. Dar un ejemplo (existe al menos uno muy sencillo) para probar que no se
puede suprimir la hipótesis de H abeliano en el teorema 8.21
Esquema de solución: < (1 2) > × < (1 3) > y S3