Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso FENÓMENOS DE ESPERA 1. Introducción a los Sistemas de Espera. Considere las siguientes situaciones: • Barcos que esperan ser atendidos en un puerto. • Clientes que esperan ser atendidos en una caja pagadora. • Automóviles que esperan ser atendidos en una plaza de peaje. • Aviones que esperan despegar de un aeropuerto. Figura Nº1 Ejemplo de Sistema de espera Todas estas situaciones, ¿qué tienen en común?, él fenómeno que se repite en todas estas situaciones es Módulo de Teoría de Colas 1 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso "la espera". ¿No sería más adecuado, qué todos estos servicios y otros similares sean sin la molestia de tener qué esperar?, La manifestación de la espera es el resultado directo de la aleatoriedad en la operación de instalaciones de servicio. En general, la llegada y atención del cliente y su tiempo de servicio no son conocidos con anticipación, pero por otro lado, la operación de la instalación se podría programar de modo tal que eliminaría la espera por completo. 1.1 Teoría de Líneas de Espera El conocimiento de las líneas de espera, e instruirse en la forma de administrarlas es una de las áreas más importantes en la gestión de sistemas. Además, es fundamental para el diseño y programación de sistemas de atención masiva como ser: • Plazas de peajes. • Manejo de niveles de inventario, etc. Diariamente se espera en múltiples actividades cotidianas, desde la realización de una transacción en Módulo de Teoría de Colas 2 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso un banco(deposito, o cobranza de un cheque), hasta cuando se espera por el despegue de un avión. También se producen esperas en las fábricas: los lotes de producción aguardan en hileras para que trabajen en ellas diferentes máquinas, e incluso las mismas máquinas que esperan turno para su reparación. Este documento expone los elementos básicos de los problemas que plantean las líneas de espera, y se entregan las fórmulas estandarizadas para su solución. Fórmulas que han sido desarrolladas por la teoría de colas, los que permiten a los planeadores analizar los requerimientos de servicios y establecer instalaciones apropiadas según condiciones específicas. La teoría de líneas de espera, es lo bastante amplia como para cubrir demoras tan disímiles como las que afrontan los barcos en un puerto, o los pasajeros en un terminal ferroviario esperado la salida del tren. E incluso, en el último tiempo los proveedores de acceso a Internet han tenido problemas para proveer suficientes líneas telefónicas para suscriptores que se conectan a Internet. Módulo de Teoría de Colas 3 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso 1.2 Economía del problema de fila de espera. El principal problema que plantean prácticamente todas la situaciones de líneas de espera es una decisión de transacción. El gerente tiene que evaluar el costo adicional que representaría prestar un mejor servicio disminuyendo la espera (por ejemplo: aumentar el número pistas de circulación; grúas portacontenedores adicionales; más cajas en un peaje, etc.) en comparación con el costo inherente a la espera. Figura Nº2 Ejemplo de sistema de contenedores. Frecuentemente, la decisión de transacción es bastante directa referente a los costos. Módulo de Teoría de Colas 4 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso Por ejemplo, si se observa el tiempo total que los cajeros de una sucursal bancaria pasan en la “fila improductiva”, esperando que se desocupe la máquina que cuenta billetes, se podría hacer una comparación entre el costo de instalar Una máquina adicional con el valor del tiempo ahorrado a los cajeros. De este modo, la decisión podría reducirse a términos monetarios lo que, facilita el Figura Nº3 Decisiones proceso. Otro ejemplo puede ser si el problema de línea de espera se concentra en la demanda de estacionamientos en un centro comercial, es posible computar el costo de agregar nuevos estacionamientos, al sumar los costos de adquisición del terreno adicional, la construcción de los estacionamientos, el equipo adicional requerido y más mantenimiento. Pero ¿qué factores pesan en el otro extremo de la balanza? En este caso, el problema es tratar de asignarle una cifra en unidades monetarias a la necesidad que tiene Módulo de Teoría de Colas 5 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso un cliente de un estacionamiento, y el estacionamiento no este disponible en dicho instante en el centro comercial. Figura Nº4 Factores adicionales Aun cuando es posible cuantificar los ingresos que perdería el centro comercial, ¿cuál es el costo humano derivado de la inexistencia de estacionamiento en el centro comercial?. 1.3 Balance de Costo – Efectividad. La Figura Nº5 muestra la relación de transacción esencial bajo condiciones de afluencia de clientes (estables) típicas. Inicialmente, con una capacidad de servicio mínima, el costo de la fila de espera está en su máximo. La capacidad de servicio se muestra de manera simple como una función lineal, y no por pasos. El costo Módulo de Teoría de Colas 6 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso agregado o total aparece como una curva en forma de U, una aproximación corriente a este tipo de problemas de equilibrio. El costo óptimo idealizado se ubica en el punto de cruce entre las curvas de capacidad de servicio y fila de espera. Costo Costo Agregado M nimo Costo de Capacidad de Servicio Costo de línea De Espera Capacidad de la línea de servicio Figura Nº5 Capacidad de servicio versus Capacidad de instalación 1.4 Punto de vista práctico de las líneas de espera. El cuadro Nº6 muestra las llegadas a una instalación de servicios (un banco, por ejemplo) y los requerimientos de servicio en esa instalación (por ejemplo, depósitos y giros con los cajeros, y solicitudes de crédito con un ejecutivo encargado). Módulo de Teoría de Colas 7 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso Una variable importante es la cantidad de clientes que llegan en el transcurso de las horas que está abierto la instalación de servicios. Desde el punto de vista de la entrega de servicios, los clientes solicitan diferentes requerimientos de servicios, que muchas veces exceden la capacidad normal. Llegada Clientes Fila de Espera Servidores Salida Figura Nº6 Componentes de un sistema de espera 1.5 Perfiles De Llegadas De Clientes Y Servicio. A pesar que los perfiles de las llegadas de los clientes son muy dispares, es posible ejercer cierto control sobre la llegada de clientes de varias maneras. Módulo de Teoría de Colas 8 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso Por ejemplo, tener una fila de espera corta (como un drive-in en un restaurante de comida rápida con sólo unos pocos espacios disponibles), establecer horas específicas para clientes específicos o hacer arreglos especiales. La figura Nº7 muestra perfiles de arribos de clientes y requerimientos de servicios. Llegadas de Clientes Número de Llegadas Requerimientos de servicio Tiempo de Servicio Capacidad Normal Tiempo Tiempo Figura Nº7 Perfiles de llegadas de clientes y servicio Desde la perspectiva del servidor, el tiempo de servicio se puede modificar utilizando servidores más rápidos o Módulo de Teoría de Colas 9 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte más lentos, Universidad Católica de Valparaíso máquinas más o menos lentas, herramientas, materiales y disposiciones diferentes, tiempos de arranque más rápidos, etc. El factor esencial es que las filas de espera no son una condición fija de un sistema productivo sino que en gran medida están bajo el control de la gerencia y el diseño del sistema. 2. El Sistema de Filas de Espera. Desde el punto de vista de un modelo de espera, la situación de espera se genera del siguiente modo: i) Cuando un cliente llega a la instalación se forma una cola de espera (fila o línea). ii) El servidor elige un cliente de la línea de espera para comenzar a prestar el servicio. iii) Al finalizar un servicio, el cliente abandona el servicio y se repite el proceso de elegir un cliente (en espera). Se supone que no se pierde tiempo entre el momento en que un cliente tras ser atendido, sale de la instalación y la admisión de un nuevo cliente a la línea de espera. Módulo de Teoría de Colas 10 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso En función de lo anterior, es posible distinguir en cualquier sistema de líneas de espera tres grandes componentes: a) La población fuente y la manera en que los clientes llegan al sistema. b) El sistema de prestación del servicio. c) La condición del cliente que sale del sistema (¿de regreso a la población fuente o no?). La interacción cliente servidor sólo es de interés en tanto se relacione con el periodo que requiere el cliente para completar el servicio. Por lo tanto, desde el punto de vista de las llegadas de clientes, nos interesan los intervalos de tiempo que separan llegadas sucesivas. 2.1 Llegada de clientes. La figura Nº8 muestra las configuraciones generales de los sistemas de filas de espera. Módulo de Teoría de Colas 11 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso La llegada de clientes a un sistema de servicios puede derivarse de una población finita o infinita. Esta distinción es importante porque los análisis se basan en premisas diferentes y su solución exige ecuaciones distintas. Finita Fuente de Población Infinita Figura Nº8 Fuentes de origen de clientes 2.1.1 Población finita. Una población finita se refiere al grupo de clientes de tamaño limitado que utilizará el servicio y que, en ciertos momentos, hará fila. Esta clasificación de finita es importante porque cuando un cliente deja su posición como miembro de la, población: por ejemplo, en un servicio con cinco Módulo de Teoría de Colas 12 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso máquinas, si una máquina se avería y requiere servicio, el tamaño del grupo de usuarios se reduce en uno, lo cual reduce la probabilidad de la siguiente ocurrencia). Por el contrario, cuando se atiende un cliente y éste regresa al grupo de usuarios, la población aumenta y la probabilidad de que un usuario requiera servicio aumenta. Este tipo de problemas con población finita, precisa de una serie de fórmulas distintas de aquellas que se aplican a una población infinita. 2.1.2 Población infinita. Población infinita, es aquella lo bastante grande con relación al sistema de servicio como para que el cambio de tamaño, ocasionado por sustracciones o adiciones a la población (un cliente que necesita servicio, o un cliente ya atendido que regresa a la población) no afecte significativamente las probabilidades del sistema. En la anterior explicación sobre la población finita, si hubiera cien máquinas en lugar de seis, y una o dos máquinas se averiaran, las probabilidades de una siguiente avería no serían muy distintas y se podría asumir sin mucho margen de error que la población (para fines prácticos) es infinita. Módulo de Teoría de Colas 13 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso Tampoco las fórmulas para solucionar problemas de filas “infinitas” causarían muchos errores si se aplicaran a un médico con 1.000 pacientes o a un almacén de departamentos con 10.000 clientes. 2.2 Distribución de llegadas. Al describir un sistema de espera, es necesario definir la manera en que se dispone a los clientes o las unidades de espera mientras se presta el servicio. Las fórmulas de fila de espera por lo general requieren una tasa de llegadas, o el número de unidades por periodo, por ejemplo: un promedio de una cada seis minutos. Una distribución de llegadas constante es periódica, con exactamente el mismo periodo de tiempo entre las sucesivas llegadas. En los sistemas productivos, casi las únicas llegadas que en realidad se acercan a un periodo de intervalo constante son las sujetas a controles de máquinas. Son mucho más comunes las distribuciones de llegadas variables (aleatorias). Las llegadas en una instalación de servicios se pueden considerar desde dos puntos de vista. a) Se puede analizar el tiempo transcurrido entre las llegadas sucesivas para comprobar si los tiempos Módulo de Teoría de Colas 14 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso siguen algún tipo de distribución estadística. Por lo general, se asume que el tiempo transcurrido entre las llegadas se distribuye exponencialmente. b) Establecer algún periodo de tiempo (T), e intentar determinar cuantas llegadas podrían ingresar al sistema en T. El número de llegadas por unidad de tiempo se distribuye mediante Poisson. 2.3 El sistema de fila de espera. El sistema de fila de espera consiste en la(s) fila(s) de espera y en la cantidad de servidores disponibles. 2.3.1 La fila de espera. Entre los factores a considerar en las filas de espera están: el largo de la fila, la cantidad de filas y la disciplina de fila. 2.3.2 Longitud: En un sentido práctico, una fila infinita es simplemente aquella que resulta muy prolongada en términos de la capacidad del sistema de servicios. Módulo de Teoría de Colas 15 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso 2.3.3 Número de filas: Una fila única es una sola fila. El término filas múltiples se refiere a las filas únicas que se forman frente a dos o más servidores, o bien a filas únicas que convergen en algún punto de redistribución. 2.3.4 Disciplina de la fila: La disciplina de la fila, es una regla o serie de reglas prioritarias, para determinar el orden de servicio a clientes que aguardan en una fila de espera. Las reglas seleccionadas, pueden ejercer un efecto importante en él desempeño global del sistema. La cantidad de clientes en la fila, el tiempo de espera promedio, el rango de variabilidad en el tiempo de espera y la eficiencia de las instalaciones de servicio son apenas algunos de los factores que se ven afectados por la selección de reglas de prioridad. Probablemente, la regla de prioridad más corriente es la atención en orden de llegada FIFO. Esta regla estipula que a los clientes de la fila se les atiende con base en el momento de llegada: Otros ejemplos de las, reglas de prioridad son las reservaciones primero, las emergencias primero, el Módulo de Teoría de Colas 16 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso cliente de mayor rentabilidad primero, los pedidos más grandes primero, los mejores clientes primero, el tiempo de espera en fila mas largo y la fecha prometida más temprana. Existen dos grandes problemas prácticos en el uso de cualquier regla: a) Uno de ellos es asegurarse de que los clientes conocen y obedecen la regla. b) El otro es asegurarse de que existe un sistema que permita a los empleados administrar la fila (por ejemplo: sistemas en los que se toma un número). 3 Distribución del tiempo de servicio: Otra característica importante de la estructura de espera es el tiempo que el cliente o la unidad pasa con el servidor, una vez iniciado el servicio. Las fórmulas de fila de espera por lo general describen la tasa de servicio como la capacidad del servidor en número de unidades por periodo de tiempo (por ejemplo, 12 atenciones por hora) y no como tiempo de servicio, que podría ser de cinco minutos promedio cada uno. Una regla de tiempo de servicio constante estipula que cada servicio toma exactamente la misma cantidad de tiempo. Como sucede en las llegadas constantes, esta Módulo de Teoría de Colas 17 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso característica por lo general se limita a las operaciones controladas mediante máquinas. Cuando los tiempos de servicio son aleatorios, una buena aproximación a ellos puede ser la distribución exponencial. Cuando se emplee la distribución exponencial como una aproximación de los tiempos de servicio, se utilizará m como el número promedio de unidades o clientes que se pueden atender durante cada periodo de tiempo. 4. Estructuras de filas. El flujo de elementos de servicio puede ser una fila única, filas múltiples o una mezcla de ambas La selección del formato depende en parte del volumen de clientes atendido y en parte de las restricciones impuestas por los requerimientos secuenciales que rigen el orden en que se debe prestar el servicio. 4.1 Canal único, fase única: Éste es el tipo más sencillo de estructura de fila de espera y existen fórmulas muy directas para resolver el problema para patrones de distribución estándares, de llegadas y servicio. Módulo de Teoría de Colas 18 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso Cuando las distribuciones no son estándar, el problema se soluciona fácilmente mediante simulaciones en computador. Un ejemplo típico de una situación de canal único y fase única es la peluquería manejada por una sola persona. 4.2 Canal único, fases múltiples. Un centro de lavado de autos ilustra este tipo de estructura, pues allí se realiza una serie de servicios (aspirar, mojar, enjabonar, lavar, secar, limpiar ventanas y estacionar) en tina secuencia bastante uniforme. Uno de los factores críticos en el caso de canal único con servicio en serie es la cantidad de acumulación de elementos que se permite frente a cada servicio, lo cual a su vez significa filas de espera separadas. 4.3 Canales múltiples, fase única: Las ventanillas de cajeros en un banco y las cajas registradoras en almacenes de departamentos con altos volúmenes de ventas son ejemplos este tipo de estructura. Módulo de Teoría de Colas 19 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso La dificultad que plantea este sistema es que el tiempo de servicio desigual que se asigna a cada cliente redunda en una velocidad o flujo desigual en las filas. Como resultado, algunos clientes son atendidos primeros que otros que llegaron antes y hasta cierto punto se producen cambios entre las filas. Para cambiar esta estructura con el fin de asegurarla atención de los clientes en orden cronológico de llegada, sería preciso formar una fila única desde la cual, a medida que se desocupa un servidor, se llama al siguiente cliente en la fila. El principal problema que plantea esta estructura es que requiere un control rígido de la fila para mantener el orden y dirigir a los clientes a los servidores disponibles. En algunos casos, la asignación de números a los clientes en orden de llegada ayuda a aliviar este problema. 4.4 Canales múltiples, fases múltiples. Este caso es semejante al anterior, salvo que se realizan dos o más servicios en secuencia. La admisión de pacientes en un hospital siguen este patrón, porque por lo general se sigue una secuencia específica de pasos. Módulo de Teoría de Colas 20 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso Como suele haber varios servidores disponibles para efectuar este procedimiento, se puede procesar a más de un paciente a la vez. 4.5 Mixto: Bajo este encabezamiento general hay dos subcategorías: 1. Estructuras de canales múltiples a único. 2. Estructuras de ruta alterna. Bajo la categoría 1, se encuentran filas que se fusionan para formar una, con el fin de recibir un servicio de fase única, como en el cruce de un puente donde dos vías se funden en una sola, o filas que se funden en una para recibir un servicio de fases múltiples, como las líneas de subensamble que fluyen hacia la línea principal. Bajo la categoría 2, se encuentran dos estructuras que difieren en cuanto a los requerimientos de flujo direccional. La primera se parece al caso de canales múltiples y fases múltiples, salvo que (1) puede haber cambios de un canal al siguiente una vez recibido el primer servicio, y (2) el número de canales y fases puede variar, nuevamente, después de prestado el primer servicio. Módulo de Teoría de Colas 21 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso 5 Salida: Una vez atendido el cliente. existen dos posibilidades de salida: a) El cliente puede regresar a la población fuente y volverse de inmediato un candidato que compite nuevamente por el servicio o: b) Puede haber una ligera probabilidad de reservicio. Debería ser claro que cuando la fuente de población es finita, cualquier cambio en el servicio prestado a clientes que regresan a la población modifica la tasa de llegada en la instalación de servicios. Esto, desde luego altera las características de la fila de espera que esta en estudio y precisa de un nuevo análisis del problema. 5. Modelos y Configuración de Filas de Espera A continuación se presentan los modelos y configuración de filas de espera y la nomenclatura de notación normalizada. El investigador británico D. Kendall introdujo en 1953 una notación pragmática para las diferentes líneas de espera. Posteriormente Lee completó esta lista en 1966. La nomenclatura o notación general es la siguiente: Módulo de Teoría de Colas 22 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso (a/b/c) : (d/e/f) a: Distribución de llegadas. b: Distribución de servicio. c: Número de servidores en paralelo en el sistema. d: Disciplina de servicio. e: Máximo número de clientes que pueden estar en el sistema (esperando y recibiendo servicio) f: Fuente de generación de clientes. i) Los parámetros a y b emplean los siguientes códigos: M: Llegada con distribución Poisson y servicio Exponencial. D: Llegada o servicio determinístico. E: Llegada y servicios distribuidos respectivamente con distribución Erlang y Gama. GI: Llegadas con una distribución general independiente. G: Servicios con una distribución general independiente. ii) En d se utilizan los siguientes códigos: FCFS:FIFO Primero en ingresar es el primero en salir. Módulo de Teoría de Colas 23 Juan Sánchez R. Escuela de Ingeniería de transporte Universidad Católica de Valparaíso LCFS:LIFO Ultimo que ingresa es el primero en salir. FEFO: El primero que expira es el primero en salir. SIRO: Servicio en orden aleatorio. GD: Disciplina general de servicio. NPRP: Servicio prioritario no abortivo. RPP: iii) Servicio prioritario abortivo. En e y f el valor puede ser un entero finito o infinito. Módulo de Teoría de Colas 24 Juan Sánchez R.