Introducción a las líneas de espera

Escuela de Ingeniería de transporte
Universidad Católica de Valparaíso
FENÓMENOS DE ESPERA
1. Introducción a los Sistemas de Espera.
Considere las siguientes situaciones:
•
Barcos que esperan ser atendidos en un puerto.
•
Clientes que esperan ser atendidos en una caja
pagadora.
•
Automóviles que esperan ser atendidos en una
plaza de peaje.
•
Aviones que esperan despegar de un aeropuerto.
Figura Nº1 Ejemplo de Sistema de espera
Todas estas situaciones, ¿qué tienen
en común?, él
fenómeno que se repite en todas estas situaciones es
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"la espera". ¿No sería más adecuado, qué todos estos
servicios y otros similares sean sin la molestia de tener
qué esperar?, La manifestación de la espera es el
resultado directo de la aleatoriedad en la operación de
instalaciones de servicio.
En general, la llegada y atención del cliente y su tiempo
de servicio no son conocidos con anticipación, pero por
otro lado, la operación de la instalación se podría
programar de modo tal que
eliminaría la espera por
completo.
1.1 Teoría de Líneas de Espera
El conocimiento de las líneas de espera, e instruirse en
la forma de administrarlas es una de las áreas más
importantes en la gestión de sistemas. Además, es
fundamental para el diseño y programación de sistemas
de atención masiva como ser:
• Plazas de peajes.
• Manejo de niveles de inventario, etc.
Diariamente
se
espera
en
múltiples
actividades
cotidianas, desde la realización de una transacción en
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un banco(deposito, o cobranza de un cheque), hasta
cuando se espera por el despegue de un avión.
También se producen esperas en las fábricas: los lotes
de producción aguardan en hileras para que trabajen
en ellas diferentes máquinas, e incluso las mismas
máquinas que esperan turno para su reparación.
Este documento
expone los elementos básicos de los
problemas que plantean las líneas de espera, y se
entregan las fórmulas estandarizadas para su solución.
Fórmulas que han sido desarrolladas por la teoría de
colas, los que permiten a los planeadores analizar los
requerimientos de servicios y establecer instalaciones
apropiadas según condiciones específicas.
La teoría de líneas de espera, es lo bastante amplia
como para cubrir demoras tan disímiles como las que
afrontan los barcos en un puerto, o los pasajeros en un
terminal ferroviario esperado la salida del tren.
E incluso, en el último tiempo los proveedores de acceso
a
Internet
han
tenido
problemas
para
proveer
suficientes líneas telefónicas para suscriptores que se
conectan a Internet.
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1.2 Economía del problema de fila de espera.
El principal problema que plantean prácticamente todas
la situaciones de líneas de espera es una decisión de
transacción.
El gerente tiene que evaluar el costo adicional que
representaría prestar un mejor servicio disminuyendo la
espera (por ejemplo: aumentar el número pistas de
circulación; grúas portacontenedores adicionales; más
cajas en un peaje, etc.) en comparación con el costo
inherente a la espera.
Figura Nº2 Ejemplo de sistema de contenedores.
Frecuentemente, la decisión de transacción es bastante
directa referente a los costos.
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Por ejemplo, si se observa el tiempo total que los cajeros
de
una
sucursal
bancaria
pasan
en
la
“fila
improductiva”, esperando que se desocupe la máquina
que cuenta billetes, se podría hacer una comparación
entre el costo de instalar
Una
máquina
adicional con el valor
del tiempo ahorrado
a los cajeros. De este
modo,
la
decisión
podría
reducirse
a
términos monetarios
lo que,
facilita el
Figura Nº3 Decisiones
proceso.
Otro ejemplo puede ser si el problema de línea de
espera se concentra en la demanda de estacionamientos
en un centro comercial, es posible computar el costo de
agregar nuevos estacionamientos, al sumar los costos
de adquisición del terreno adicional, la construcción de
los estacionamientos, el equipo adicional requerido y
más mantenimiento. Pero ¿qué factores pesan en el otro
extremo de la balanza?
En este caso, el problema es tratar de asignarle una
cifra en unidades monetarias a la necesidad que tiene
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un cliente de un estacionamiento, y el estacionamiento
no este disponible en dicho
instante en el centro
comercial.
Figura Nº4 Factores adicionales
Aun cuando es posible cuantificar los ingresos que
perdería el centro comercial, ¿cuál es el costo humano
derivado de la inexistencia de estacionamiento en el
centro comercial?.
1.3 Balance de Costo – Efectividad.
La Figura Nº5 muestra la relación de transacción
esencial bajo condiciones de afluencia de clientes
(estables) típicas.
Inicialmente, con una capacidad de servicio mínima, el
costo de la fila de espera está en su máximo.
La capacidad de servicio se muestra de manera simple
como una función lineal, y no por pasos. El costo
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agregado o total aparece como una curva en forma de
U, una aproximación corriente a este tipo de problemas
de equilibrio. El costo óptimo idealizado se ubica en el
punto de cruce entre las curvas de capacidad de
servicio y fila de espera.
Costo
Costo
Agregado
M nimo
Costo de
Capacidad de
Servicio
Costo de línea
De Espera
Capacidad de la línea de servicio
Figura Nº5 Capacidad de servicio versus Capacidad de instalación
1.4 Punto de vista práctico de las líneas de espera.
El cuadro Nº6 muestra las llegadas a una instalación de
servicios (un banco, por ejemplo) y los requerimientos
de servicio en esa instalación (por ejemplo, depósitos y
giros con los cajeros, y solicitudes de crédito con un
ejecutivo encargado).
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Una variable importante es la cantidad de clientes que
llegan en el transcurso de las horas que está abierto la
instalación de servicios.
Desde el punto de vista de la entrega de servicios, los
clientes solicitan diferentes requerimientos de servicios,
que muchas veces exceden la capacidad normal.
Llegada
Clientes
Fila de Espera
Servidores
Salida
Figura Nº6 Componentes de un sistema de espera
1.5 Perfiles De Llegadas De Clientes Y Servicio.
A pesar que los perfiles de las llegadas de los clientes
son muy dispares, es posible ejercer cierto control sobre
la llegada de clientes de varias maneras.
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Por ejemplo, tener una fila de espera corta (como un
drive-in en un restaurante de comida rápida con sólo
unos pocos espacios disponibles), establecer horas
específicas para clientes específicos o hacer arreglos
especiales.
La figura Nº7 muestra perfiles de arribos de clientes y
requerimientos de servicios.
Llegadas de Clientes
Número de
Llegadas
Requerimientos de servicio
Tiempo de
Servicio
Capacidad
Normal
Tiempo
Tiempo
Figura Nº7 Perfiles de llegadas de clientes y servicio
Desde la perspectiva del servidor, el tiempo de servicio
se puede modificar utilizando servidores más rápidos o
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más
lentos,
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máquinas
más
o
menos
lentas,
herramientas, materiales y disposiciones diferentes,
tiempos de arranque más rápidos, etc.
El factor esencial es que las filas de espera no son una
condición fija de un sistema productivo sino que en
gran medida están bajo el control de la gerencia y el
diseño del sistema.
2. El Sistema de Filas de Espera.
Desde el punto de vista de un modelo de espera, la
situación de espera se genera del siguiente modo:
i) Cuando un cliente llega a la instalación se forma
una cola de espera (fila o línea).
ii) El servidor elige un cliente de la línea de espera
para comenzar a prestar el servicio.
iii) Al finalizar un servicio, el cliente abandona el
servicio y se repite el proceso de elegir un cliente
(en espera).
Se supone que no se pierde tiempo entre el momento en
que un cliente tras ser atendido, sale de la instalación
y la admisión de un nuevo cliente a la línea de espera.
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En función de lo anterior, es posible distinguir en
cualquier sistema de líneas de espera tres grandes
componentes:
a) La población fuente y la manera en que los clientes
llegan al sistema.
b) El sistema de prestación del servicio.
c) La condición del cliente que sale del sistema (¿de
regreso a la población fuente o no?).
La interacción cliente servidor sólo es de interés en
tanto se relacione con el periodo que requiere el cliente
para completar el servicio. Por lo tanto, desde el punto
de vista de las llegadas de clientes, nos interesan los
intervalos de tiempo que separan llegadas sucesivas.
2.1 Llegada de clientes.
La figura Nº8 muestra las configuraciones generales de
los sistemas de filas de espera.
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La llegada de clientes a un sistema de servicios puede
derivarse de una población finita o infinita. Esta
distinción es importante porque los análisis se basan en
premisas diferentes y su solución exige ecuaciones
distintas.
Finita
Fuente de
Población
Infinita
Figura Nº8 Fuentes de origen de clientes
2.1.1 Población finita.
Una población finita se refiere al grupo de clientes de
tamaño limitado que utilizará el servicio y que, en
ciertos momentos, hará fila.
Esta clasificación de finita es importante porque cuando
un cliente deja su posición como miembro de la,
población: por ejemplo, en un servicio con cinco
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máquinas, si una máquina se avería y requiere servicio,
el tamaño del grupo de usuarios se reduce en uno, lo
cual reduce la probabilidad de la siguiente ocurrencia).
Por el contrario, cuando se atiende un cliente y éste
regresa al grupo de usuarios, la población aumenta y la
probabilidad de que un usuario requiera servicio
aumenta. Este tipo de problemas con población finita,
precisa de una serie de fórmulas distintas de aquellas
que se aplican a una población infinita.
2.1.2 Población infinita.
Población infinita, es aquella lo bastante grande con
relación al sistema de servicio como para que el cambio
de tamaño, ocasionado por sustracciones o adiciones a
la población (un cliente que necesita servicio, o un
cliente ya atendido que regresa a la población) no afecte
significativamente las probabilidades del sistema.
En la anterior explicación sobre la población finita, si
hubiera cien máquinas en lugar de seis, y una o dos
máquinas se averiaran, las probabilidades de una
siguiente avería no serían muy distintas y se podría
asumir sin mucho margen de error que la población
(para fines prácticos) es infinita.
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Tampoco las fórmulas para solucionar problemas de
filas
“infinitas”
causarían
muchos
errores
si
se
aplicaran a un médico con 1.000 pacientes o a un
almacén de departamentos con 10.000 clientes.
2.2 Distribución de llegadas.
Al describir un sistema de espera, es necesario definir la
manera en que se dispone a los clientes o las unidades
de espera mientras se presta el servicio.
Las fórmulas de fila de espera por lo general requieren
una tasa de llegadas, o el número de unidades por
periodo, por ejemplo: un promedio de una cada seis
minutos.
Una distribución de llegadas constante es periódica, con
exactamente el mismo periodo de tiempo entre las
sucesivas llegadas.
En los sistemas productivos, casi las únicas llegadas
que en realidad se acercan a un periodo de intervalo
constante son las sujetas a controles de máquinas. Son
mucho más comunes las distribuciones de llegadas
variables (aleatorias).
Las llegadas en una instalación de servicios se pueden
considerar desde dos puntos de vista.
a) Se puede analizar el tiempo transcurrido entre las
llegadas sucesivas para comprobar si los tiempos
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siguen algún tipo de distribución estadística. Por lo
general, se asume que el tiempo transcurrido entre
las llegadas se distribuye exponencialmente.
b) Establecer algún periodo de tiempo (T), e intentar
determinar cuantas llegadas podrían ingresar al
sistema en T.
El número de llegadas por unidad
de tiempo se distribuye mediante Poisson.
2.3 El sistema de fila de espera.
El sistema de fila de espera consiste en la(s) fila(s) de
espera y en la cantidad de servidores disponibles.
2.3.1 La fila de espera.
Entre los factores a considerar en las filas de espera
están: el largo de la fila, la cantidad de filas y la
disciplina de fila.
2.3.2 Longitud:
En un sentido práctico, una fila infinita es simplemente
aquella que resulta muy prolongada en términos de la
capacidad del sistema de servicios.
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2.3.3 Número de filas:
Una fila única es una sola fila. El término filas múltiples
se refiere a las filas únicas que se forman frente a dos o
más servidores, o bien a filas únicas que convergen en
algún punto de redistribución.
2.3.4 Disciplina de la fila:
La disciplina de la fila, es una regla o serie de reglas
prioritarias, para determinar el orden de servicio a
clientes que aguardan en una fila de espera. Las reglas
seleccionadas, pueden ejercer un efecto importante en
él desempeño global del sistema.
La cantidad de clientes en la fila, el tiempo de espera
promedio, el rango de variabilidad en el tiempo de
espera y la eficiencia de las instalaciones de servicio son
apenas algunos de los factores que se ven afectados por
la selección de reglas de prioridad.
Probablemente, la regla de prioridad más corriente es la
atención en orden de llegada FIFO. Esta regla estipula
que a los clientes de la fila se les atiende con base en el
momento de llegada:
Otros ejemplos de las, reglas de prioridad son las
reservaciones primero, las emergencias primero, el
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cliente de mayor rentabilidad primero, los pedidos más
grandes primero, los mejores clientes primero, el tiempo
de espera en fila mas largo y la fecha prometida más
temprana.
Existen dos grandes problemas prácticos en el uso de
cualquier regla:
a) Uno de ellos es asegurarse de que los clientes
conocen y obedecen la regla.
b) El otro es asegurarse de que existe un sistema que
permita a los empleados administrar la fila (por
ejemplo: sistemas en los que se toma un número).
3
Distribución del tiempo de servicio:
Otra característica importante de la estructura de
espera es el tiempo que el cliente o la unidad pasa con
el servidor, una vez iniciado el servicio.
Las fórmulas de fila de espera por lo general describen
la tasa de servicio como la capacidad del servidor en
número de unidades por periodo de tiempo (por
ejemplo, 12 atenciones por hora) y no como tiempo de
servicio, que podría ser de cinco minutos promedio cada
uno.
Una regla de tiempo de servicio constante estipula que
cada servicio toma exactamente la misma cantidad de
tiempo. Como sucede en las llegadas constantes, esta
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característica por lo general se limita a las operaciones
controladas mediante máquinas.
Cuando los tiempos de servicio son aleatorios, una
buena aproximación a ellos puede ser la distribución
exponencial.
Cuando
se
emplee
la
distribución
exponencial como una aproximación de los tiempos de
servicio, se utilizará m como el número promedio de
unidades o clientes que se pueden atender durante
cada periodo de tiempo.
4.
Estructuras de filas.
El flujo de elementos de servicio puede ser una fila
única, filas múltiples o una mezcla de ambas
La selección del formato depende en parte del volumen
de clientes atendido y en parte de las restricciones
impuestas por los requerimientos secuenciales que
rigen el orden en que se debe prestar el servicio.
4.1 Canal único, fase única:
Éste es el tipo más sencillo de estructura de fila de
espera y existen fórmulas muy directas para resolver el
problema para patrones de distribución estándares, de
llegadas y servicio.
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Cuando las distribuciones no son estándar, el problema
se soluciona fácilmente mediante simulaciones en
computador. Un ejemplo típico de una situación de
canal único y fase única es la peluquería manejada por
una sola persona.
4.2 Canal único, fases múltiples.
Un centro de lavado de autos ilustra este tipo de
estructura, pues allí se realiza una serie de servicios
(aspirar,
mojar,
enjabonar,
lavar,
secar,
limpiar
ventanas y estacionar) en tina secuencia bastante
uniforme.
Uno de los factores críticos en el caso de canal único
con servicio en serie es la cantidad de acumulación de
elementos que se permite frente a cada servicio, lo cual
a su vez significa filas de espera separadas.
4.3 Canales múltiples, fase única:
Las ventanillas de
cajeros en un banco y las cajas
registradoras en almacenes de departamentos con altos
volúmenes
de
ventas
son
ejemplos
este
tipo
de
estructura.
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La dificultad que plantea este sistema es que el tiempo
de servicio desigual que se asigna a cada cliente
redunda en una velocidad o flujo desigual en las filas.
Como
resultado,
algunos
clientes
son
atendidos
primeros que otros que llegaron antes y hasta cierto
punto se producen cambios entre las filas.
Para cambiar esta estructura con el fin de asegurarla
atención de los clientes en orden cronológico de llegada,
sería preciso formar una fila única desde la cual, a
medida que se desocupa un servidor, se llama al
siguiente cliente en la fila.
El principal problema que plantea esta estructura es
que requiere un control rígido de la fila para mantener
el orden y dirigir a los clientes a los servidores
disponibles.
En
algunos
casos,
la
asignación
de
números a los clientes en orden de llegada ayuda a
aliviar este problema.
4.4 Canales múltiples, fases múltiples.
Este caso es semejante al anterior, salvo que se realizan
dos o más servicios en secuencia. La admisión de
pacientes en un hospital siguen este patrón, porque por
lo general se sigue una secuencia específica de pasos.
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Como suele haber varios servidores disponibles para
efectuar este procedimiento, se puede procesar a más
de un paciente a la vez.
4.5 Mixto:
Bajo
este
encabezamiento
general
hay
dos
subcategorías:
1. Estructuras de canales múltiples a único.
2. Estructuras de ruta alterna.
Bajo la categoría 1, se encuentran filas que se fusionan
para formar una, con el fin de recibir un servicio de fase
única, como en el cruce de un puente donde dos vías se
funden en una sola, o filas que se funden en una para
recibir un servicio de fases múltiples, como las líneas de
subensamble que fluyen hacia la línea principal.
Bajo la categoría 2, se encuentran dos estructuras que
difieren en cuanto a los requerimientos de flujo
direccional. La primera se parece al caso de canales
múltiples y fases múltiples, salvo que (1) puede haber
cambios de un canal al siguiente una vez recibido el
primer servicio, y (2) el número de canales y fases puede
variar, nuevamente, después de prestado el primer
servicio.
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5 Salida:
Una vez atendido el cliente. existen dos posibilidades de
salida:
a) El cliente puede regresar a la población fuente y
volverse de inmediato un candidato que compite
nuevamente por el servicio o:
b) Puede haber una ligera probabilidad de reservicio.
Debería ser claro que cuando la fuente de población es
finita, cualquier cambio en el servicio prestado a
clientes que regresan a la población modifica la tasa de
llegada en la instalación de servicios.
Esto, desde luego altera las características de la fila de
espera que esta en estudio y precisa de un nuevo
análisis del problema.
5. Modelos y Configuración de Filas de Espera
A
continuación
se
presentan
los
modelos
y
configuración de filas de espera y la nomenclatura de
notación normalizada.
El investigador británico D. Kendall introdujo en 1953
una notación pragmática para las diferentes líneas de
espera.
Posteriormente Lee completó esta lista en 1966.
La nomenclatura o notación general es la siguiente:
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(a/b/c) : (d/e/f)
a: Distribución de llegadas.
b: Distribución de servicio.
c: Número de servidores en paralelo en el sistema.
d: Disciplina de servicio.
e: Máximo número de clientes que pueden estar en el
sistema (esperando y recibiendo servicio)
f: Fuente de generación de clientes.
i) Los parámetros a y b emplean los siguientes
códigos:
M:
Llegada con distribución Poisson y servicio
Exponencial.
D:
Llegada o servicio determinístico.
E:
Llegada
y
servicios
distribuidos
respectivamente con distribución Erlang y
Gama.
GI:
Llegadas con una distribución general
independiente.
G:
Servicios con una distribución general
independiente.
ii)
En d se utilizan los siguientes códigos:
FCFS:FIFO Primero en ingresar es el primero en
salir.
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LCFS:LIFO Ultimo que ingresa es el primero en
salir.
FEFO: El primero que expira es el primero en salir.
SIRO: Servicio en orden aleatorio.
GD:
Disciplina general de servicio.
NPRP: Servicio prioritario no abortivo.
RPP:
iii)
Servicio prioritario abortivo.
En e y
f el valor puede ser un entero finito o
infinito.
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