I.S.C. - 6to Sem - Simulacion - Servidor de Apoyo al Sistema

UNIDAD 1: INTRODUCCION A LA
SIMULACION.
Una de las más importantes heramientas para analizar el diseño y operación de sistemas
de procesos complejos es la simulación. Aunque la solución al problema nunca es exacta,
las aproximaciones que se obtienen son bastante buenas.
Aunque la construcción de modelos se inicio desde el renacimiento, el uso actual de la
palabra Simulación data del año 1940, cuando los científicos Von Neuman y Stanislau
Ulam que trabajaban en el proyecto manhattan, hicieron referencia a la simulación
montecarlo, en el Laboratorio Nacional de los Alamos de California, durante la segunda
guerra mundial, resolvieron problemas de reacciones nucleares cuya solución
experimental sería muy cosotosa y el análisis matemático demasiado compleja. Con la
utilización de la computadora en los experimentos de simulación, surgieron numerosas
aplicaciones y con ello, una mayor cantidad de problemas teóricos y prácticos.
DEFINICIÓN DE SIMULACIÓN.
Simulación es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real, el cual sirve para
dirigir los experimentos. con el propósito de entender el comportamiento del sistema y
proponer varias estrategias para realizar la operación de esta.
Por sistema real, se refiere a la representación de un conjunto de ideas de tal forma que
sea diferente a la entidad misma, en este caso el término "real" se usa en el sentido de "
en existencia o capaz de ser puesto en existencia", esto quiere decir que el sistema no
necesariamente tiene que ser real.
EL PORQUE DE LA SIMULACIÓN.
El principio racional para usar la simulación en cualquier area del conocimiento es la
búsqueda del hombre por adquirir conocimientos referentes a la predicción del futuro, o
la explicación lógica de un fenómeno.
Esta búsqueda es tan antigua como la historia de la humanidad. En el siglo XVII, La
filosofía era la única alternativa a la vista para reazlizar tales indagaciones, este método
fue utilizado por personajes tan importantes como: Platón, Aristóteles, Euclides y
otros.
En 1620 Francis Bacon introdujo el Método Científico el cual consta de cuatro pasos:




Observación del sitema físico en estudio.
Formulación de hipótesis las cuales deberían explicar el comportamiento del
sistema.
Obtener una teoría que explique el comportamiento del sistema, utilizando una
deducción lógica o más rigurosamente un modelo matemático.
Expermientación para probar la validez de la teoría propuesta.
Pero en ocasiones es muy difícil utilizar este método en algunos sistemas particulares,
entonces la Simulación aparece como una alternativa muy eficiente.
METODOLOGÍA DE LA SIMULACIÓN POR COMPUTADOR.
CLASIFICACION DEL SISTEMA.
El diseño de un modelo de simulación depende de clasificar como uno de dos tipos:
SISTEMA DE EVENTOS DISCRETOS: Es un sistema cuyo estado cambia sólo en
ciertos puntos del tiempo. Según su tipoo se puden dividir en:
1. Sistema de terminación: si en el sistema existen puntos de inicio y terminación
precisos y conocidos.
2. Sistema de no terminación: Si es un sistema en curso que carece de puntos de
inicio y terminación.
SISTEMA CONTINUO: Es un sistema cuyo estado cambia continuamente y a cada
instante en el transcuros del tiempo.
COMPONENTES DE UNA SIMULACIÓN POR COMPUTADOR.
Antes de diseñar una simulación por computador es desicivo tener presentes los
siguientes componentes:


Los objetivos o datos de salida del estudio de simulación que tienen la forma de
un valor numérico específico.
Los datos de entrada o valores numéricos necesarios para determinar las salidas
de la simulación. Estos puden ser:
1. Condiciones iniciales: valores que expresan el estado del sistema al principio de
una simulación.
2. Datos determinísticos: valores conocidos necesarios para calcular las salidas de la
simulación.
3. Datos probabilísticos: magnitudes numéricas cuyos valores son inciertos pero
necesarios para obtener las salidas de la simulación.
DISEÑO DE LA SIMULACIÓN POR COMPUTADOR.




1.
2.
3.
4.
5.
Generación de números aleatorios: se obtienen las entradas probabilísticas para el
modelo generando números aleatorios de acuerdo a las distribuciones conocidas
asociadas.
Contabilidad: se diseña un método sistemático para almacenar y procesar todos
los valores de entrada y para realizar los cálculos necesarios para obtener los
valores de salida.
Implementación del modelo en el computador. Hay que definir que lenguaje
utilizar, para procesarlo en el computador y obtener los resultados deseados.
Validación. A través de esta etapa es posible detallar deficiencias en la
formulación del modelo a en los datos que lo alimentan. Las formas más comunes
de validar un modelo son:
La opinión de los expertos.
La exactitud con que se presicen los datos históricos.
La exactitud en la predicción del futuro.
Utilizar datos que hacen fallar al sistema real.
La acepción y confianza en el modelo de la persona que hará uso de los resultados
obtenidos con el sistema.
6. Interpretación. Interpretar los datos que arroja la simulación y hacer uso de ellos
para tomar desiciones.
7. Documentación. Hacer el manual técnico y el manual de usuario para el sistema
de simulación a utlizarse.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE LA SIMULACIÓN.


Desventajas: Entre estas tenemos que: un buen modelo requiere mucho tiempo
y es bastante costoso. Puede reflejar con presición una situación del mundo real,
cuando en verdad no lo hace. La simulación es imprecisa, y no se pude medir el
grado de error. Generalmente los resultados son numéricos y puden ser
imprecisos por algunas cifras decimales que con el tiempo se covierten en unas
cifras muy significativas al obtenerse el error.
Ventajas: Podemos aplicar la simulación sino existe una formulación matemática
del problema. Se aplica cuando los procedimientod matemáticos son muy
complejos. Se aplica cuando no existe un personal necesario para que resuelva el
problema. Cuando se desea hacer experimentos por un cierto periodo de tiempo
par para observar el comportamiento del sistema. Cuando se requiera que el
proceso sea en menos tiempo. Se aplica a la educación y el entrenamiento.
FUENTE: http://cybersitio.iespana.es/cybersitio/contenido/simulacion/simulacion.htm
La planeación e implementación de proyectos complejos en los negocios, industrias y
gobierno requieren de grandes inversiones, razón por la que es indispensable realizar
estudios preliminares para asegurar su conveniencia de acuerdo a su eficiencia y ejecución
económica para proyectos de cualquier tamaño. Una técnica para ejecutar estudios piloto,
con resultados rápidos y a un costo relativamente bajo, está basado en la modelación y se
conoce como simulación. El proceso de elaboración del modelo involucra un grado de
abstracción y no necesariamente es una réplica de la realidad; consiste en una descripción
que puede ser física, verbal o abstracta en forma, junto con las reglas de operación. Más aún
debido a que el modelo es dinámico, su respuesta a diferentes entradas puede ser usada
para estudiar el comportamiento del sistema del cual fue desarrollado.
La simulación de sistemas ofrece un método para analizar el comportamiento de un sistema.
Aunque los sistemas varían en sus características y complejidades, la síntesis de la formación
de modelos, la ciencia de la computación, y las técnicas estadísticas que representa este tipo
de simulación constituye un conjunto útil de métodos para aprender sobre estas
características y complejidades e imponerles una estructura. Para comprender las
características técnicas de este enfoque y aplicarlas a un problema real, es necesario
familiarizarse con los conceptos que describen un sistema y un modelo.
COMO SE DEFINE UN SISTEMA EN SIMULACIÓN. Colección de entradas que pasan a
través de las fases de cierto proceso, produciendo respuestas. Por ejemplo:
SISTEMA DE MANUFACTURA
ENTRADA
MATERIA PRIMA
PRESUPUESTO
INFORMACIÓN
PROCESO
FACILIDADES
SISTEMA DE
TRANSFORMACIÓN
(distribución y asignación)
SALIDA
PRODUCTO
TERMINADO
EVALUACIÓN
1. EFICIENCIA
2. COSTOS DE TRANSFORMACIÓN
3.INVENTARIO EN PROCESO
4.TIEMPO DE PROCESO
5.PRODUCCIÓN/HORA
6.AREA OCUPADA
SISTEMA DE SERVICIO
ENTRADA
CLIENTES
PROCESO
SISTEMA DE SERVICIO:
SERVIDORES
DISCIPLINA DEL SERVICIO
ESPACIO DISPONIBLE
SALIDA
CLIENTE
SATISFECHO
EVALUACIÓN
1. COSTO DEL SISTEMA
2. TIEMPO EN LA COLA
3.TIEMPO EN EL SISTEMA
4.LONGITUD DE COLA
5. OCUPACIÓN DE LOS SERVIDORES
¿QUE ES LA SIMULACIÓN? Existen innumerables definiciones de simulación, aquí
se presentan algunas de las mas aceptadas:
Simulación es una técnica numérica para conducir experimentos en una computadora
digital. estos experimentos comprenden ciertos tipos de relaciones matemáticas y
lógicas, las cuales son necesarias para describir el comportamiento y la estructura de
sistemas complejos del mundo real a través de largos periodos de tiempo.
THOMAS H. NAYLOR
Simulación es el desarrollo de un modelo lógico matemático de un sistema, de tal forma que
se tiene una imitación de la operación de un proceso de la vida real o de un sistema a
través del tiempo. La simulación involucra la generación de una historia artificial de un
sistema, la observación de esta historia mediante la manipulación experimental, nos ayuda a
inferir las características operacionales de tal sistema.
JERRY BANKS
simulación es una técnica numérica para realizar experimentos en una computadora
digital. estos experimentos involucran ciertos tipos de modelos matemáticos y lógicos
que describen el comportamiento de sistemas de negocios, económicos, sociales,
biológicos, físicos o químicos a través de largos periodos de tiempo.
H. MAISEL Y G. GNUGNOLI
PARA FINES DE NUESTRO CURSO DEFINIREMOS A LA SIMULACIÓN COMO:
Simulación es el proceso de diseñar y desarrollar un modelo de un sistema o proceso real
y conducir experimentos con el propósito de entender el comportamiento del sistema o
evaluar varias estrategias (dentro de límites impuestos por un criterio o conjunto de
criterios) para la operación del sistema.
ROBERT. SHANNON
Se describe comúnmente como un arte, o una ciencia sofisticada, debido a que la utilidad de
los resultados dependerá de la destreza del grupo que realiza y analiza el modelo.
actualmente no existe una teoría científica para garantizar la validez de un proceso de
simulación antes de que el experimento sea realizado, en su lugar, la confiabilidad de un
modelo es evaluada por la correspondencia de los resultados del modelo con los obtenidos
por otros sistemas comparables con el que se está examinando.
VENTAJAS Y DESVENTAJAS DE SIMULACIÓN
VENTAJAS
 No es necesario interrumpir las operaciones de la compañía.
 Proporciona muchos tipos de alternativas posibles de explorar.
 La simulación proporciona un método más simple de solución cuando los
procedimientos matemáticos son complejos y difíciles.
 La simulación proporciona un control total sobre el tiempo, debido a que un
fenómeno se puede acelerar.
 Auxilia el proceso de innovación ya que permite al experimentador observar y jugar
con el sistema.
 Una vez construido el modelo se puede modificar de una manera rápida con el fin de
analizar diferentes políticas o escenario. Permite análisis de sensibilidad
 Generalmente es más barato mejorar el sistema vía simulación que hacerlo en el
sistema real.
 Es mucho más sencillo visualizar y comprender los métodos de simulación que los
métodos puramente analíticos. Da un entendimiento profundo del sistema
 Los métodos analíticos se desarrollan casi siempre relativamente sencillos donde
suele hacerse un gran número de suposiciones simplificaciones, mientras que en los
métodos de simulación es posible analizar sistemas de mayor complejidad o con
menor detalle.
 En algunos casos, la simulación es el único medio para lograr una solución.
 Da soluciones a problemas "sin" solución analítica
Aunque la simulación es un planteamiento muy valioso y útil para resolver
problemas, no es una panacea para todos los problemas administrativos y
presenta alguna desventajas como:
 La simulación es imprecisa, y no se puede medir el grado de su imprecisión.
 Los resultados de simulación son numéricos; por tanto, surge el peligro de atribuir a






los números un grado mayor de validez y precisión.
Los modelos de simulación en una computadora son costosos y requieren mucho
tiempo para desarrollarse y validarse.
Se requiere gran cantidad de corridas computacionales para encontrara soluciones,
lo cual representa altos costos.
Es difícil aceptar los modelos de simulación y difícil de vender
Los modelos de simulación no dan soluciones óptimas.
La solución de un modelo de simulación puede dar al análisis un falso sentido de
seguridad.
Requiere "largos" periodos de desarrollo
METODOLOGÍA DE SIMULACIÓN

DEFINICIÓN DEL SISTEMA. Cada estudio debe de comenzar con unas descripción

FORMULACIÓN DEL MODELO. Reducción o abstracción del sistema real a un

PREPARACIÓN DE DATOS. Identificación de los datos que el modelo requiere y

SELECCIÓN DEL LENGUAJE: De la selección del lenguaje dependerá el tiempo de

TRANSLACIÓN DEL MODELO. Consiste en generar las instrucciones o código
del problema o del sistema. Debe determinarse los límites o fronteras, restricciones, y
medidas de efectividad que se usarán.
diagrama de flujo lógico.
reducción de estos a una forma adecuada.
desarrollo del modelo de simulación, es importante utilizar el lenguaje que mejor se
adecué a las necesidades de simulación que se requieran. La selección puede ser desde
usar un lenguaje general como lo es BASIC, PASCAL o FORTRAN hasta hacer uso de un
paquete específicamente para simular sistemas de manufactura como el SIMFACTORY o
el PROMODEL, o lenguajes de Simulación como: GPSS, SLAM, SIMAN, SIMSCRIPT, etc.
computacional o necesario para lograr que el modelo pueda ser ejecutado en la
computadora.

VALIDACIÓN DEL MODELO. Es el proceso que tiene como objetivo determinar la

PLANEACION ESTRATÉGICA. Diseño del un experimento que producirá la

PLANEACIÓN TÁCTICA. Determinación de cómo se realizará cada una de las corridas

EXPERIMENTACIÓN. Corrida de la simulación para generar los datos deseados y

INTERPRETACIÓN. Obtención de inferencias con base en datos generados por la

IMPLANTACIÓN. Una vez seleccionada la mejor alternativa es importante llevarla a la

MONITOREO Y CONTROL: No hay que olvidar que los sistemas son dinámicos y con el
habilidad que tiene un modelo para representar la realidad. La validación se lleva a cabo
mediante la comparación estadística de los resultados del modelo y los resultados reales.
información deseada.
de prueba
efectuar análisis de sensibilidad.
simulación
práctica, en muchas ocasiones este último caso es el más difícil ya que se tiene que
convencer a la alta dirección y al personal de las ventajas de esta puesta en marcha.
Al implantar hay que tener cuidado con las diferencias que pueda haber con respecto a
los resultados simulados, ya que estos últimos se obtienen, si bien de un modelo
representativo, a partir de una suposiciones.
transcurso del tiempo es necesario modificar el modelo de simulación, ante los nuevos
cambios del sistema real, con el fin de llevar a cabo actualizaciones periódicas que
permitan que el modelo siga siendo una representación del sistema.
PELIGROS Y PROBLEMAS EN SIMULACIÓN







Definir los límites y nivel de detalles del sistema.
Subestimar el tiempo y costos involucrados en el proceso de modelación.
Fallar en la selección del más simple y económico de los modelos para el fin
establecido.
Ausencia o pérdida de metodología estadística.
Considerar como aproximados algunos atributos de un sistema que no existe.
Entendimiento superficial del sistema a ser modelado.
Poca destreza para comunicarse con administradores y staff que financiarán el
proyecto.
ÁREAS DE APLICACIÓN DE SIMULACIÓN
La simulación es una técnica que puede ser aplicada a una gran cantidad de áreas, debido a
que los avances tecnológicos y la disponibilidad de software que existen actualmente, hacen
de ella una herramienta muy útil. Los siguientes son algunos ejemplos de las aplicaciones de
la simulación en algunas áreas de estudio:











Sistema de colas.
Sistema de inventarios
Proyecto de inversión.
Sistemas económicos
Estados financieros.
Problemas industriales.
Problemas económicos
Problemas conductuales y sociales
Sistemas biomédicos
Sistemas Justo a tiempo
Sistemas de Logística
CONCLUSIONES SOBRE LOS CONCEPTOS BÁSICOS DE SIMULACIÓN
LA SIMULACIÓN ES UN PROCESO ITERATIVO
Un experimento de simulación da el valor de los parámetros durante y al final de la
simulación. el análisis de los resultados sugiere modificaciones a la estrategia, cambios
tales como prioridades o reglas de secuencia. así, paso a paso, ganamos conocimiento
sobre el sistema y su comportamiento hasta que se tiene suficiente información para
hacer recomendaciones finales sobre el sistema a ser implementado.
LA SIMULACIÓN NO SE USA NORMALMENTE PARA ENCONTRAR SOLUCIÓN
ÓPTIMA DEL PROBLEMA.
En contraste con simulación, una técnica de programación matemática, tal como
programación lineal, proporciona una solución óptima, sí existe. (la desventaja de tal
técnica, sin embargo, es que permanece estática para cada conjunto de datos). puede
parecer que la simulación es menos poderosa que la programación matemática u otro
método matemático. sin embargo, la simulación es una excelente técnica cuando otros
métodos fallan.
POR OTRA PARTE NO SIMULE CUANDO SE TENGA LAS SIGUIENTES
CONDICIONES:
1. El problema puede resolverse usando “análisis de sentido común”.
2. El problema puede resolverse analíticamente (usando una forma cerrada).
3. Es más fácil cambiar o ejecutar experimentos directamente en el sistema real.
4. El costo de la simulación excede el posible ahorro.
5. No hay recursos disponibles para el proyecto.
6. No hay tiempo suficiente para los resultados del modelo para usarse.
7. No hay información o ni siquiera datos estimados.
8. El modelo no puede ser verificado o validado
9. Las expectativas del modelo no pueden ser alcanzadas.
10. El comportamiento del sistema es demasiado complejo o no puede ser definido.
MODELACIÓN DE SISTEMAS
El primer paso a dar para estudiar un sistema es elaborar un modelo, el cual puede ser
una representación formal de la teoría o una explicación formal de la observación
empírica. Sin embargo, a menudo es una combinación de ambas. Los propósitos de usar
un modelo son los siguientes:
1. Hace posible que un investigador organice sus conocimientos teóricos y sus
observaciones empíricas sobre un sistema y deduzca las consecuencias lógicas
de esta organización.
2. Favorece una mejor comprensión del sistema.
3. Acelera análisis.
4. Constituye un sistema de referencia para probar la aceptación de las
modificaciones del sistema.
5. Es más fácil de manipular que el sistema mismo.
6. Hace posible controlar más fuentes de variación que lo que permitiría el estudio
directo de un sistema.
7. Suele ser menos costoso.
Al analizar un sistema podemos observar, que al cambiar un aspecto del mismo, se
producen cambios o alteraciones en otros. Es en estos casos en los que la simulación,
representa una buena alternativa para analizar el diseño y operación de complejos
procesos o sistemas.
La modelación de sistemas es una metodología aplicada y experimental que pretende:
1. Describir el comportamiento de sistemas.
2. Hipótesis que expliquen el comportamiento de situaciones problemática.
3. Predecir un comportamiento futuro, es decir, los efectos que se producirán
mediante cambios en el sistema o en su método de operación.
DEFINICIÓN DE MODELO
UN MODELO ES UNA REPRESENTACIÓN DE UN OBJETO, SISTEMA O IDEA, DE
FORMA DIFERENTE AL DE LA ENTIDAD MISMA. EL PROPÓSITO DE LOS
MODELOS ES AYUDARNOS A EXPLICAR, ENTENDER O MEJORAR UN SISTEMA.
UN MODELO DE UN OBJETO PUEDE SER UNA RÉPLICA EXACTA DE ÉSTE O UNA
ABSTRACCIÓN DE LAS PROPIEDADES DOMINANTES DEL OBJETO.
El uso de modelos no es algo nuevo. El hombre siempre ha tratado de representar y
expresar ideas y objetos para tratar de entender y manipular su medio. Un requerimiento
básico para cualquier modelo, es que debe describir al sistema con suficiente detalle para
hacer predicciones válidas sobre el comportamiento del sistema. Más generalmente, las
características del modelo deben corresponder a algunas características del sistema
modelado. La figura siguiente muestra el concepto de un modelo de simulación:
ENTRADA
X
ENTRADA
CORRESPONDENCI A
PAR ÁM ET ROS
SE DEBE TOMAR EN CUENTA QUE NUESTRO MODELO NUNCA VA A SER UNA
REPRESENTACIÓN EXACTA DE LA REALIDAD. (TRABAJAR EN UN RANGO).
Un modelo se utiliza como ayuda para el pensamiento al organizar y clasificar conceptos
confusos e inconsistentes. Al realizar un análisis de sistemas, se crea un modelo del
sistema que muestre las entidades, las interrelaciones, etc. La adecuada construcción de
un modelo ayuda a organizar, evaluar y examinar la validez de pensamientos.
Al explicar ideas o conceptos complejos, los lenguajes verbales a menudo presentan
ambigüedades e imprecisiones. Un modelo es la representación concisa de una situación;
por eso representa un medio de comunicación mas eficiente y efectivo.
ESTRUCTURA DE LOS MODELOS DE SIMULACIÓN.
Los componentes son las partes constituyentes del sistema. También se les denomina
elementos o subsistemas.
Las variables son aquellos valores que cambian dentro de la simulación y forman parte
de funciones del modelo o de una función objetivo.
Los parámetros son cantidades a las cuales se les asignar valores, una vez establecidos
los parámetros, son constantes y no varían dentro de la simulación.
"Las relaciones funcionales muestran el comportamiento de las variables y parámetros
dentro de un componente o entre componentes de un sistema. Estas características
operativas pueden ser de naturaleza determinística o estocástica. Las relaciones
determinísticas son identidades o definiciones que relacionan ciertas variables o
parámetros, donde una salida de proceso es singularmente determinada por una entrada
dada. Las relaciones estocásticas son aquellas en las que el proceso tiene de manera
característica una salida indefinida para una entrada determinada.
Las restricciones son limitaciones impuestas a los valores de las variables o la manera en
la cual los recursos pueden asignarse o consumirse.
En las funciones de objetivos se definen explícitamente los objetivos del sistema y
cómo se evaluarán, es una medida de la eficiencia del sistema.
EL PORQUE DE LOS MODELOS SE DEBE A LAS SIGUIENTES CONDICIONES:
 Complejidad de la interrelación entre factores que definen un sistema.
 Preparación del tomador de decisiones.
 Incapacidad de clasificar los hechos relevantes e irrelevantes y cómo pueden afectarse
al implementar decisiones.
 Diseño o modificación de sistemas evaluando diferentes alternativas.
 Menor costo que en sistemas reales la toma de decisiones.
 La inexistencia del sistema real.
 Implementar sistemas para tomar decisiones genera grandes atrasos y se incurre en la
posibilidad que el sistema implementado sea insatisfactorio.
CARACTERÍSTICAS DESEABLES DE UN MODELO DE SIMULACIÓN
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Que sea completo
Adaptabilidad
Credibilidad
Simplicidad (menor número de parámetros)
Factible tanto en Información como en recursos
Económico (EL COSTO MÁXIMO DEL MODELO DEBE SER EL MÍNIMO
BENEFICIO QUE SE OBTIENE)
$
C OSTO D EL MOD EL O
C OSTO D EL ER R OR
C OMPL EJO D EL MOD EL O Y ER R OR ES
(C OMPL ETO, EXAC TO, ETC )
CLASIFICACIÓN DE LOS MODELOS
Los modelos pueden clasificarse de diversas maneras. Existen muchos modelos físicos
tales como el modelo de un avión o, más generalmente, una réplica a escala de un
sistema. Existen modelos esquemáticos que abarcan dibujos, mapas y diagramas. existen
modelos simbólicos, de los cuales los que están basados en las matemáticas o en un
código de computadora son simbólicos desempeñan funciones importantes en el diseño de
los estudios de simulación de sistemas por medio de computadora.
Algunos modelos son estáticos; otros, dinámicos. Un modelo estático omite ya sea un
reconocimiento del tiempo o describe un instante del estado de un sistema en
determinado momento. En contraste, un modelo dinámico reconoce explícitamente el
transcurso del tiempo. Además de proporcionar una secuencia de instantes del sistema en
el transcurso del tiempo, algunos modelos dinámicos especifican relaciones entre los
estados de un sistema en diferentes momentos.
Otra distinción es la referente a los modelos deterministas contra modelos estocásticos. En
los primeros, todas las entidades establecen relaciones matemáticas o lógicas constantes.
Como consecuencia, estas relaciones determinan soluciones. En un modelo estocástico,
por lo menos una parte de la variación tienen una naturaleza casual. Por tanto, un
investigador puede, a lo sumo, obtener soluciones promedio mediante modelos
estocásticos para resolver los problemas. El presente libro se concentra exclusivamente en
modelos estocásticos.
NECESIDAD Y COSTO DEL DETALLE
Cuando se construye un modelo, un investigador se enfrenta constantemente al problema
de equilibrar la necesidad del detalle estructural con la de hacer manejable el problema
para las técnicas de solución aplicables al problema. Siendo un formalismo, un modelo es
necesariamente una abstracción. Sin embargo, cuanto más detallado sea un modelo en
forma explícita, mejor será la semejanza del modelo con la realidad. Otra razón para
incluir el detalle es que se ofrecen mayores oportunidades para estudiar la respuesta del
sistema cuando una relación estructural dentro del modelo altera con el propósito de
investigación. Primero, puede considerarse un mayor número de combinaciones de los
cambios estructurales y, segundo, puede estudiarse un mayor número de aspectos de la
respuesta.
Por otra parte, el detalle por lo general dificulta la solución de los problemas. A menudo
los detalles agregados cambian el método para resolver un problema de un método
analítico a otro numérico, de manera que se pierde la generalidad de una solución
analítica. El detalle también puede aumentar el costo de la solución. Sin embargo, el factor
que sirve de límite en la utilización del detalle, es que a menudo no se tiene suficiente
información sobre el sistema que se estudia, como para poder especificar otras
características que no sean las obvias.
Todo modelo debe limitar el detalle en algún aspecto. Al hacer la descripción de un
sistema en lugar del detalle, se hacen suposiciones sobre el comportamiento del sistema.
Como se desea que estas suposiciones no contradigan el comportamiento observable del
sistema, siempre que se pueda, se deben probar comparándolas con la observación.
CRITERIOS PARA REALIZAR UN BUEN MODELO.
Se ha definido a la simulación como el proceso del diseño de un modelo de un sistema
real y la realización de experimentos con el mismo, con el propósito de entender ya sea el
comportamiento del sistema o la evaluación de varias estrategias que se consideran para
la operación del sistema. Esto implica el establecer ciertos criterios que debe cumplir todo
buen modelo de simulación:






Fácil de entender por parte del usuario.
Dirigido a metas u objetivos.
No dé respuestas absurdas.
Fácil de controlar y manipular por parte del usuario.
Completo, en lo referente a asuntos importantes.
Evolutivo, es decir, que debe ser sencillo al principio y volverse más complejo, de
acuerdo con el usuario.
RIESGOS DE LA ELABORACIÓN DE MODELOS.
Primero, no existe garantía alguna de que el tiempo y el trabajo dedicados a establecer el
modelo tendrá como resultado algo útil así como beneficios satisfactorios. El fracaso suele
ocurrir porque el nivel de recursos es demasiado bajo. Sin embargo, a menudo el
investigador se ha basado más en el método y no suficientemente en el ingenio cuando el
balance apropiado entre conducirá a la mayor probabilidad de éxito.
La segunda advertencia se refiere a la tendencia del investigador de defender su
representación particular de un problema como la mejor que existe de la realidad. Esta
situación ocurre a menudo después de que ha invertido mucho tiempo y trabajo
esperando resultados útiles.
La tercera advertencia es la referente a la utilización del modelo para predecir más allá del
intervalo de aplicación sin la debida especificación. Por ejemplo, puede diseñarse un
modelo para pronosticar el comportamiento del sistema para un periodo futuro. Si se toma
el mismo modelo para predecir en dos periodos futuros, debe especificarse de manera
explícita a quienes lo utilizan en el sentido de que en estas predicciones el periodo futuro
de predicción no es tan exacto como en el caso de la predicción para determinado
periodo. Omitir una especificación apropiada con respecto a un modelo de extrapolación
da como resultado quizás la única y mayor causa de la mala aplicación practica.
FUENTE: http://www.itson.mx/dii/atorres/Introd.doc
UNIDAD 2: NUMEROS PSEUDOALEATORIOS
GENERACION DE NUMEROS PSEUDOALEATORIOS
Existen varios métodos para la generación de números pseudoaleatorios
entre cero (0) y uno (1); la importancia del método a emplear estriba en el
hecho que los números generados deben cumplir ciertas condiciones para
poder validarlos:
• Uniformemente distribuidos: Los números aleatorios son los valores de
las variables estadísticas que pertenecen a la distribución uniforme;
tienen las
siguientes características:
Si (i =1, 2 , 3 ...) son números aleatorios, entonces su función f satisface
la relación para todos los valores:
Es decir, la función f( ) en un punto expresa la posibilidad de que
algunos números aleatorios se encuentren en el intervalo [0, ]. Los
números pseudoaleatorios, son teóricamente variables continuas con
densidad f y una distribución acumulada F.
• Estadísticamente independientes: Las variables son independientes si
su función G se puede representar como :
y si todos los números aleatorios tienen la misma distribución, entonces
la relación toma la forma:
• Su media debe ser estadísticamente igual a 1/2
• Su varianza debe ser estadísticamente igual a 1/12
• Su período o ciclo de vida debe ser largo: Existen varios
procedimientos de generación de números pseudoaleatorios; para la
simulación por computador son importantes los números
pseudoaleatorios cuyos generadores se basan en los procedimientos
algebraicos. Este es el procedimiento iterativo donde los números
pseudoaleatorios se obtienen del número anterior o de varios anteriores
(proceso de recursión).
METODOS PARA LA GENERACION DE NUMEROS
PSEUDOALEATORIOS
Uno de los métodos más utilizados para generar números
pseudoaleatorios empieza con un valor inicial no , llamado semilla y a
continuación por recursión los valores sucesivos ni, i 1, haciendo :
Los métodos más empleados para la generación de los números
pseudoaleatorios son los siguientes:
1. CONTRASTES EMPIRICOS
La aproximación a los generadores de números aleatorios exige
contrastar ciertas propiedades estadísticas de sus salidas. Algunos de los
contrastes son genéricos y pueden utilizarse en la evaluación de
generadores de variables aleatorias. Mencionemos que muchos de estos
contrastes se encuentran implementados en los paquetes estadísticos
comerciales más importantes. Además. algunos generadores disponen de
una teoría analítica que conduce a contrastes teóricos específicos.
Contraste
El contraste es de bondad de ajuste. Es poco potente, por lo que permite
justificar el rechazo de una hipótesis, pero proporciona escaso soporte a
su aceptación. El estadístico del contraste es:
cuya distribución asintótica es una
donde r son los parámetros
estimados y la aproximación se acepta si min ei > 5
Contraste de Kolmogorov – Smirnov
Consideramos el caso en que Fo es continua. La función de distribución
empírica de una muestra X1, X2, ..., Xn se define como
Bajo la hipótesis nula Ho : Fx(X) = Fo(X) esperamos que Fn se aproxime a
Fo. Definimos el estadístico bilateral de Kolmogorov-Smirnov
La distribución exacta de Dn está tabulada para valores seleccionados de
n 40 y del nivel de significación . Para muestras grandes, se utiliza la
distribución asintótica de Dn.
Contraste de rachas
Dada la sucesión de observaciones X1, X2, ... , Xn , construimos la
sucesión de símbolos binarios definida mediante 1 si Xi < Xi+1, 0 si Xi>
Xi+1. Definimos racha creciente (decreciente) de longitud 1 a un grupo
seguido de 1 números 1 o 0. Intuitivamente, rechazamos la aleatoriedad
con un número muy pequeño o muy grande de rachas. De ahí se obtiene
inmediatamente el contraste.
Contraste de rachas por encima y por debajo de la mediana
Otro procedimiento para definir rachas es el recuento de observaciones
que se sitúan a un mismo lado de la mediana. La distribución asintótica
del número de rachas, bajo la hipótesis de aleatoriedad, es
De donde se sigue, inmediatamente, un contraste.
Contraste de permutaciones
Separamos las observaciones en k-uplas
La k-upla general se escribe
Las ordenamos crecientemente y consideramos la ordenación
correspondiente de los subíndices j. Bajo la hipótesis de la probabilidad
de que dos números sean iguales es nula, hay k! ordenaciones posibles.
Bajo la hopótesis de independencia, todas las permutaciones son
equiprobables, con probabilidad
Entonces es inmediato aplicar un
contraste con k! clases, distribución asintótica
frecuencias esperadas
r / k!, donde r es el número de k-uplas y frecuencias observadas el
número de veces que aparece cada ordenación.
Contraste de huecos
Fijamos dos valores y con 0 < < < 1. La sucesión presenta un hueco
de longitud m si
Bajo la
hipótesis de aleatoriedad de la serie, la longitud m de los huecos sigue
una distribución geométrica de parámetro
, es decir,
La hipótesis de aleatoriedad implica independencia de las longitudes de
los huecos y podemos aplicar un contraste basado en las
comparaciones de los números observados y esperados de huecos de
longitud m.
Repetición de contrastes
Para aumentar su potencia, los contrastes anteriores pueden repetirse N
veces. La distribución empírica de los valores del estadístico pueden
compararse con su distribución teórica mediante, por ejemplo, el
contraste de Kolmogorov-Smirnov.
GENERADORES CONGRUENCIALES LINEALES
Los principales son:
Métodos de los medios de cuadrados: Cada nuevo número de la
secuencia es producido tomando los dígitos medios m de un número
obtenido mediante la elevación al cuadrado de un dígito. Ejemplo:
Método aditivo de congruencias: Inicializa con k valores dados, con k
un entero positivo y la sucesión se da mediante:
Método mixto de congruencias: Son números que se obtienen mediante
la siguiente relación de congruencia ( con a y c mayores que 0 ):
GENERADORES DE REGISTRO DE
DESPLAZAMIENTO
Los generadores congruenciales pueden generalizarse a recursiones
lineales de orden mayor. Para k 1, m primo, se define
y el generador se denomina recursivo múltiple. El estudio de este
generador se asocia al del polinomio característico
sobre el álgebra finita Fm con m elementos.
GENERADORES DE FIBONACCI RETADARDOS
Cuando n0= 0 y n1 = 1 en el método aditivo congruencial se obtiene por
medio de generalización el caso especial denominado secuencia de
Fibonacci. Parte de la semilla inicial ( X1, X2, ... , Xr ) y usa la recursión
donde r y s son retardos enteros que satisfacen r > s y o es una operación
binaria que suele ser r +, -, x ó XOR. Típicamente. los elementos
iniciales son enteros y la operación binaria es la suma módulo 2n. La
caracterización del periodo máximo de los generadores de Fibonacci
retardados está bien estudiada y se basan, de nuevo en el análisis de
sucesiones lineales recursivas de enteros de la forma
GENERADORES NO LINEALES
Dada la estructura reticular de los generadores lineales, algunos autores
sugieren utilizar generadores no lineales. Se distinguen dos formas de
introducir no linealidad en un generador:
a.Usar un generador con función de transición lineal, produciendo la
salida mediante una transformación no lineal del estado.
b.Usar un generador con función de transición no lineal.
Una propiedad común en estos generadores es que no producen una
estructura reticular como la de los lineales.Su estructura es altamente no
lineal: típicamente, un hiperplano t-dimensional tendrá a lo sumo t tuplas solapantes de números.
Sea rn un primo arbitrario y Fm = {0. 1, ...,m - 1} el álgebra finita de
orden m. Para un entero z, se define
que es la inversa
de z para la multiplicación en Fm, si z 0 (mod m). Dados a, b Fm, a 0,
la sucesión congruencial inversa explícita se define mediante
El generador congruencial de inversión explícita se obtiene mediante
normalización
Obviamente, las sucesiones { un } e { yn } son periódicas con periodo
máximo m.
COMBINACION DE GENERADORES
Para incrementar el período e intentar evitar las regularidades que
muestran los generadores lineales congruenciales se ha sugerido
combinar diferentes generadores para obtener uno híbrido que tal vez sea
de mayor calidad que los generadores originales. Tales combinaciones
pueden considerarse heurísticas, algunas de las cuales han resultado
bastante pobres.
Aunque el fundamento de estos procedimientos es esencialmente
empírico, también se han desarrollado algunos aspectos teóricos. En
primer lugar, se haobservado que el periodo de un generador híbrido es,
en general, bastante más largo que el de sus componentes siendo,
además, posible su determinación. En segundo lugar, hay resultados
teóricos que sugieren que algunas formas de combinación de
generadores que mejoran su comportamiento estadístico.
FUENTE:
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4060015/Lecciones/Capitulo%20
VI/metodos.htm
GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
Una vez obtenida toda la información, es decir, los datos de entrada del sistema real, es
necesario convertirlos en información o datos de entrada del modelo de simulación. Es
posible distinguir dos tipos de información:
1. Información determinística. Esta información entra directamente al modelo con su valor
correspondiente en el sistema real.
2. Información probabilística. Es necesario crear modelos de simulación que imiten el
comportamiento de esas variables.
De esta forma, al crear un modelo de simulación debemos ser capaces de crear ese
comportamiento y modelarlo. Los números aleatorios uniformes (0-1) son la base en los
modelos de simulación donde hay variables estocásticas, ya que dichos números son la
herramienta para generar eventos de tipo probabilístico.
MÉTODOS DE GENERACIÓN DE NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS U( 0,1 )
Existen un gran número de métodos para generar los números aleatorios uniformes entre 0
y 1. Algunas formas de obtener estos números son:
- Utilizando tablas de números aleatorios.
- Utilizando calculadoras ( algunas incluyen una función para generarlos ).
- Los lenguajes de programación y las hojas electrónicas incluyen una función para
generarlos.
- Utilizando Generadores Congruenciales.
El método a utilizar, en sí mismo, no tiene importancia: la importancia radica en los
números que genera, ya que estos números deben cumplir ciertas características para que
sean validos. Dichas características son:
1. Uniformemente distribuidos.
2. Estadísticamente independientes.
3. Su media debe ser estadísticamente igual a 1/2.
4. Su varianza debe ser estadísticamente igual a 1/12.
5. Su periodo o ciclo de vida debe ser largo.
6. Deben ser generados a través de un método rápido.
7. Generados a través de un método que no requiera mucha capacidad de almacenamiento
de la computadora.
METODOS PARA GENERAR NUMEROS ALEATORIOS NO UNIFORMES
En los modelos estocásticos existirán una o más variable aleatorias interactuando. Estas
variables siguen distribuciones de probabilidad teóricas o empíricas, diferentes a la
distribución uniforme (0-1). Para generar números que sigan el comportamiento de éstas
variables, se pueden utilizar algunos métodos como los siguientes:
1. Método de la transformada inversa
2. Método de rechazo
3. Método de composición, y
4. Procedimientos especiales
MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA.
El método de la transformada inversa utiliza la distribución acumulada F(x) de la
distribución que se va a simular. Puesto que F(x) esta definida en el intervalo (0-1), se
puede generar un número aleatorio uniforme R y tratar de determinar el valor de la variable
aleatoria para cual su distribución acumulada es igual a R, es decir, el valor simulado de la
variable aleatoria que sigue un distribución de probabilidad f(x), se determina al resolver la
siguiente ecuación.
F(x) = R ó x = F^-1 (R)
La dificultad principal de este método descansa en el hecho de que en algunas ocasiones es
difícil encontrar la transformada inversa. Sin embargo si esta función inversa ya ha sido
establecida, generando números aleatorios uniformes se podrán obtener valores de la
variable aleatorio que sigan la distribución de probabilidad deseada.
FUENTE: http://www.itson.mx/dii/atorres/NumAlea.htm
• El método de Montecarlo (Monte Carlo, MC) se aplica a sistemas moleculares para:
predecir los valores promedio de las propiedades de estructuras en medios térmicos;
estimar la distribución de cargas en moléculas; calcular constantes cinéticas de reacción,
energías libres, constantes dieléctricas, coeficientes de compresibilidad, capacidades
caloríficas y puntos de cambio de estado; etc.
• El método de Montecarlo recibe este nombre porque consiste en introducir números
aleatorios en el cálculo, lo cual permite simular efectos "térmicos". En este sentido se
distingue de la Dinámica Molecular (técnica determinística).
• Variantes del MC se usan para resolver problemas muy diversos. De todas ellas, en el
caso de los cálculos computacionales relacionados con sistemas moleculares, las más
importantes son las siguientes:
(1) Método Clásico (Classical Monte Carlo, CMC): aplicación de distribuciones de
probabilidades (generalmente la distribución clásica de Maxwell y Boltzmann) para obtener
propiedades termodinámicas, estructuras de energía mínima y constantes cinéticas;
(2) Método Cuántico (Quantum Monte Carlo, QMC): uso de trayectorias aleatorias para
calcular funciones de onda y energías de sistemas cuánticos y para calcular estructuras
electrónicas usando como punto de partida la ecuación de Schroedinger;
(3) Método de la Integral a lo largo de la Trayectoria (Path-Integral Quantum Monte Carlo,
PIMC): cálculo de las integrales de la Mecánica Estadística Cuántica para obtener
propiedades termodinámicas y constantes cinéticas usando como punto de partida la
integral a lo largo de la trayectoria de Feynman;
(4) Método Volumétrico (Volumetric Monte Carlo, VMC): uso de números aleatorios y
cuasi-aleatorios para generar volúmenes moleculares y muestras del espacio de fase
molecular);
(5) Método de Simulación (Simulation Monte Carlo, SMC): uso de algoritmos aleatorios
para generar las condiciones iniciales de la simulación de trayectorias cuasi-clásicas o
para introducir efectos estocásticos ("termalización de las trayectorias") en Dinámica
Molecular. (El así llamado "Método Cinético" —Kinetic Monte Carlo, KMC— es uno de los
SMC.)
• El MC es es uno de los métodos con que cuentan la Física Cuántica y la Química Cuántica
para resolver los problemas que involucran múltiples cuerpos (many-body problems). En el
caso de los sistemas en estado condensado, se emplean unas cuantas variantes, tales
como el Método de la Integral a lo largo de la Trayectoria (Path Integral Monte Carlo,
PIMC), el Método de Difusión (Diffusion Monte Carlo, DMC), el Método de las Funciones
de Green (Green's Function Monte Carlo, GFMC) y el Método Variacional (Variational
Monte Carlo, VMC).
• Haciendo clic sobre la imagen siguiente se puede ver una película de un líquido de
partículas elipsoidales en una caja cúbica (cristal líquido en el estado nemático).
Simulación por el Método de Montecarlo de
un cristal líquido en el estado nemático.
Cada imagen representa el cambio en unos
100 ciclos. (A. Emerson)
FUENTE: http://www.luventicus.org/laboratorio/MonteCarlo/
El metodo de Monte Carlo
Indice
1. Introducción
2. Implementacion practica de una simulación de Monte Carlo
3. Descripción matemática del problema transporte de Foton
4. Solución de monte Carlo de la ecuacion de boltzmann
5. El Monte Carlo estima de expectativa
6. Dispersión Compton - Monte Carlo
1. Introducción
El metodo de monte carlo es muy usado es los lenguajes de programación ya que
se usa para hallar la probabilidad de un suceso, el trabajo que les presento explica
el Metodo Monte Carlo , usado en la simulación de la mecanica estadistica..
Esperando su sugerencia .
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Windows e internet que ni te imaginas)
Monte Carlo simulación puede inspeccionarse como un método de resolver
ecuaciones integrales. Considere el problema de calcular el valor medio
real-valor función T(x) definido sobre un espacio
de un
:
(1)
Cada valor x es una posiblemente multidimensional cantidad caracterizando el
estado del sistema. La función f es una función de densidad de probabilidad (PDF)
determinado la probabilidad ese que el estado del sistema yace entre x y x+dx.
Una estimación de Monte Carlo
de
es obtenida por dibujar al azar N
muestras
desde la distribución f. Muestra desde f medios esta probabilidad
de elegir un muestreo x* desde el intervalo (x,x+ x) es f(x) x. El Monte Carlo de
estimación
es dada por
(2)
Este, la intratable integral, Ecuación 1, es reemplazado por una suma finita.
La estadística bondad o fiabilidad de la estimación depende de ambos tamaño
de muestreo N y la variabilidad del la estimación T(x) que es descrita por la
variancia
(3)
Debajo condiciones suficientemente generales, el teorema del limite central
muestra que para grandes N,
es aproximadamente una
distribución normal con significados de cero y una varianza de uno.
Simbólicamente:
(4)
Donde P(x) denota la probabilidad de suceso x. Por ejemplo, la probabilidad esa
yace dentro de el intervalo
es 0.95.
La ecuación 4 implica esta precisión de la estimación aumenta con la raíz
cuadrado del número de historias. Ese, para cada dígito adicional de importancia,
el número de historias debe aumentarse un ciento. La táctica bruta de fuerza de N
creciente para mejorar precisión rápidamente alcanza el punto de cifras
decrecientes. Practica las técnicas de reducción de varianza, discutidas en la
Sección VI, apuntadas a reducir la varianza por la unidad de calcular esfuerzo, por
alterar los marcando y muestra procedimientos.
2. Implementacion practica de una simulación de Monte Carlo
Hasta ahora, la meta de este capítulo ha sido desarrollar las herramientas
matemáticas necesitadas atacar el problema de escoger el fotón al azar las
trayectorias del núcleo de dispersión (Ecuación 20). Nosotros discutiremos ahora
métodos prácticos de generar foton historias.
A. Sistema Coordenadas
El sistema coordenada para describir colisión sitios y foton vuelo de las
trayectorias. Para designar la situación espacial de sitios de la colisión r, la usual
coordenada cartesiana r=(x,y,z) son usadas.
Los tres cosenos directores (u,v,w) con respecto a los ejes x, y, y z constituye la
anotación más eficaz por describir la dirección . Los cosenos directores son
relativas a las coordenadas esféricas angulares usuales (donde denota el ángulo
polar) por;
Una ventaja de esta anotación es que permanece sin cambiar debajo los
desplazamientos lineales S:
(38)
donde r ' designa la posición final después de un desplazamiento S a lo largo de
originar a r. Usa más acuerdo vector anotación:
(39)
Más pretenciosamente, como demostración en las secciones siguientes, esta
anotación elimina la necesidad explícitamente evaluar tiempo - consumiendo
funciones seno y coseno.
3. Descripción matemática del problema transporte de Foton
En esta sección, el problema de transporte se caracterizará matemáticamente
como una ecuación integral tener la forma de ecuación 1. Para este fin, ambos las
formas diferenciales e integrales de la ecuación transporte de Boltzmann se
derivan. Esta comprensión formal del problema provee una base conceptual sana
para métodos generales crecientes de la reducción de varianza y marcando
necesidad eficiente para Monte Carlo de simulación.
A. La densidad de flujo y cantidades relacionada
La distribución de fotones dentro de un sistema de absorber y las fuentes pueden
ser completamente descritas por especificar la partícula fluidez
a cada
espacial coordenada r, dirección de trayectoria y la energía del foton E.
es el radio dN/dA, dónde dN es el número de fotones que pase
mediante el área dA alineó normal a
y
. Este
y ubicó a r con
tiene las unidades de fotones por cm2 por la unidad de
ángulo sólido y energía. Si
es integrado sobre todas las energías y
direcciones, nosotros hemos partícula fluidez como definido por el Comisión
Internacional sobre Medidas y Unidades de Radiación (ICRU), esto es., dN/dA, el
número de fotones: dN que entra en una esfera de la sección de cruz de area dA
se centran a r. La integración sobre las variables y E será indicada por los
omitidos desde el argumento de
de
. Para Simplificar el problema, la dependencia
es ignorada.
Dada la partícula fluidez, todo el otro dosimetría las cantidades de interés pueden,
en el principio, se calculan. Por ejemplo, debajo condiciones de equilibrio
electrónico, la dosis al mediano puede ser calculado por
(5)
Dónde
es la masa - energía coeficiente de absorción y
Encomendar partícula de equilibrio aproximadamente existe cuando la carga en el
foton partícula fuente
es pequeño sobre el electrón secundario de rango. En
un extendido mediano, nosotros siempre desde contorno y primario foton las
fuentes, esta condición es aproximadamente satisfecha cuando el electrón
secundario de rango es pequeña comparada a la foton medio - libre trayectoria. En
el caso donde el medio es el aire. La ecuación (5) es proporcional a la exposición.
El calculo de
requiere tres tipos de datos elementales:
1. La probabilidad de cada interacción elemental procesa como una función de incidencia
foton energía E y propiedades pertinentes del absorbentes mediano. Estos datos se
tabulan desde el punto de vista de foton las secciones de cruz
, donde Z es el número atómico del mediano.
La sección de cruz
tiene las unidades de barns/átomo (10-28
m2/átomo). Equivalente, el coeficiente lineal de atenuación
puede
usarse con unidades de m-1.
2. Para cada proceso de interacción, la función de densidad
de probabilidad (PDF) da la probabilidad de cada posible
resultado de la interacción especificada desde el punto de
vista de esparcir ángulo
y emergente foton energía E’. Esta
cantidad es conocido como la sección diferencial de cruz,
. Desde
y E’ son deterministica
relacionada para todo procesos discutidos en este capítulo, la
anotación diferencial doble es innecesaria en práctica .
3. El conocimiento del PDF que gobierna el transporte de una dispersión o primario foton
desde un sitio de colisión a otro. Esta distribución, discutida en forma detallada en la
Sección IV B.I. es estrechamente relativo a la ley de atenuación exponencial.
B. Ecuación de transporte de Boltzmann –Monte Carlo
La densidad de flujo para cualquier combinación de foton fuente y contorno
condiciones es completamente determinada por el tiempo - invarianza ecuación de
transporte de Boltzmann. La derivación heurística siguiente se adapta desde Fano.
Considere un cilindro derecho con sección cruz área dA y la longitud dL con este
eje paralelo igual a dirección (Figura 1.). El número neto de fotones con la
dirección y la energía E creó en el cilindro por el tiempo de unidad es
Esta diferencia es la suma de tres contribuciones:
1. La atenuación dada por
.
2. Foton de fuentes y descender dentro de el volumen dadas por
tiene unidades de fotones por el volumen de unidad, ángulo sólido, y energía.
3. Dispersión de fotones desde el estado
en el estado
cruz sección/ longitud de trayectoria de unidad,
. Dejar
donde S
regido por el diferencial
y poniendo estos términos juntos, nosotros
obtenemos
(6)
La ecuación 6 es el punto de partida para un tratamiento riguroso del problema
afianzado de absorber. Aunque analítico y seminumerico los métodos que se
hayan usado exitosamente para resolver la Ecuación 6 en el caso de absorber
ilimitado, simulación de Monte Carlo ofrece un general método para la solución
que involucra absorber con dirección.
1. La Forma Integral de la Ecuación de Boltzmann
La transformación de Ecuación 6 es la forma integral más claramente da a
conocer la naturaleza estocástica de transporte de radiación. Nosotros iniciamos
por expandir la ecuación 6 en ordenes de dispersión:
(7)
donde representa la densidad de flujo de dispersión de fotones. Para cada
onden de esparcir n, la Ecuación 6 llega a ser
(8)
dónde
es la función delta Kronecker.
Considere ahora el problema de calcular la fuente proviniendo desde dispersión de
fotones a lo largo de una línea
, donde r y se fijan y R es una variable
positivo numero real. Dejar
y anote que.
y
(9)
Aplicar ecuaciones 9 a 8, son obtenidas
Integrando ambos lado a lo largo de la línea
desde R=0 a R
,
Finalmente dar
(10)
Estas ecuaciones simplemente afirman que la fuente única de n de veces
dispersión de fotones con la energía E y la dirección a r son (n-1) las veces que
dispersión de fotones esparciendo en el estado
en alguna parte a lo largo de
la línea
. El exponencial término rinde cuentas para esos fotones que
son atenuadas por el mediano antes de alcanzar r.
A este punto, probará útil a reformular la ecuación de transporte desde el punto de
vista de la densidad de colisión x, más bien que la partícula fuente,
(11)
donde
representa el número de fotones con el estado
entrando
en colisión por el volumen de unidad, sterioradian, energía y tiempo. Similarmente,
es la densidad de fotones entrando en colisión a . Ecuación revisar 10
desde el punto de vista de , sumando sobre todas las ordenes de esparcir, y
reemplazando que la línea integral con la integración sobre todos de espacio por
el uso de la Función Delta de Dirac de , nosotros obtenemos
(12)
Donde
es la dispersión Kernel
(13)
Y
.
La inspección de Ecuación 13 da a conocer que
es una condicional PDF,
exhibición que foton el transporte es un proceso de Markov. Que es, la
probabilidad que un foton experimenta su colisión al
es dada por la transición de
probabilidad
que depende solo en
, el foton estado justo
simplemente con anterioridad a esta(n-1) colisión. Más fundamentalmente, la
Ecuación 12 implica que la solución
posible caminatas aleatorias a través de
es equivalente al conjunto de todas
-espacio.
2. El calculo de valores esperados
En muchos casos práctico de transporte de problemas, la especificación completa
del campo de radiación desde el punto de vista de o es innecesaria. Las
cantidades típicas de interés son la cantidad de energía depositada en un detector
de una geometría y composición especificada o el número de fotones transmitido
mediante un superficie determinado, una barrera de protección de radiación. Estas
cantidades pueden describirse en nuestro formalismo por medio de una función
que representa la contribución relativa de un foton colisionando a
cantidad de interés.
El significar valor por emitido foton
sobre todos posible estados.
a la
es dado por promediar la función marcar
(14a)
(14aa)
La correspondiente varianza es
(14b)
En términos de la notación usada en la Sección II para introducir Monte Carlo,
designa el estado del sistema donde PDF asociado del sistema
es la solución de la ecuación integral Fredholm
(14c)
Como un ejemplo de un marcador función, considerando un detector esférico de
radio centró en
unidad, es
. El T, con dar la energía depositado al detector por la masa de
(15)
4. Solución de monte Carlo de la ecuacion de boltzmann
Un Monte Carlo (MC) simulación de un sistema de fuentes y absorver involucra
azar selección de un conjunto finito de trayectoria de fotones o "historias", desde el
conjunto de toda posible trayectorias dadas por la solución de la ecuación de
transporte de Boltzmann. Esto es entonces la posible a reemplazar la integral de
Ecuación 14 por una suma finita para obtener una estimación estadística de la
cantidad de interés
.
En su forma más simple, MC es un juego de oportunidad, donde cada elección
aleatoria es dictada por reglas isomorficas (formas iguales) a el elemental PDF
que gobierna la absorción y dispersión de radiación en el sistema físico real.
Por ejemplo, considerar una isotropico (direcciones iguales, no dependen de la
dirección en que se miden) la fuente de punto empotró en un absorber finito. Cada
foton de la trayectoria, o historia, se genera según el siguiente prescripción. El
primero, una trayectoria es escogido para el emitido foton por probando el
isotropico emisión PDF. Próxima, distancia al próximo sitio de colisión se prueba
accidentalmente desde la exponencial ley de atenuación. Entonces, una
trayectoria y la energía
para la dispersión foton sacan forma la sección
normalizada de cruz diferencial
. A cada paso, el marcando
función T, "Haga el foton interaccionar con el detector", poder ser aplicado. Este
proceso de seleccionar el sitio de interacción , dispersión energía, y la
trayectoria
es repetida hasta que los fotones sea absorbió completamente o
escapo desde la absorción.
A. La Descripción Formal De La Simulacion De Monte Carlo
Cada recorrido al azar o foton "historia" k puede ser representada por el conjunto
donde cada vector
simplemente antes de la colisión:
denota el estado del foton
(16)
Donde
,
,y
indica la posición, dirección, y energía de del foton
inmediatamente antes de la colisión. El número
, el foton de peso , es la
probabilidad que el foton ha escapado absorción durante las primeras j-1
colisiones.
Cada secuencia
desde cada estado
claramente tiene la estructura de un Markov de Cadena,
es escogido por muestreo la probabilidad condicional
distribución,
. Así, en orden a demostrar ese cada
es al azar dibujado
desde el conjunto de todo posible trayectoria de Boltzmann, esto es
suficientemente a mostrar ese
que tienen la forma de Ecuación 13.
Eligiendo
determinado
, involucra las opciones aleatorias siguientes:
1. Asigne energía y dirección saliendo (j-1) colisión.
a. j=1: Primera Colisión de foton Primario, al azar asigna una trayectoria inicial,
sitio de origen
y, energía
por muestreo la fuente distribución de función
.
b. j
2: Anteriormente dispersión del foton.
a. Al azar escoja el proceso de interacción a (j-1) la colisión, basado
sobre las magnitudes relativas de las secciones totales de
cruz
de compitiendo procesos ( absorción
fotoeléctrico, dispersión coherente y incoherente, etc.).
b. Pruebe el PDF, definido por la cruz diferencial sección de el proceso
escogido en el Paso i), para encontrar la dirección saliendo el (j-1) colisión,
esto es probando
desde
(17)
c.
Calcule la energía el Ej, saliendo la (j-1) colisión desde la energía
dispersión ángulo la relación.
1. Asigne el peso
saliendo el (j-1) colisión.
2. Encuentre el sitio de colisión rj
(18)
probando la distribución (ver IV.B.1)
(19)
para S, la distancia entre (j-1) y la colisión.
3. Encuentre la contribución de esta colisión a la cantidad de interés.
4. Retorne al paso 1.
Desde estas elecciones aleatorias son independientes de uno otra, la
probabilidad de elegir
dadas
es el producto de estos Individual PDFs.
(20)
donde la probabilidad condicional
probada en el paso 1b:
denota la distribución compuesta
(21)
k=1,.....m denota el proceso de dispersión, y
.
Anote esa Ecuación 20 es idéntico a la Ecuación 13, estableciendo que
desde luego al azar sacada el muestreo desde la población deseada.
es
5. El Monte Carlo estima de expectativa
Valora; para simulaciones que involucran bajas número atómico medios, un
suceso fotoeléctrico para todos los intentos prácticos termina la historia desde la
baja-energía características de los rayos-x se absorben localmente. Así,
estocasticamente simula colisiones fotoeléctricas representa "derrochado" calculo
esfuerzo. Un común método de reducción calculo de tiempo relativo a la muestra
de la varianza (" reducción de varianza") es á eliminar efecto fotoeléctrico como un
posible mecanismo de interacción y reduce el foton peso
, que saliendo la (j-1)
colisión por la probabilidad de sobrevivir fotoeléctrico absorción. Específicamente,
el PE de término se elimina Ecuación de forma 21 y
reemplaza por
Entonces
(22)
sumando entonces encima de todas las historias simuladas rinde estimaciones
estadísticas de la verdadera media
y muestra la varianza
:
.
(23)
Comparación de Ecuaciones 23 y 14 muestra que normalizaron colisión densidad
es la contraparte analítica de foton peso. La convergencia de la estimación
a
con M creciente es garantizada por el teorema de límite central.
A. La Generacion De Muestreos Al Azar
La simulación de Monte Carlo se ha mostrada para ser una secuencia de distancia
aleatoria a próxima colisión, tipo de proceso de colisión, y trayectoria y foton la
energía que dejar colisión. Cada de estos pasos involucra selección de un
muestreo x* desde la distribución apropiada f(x). Tal algoritmo es necesariamente
altamente repetitivo, como las secuencias de azar las opciones deben repetirse
para cada suceso de dispersión evento en el foton historia. Los números grandes
de tales historias, sobre la orden de 5,000 a 500,000 deben ser simulados para
obtener un intervalo de confianza suficientemente pequeña sobre la respuesta
final. La precisión lograble es limitada por la computadora del usuario de los
recursos: disponible memoria y tiempo procesador central. Para extender estos
recursos, es deseable para aumentar al máximo la eficiencia de la técnica de
muestreo empleada. La más usualmente usó digital - computadora de técnica es
la reducción del problema, eligiendo X* desde f(x), al problema más simple de al
azar eligiendo uniformemente distribución número desde el intervalo de unidad.
Así, la selección de unas secuencias de variables aleatorias
equivalente a la generación uniformemente distribuida secuencia
es
.
La reducción de la muestra procesa a la generación de uniformemente distribuida
al azar variables es descrita por el fundamental teorema de la inversión:
Teorema. Dejar X ser al azar variable con PDF f(X), la función de distribución
acumulativa (CPD) F(x), y dejar r* denotado un uniformemente distribuido número
al azar sacado desde el intervalo de unidad. Entonces la probabilidad de elegir x*
como definir por
(24)
es f(x*).
Permita F-1(r) denota la inversa de F(x):
Permita x*=F-1(r*),
Estas igualdades, afirman que
es igual al valor de la probabilidad que la
escogido la variante uniforme r* es menos de F(y).
Desde P(r*)=1 para todo r*,
Esto muestra que el conjunto de variables al azar x* tiene el mismo acumulativo
distribución de probabilidad (CPD) como el X determinado al azar variable X.
El problema de azar eligiendo una de N posibilidades discretas
probabilidades
regido por
tal que
es el caso discreto de inversión analítica. Dado un número aleatorio r*, la variable
aleatoria se encuentra por
(25)
si no,
donde
6. Dispersión Compton - Monte Carlo
En dispersión Compton, un foton es dispersado por un electrón en reposo,
impartiendo algo de su energía al electrón. La energía,
, del foton incidente es
así compartidos entre la dispersión del foton,
, y el efecto Compton, , de la
cinemática de coliciones, que puede mostrarse que la energía del foton dispersado
es relacionado con la energía del foton incidente
y el angulo de dispersión del foton
como sigue:
(1)
Donde
y
MeV.
La seccion transversal para la dispersión Compton, basado en el trabajo de KleinNishi
(2)
Donde ro=2.81794*10-13cm es el radio clásico de los electrones. Esta sección
transversal será tabulada y ploteado por NBS.
La diferencial de la sección transversal de Klein-Nishina para dispersiones de un
foton de energía a un angulo de con d de
es dado por
(3)
Usando la transformación
obtenemos
(4)
Para una energía dado del foton incidente, esta expresión tiene una función de
densidad de probabilidad de
(5)
Donde,
por
y
es él limite inferior de x. Definiendo
la función densidad de probabilidad puede ser escrita como
donde
(6)
y la acumulada función de probabilidad como
(7)
La muestra de distribución de Monte Carlo requiere soluciones de esta ecuación
para x, un numero randon igualmente distribuido en [0,1). Everett y Cashwell
usan un método de aproximación la cual es mas sesillo a implementar y
razonablemente exacto. Ellos aproximan la inversa de la función como
(8)
Resumiendo, la decisión a simular es basado en la total sección transversal de
Compton, y la partícula en el final estado son simulada por la muestra x de la ecu.
7 y calculando la energía y dirección de dispersión de fotones de las expresiones:
(9)
El electrón retorna teniendo energía cinética de
(10)
en unidades de
, y el angulo de deflexión del electrón es dado por
(11)
La dispersión del foton y del electrón Compton son entonces transportados como
una nueva generación de particulas.
Programa en fortran 90 Similacion con Monte Carlo
SIMULATION OF THE MICROCANONICAL ENSEMBLE ON THE
COEXSISTENCE CURVE AND IN THE METASTABLE REGION FOR THE
NEAREST NEIGHBOURSING MODEL
!.........................................................................................
!......SIMULATION OF THE MICROCANONICAL ENSEMBLE
!......ON THE COEXSISTENCE CURVE AND IN THE METASTABLE
!......REGION FOR THE NEAREST NEIGHBOUR ISING MODEL
!.........FIELD VERSIÓN
!........DIETER W. HERMAN
!.......GRUPO FUSION
!..........................................................
................................
DIMENSION ISS(12,12,12),IM(12),IP(12)DIMENSIÓN IDIST(2000)
REAL DEMON,H
REAL ENERGY,ET
REAL RCLUDE
RAL MODM2,PB,RAM
REAL DMAV,MAGAV
!..............................................................................................
H=0.0
L=12
MCSMAX=100
M=L*L*L/2
ISEED=4711
PB=0.0155
IPLAG=2
RECLUDE=L*L*L
!.......INITIZALIZE
DO 1 I=1,L
IM(I)=I-1
IP(I)=I+1
1 CONTINUE
DO 2 I=1,1000
IDIST(I)=0
2 CONTINUE
DO 5 I=1,L
DO 5 J=1,L
DO 5K=1,L
ISS(I,J,K)-13
5 CONTINUE
C=0
DO 10 I=1,L
DO 10 J=1,L
DO 10 K=1,L
RAN=RANF(ISEED)
IF (RAN.GT,PB) GOTO 10
M=M+1
ISS(I,J,K)=ISS(I,J,K)+14
ISS(IM(I),J,K)=ISS(IM(I),J,K)+2
ISS(IP(I),J,K)=ISS(IP(I),J,K)+2
ISS(I,IM(J),K)=ISS(I,IM(J),K)+2
ISS(I,IP(J),K)=ISS(I,IP(J),K)+2
ISS(I,J,IM(K))=ISS(I,J,IM(K))+2
ISS(I,J,IP(K))=ISS(I,J,IP(K))+2
10 CONTINUE
ENERGY=0.0
DO 20 I=1,L
DO 20 J=1,L
DO 20 K=1,L
ICT=ISS(I,J,K)
IVORZ=ISIGN(1,ICI)
ICIA=ICI*IVORZ
ENERGY=ENERGY+ICIA-7
20 CONTINUE
ENERGY=-ENERGY*2.0*3.0/8.0-H*2.0*M
ENERGY=ENERGY/32768.0
H=H*4.0/3.0
WRITE(*,6000) PB,ENERGY,M
IF (IFLAG.EQ.1) STOP 1
!..............................................................................................
! MONTE CARLO
DEMAV=0.0
MAGAV=0.0
DEMON=0.0
FLDEM=0.0
DO 200 MCS=1,MCSMAX
DO 100 IZ=1,L
IMZ=IM(IZ)
IPZ=IP(IZ)
DO 100 IY=1,L
IMY=IM(IY)
IPY=IP(IY)
DO 100 IX=1,L
ICI=ISS(IX,IY,IZ)
IVORZ=ISIGN(1,ICI)
IEN=ICI*IVORZ-7
IF (DEMON-IEN-H*IVORZ.LT.0) GOTO 100
DEMON= DEMON-IEN-H*IVORZ
!........FLIP SPIN………….
M=M-IVORZ
ISS(IX,IY,IZ)=ICI-IVPRZ*14
ICH=-2*IVORZ
ISS(IM(IX),IY,IZ)=ISS(IM(IX)IY,IZ)+ICH
ISS(IP(IX),IY,IZ)=ISS(IP(IX),IY,IZ)+ICH
ISS(IX,IMY,IZ)=ISS(IX,IMY,IZ)+ICH
ISS(IX,IY,IZ)=ISS(IX,IPY,IZ)+ICH
ISS(IX,IY,IPZ)=ISS(IX,IY,IPZ)+ICH
100 CONTINUE
!......IPTR=10*DEMON+1
!......IDIST(IPTR)=IDIST(IPTR)+1
DEMAV=DEMAV/MCSMAX
MAGAV=MAGAV/MCSMAX
WRITE(*,6200) DEMAV, MAGAV
FLUCT=(FLDEM-DEMAV*DEMAV/MCSMAX)/MCSMAX
WRITE(*,6400) FLUCT
! DO 900 J=1,991,10
! WRITE(*,6500) (IDIST(J-1+I),I=1,10)
! 900 CONTINUE
!.........FORMATS
6000 FORMAT(1H,1E20.6,2X,1E20.6,2X,1I10)
6100 FORMAT (1H,1I10,3X,1E20.6,3X,1I10)
6200 FORMAT (IHO,’DEMON AV=’,1E20.6,3X,’MAG AV=’,1E20.6)
6300 FORMAT(1HO,1I10,1X,1E20.6,1X,1E2O.6,1X,1E20.6,1X,1I10)
6400 FORMAT(1HO,’DEMON FLUCTUATION=’,1E20.6)
6500 FORMAT(1HO,10(2X,1I10))
STOP
END
FUENTE: http://www.monografias.com/trabajos12/carlo/carlo.shtml
UNIDAD 3: GENERACION DE
VARIABLES ALEATORIAS
VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS
En gran cantidad de experimentos aleatorios es necesario cuantificar los resultados, es
decir, asignar a cada resultado del experimento un número, con el fin de poder realizar un
estudio matemático.
Ejemplos

Consideremos el experimento aleatorio que consiste en lanzar tres monedas,
supongamos que a cada elemento de su espacio muestral E={ccc, ccx, cxc, xcc, cxx,
xcx, xxc, xxx} le asignamos un número real, el correspondiente al número de caras
(discreta).
Esta correspondencia que acabamos de construir es una función del espacio muestral E en
el conjunto de los números reales R. A esta función la llamaremos variable aleatoria y la
denotaremos por X.

Supongamos el experimento aleatorio que consiste en lanzar dos dados, podemos
asignar a cada resultado la suma de los puntos aparecidos en cada dado (discreta).

Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 500 personas y medir su
estatura. La ley que asocia a cada persona con su talla es una variable aleatoria
(continua).

Consideremos el experimento que consiste en elegir al azar 100 sandias de una
plantación y pesarlas. La ley que asocia a cada sandía su peso es una variable
aleatoria (continua).
Variable aleatoria (v.a.)
Se dice que hemos definido una variable aleatoria para un experimento aleatorio cuando
hemos asociado un valor numérico a cada resultado del experimento.
Sea E el espacio muestral asociado a un experimento. Se llama variable aleatoria a toda
aplicación del espacio muestral E en el conjunto de los números reales (es decir, asocia a
cada elemento de E un número real).
Se utilizan letras mayúsculas X, Y, ... para designar variables aleatorias, y las respectivas
minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.
Si un experimento con espacio muestral E, tiene asociada la variable aleatoria X, es natural
que se planteen preguntas como: ¿Cuál es la probabilidad de que X tome un determinado
valor?, esto nos lleva a establecer, por convenio, la siguiente notación:
(X=x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma el valor x", y
p(X=x) representa la probabilidad de dicho suceso.
(X<x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor a x", y
p(X<x) representa la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor a x.
(X x) representa el suceso "la variable aleatoria X toma un valor menor o igual a x", y
p(X x) representa la probabilidad de que la v.a. X tome un valor menor o igual a x.
Si una variable aleatoria sólo toma valores enteros, es decir, un número finito de valores o
infinito numerable diremos que es discreta (los dos primeros ejemplos). Si teóricamente,
puede tomar todos los valores de un intervalo de R, diremos que es continua (los dos
últimos ejemplos).
Función de Probabilidad f(x)
Consideremos una v.a. discreta X, que toma los valores x1, x2, ..., xn. Supongamos que
conocemos la probabilidad de que la variable X tome dichos valores, es decir, se conoce
que
p(X=x1) = p1 , p(X=x2) = p2, p(X=x3) = p3, ..., p(X=x1) = pn ,
en general p(X=xi) = pi
La función de probabilidad f(x) de la v.a. X es la función que asigna a cada valor xi de la
variable su correspondiente probabilidad pi.
La representación gráfica más usual de la función de probabilidad es un diagrama de barras
no acumulativo.
Función de Distribución F(x)
En muchas ocasiones no nos interesa tanto conocer la probabilidad de que la v.a. X tome
exactamente un determinado valor xi, cuanto la probabilidad de que tome valores menores
o iguales que un cierto valor xi. En tales casos es necesario acumular los distintos valores
de la función de probabilidad hasta el valor deseado. Se trata de una nueva aplicación
llamada función de distribución.
Sea X una variable aleatoria discreta, cuyos valores se suponen ordenados de menor a
mayor. Se llama función de distribución de la variable X, y se simboliza por F(x), a la
función
es decir, asocia a cada valor de la v.a. discreta la probabilidad acumulada hasta ese valor (la
probabilidad de que la v.a. tome valores menores o iguales a xi).
Podemos expresar la función de distribución de la siguiente forma:
Su representación gráfica tiene forma escalonada, siendo los saltos coincidentes con las
probabilidades pi correspondientes a los valores xi de la variable X.
Parámetros de una Variable Aleatoria Discreta
Tanto la varianza como la desviación típica son medidas de dispersión, de tal manera que
cuanto menores son estos dos parámetros más agrupados se encuentran los valores de la
distribución entorno a los valores centrales. Por contra, para valores grandes de la varianza
o la desviación típica los datos de la distribución se encuentran muy dispersos.
FUENTE: http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t18_variable_aleatoria_discreta.htm
Variables aleatorias discretas
Definición 3.3 Se dice que una variable aleatoria es discreta si
toma un numero finito o a lo más numerable de valores:
En este caso la ley de la variable aleatoria es la ley de
probabilidad sobre el conjunto de los valores posibles de
asocia la probabilidad
al singleton
que
.
En la práctica el conjunto de los valores que puede tomar
una parte de .
es
o
Determinar la ley de una variable aleatoria discreta es:
1. Determinar el conjunto de los valores que puede tomar
2. Calcular
para cada uno de estos valores
.
.
Punto de vista frecuentista.
Recordemos que el único sentido práctico que le podemos dar a la
idea de probabilidad es el de un límite de frecuencias
experimentales. Este es también el sentido que hay que dar a la
noción de ley discreta. Repetimos veces, en forma independiente,
el experimento aleatorio del cual como resultado medimos . Se
obtiene así una -tupla
de variables aleatorias
independientes de misma ley que (esto se llama una muestra). A
partir de esta -tupla podemos calcular las frecuencias
experimentales de los eventos ``
'' :
Según la Ley de los Grandes Números, esta frecuencia debe
converger a
. Para todo
las frecuencias experimentales
definen una ley de probabilidad discreta sobre el
conjunto de los
.
Usualmente se representa a las leyes discretas por diagramas de
barras : Se dibuja encima de la abscisa
altura igual a
un segmento vertical de
.
Las leyes discretas más comunes son las siguientes.
Ley uniforme.
La ley uniforme definida sobre un conjunto finito es la ley de
``sorteos al azar'' en este conjunto o equiprobabilidad. Ella asigna la
misma probabilidad
a todos los elementos del conjunto, si el
cardinal del conjunto es .
Ley de Bernoulli.
Las variables aleatorias discretas más simples son las indicatrices
de eventos. Si
aleatoria
es un evento de probabilidad
toma el valor
de Bernoulli de parámetro
si
, la variable
se realiza y 0 si no. Su ley es la ley
.
Los otros dos ejemplos básicos son la ley binomial y la ley
geométrica.
Ley binomial.
Se repite el mismo experimento veces en forma independiente y
se cuenta el número de veces que se produce el evento . Se
considerará la repetición de los experimentos como un nuevo
experimento global. Como solamente nos interesa el evento ,
bastará guardar de la experiencia global una -tupla booleana del
tipo:
la cual será más fácil de transformar en una
Denotemos:
de los
Si
el número de veces en que
experimentos.
denota la probabilidad del evento
-tupla de 0 y
.
se realiza a lo largo
, la variable aleatoria
sigue una ley de Bernoulli de parámetro
. La variable aleatoria
toma sus valores en el conjunto
. Para determinar su ley,
los eventos que nos interesan son los del tipo ``
''. A partir de
la hipótesis de independencia de los experimentos, la probabilidad
de un resultado cualquiera del experimento global es un producto de
probabilidades. Por ejemplo:
Toda
-tupla particular que contenga
probabilidad
. En total hay:
`` '' y
``0'' tiene como
que es el número de maneras de seleccionar
donde:
índices entre
Definición 3.4 Se dice que una variable aleatoria
binomial de parámetros
1.
y
(denotada
. De
sigue la ley
) si:
toma sus valores en el conjunto
2.
Para recordar:
El número de ocurrencias de un mismo evento en el curso de
experimentos independientes sigue una ley binomial.
Simulación:
A la salida del algoritmo que mostramos a continuación,
sigue la
ley binomial
. Es el caso típico en el que encontramos una
ley binomial, pero no es el método mas eficaz de simulación de la
misma.
Repetir
veces
Si ( Random
finSi
finRepetir.
) entonces
Observación:
Es un buen hábito el comprobar que la suma de las probabilidades
calculadas vale . En este caso:
, por la fórmula del binomio
de Newton (de ahíel nombre de binomial).
Ley geométrica.
El problema aquí es observar una sucesión de repeticiones
independientes de un mismo experimento. Nos interesa el momento
en que se produce el evento por primera vez. Se asume que la
probabilidad
de
es estrictamente positiva.
Denotemos por el número de orden del experimento en el cual
ocurre por primera vez. Es una variable aleatoria que depende del
experimento:
``repetir independientemente hasta que ocurra
El conjunto de los valores posibles para
todo
es
''.
. Para
se tiene:
Definición 3.5 Se dice que una variable aleatoria
geométrica de parámetro
1.
(denotada
), si:
toma sus valores en el conjunto
2.
Para recordar:
.
sigue la ley
El número de experimentos independientes necesarios hasta la
primera ocurrencia de un evento sigue una ley geométrica.
Simulación:
A la salida del algoritmo que mostramos a continuación,
sigue la
ley geométrica
. Es el caso típico en el que encontramos una
ley geométrica, pero no es el método mas eficaz de simulación de la
misma.
Repetir
Hasta que ( Random
).
Observación:
.
La consecuencia de esta observación es la siguiente: en el
transcurso de una serie de experimentos independientes, todo
evento acabará sucediendo, si su probabilidad es estrictamente
positiva. Así una sucesión aleatoria de 0 y debe contener
necesariamente una cadena de
ceros seguidos. Con el
mismo razonamiento, si un mono golpea al azar las teclas de una
máquina de escribir, terminará, necesariamente, escribiendo ``Don
Quijote'' sin faltas, desde la primera mayúscula hasta el último
punto.
Para comprender esta paradoja, calculemos la probabilidad de que
un evento de probabilidad
experimento.
se produzca a lo sumo en el
-ésimo
Mostramos algunos valores de
en función de
y
.
Aún si todas las partículas del universo fueran monos tecleando a
razón de carácteres por segundo, se necesitaría mucho más
tiempo del transcurrido desde el inicio del universo para tener una
probabilidad no despreciable de ver a uno de ellos teclear Don
Quijote.
La ley geométrica y la ley binomial aparecen con frecuencia en el
análisis de algoritmos de simulación. A continuación presentamos el
ejemplo del cálculo de una probabilidad condicional. La
programación directa de la definición intuitiva (proporción de veces
en que ocurre entre aquellas en que también ocurre) conduciría
al siguiente algoritmo.
Repetir veces
experimento
Si
ocurre entonces
Si ocurre entonces
finSi
finSi
finRepetir
Nada impide que
sea cero al final de los
es poco probable). Es preferible fijar
experimentos (aún si
y escribir:
Repetir
veces
Repetir
experimento
Hasta que ocurre
Si ocurre entonces
finSi
finRepetir
Ejecutar este algoritmo se convierte en calcular la frecuencia
experimental de , en el resultado de
repeticiones
independientes de un experimento global. Este experimento global
consiste en repetir independientemente un mismo experimento
hasta que ocurre por primera vez . La ``duración'' del experimento
global es un número entero aleatorio. El sigue una ley geométrica
de parámetro
. Se puede demostrar que la variable
una ley binomial de parámetros
y
sigue
.
Ejemplo:
Repetir
Repetir
veces
Random
Hasta que ( es par) (*
Si
finSi
entonces
(* lanzamiento de un dado *)
es el evento `` es par'' *)
(*
es el evento ``
'' *)
finRepetir
A la salida de este algoritmo,
si
contiene un número cercano a
es grande. El número de repeticiones del experimento
cada vez que se ejecuta un lazo, sigue la ley geométrica
.
Hay otras leyes discretas clásicas que se emplean con frecuencia.
Se trata de las leyes de Poisson, hipergeométricas y binomiales
negativas.
Ley de Poisson.
Muchas variables aleatorias discretas corresponden a conteos de
objetos con una característica, relativamente rara, dentro de un
conjunto grande de objetos: átomos de un isótopo, moléculas de un
elemento químico, bacterias, virus, individuos que poseen un gen
especial... Con frecuencia se emplea una ley de Poisson como
modelo para estos conteos. Una variable aleatorio sigue una ley de
Poisson de parámetro
todo
si ella toma sus valores en
y si para
:
Ley hipergeométrica.
La ley hipergeométrica es la ley de ``captura sin reposición''. En una
población de tamaño , se extrae al azar una muestra
(subconjunto) de tamaño . Entre los individuos de la población
hay que están ``marcados'' (poseen una cierta característica). El
número de individuos marcados entre los individuos
seleccionados, sigue la ley hipergeométrica de parámetros , y
. La variable aleatoria
, y para todo
toma sus valores en el conjunto
:
donde por convención
, si
.
Esta ley se encuentra con frecuencia en los juegos de azar.
Variable aleatoria
Número de ases en una mano de poker 32 4 5
Número de ases en una mano de
bridge
52 4 6
Número de números buenos en un
sorteo de Loto
49 6 6
Número de números buenos en un
sorteo de Keno
70 20
Ley binomial negativa.
Esta ley se emplea frecuentemente en los conteos en biología. El
modelo de base que la define puede escribirse todavía en términos
de indicatrices de eventos independientes, como en las leyes
binomiales y geométricas. En el transcurso de una serie de
experimentos aleatorios independientes, observemos un evento
de probabilidad . Denotemos por el número de observaciones
de antes de la -ésima observación de . Entonces sigue la
ley binomial negativa de parámetros
y
El conjunto de los valores que toma es
La variable aleatoria
siguiente algoritmo.
Repetir
sigue la ley
, denotada por
y para todo
.
:
como salida del
veces
Mientras (Random
)
finMientras
finRepetir.
FUENTE: http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/emel/cours/mp/node12.html
Variables aleatorias continuas
Definición 3.6 Sea una variable aleatoria con valores en y
una densidad de probabilidad sobre . Se dice que es una
variable aleatoria continua de densidad
de se tiene:
si para todo intervalo
La ley de la variable aleatoria
densidad
es la ley continua sobre
, de
.
Para determinar la ley de una variable aleatoria continua, hay que
calcular su densidad. De manera equivalente, la ley de una variable
continua se determina dando la probabilidad de que ella pertenezca
a un intervalo cualquiera. Es lo que hemos hecho para nuestro
ejemplo de base, el llamado a Random, que es una variable
aleatoria continua, de densidad
continua
igual a :
de densidad
. Una variable aleatoria
, cae entre
y con una probabilidad
Mientras más grande sea la densidad
en un segmento, mayores
serán las probabilidades de que caiga en ese segmento, lo cual
justifica el término ``densidad''.
Como ya hemos observado para Random, la probabilidad de que
una variable aleatoria continua caiga en un punto cualquiera es
nula.
En consecuencia:
Observemos también que el modificar una densidad en un número
finito o numerable de puntos, no cambia de las integrales sobre los
segmentos y en consecuencia la ley de probabilidad asociada
tampoco cambia. El valor que toma la densidad en un punto
particular, no es importante. Por ejemplo Random tiene como
densidad a
pero da lo mismo usar
. Como en los casos
discretos, debemos conocer algunos ejemplos básicos. Las
densidades se dan en un punto cualquiera de .
Ley uniforme.
La ley uniforme sobre un intervalo es la ley de ``sorteos al azar'' en
un intervalo. Si
el intervalo
función:
son dos números reales, la ley uniforme sobre
se denota por
. Ella tiene por densidad a la
Random es una variable aleatoria de ley uniforme
.
Ley exponencial.
Las leyes exponenciales modelan intervalos de tiempo o duraciones
aleatorias, como la vida de una partícula en física. La ley
exponencial de parámetro
densidad a la función:
se denota por
. Ella tiene por
Ley normal.
La ley normal, ley de Gauss o Laplace-Gauss es la más célebre de
las leyes de probabilidad. Su éxito y su omnipresencia en las
ciencias de la vida vienen del Teorema del Límite Centrado que
estudiaremos más adelante. La ley normal de parámetros
se denota por
y
. Ella tiene por densidad a la función:
Las leyes exponenciales y normales constituyen el núcleo de las
familias de leyes clásicas que se encuentran mas frecuentemente
en estadística.
Ley de Weibull.
La ley de Weibull de parámetros
y
, denotada por
, tiene por densidad:
Se la emplea como modelo de duración aleatoria, principalmente en
fiabilidad (duración de funcionamiento sin roturas, duración de
reparación). La ley
es la ley
.
Ley gamma.
La ley gamma de parámetros
tiene por densidad:
y
, denotada por
donde
es la ``función gamma'', definida por
. Para
entero,
y
, la ley
es llamada ley
de chi cuadrado con grados de libertad y se denota por
.
Esta es la ley de la suma de los cuadrados de variables aleatorias
independientes de ley
, se emplea para las varianzas
empíricas de muestras gaussianas. La ley
exponencial
es la ley
.
Ley beta.
La ley beta de parámetros
por densidad:
y
, denotada por
tiene
Esta familia de leyes nos provee de modelos no uniformes para
variables aleatorias acotadas. Si unas variables aleatorias
independientes siguen la ley uniforme
, sus estadígrafos de
orden (valores reordenadas) siguen leyes beta.
Ley log-normal.
La ley log-normal
es la ley de una variable aleatoria, de
valores positivos, cuyo logaritmo sigue la ley
densidad a la función:
. Ella tiene por
En medicina, numerosos parámetros fisiológicos son modelados
empleando leyes log-normales.
Ley de Student.
La ley de Student con
relación
grados de libertad,
, es la ley de la
, donde las variables aleatorias
independientes, de ley
densidad a la función:
,
de ley
e
son
. Ella tiene por
Se la utiliza para estudiar la media empírica de una muestra
gaussiana.
Ley de Fisher.
La ley de Fisher de parámetros
la relación
y
, donde
independientes de leyes
por densidad a la función:
y
e
(enteros positivos) es la ley de
son dos variables aleatorias
respectivamente. Ella tiene
Se la emplea para comparar las varianzas de muestras gaussianas.
FUENTE: http://www.math-info.univ-paris5.fr/~ycart/emel/cours/mp/node13.html
VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS
Si en un experimento aleatorio a cada suceso aleatorio elemental le asignamos un valor
numérico obtenemos una variable aleatoria. Es decir, una variable que lleva asociada una
probabilidad. La probabilidad de un valor concreto de la variable es la probabilidad que
corresponde a los sucesos aleatorios elementales a los que hemos asignado ese valor
numérico.
Por ejemplo : En el experimento aleatorio "lanzar un dado" asignamos a cada cara del dado su valor
numérico (esta asignación aparece de forma natural). Así generamos una variable aleatoria que toma seis
valores, del 1 al 6 con igual probabilidad (1/6) cada uno de ellos. Pero, con este mismo experimento, podemos
generar otras variables aleatorias (no tan naturales) como puede ser : asignar el valor 1 a las caras que son
múltiplos de tres y el valor 0 a las que no lo son, apareciendo una variable aleatoria que tiene dos valores, el 1
con probabilidad 1/3 y el 0 con probabilidad 2/3.
Crear una variable aleatoria no tiene mucho sentido sino la vamos a utilizar en un
determinado contexto, por ejemplo, podemos utilizar la segunda variable aleatoria que
hemos creado para apostar si sale o no múltiplo de tres.
Resumiendo, una variable aleatoria se construye al atribuir un número (positivo, negativo o
cero) a cada uno de los sucesos aleatorios que forman el espacio muestral de un
experimento aleatorio. La probabilidad de cada valor de la variable es la probabilidad
conjunta de los sucesos que dan lugar a ese valor. Es decir, definimos una variable aleatoria
como una aplicación del espacio muestral  sobre el conjunto de los números reales R.
Según la amplitud del campo de variación de la función podemos distinguir : variables
aleatorias discretas y variables aleatorias continuas. De la misma forma que en estadística
descriptiva, una variable aleatoria es discreta si toma valores en un conjunto finito o infinito
numerable. Y una variable aleatoria es continua si puede tomar valores en un conjunto
infinito no numerable. Como ejemplo típico de variable aleatoria discreta tenemos la
distribución binomial, y como ejemplo típico de variable aleatoria continua vamos a ver
ahora la distribución normal.
Como hemos visto hay variables aleatorias que pueden tomar cualquier valor de un
intervalo real de la forma (a, b), (a, +), (-, b), (-, +) o uniones de ellos. A las
variables de este tipo se las denomina variables aleatorias continuas.
Por ejemplo : Supongamos que vamos a realizar un experimento aleatorio que consiste en seleccionar una
persona y apuntar su peso. Podemos crear una variable aleatoria cuyos valores sean el número de kilogramos
que pesa la persona observada. En este caso, el rango de valores posibles se extiende entre los límites
naturales, pero la continuidad de esta variable aleatoria radica en el carácter continuo de lo que medimos, el
peso, es decir, en el hecho de que entre dos valores posibles se podrían obtener infinitos valores intermedios,
también posibles si utilizáramos aparatos con suficiente precisión. Estos "infinitos" en el interior del rango de
la variable es lo que diferencia a las variables continuas de las discretas.
Sin entrar en profundidades, consideramos que una distribución de probabilidad es
cualquier mecanismo que nos ayuda a obtener las probabilidades de los valores de una
variable si es discreta, o las probabilidades de intervalos de la variable si es continua. Si la
variable aleatoria es discreta es posible asignar probabilidades a cada uno de los valores
puntuales de la variable. En contra, cuando es continua cada uno de los infinitos valores
posibles tendrá probabilidad cero y sólo podremos hablar de probabilidad dentro de
intervalos.
Distribuciones de probabilidad con variable aleatoria continua
Función de Distribución y Función de Densidad.
Si la variable aleatoria es continua hay infinitos valores posibles de la variable y entre cada
dos de ellos se podrían definir infinitos valores más. En estas condiciones, y como ya
hemos dicho, no es posible deducir la probabilidad de un valor puntual de la variable, como
se puede hacer en el caso de variables aleatorias discretas. Pero sí es posible calcular la
probabilidad acumulada hasta un cierto valor (función de distribución), más tarde podremos
analizar como cambia la probabilidad acumulada en cada punto (estos cambios no son
probabilidades sino otro concepto que denominamos densidad de probabilidad).
Como queremos definir los conceptos de función de densidad y de distribución para
variables aleatorias continuas, vamos a partir de la idea intuitiva de que tales funciones son
"modelos" de las distribuciones de frecuencias de la variable aleatoria considerada.
Ejemplo 1
Pretendemos observar la altura de un grupo de personas y vamos a seleccionar a una persona de forma
totalmente aleatoria. La probabilidad de que la altura de esa persona sea exactamente 1,62894635... m es cero.
Pero la probabilidad de que la altura de esa persona esté entre 1,62 m y 1,63 m tendrá un valor concreto y casi
con certeza que será mayor que la probabilidad de que esté entre 2,10 m y 2,11 m. Por tanto, la densidad de
probabilidad en el entorno de 1,625 m es mayor que la densidad de probabilidad en el entorno de 2,105 m. Sin
embargo, que el valor exacto 1,62894635 tenga probabilidad cero de ocurrir no implica que sea imposible
que ocurra. De hecho, cualquier persona que seleccionemos tendrá una altura concreta y exacta que tenía
probabilidad cero de suceder.
Ejemplo 2
Sea X la v.a. que describe la duración de los neumáticos de una determinada marca y modelo. Los valores de
una variable estadística continua siempre se consideran agrupados en intervalos de clase, luego no tiene
sentido plantearse la probabilidad de resultados "aislados" (como, por ejemplo, la probabilidad de que un
neumático dure, exactamente, 56.000 km , 235 m , 47 cm y 6 mm). En todo caso, esas probabilidades deben
valer cero. Pero sí podemos preguntarnos, por ejemplo, ¿cuál es la probabilidad de que un neumático dure
menos de 50.000 km? o ¿cuál es la probabilidad de que un neumático dure entre 60.000 y 70.000 km?.
Tanto en el ejemplo 1 como en el 2 si queremos hallar esas probabilidades tendremos que
recurrir a métodos empíricos y usar técnicas estadísticas : tomar una muestra, examinar y
anotar las frecuencias observadas. Entonces tomaremos como valor de la probabilidad de
un suceso s1 la frecuencia observada de éste : p(s1) = fr(s1).
Y así podemos construir un histograma de frecuencias relativas y un histograma de
frecuencias relativas acumuladas. En el primero, la fr(X  x) será la suma de las
frecuencias de todas las clases anteriores a x; lo que, geométricamente, es el área bajo la
curva de frecuencias entre el inicio de la gráfica y el valor x. La obtención de fr(X  x) en
la segunda gráfica es más rápido pues, fr(X  x) es la frecuencia acumulada del valor x y
se lee directamente de la gráfica.
A partir de una situación real con densidades de frecuencias se crea un modelo teórico con
asignación de probabilidades.
Sea X una variable aleatoria continua que toma valores en un intervalo [a, b]. Si
procedemos a dividir el intervalo cada vez en más partes el polígono de frecuencias
relativas (densidades de frecuencias) se va aproximando a una curva con un determinado
aspecto.
Una vez realizado este proceso de dividir sucesivamente el intervalo, las densidades de
frecuencias pasan a ser, en el límite, densidades de probabilidad.
La probabilidad de que la variable X tome los valores entre x0 y x0+h es P(x0 X
x0+h) y corresponde al área bajo la curva en el intervalo [x0 , x0+h]. La función
correspondiente a esta curva, y=f(x), la denominamos Función de densidad.
FUNCIÓN DE DENSIDAD
Una función y=f(x) es una función de densidad de una variable aleatoria continua si
cumple las siguientes condiciones :
FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN
En general, la función de distribución de una variable aleatoria continua X es el modelo
teórico de la curva de frecuencias acumuladas que se espera obtener para X, y debe
cumplir, evidentemente, estas propiedades:


Ser creciente
Tomar valores de 0 a 1
Si X es una variable aleatoria continua con valores en un intervalo [a, b], entonces F(x) será
la probabilidad de que la variable X tome valores entre a y x. F(x)=P(a X  x).
Es decir, la función de distribución F(x) es una primitiva de la función de densidad f(x), o
dicho de otra forma, la función de densidad es la derivada de la función de distribución.
Indica la probabilidad de que la variable aleatoria continua X sea menor o igual que un
valor dado, es decir, proporciona la probabilidad acumulada hasta un determinado valor de
la variable.
PARÁMETROS DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
Por analogía con las definiciones de estos conceptos para variables aleatorias discretas, se
definen la esperanza matemática o media  , la varianza  y la desviación típica  de una
variable aleatoria continua de la siguiente forma :
TIPIFICACIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA
Si X es una variable aleatoria de media  y desviación típica  , la variable Y=(X-)/
tiene de media 0 y de desviación típica 1, y se llama tipificada de X. Podemos decir que
mide la desviación de X respecto de su media, tomando como unidad la desviación típica
de X.
FUENTE: http://personal5.iddeo.es/ztt/Tem/t20_variable_aleatoria_continua.htm
GENERACIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS
Una vez obtenida toda la información, es decir, los datos de entrada del sistema real, es
necesario convertirlos en información o datos de entrada del modelo de simulación. Es
posible distinguir dos tipos de información:
1. Información determinística. Esta información entra directamente al modelo con su valor
correspondiente en el sistema real.
2. Información probabilística. Es necesario crear modelos de simulación que imiten el
comportamiento de esas variables.
De esta forma, al crear un modelo de simulación debemos ser capaces de crear ese
comportamiento y modelarlo. Los números aleatorios uniformes (0-1) son la base en los
modelos de simulación donde hay variables estocásticas, ya que dichos números son la
herramienta para generar eventos de tipo probabilístico.
MÉTODOS DE GENERACIÓN DE NÚMEROS PSEUDOALEATORIOS U( 0,1 )
Existen un gran número de métodos para generar los números aleatorios uniformes entre 0
y 1. Algunas formas de obtener estos números son:
- Utilizando tablas de números aleatorios.
- Utilizando calculadoras ( algunas incluyen una función para generarlos ).
- Los lenguajes de programación y las hojas electrónicas incluyen una función para
generarlos.
- Utilizando Generadores Congruenciales.
El método a utilizar, en sí mismo, no tiene importancia: la importancia radica en los
números que genera, ya que estos números deben cumplir ciertas características para que
sean validos. Dichas características son:
1. Uniformemente distribuidos.
2. Estadísticamente independientes.
3. Su media debe ser estadísticamente igual a 1/2.
4. Su varianza debe ser estadísticamente igual a 1/12.
5. Su periodo o ciclo de vida debe ser largo.
6. Deben ser generados a través de un método rápido.
7. Generados a través de un método que no requiera mucha capacidad de almacenamiento
de la computadora.
METODOS PARA GENERAR NUMEROS ALEATORIOS NO UNIFORMES
En los modelos estocásticos existirán una o más variable aleatorias interactuando. Estas
variables siguen distribuciones de probabilidad teóricas o empíricas, diferentes a la
distribución uniforme (0-1). Para generar números que sigan el comportamiento de éstas
variables, se pueden utilizar algunos métodos como los siguientes:
1. Método de la transformada inversa
2. Método de rechazo
3. Método de composición, y
4. Procedimientos especiales
MÉTODO DE LA TRANSFORMADA INVERSA.
El método de la transformada inversa utiliza la distribución acumulada F(x) de la
distribución que se va a simular. Puesto que F(x) esta definida en el intervalo (0-1), se
puede generar un número aleatorio uniforme R y tratar de determinar el valor de la variable
aleatoria para cual su distribución acumulada es igual a R, es decir, el valor simulado de la
variable aleatoria que sigue un distribución de probabilidad f(x), se determina al resolver la
siguiente ecuación.
F(x) = R ó x = F^-1 (R)
La dificultad principal de este método descansa en el hecho de que en algunas ocasiones es
difícil encontrar la transformada inversa. Sin embargo si esta función inversa ya ha sido
establecida, generando números aleatorios uniformes se podrán obtener valores de la
variable aleatorio que sigan la distribución de probabilidad deseada.
FUENTE: http://www.itson.mx/dii/atorres/NumAlea.htm
UNIDAD 4: LENGUAJES DE SIMULACION
LENGUAJES Y/O PAQUETES DE SIMULACION
En esta parte haremos una descripción sucinta de algunos paquetes y/o
lenguajes de Simulación de los más empleados en el medio.
LENGUAJES
El desarrollo de los lenguajes de Simulación comenzó a finales de los
años cincuenta; inicialmente los lenguajes que se usaron en fueron los de
propósito general, los cuales tenían las siguientes ventajas:
o
La situación a analizar se puede
modelar en forma más o menos sencilla
para el programador por el conocimiento del lenguaje.
o
o
El proceso se puede describir con
tanta precisión como le sea posible en el lenguaje conocido.
Se pueden realizar todas las
depuraciones posibles.
Cualquier lenguaje de programación puede ser empleado para trabajar en
Simulación, pero los lenguajes especialmente diseñados presentan las
siguientes propiedades:
Acaban la tarea de programación.
Generan una guía conceptual.
Colaboran en la definición de
o
o
o
entidades en el sistema.
Manejan la flexibilidad en los
o
cambios.
o
Ayudan a analizar y a determinar la
relación y el número de entidades en el sistema.
Emshoff y Sisson consideran que la Simulación Discreta requiere de
ciertas funciones comunes que diferencian un lenguaje de Simulación de
uno de propósito general, entre las cuales se encuentran las siguientes:
Generar números aleatorios.
Generar variables aleatorias.
Variar el tiempo hasta la ocurrencia
o
o
o
del siguiente evento.
Registrar datos para salida.
Realizar análisis estadístico sobre
o
o
datos registrados.
Construir salidas en formatos
o
determinados.
Detectar inconsistencias y errores.
o
Los lenguajes precursores en Simulación fueron los de propósito general,
entre ellos por mencionar solo algunos tenemos: FORTRAN, ALGOL,
COBOL, RPG, BASIC, PASCAL, MODULA, PL/1, etc. Los principales
lenguajes utilizados en Simulación son:
Simulación de cambio continuo y de cambio discreto en computadoras
híbridas H01; Simulación de incremento continuo con orientación a
ecuaciones directas con énfasis en ecuaciones diferenciales DSL/90,
MIMIC, BHSL, DIHYSYS y S/360 CSMP; Simulación de incremento
continuo con simuladores orientados a bloques con énfasis en ecuaciones
diferenciales MIDAS, PACTOLUS, SCADS, MADBLOC, COBLOC y
1130 CSMP; Simulación de incremento continuo con simuladores
orientados a bloques con énfasis en ecuaciones de diferencias
DYNAMO, DYSMAP 2; Simulación de incremento discreto con
orientación a actividades CSL, CLP, GSP, GERT, FORSIM, ESP,
MONTECODE y MILITRAN; Simulación de incremento discreto con
orientación a eventos SIMSCRIPT, GASP, SIMCOM, SIMULATE y
SIMPAC; Simulación de incremento discreto con orientación a procesos
SIMULA, OPS, SLAM y SOL; Simulación de incremento discreto con
orientación a flujo de transacciones GPSS y BOSS.
PAQUETES
Los paquetes son una versión depurada de los diferentes lenguajes de
propósito general y presentan algunas ventajas sobre los lenguajes de
programación generales:
Reducción de la tarea de
o
programación.
Definición exacta del sistema.
Flexibilización mayor para cambios.
Diferenciación mejor de las entidades
o
o
o
que conforman el sistema.
o
del sistema.
Relación estrecha entre las entidades
Los paquetes de mayor utilización en Simulación son:
EXCEL, STELLA, SIMAN, RISK, STORM, LINDO, CRYSTAL
BALL, QSB, MOR/DS, OR/MS, BEER GAME, GREENPACE,
SIMULACION, TAYLOR II, CAPRE, SIMNET II, PROMODEL,
ITHINK, URBAN DYNAMICS y POWERSIM.En Simulación
Gerencial podemos citar: FISH BANK, FINANACAT, BUGA-BUGA y
MARKOPS, TREE PLAN entre otros.
FUENTE:
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4060015/Lecciones/Capitulo%20
VI/lenguages.htm
Simulacion en un lenguaje de alto nivel
Para programar la simulación de un proceso discreto empleando un lenguaje de alto nivel,
se debe seguir el esquema de la figura:
El ejemplo muestra la simulación de una panadería en lenguaje C. Los clientes llegan a una
tienda según una distribución exponencial en los tiempos de llegada. El panadero los
atiende según una distribución uniforme.
SimJava

Transparencias Paquete básico SimJava




Transparencias Paquete de animaciones SimAnim
Transparencias Paquete de diagnosis SimDiag
Sitio oficial SimJava
Ejemplos comentados en aula: granjeros y cache
ARENA



Transparencias Introducción ppt
Ejemplos ITV en serie doe
Ejemplos ITV con planificación doe
Práctica 1 2002-2003
MODELO DE CONTROLADOR DE ENSAMBLADO Y DESENSAMBLADO DE PAQUETES
El ensamblado y desensamblado de paquetes es un tema de de gran interés para los
proveedores de servicios de red de cara a ofrecer redes de alta velocidad en la industria,
gobierno o público en general. El escalado de estos sistemas es un tema clave a la hora de
ofrecer servicios de alta velocidad.
El modelo de un terminal de ensamblado y dessensamblado de paquetes (PAD) contiene r
buffers de entrada, cada uno de ellos de una capacidad de de m y un buffer de salida de
capacidad infinita. El PAD recibe caracteres desde r=10 terminales, uno por cada buffer de
entrada. Los caracteres se van almacenando en los buffers. Se forma un paquete cuando el
buffer de entrada se llena o cuando se recibe un caracter de control. Si hay un caracter de
control, éste se incluye en el paquete. En cuanto se forma un paquete, para a una cola FIFO
desde la que pasa a la red. El buffer de salida es el mismo para todos los buffers de entrada
y, si hay algo que transmitir pone los caracteres a una tasa constante, uno por unidad de
tiempo. La tasa de entrada de caracteres a cada buffer es L.
La llegada de los caracteres en los buffers responde a un proceso de Poisson de tasa G=r*L.
La probabilidad de que llegue un caracter especial es P=0.02. El caracter especial también
es incluido en el buffer de salida al formar el paquete de salida.
EJERCICIO 1: Encontrar la tasa L y la capacidad M del buffer de entrada que minimiza
R(M,L)=retardio medio del caracter en el PAD entre la llegada al dispositivo y su salida a
la red. Hay que tener en cuenta las siguientes restricciones: .30 menor o igual que G y G
menor o igual que 1 y M puede ser 8,9,...,32.
EJERCICIO 2: Utilice los PAD para hacer una topología de red con A emisores y 1
receptor. Cada emisor está conectado una de las colas de todos los PADs disponibles. Estos
PAD se conectan a otro PAD que envía su salida directamente al destino.
Los emisores envías ficheros al receptor. Para ello, los ficheros son particionados en
paquetes. Los paquetes se envían de forma cíclica a cada uno de los B PADs. Cuando el
emisor envía un paquete, necesita recibir confirmación. Si no recibe confirmación,
considera que el PAD está averiado ante de un time-out fijo y deja de utilizarlo (por
supuesto el paquete no puede perderse).
Mostrar un gráfico de evolución de la tasa de transferencia Origen-Destino en ficheros por
segundo en función del número de PDAs empleados.
Calcular un gráfico de evolución de la tasa de transferencia Origen-Destino en función de la
probabilidad de que se averíe un PAD.
Práctica 2 2002-2003
GESTIÓN LOGÍSTICA DE SERVICIO ITV
En el servicio de ITV del polígono de S. Cristobal en Valladolid, se ofrecen tres tipos de
revisiones: la revisión A, la B y la C. Las tres revisiones son obligarias. Actualmente la
ubicación física de los módulos obliga a trabajar en serie, de manera que los coches pasan
por los módulos A, B y C en serie. El resultado es que los operarios que trabajan en los
módulos con menos tareas permanecen gran parte del tiempo inactivos. El empresario en
lugar de alternar los puestos de los operarios para que todos puedan disfrutar del merecido
descanso, acude a una ingeniería porque considera que el proletario debe sudar más el
ridículo salario que les paga. Así las cosas, en la auditoría le aconsejan reubicar los
módulos para que los coches pasen por A, B o C en función de la disponibilidad del
servicio en cada módulo. Cuando el coche acaba de recibir un servicio, pasa a recibir otro
servicio que no haya recibido aún y que esté disponible. Si no hay ningún servicio
disponible pasa a la cola de alguno de los servicios que aún no ha recibido. Emplee
ARENA para hacer una demostración animada que ilumine las lumbreras de nuestro
querido capitalista.
Práctica 1 2001-2002
Se desea simular el comportamiento de un sistema informico con las siguientes
características:







Dos CPUs, una 7x y otra 3x. (Nx significa que es N veces más rápida que una CPU
de referencia)
Una memoria de tamaño limitado y fijo (M palabras).
Un sistema operativo multitarea.
Dos usuarior: el titular y el ayudante.
El ayudante lanza muchos más procesos que el titular. De hecho, la llegada de
procesos del titular sigue una distribución E(mu_t) y la llegada de procesos del
ayudante E(mu_a), siendo mu_t=2*mu_a.
Las necesidades de memoria y tiempo de CPU de los procesos del titular suele ser el
doble que qe la del ayudante (distribuciones normales).
Los procesos del titular tienen siempre prioridad frente a los del ayudante.
Si un proceso de usuario requiere más memoria de la disponible es rechazado, y desaparece
del sistema.
Cada vez que se asigna o libera memoria para un proceso, la memoria se reordena para
eliminar huecos. De esta forma toda la memoria disponible está siempre contigua y es igual
al tamaño total de la memoria M menos la suma de la memoria reservada por los procesos
de usuario en el sistema.
Un proceso cuyas necesidades de memoriaa se pueden cubrir, pasa a una cola de listo para
ejecución. Los procesos no ocupan memoria mientras están en la cola.
Indique el porcentaje de utilización de cada CPU y de la Memoria en un día de trabajo. Si
el grado de satisfacción del usuario se mide por el tiempo medio de respuesta de sus
procesos, ¿qué usuario está más contento?.
Normas de presentación:


Fecha límite: El día del examen de la asignatura
Normas de presentación:
o

Soporte electrónico: Envio a [email protected] de un .tar con todo lo
necesario para instalar su práctica en un sistema linux.
o Soporte hardcopy: Fichero .c impreso. La primera hoja debe ser la carátula.
Resultados de las prácticas.
Práctica 2 2001-2002
Dos empresarios acuden a Vd. para consultarle en relación a la renovación de su sistema
informático. En la tienda les ofrecen un modelo básico con posibles ampliaciones. No
saben si invertir un dinero extra en una tarjeta gráfica o en un disco mejor. Uno de los
empresarios se dedica al diseño gráfico (Empresario A) y el otro a hacer bases de datos
(Empresario B). Muestre a cada uno de los empresarios cual es la mejor opción de
inversión en cada caso empleando los conocimientos adquiridos en la asignatura de
lenguajes de simulación. Los tiempos de lanzamiento de procesos de los dos empresarios
atiende a una distribución exponencial E(60). Los procesos pueden modelarse como la
combinación de tres tipos de ráfagas: CPU, gráficos y disco. Los procesos del empresario A
tienen ráfagas de CPU N(40,10), de graficos N(40,20) y disco(20,5). Los procesos del
empresario B tienen ráfagas de CPU N(38,10), de graficos N(2,.5) y disco(60,20).
Suposiciones:



Las ráfagas pueden solaparse entre sí.
Si no se adquiere una tarjeta mejor, las ráfagas de trabajo gráfico las hace la CPU y
por lo tanto no hay concurrencia.
El disco de mejor calidad aumenta el rendimiento de las ráfagas de disco en un
20%.
Ha de hacerse una animación de la simulación.
Normas de presentación:



Fecha límite: El día del examen de la asignatura
Normas de presentación:
o Soporte electrónico:
 Sitio web con simulación gráfica y enlace al fuente.
 Envio a [email protected] de un .tar con todo lo necesario para
instalar su práctica en un servidor linux con apache.
o Soporte hardcopy: Fichero .java impreso. La primera hoja debe ser la
carátula.
Resultados de las prácticas.
FUENTE: http://www.infor.uva.es/~descuder/docencia/simulacion/
Simuladores
Los simuladores son programas computacionales que muestran fuguras de malabarismo. Además
te brindan una referencia de las matemáticas de cada figura, y de altura, gravedad, etc. Los más
comunes para PC bajo plataformas Win95, Win98
Joe Pass
Excelente simulador de pases. Puedes crear tus estilos, jugar con 2 o mas
personajes, en realidad casi de todo.
Web: http://www.koelnvention.de/software
Programa: joepass.zip [ 822 Kb ]
Jongl v1.8 / v12.0 (WinXP)
Este programa es muy bueno, puedes dar pases y jugar con diferentes
figuras. Debes bajar estos archivos de Librería y extraerlos a la carpeta
C:\Windows\system
Web: http://www.jongl.de
Programa: jongl-8.0.1-windows.zip (Win95/98/NT/ME/2000) [ 751 Kb ]
Programa: jonglV12pre-windows.zip (solo para WinXP) [ 3.32 MB ]
Librerías requeridas: Bajar DLL 1 | Bajar DLL 2
Virtual Juggler
Este es un excelente programa en 3D. Puedes rotar la imagen y verla de
diferentes angulos. Además se puede malabarear con clavas, pelotas, y
argollas.
Web: http://members.lycos.co.uk/VirtualJuggler
Programa: virtualjuggler.zip [ 840 Kb ]
Desbloqueo: Nombre: Ninguno Key: aaaaaaaaaa
JuggleMaster,1.60b
Uno de los mejores simuladores de malabarismo. Puedes hacer tus propios trucos. Sus
movimientos son muy realistas. Trabaja bajo MS-DOS.
Programa: matsuoka.zip [ 73.5 Kb ]
Jawin
Excelente programa, uno de los mejores. Posee 3 tipos de juego, como el
Bounce; juego de rebote y el Juggle Master. Se puede hasta grabar la figura
en formato Gif Animado o HTML.
Programa: jawin.zip [ 94 Kb ]
JugglingLab
La continuación proyecto Jawin, con varias mejoras: pelotas de colores, girar
al malabaristas, gráficos de movimiento de pelotas, entre otros. Necesita
Java para funcionar.
Web: http://jugglinglab.sourceforge.net
Programa: JugglingLab-0.5.1.zip [ 1650 Kb ]
JugglePro, Version 3.6
Muy buen programa, trabaja bajo DOS y sus movimientos son muy realistas. Puedes rotar la
imagen y hacer tus propias figuras.
Programa: jp36.zip [ 137 Kb ]
Easy Juggle, juggling teacher
Aunque trae pocos trucos igual puedes aprender los mivimientos, agregarle N° de pelotas,
velocidad, etc.
Programa: jugle121.zip [ 88,8 Kb ]
Juggling Tutor: 3 Ball Juggler
Muy buen programa, este hace algunos trucos simples y los explica (inglés) como shower, box, etc.
Programa: jugle121.zip [ 88,8 Kb ]
Juggle: Juggling Pattern Simulator
Este simulador no hace nada más que hacer cascadas con los números que le pidas.
Programa: kleber.zip [ 63 Kb ]
Juggling Pattern Demonstrator
Simulador en version de demostración. Tiene opciones inválidas, pero no está demás hecharle una
miradita.
Programa: knutson.zip [ 36 Kb ]
Juggling Program
Muy buen simulador. Sus movimientos son bien realistas. Además solo pones los N°s y listo.
Programa: yajp.zip [ 17 Kb ]
DOS Site Swap Viewer
Un simple simulador que te permite hacer figuras con cualquier sitewap desde 3 a 9 pelotas.
Programa: harrison.zip [ 41,1 Kb ]
FUENTE: http://www.malabarismo.cl/multimedia/simuladores/
El uso de un simulador de prótesis sube la calidad de las operaciones
La utilización de simuladores para la colocación de prótesis autoexpandibles en obstrucción de colon
utilizando modelos anatómicos adaptados contribuye a aumentar la calidad de las intervenciones, ya que
permite un aprendizaje del procedimiento mucho más preciso y ajustado a las reacciones que podrían
producirse en una operación real.
Así lo creen los responsables del Servicio de Cirugía del Hospital de Jarrio, en Oviedo, que han organizado
una sesión práctica en el centro para conocer las últimas técnicas de simulación, entre las que destaca el
simulador diseñado por la Universidad de Erlangen, en Alemania, válido para el entrenamiento en la
colocación de prótesis tanto para las obstrucciones de estómago y esófago como de colon.
Una de las principales ventajas del simulador diseñado por la Universidad de Erlangen frente a otros modelos
es la posibilidad de emplearlo para la realización de endoscopia terapéutica y no solo diagnóstica, según ha
explicado Kai Matthes, del departamento de Endoscopia de la Universidad alemana, que ha participado en la
sesión del centro asturiano.
Este modelo simula el sangrado, con la conexión de los vasos esplácnicos y una aparato que bombea sangre
artificial, "con la posibilidad de simular una hemorragia digestiva".
El simulador permite practicar la intervención sobre las estenosis de colon, de las cuales las más importantes
son las derivadas de procesos neoplásicos, así como la realización de polipectomía endoscópica, "siempre
con una sensación de realidad por su diseño y textura que facilita en gran medida el entrenamiento del
especialista". Está basado en la utilización de un colon de cerdo, que permite la colocación de una espiral de
metal, desde el ano hasta la mitad del colon tranverso.
Entrenamiento
Ignacio Rodríguez, del Servicio de Cirugía de Jarrio, ha explicado la importancia de la existencia de sistemas
de entrenamiento para la colocación de prótesis autoexpandibles: "La utilización de estos dispositivos,
generalmente en el colon izquierdo, que es el lugar donde más frecuentemente asientan los tumores malignos
con obstrucción, exige un entrenamiento específico y el control de métodos endoscópicos, de radiología
intervencionista -o incluso de ambos de forma simultánea- para asegurar un adecuado posicionamiento de los
simuladores".
De ahí la utilidad de este tipo de simuladores para conseguir un entrenamiento que actualmente se consigue
casi únicamente con la práctica clínica y alcanzar una pericia que permita el incremento en la utilización de
este tipo de prótesis y la reducción de la recurrencia a otras opciones mucho más agresivas para el paciente y
cuyo resultado no compensa el riesgo.
FUENTE: http://www.diariomedico.com/edicion/noticia/0,2458,219267,00.html