Teoría de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA

Teoría de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
Teoría de utilidad bajo incertidumbre
La economía es el estudio de cómo las personas y la sociedad escogen cómo asignar
recursos escasos y distribuir la riqueza entre uno y otros bienes a través del tiempo. Por lo
tanto, debemos entender el objetivo de escoger y los métodos de escoger.
Manzanas
C1
-(1+r)
Naranjas
C0
Retorno
Riesgo
Para abordar esta materia primero debemos comenzar con una discusión respecto a
los axiomas de la conducta de las personas usados por los economistas. Sin embargo, antes
de empezar, debemos reconocer que hay otras teorías de la conducta. Ciencias sociales
como la antropología, psicología, ciencias políticas, sociología también entregan grandes
aportes a la teoría de la elección. Y muy temprano debemos reconocer que los individuos
tienen diferentes tasas de interés de consumo intertemporal y diferentes grados de aversión
al riesgo. Si bien la teoría económica reconoce estas diferencias tiene muy poco que decir
acerca de por que ellas existen o que las provocan.
La teoría de elección de inversión es solo una esquina de este rompecabezas y ésta
ha venido a ser conocida como la teoría de utilidad bajo incertidumbre.
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A. Cinco axiomas de elección bajo incertidumbre
Para desarrollar una teoría de decisión racional al enfrentar incertidumbre, es
necesario hacer algunos muy precisos supuestos respecto a la conducta de los individuos.
Conocidos como la utilidad cardinal. Estas suposiciones proveen un mínimo de condiciones
para una conducta consistente y racional.
Axioma 1. Comparabilidad
Para un set entero S, de alternativas inciertas, un individuo puede decir que el
resultado X es preferido a Y (X Y) o qué Y es preferido a X (YX) o que es indiferente
entre X e Y (X  Y).
Axioma 2. Transitividad
Si X  Y y Y  Z  X ˃ Z
Si X  Y y Y  Z  X  Z
Axioma 3. Independencia fuerte
Suponga que construimos un juego donde un individuo tiene una probabilidad  de
recibir X y una probabilidad (1-) de recibir Z. Nosotros denotamos este juego como
G(X,Z,). La independencia fuerte dice que si un individuo es indiferente entre X e Y,
entonces él o ella también estaría indiferente entre el primer juego, y el juego de obtener Y
con probabilidad  y obtener Z con probabilidad (1-
.
Es decir si
X Y entonces G(X,Z,  G(Y,Z,)
Axioma 4. Medición
Si el resultado Y es preferido de tal forma que:
X  Y  Z o X  Y  Z entonces existe un único  tal que
Y  G(X, Z, α)
Axioma 5. Ranking
Si X  Y  Z y X  U  Z entonces si
Y  G(X, Z,  1 ) y U  G(X,Z,  2 ) ,entonces
Si  1  2 entonces Y  U o si  1 =  2 Y  U
B Desarrollo de la función de utilidad
La función de utilidad tiene que tener dos propiedades. Primero, preservar el orden.
En otras palabras, si nosotros medimos la utilidad del resultado X como mayor que la
utilidad del resultado Y, es decir, U(x)  U(Y) entonces esto significa que X es preferido a
Y. Segundo, la utilidad esperada puede ser usada para rankear combinaciones riesgosas de
alternativas. Matemáticamente, esto significa que
U(G(X,Y,)) = U(X) + (1-)U(Y)
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Para probar que las funciones de utilidad preservan el orden, consideremos el set de
resultados riesgosos, S, el cual asumimos que está limitado por encima por el resultado “a”
y por debajo por el resultado “b”. Consideremos ahora los resultados intermedios X e Y
tales que:
a X  b o a X b
a Y  b o a Y b
Usando el axioma 4, podemos escoger posibilidades únicas para X e Y en orden a
construir los siguientes juegos:
X  G(a, b, (X)) y Y  G(a, b, (Y))
Entonces podemos usar el axioma 5 (ranking), así la probabilidad (X) y (Y)
pueden ser interpretados como utilidad numérica que únicamente establece un ranking para
cada valor como X e Y. Por axioma 5
(X)  (Y)  X Y
Si (X)  (Y)  X  Y
(X)  (Y)  X Y
De esta forma, hemos desarrollado una función de utilidad que preservan el orden.
A los resultados máximos y mínimos a y b, puede asignárseles un número (a=100 y b=0).
Entonces formando juegos simples, podemos asignar un número de utilidad cardinal, para
los resultados intermedios X e Y.
Ahora, lo siguiente es importante para mostrar que la utilidad esperada puede ser
usada para rankear alternativas. Esta es la segunda propiedad de la función de utilidad.
Comenzamos estableciendo los juegos elementales en exactamente la misma forma de
antes. Esto es ilustrado en la figura siguiente:
(X)
(Y)
a
X
a
Y
(1-)(X)
b
(1-)(Y) b
A continuación, consideramos una tercera alternativa Z. Note que podemos contar
con el axioma 3 (independencia fuerte) para decir que la elección de Z no afectará la
relación entre X e Y. Usando el axioma 4, podemos decir que debe existir una única
probabilidad,  Z  , tal que haga indiferente el resultado Z a un juego entre X e Y. Ahora
podemos relacionar Z con los valores a y b.
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a
(X)
X
(Z)
1-(X)
b
Z
a
(Y)
1-(Z)
Y
1-(Y)
b
Entonces podemos decir que el resultado Z es indiferente con un juego de ganar a
con probabilidad  = (Z) (X) + (1-(Z))(Y) y ganar b con probabilidad 1-.
Ahora, podemos ya establecer, por el axioma 4 y 5, que la utilidad de X y Y puede
ser representada por sus probabilidades, y entonces U(X) = (X) y U(Y) = (Y) . Por lo
tanto el juego de arriba puede ser escrito como:
Z  Ga, b, (Z) U(X) + (1- (Z)) U(Y)
Finalmente por el axioma 4 y 5 por segunda vez, debe cumplirse que una única
probabilidad asociada al resultado Z puede ser usada como una medida cardinal de su
utilidad relativa a los prospectos a y b. Por lo tanto tenemos que:
U(Z) = (Z) U(X) + ( 1-(Z))U(Y)
De esta forma hemos mostrado que la forma correcta de ranquear alternativas
riesgosas es la utilidad esperada.
En general , podemos escribir la utilidad esperada como sigue:
EU (w) =
 p U (w )
i
1
i
Dados los cinco axiomas de conducta racional del inversionista y la adicional
suposición de que todo inversionista prefiera mas a manos, diremos que el inversionista
siempre buscará maximizar la utilidad esperada de su riqueza.
Establecimiento de una definición de aversión al riesgo
Habiendo establecido una forma de convertir los axiomas de preferencia en una
función de utilidad, podemos usar estos conceptos para establecer una definición de premio
por riesgo y también precisar que significa aversión al riesgo. Una útil forma de comenzar
es comparar tres funciones de utilidad simples mostradas en la figura con las cuales
asumimos que prefieren más a menos riqueza.
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U(w)
U(w)
U(w)
U(b)
U(b)
U(b)
U(a)
U(a)
U(a)
w
a
b
(a)
w
a
b
(b)
w
a
b
(c)
Las tres funciones de utilidad marginal positiva: (a) amante del riesgo; (b) neutral al
riesgo; (c) adverso al riesgo
 dU 
0  . Suponga
En otras palabras, la utilidad marginal de la riqueza es positiva 
 dw 
que establecemos un juego entre dos prospecto, a y b. La probabilidad de recibir el
resultado a es  y la probabilidad de recibir b es (1-). El juego entre a y b puede ser
escrito como G(a, b, ). Ahora la pregunta es ¿ preferirá el valor actuarial del juego ( valor
esperado del juego) al juego mismo?. En otras palabras, preferirá recibir $10 seguro, o ¿
preferirá jugar un juego que paga $100 con probabilidad 10% y $0 con probabilidad 90%?.
Una persona que prefiere jugar el juego es amante del riesgo; una indiferente es neutral al
riesgo; y una que prefiere el valor actuarial con certeza a es adverso al riesgo.
Supongamos que una persona adversa al riesgo que tiene una función de utilidad
𝑈 𝑤 = ln⁡(𝑤). Está obligado a jugar un juego que tiene 80% de probabilidad de ganar $5
y 20% de chance de ganar $30. El valor actuarial del juego es su resultado esperado. En
otras palabras, el valor esperado de la riqueza es
E(w) = 0,8 ($5) + 0,2($30) = $10
La utilidad de la riqueza esperada puede ser calculada como 𝑈 𝐸 𝑤 = 𝑈 10 =
ln 10 = 2,3 útiles. Esto es, si un individuo con una función de utilidad logarítmica puede
recibir $10 con certeza, y esto le proporcionaría una utilidad de 2,3 útiles. Calculemos
ahora la utilidad esperada del juego.
𝐸 𝑈 𝑤
= 0,8 × 𝑈 $5 + 0,2 × 𝑈 $30 = 0,8 × ln 5 + 0,2 × ln 30 = 1,97 ú𝑡𝑖𝑙𝑒𝑠
Debido a que recibimos una mayor utilidad del valor esperado (actuarial) del juego
que de jugar el juego, somos adversos al riesgo. En general, si la utilidad del valor esperado
de la riqueza es mayor que la utilidad esperada de la riqueza, el individuo será adverso al
riesgo. Las tres definiciones son:
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Si U(E(w))  EU (w) , entonces tiene aversión al riesgo
Si U(E(w)) = EU (w) , entonces tiene neutralidad al riesgo
Si U(E(w))  EU (w) , entonces tiene predisposición al riesgo.
Al igual se puede calcular el máximo monto que un individuo está dispuesto a pagar
por evitar el riesgo. Este es el llamado premio por riesgo. Para responder esta inquietud
preguntamos ¿ cuál es el monto cierto que hace que el individuo este indiferente entre jugar
el juego y recibir este monto?. Es obvio que este monto debe tener la misma utilidad que el
juego. Por lo tanto, como podemos conocer la utilidad del juego podemos calcular el monto
simplemente invirtiendo la función de utilidad. Considerando los antecedentes del ejemplo,
tenemos que dado que la utilidad del juego es 1,97 útiles y la función inversa de ln(w) es
U 1 (w)  eU ( w)  e1,97  $7,17
Es decir, la persona esta indiferente entre jugar el juego y recibir seguros $ 7,17. A
este monto que lo hace indiferente al individuo con jugar el juego le llamaremos
equivalente cierto del juego.
Por convención definiremos premio por riesgo como la diferencia entre el valor
esperado del juego y el equivalente cierto del juego, esto es:
Premio por riesgo = riqueza esperada – Equivalente cierto de riqueza
En este caso:
= 10 - 7,17 =
$ 2,83
A través, de la mayoría de los estudios en finanzas se supone que las personas son
adversas al riesgo. Sus funciones de utilidad son estrictamente cóncavas y crecientes.
Matemáticamente, esto significa que
dU ( w)
0
dw
d 2U ( w)
0
dw 2
Dominancia Estocástica
En un principio discutimos los axiomas de preferencia del inversionista, luego
usamos estos para desarrollar funciones de utilidad cardinal, y finalmente usamos la
función de utilidad para medir el grado de aversión al riesgo. Claramente, un inversionista
adverso al riesgo o no, él buscara maximizar la utilidad esperada de su riqueza. La regla de
la utilidad esperada puede ser usada para introducirnos a la economía de elección bajo
incertidumbre.
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Definición:
Un activo (o porfolio) se dice que domina estocásticamente sobre otro si un individuo
recibe mayor riqueza en cada uno de los estados de la naturaleza.
Esta definición es conocida como Dominancia Estocástica de primer orden.
Matemáticamente, un activo X, con función de probabilidad acumulada Fx (w) , tendrá
dominancia estocástica de primer orden sobre un activo Y, con función de probabilidad
acumulada Fy (w) , para el set de todas las funciones y de utilidad no decrecientes si
Fx (w)  Fy (w) para todo w
Fx (w)  Fy (w) para algún wi Dominancia estocástica de primer orden
En otras palabras, la función de distribución acumulada (definida sobre w) para el
activo Y está siempre a la izquierda de la acumulada del activo X. Si esto es cierto,
entonces diremos que X domina a Y. La figura muestra un ejemplo de dominancia
estocástica de primer orden, asumimos que la función de distribución para ambos activos es
una distribución normal.
)w( y f
f x (w)
w
1
Fy (w)
Fx (w)
w
La dominancia estocástica se aplica a todas las funciones de utilidad crecientes. De
esa forma cualquier persona que prefiera más a menos sea adverso, neutral o propenso al
riesgo si X domina estocásticamente a Y significa que los tres preferirán siempre X a Y.
La dominancia estocástica de segundo orden no solo asume una función de
utilidad creciente o con utilidad marginal positiva, sino que, además, supone utilidad
marginal decreciente. En otras palabras, función de utilidad no decreciente y estrictamente
cóncava. Aquí asumimos que el individuo es adverso al riesgo. El activo X será
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estocásticamente dominante de segundo orden sobre el activo Y para todo individuo
adverso al riesgo si:
 F
wi
y
( w)  Fx ( w)dw

Fx (w)  Fy (w)
Para algún w
para algún wi
Esto significa que el activo X domina al activo Y para todos los individuos adversos
al riesgo, el área bajo la curva de la distribución de probabilidad acumulada de Y debe ser
mayor que el área acumulada para X, para un nivel dado de riqueza. Esto implica que, a
diferencia de la dominancia estocástica de primer orden, las funciones acumulativas pueden
cruzarse. La figura provee un ejemplo gráfico:
f(w)
fx(w)
fy (w)
W
F(w)
Fy (w)
Fx(w)
W
Obviamente, el activo “X” domina estocásticamente (segundo orden) al activo “Y”
porque ambos tienen la misma riqueza esperada y porque “Y” es más riesgoso. En el caso
de ser funciones de distribución de probabilidad simétricas asociaremos al riesgo a la
varianza. El criterio de dominancia estocástica de segundo orden requiere que la diferencia
entre las áreas bajo las curva de distribución acumuladas sea positiva para algún nivel de
riqueza, wi. Cabe destacar que la dominancia estocástica de segundo orden requiere,
además, de preferir más a menos, que la persona sea adversa al riesgo.
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En caso de existir dominancia estocástica de primer orden del activo “X” sobre “Y”,
debemos estar seguros que todas las personas que prefieren más a menos preferirán “X” a
“Y”.
En caso debe existir dominancia estocástica de segundo orden del activo “X” sobre
“Y”, debemos estar seguros que todas las personas que prefieren más a menos y que son
adversas al riesgo preferirán “X” a “Y”.
Uso de media y varianza como criterio de elección.
Si la distribución del retorno de un activo es exactamente normal, entonces podemos
maximizar la utilidad esperada simplemente seleccionando las mejores combinaciones de
media y varianza. Estos cálculos son mucho más simples que con dominancia estocástica,
pero, debemos restringirnos a distribuciones normales. Cualquier distribución normal puede
ser completamente descrita por dos parámetros: media y varianza - retorno riesgo. Si
adoptamos la funciones de utilidad que maximicen la utilidad esperada de la riqueza al final
del periodo (asumiendo un modelo de un periodo), es fácil mostrar al relación entre riqueza
y retorno:
~ W
W
0
Rj 
W0
Si la riqueza al final del periodo invertida en el activo j está normalmente
distribuida con media w y varianza  w2 entonces el retorno del activo j también estará


distribuido normalmente con media E( R j )  E(w j ) / w0  1 y varianza  R2  ( w / w02 )
Asumiendo que el retorno sobre un activo está normalmente distribuido con media
E y varianza 2 , podemos escribir nuestra función de utilidad como
U = U (Rj, E, )
Nuestra utilidad esperada es

E (U )   U ( R) f ( R, E,  )dR

Nos gustaría expresar la curva de indiferencia de un inversionista adverso al riesgo como
función de la media y desviación estándar de una distribución del retorno. Una curva de
indiferencia es al unión de todos los puntos de riesgo y retorno (desviación estándar o
varianza) que tienen la misma utilidad esperada de la riqueza.
E(R j )
 (R j )
 (R j )
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En este caso el retorno es considerado como un bien y el riesgo por un mal, por lo tanto, el
sentido de aumento de la utilidad esperada es en el sentido de las flecha mostradas en el
gráfico de arriba.
Paradoja de la media y varianza
Aunque es conveniente caracterizar el retorno y el riesgo por la media y al varianza de la
distribución de retornos ofrecida por un activo, esto no es siempre correcto. De hecho, esto
es correcto solo cuando el retorno del activo tiene distribución normal. Consideremos el
siguiente ejemplo: dos compañías con igualdad de activos y con exactamente la misma
distribución de ingresos difieren solo en su leverange financiero. La tabla muestra sus
respectivos pagos en los diferentes, igualmente probables, estados de la naturaleza.
Estados de la naturaleza de la economía
Horrible
Malo Promedio Bueno
Grandioso
1200
1600
2000
2400
2800
0,2
0,2
0,2
0,2
0,2
Ingresos operacionales
Probabilidad
Firma A
Gastos en intereses
Utilidad antes de impuestos
Impuestos (50%)
Ingreso Neto
Ganancia/acción (200 acciones)
0
1200
-600
600
$ 3,0
0
1600
-800
800
$ 4,0
0
2000
-1000
1000
$ 5,0
0
2400
-1200
1200
$ 6,0
0
2800
-1400
1400
$ 7,0
Firma B
Gasto en intereses
Utilidad antes de impuestos
Impuestos (50%)
Ingreso neto
Ganancia/acción (100 acciones)
-600
600
-300
300
$ 3,0
-600
1000
-500
500
$ 5,0
-600
1400
-700
700
$ 7,0
-600
1800
-900
900
$ 9,0
-600
2200
-1100
1100
$ 11,0
Firma A
Activos
$ 20.000
Pasivos
Activos
Deuda
0
Patrimonio $ 20.000
$ 20.000 $ 20.000
Firma B
Pasivos
Deuda
$ 10.000
Patrimonio $ 10.000
$ 20.000
La media y la desviación estándar de la ganancia por acción para la firma A es $5 y
$1,41, respectivamente. Para la firma B, ellas son $7 y $2,82. Estas alternativas son
mostradas en la siguiente figura:
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E(R j )
II
I
B
7
III
5
A
1,41
 (R j )
2,82
De acuerdo con el criterio media varianza, el individuo I estará indiferente entre las
combinaciones de riesgo retorno ofrecidas por A y B. El individuo más adverso al riesgo
preferirá el activo A y el individuo III que es menos adverso al riesgo preferirá el activo B.
La paradoja se levanta cuando reexaminamos la ganancia por acción ofrecida por las dos
firmas. Las ganancias por acción para la empresa B son mayores y en un solo caso iguales
que las ganancias por acción de la empresa A en cada uno de los estados de la naturaleza. Y
esto significa que cualquier inversionista que prefiera más a menos preferirá siempre el
activo B l activo A. En cambio, el criterio media varianza entrega misceláneos resultados.
El problema encontrado en este problema es aplicar el criterio media varianza
cuando la distribución de los activos no es normal.
Ahora, podemos buscar si existe dominancia estocástica de primer y segundo orden
Ganancia por
acción
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Prob (B)
0.2
0.0
0.2
0.0
0.2
0.0
0.2
0.0
0.2
1.0
Prob (A)
0.2
0.2
0.2
0.2
0.2
0.0
0.0
0.0
0.0
1.0
F(B)
0.2
0.2
0.4
0.4
0.6
0.6
0.8
0.5
1.0
G(A)
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.0
1.0
1.0
1.0
F-G
0
-0.2
-0.2
-0.4
-0.4
-0.4
-0.2
-0.2
0.0
 F  G dw
0.0
-0.2
-0.4
-0.8
-1.2
-1.6
-1.8
-2.0
-2.0
En este caso existe claramente, dominancia estocástica de primer y segundo orden.
Esto demuestra que la aplicación del criterio media varianza a activos con
distribución de sus retornos distinto a la distribución normal puede inducir a serios errores.
Ejemplo 1 :
Supongamos un individuo que tiene una función de utilidad U(w) = ln(w), que actualmente
tiene riqueza igual a 10 u.m. (unidades monetarias). Que la tasa de interés del periodo es
cero y que puede jugar un juego en el cual puede, con probabilidad 0,5, ganar 1 u.m. o con
probabilidad 0.5 perder 1 u.m
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a) ¿El individuo acepta el juego?
Aceptará jugar el juego cuando la utilidad esperada de su riqueza al final del juego
sea superior a la utilidad de no jugar. Es decir,
E(U(w)) jugar  E(U(w)) no jugar
En este caso:
E(U(w)) jugar = 0,5ln(11) +0.5ln(9) = 2.2975 útiles
E(U(w)) no jugar = ln(10) = 2.3025 útiles
Como la utilidad esperada de jugar es menor que la de no jugar, esta persona no jugará el
juego.
b) ¿Cuánto habría que pagarle para que participe del juego?
El equivalente cierto del juego es:
we = e2.2975 = 9.9492
Por lo tanto habría que pagarle 10 – 9.9492 = 0.05072 u.m. para que esta persona juegue.
c) ¿Esta persona es adversa, propensa o neutral al riesgo?
Es adversa al riesgo porque habría que pagarle para que tomara un juego con riesgo
de valor esperado cero.
d) Suponga ahora que existe un mercado de capitales perfecto donde pude prestar y pedir
prestado a una tasa de 10% por periodo. Además, a esta persona se le ofrece un proyecto
que requiere de 3 u.m. de inversión y que retornará en un periodo 6 u.m con probabilidad
0,6 y 2 u.m. con probabilidad 0,4. ¿Aceptará la persona el proyecto?
Como hemos visto anteriormente la persona buscará maximizar la utilidad esperada
de su riqueza. Sin embargo, en este caso tenemos un periodo en el cual se invierte. La
pregunta a responder es ¿debe maximizar el valor de la utilidad esperada de su riqueza en el
presente o en el futuro?. La respuesta es que da lo mismo si su función de utilidad no
cambia, pero es regla general maximizar la utilidad esperada de la riqueza al final del
periodo. Supongamos que no cambia. Por esto tendremos que:
El individuo si no invierte tendrá en el futuro 10* (1,1) = 11 con utilidad = 2,3978 útiles.
Si invierte tendrá en el futuro 7* (1,1) + 6 = 13,7 u.m. con probabilidad 0,6 o 7 * (1,1) + 2
= 10,7 u.m. con probabilidad 0,4. Por lo tanto, la utilidad esperada de invertir será:
E(U(w)) invertir = 0.6 * ln(13.7) + 0.4 * ln(9.7) = 2.479 útiles
Como la utilidad esperada de la riqueza al final del periodo de invertir es mayor que
la de no invertir, en este caso, este individuo decidirá invertir.
Ejercicios resueltos
Consideramos la siguiente notación:
Teoría de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
Bajo certidumbre:
U(w)
Bajo incertidumbre: E(U(w))
 Ejercicio 1
Supongamos ahora que un inversionista tiene una riqueza igual a 50 u.m. y que se
encuentra frente a la posibilidad de elegir entre dos alternativas de inversión que requieren
una inversión de 50 u.m., la primera es un juego de resultado incierto en el cual existe un
0.8 de probabilidad de ganar 100 y un 0.2 de ganar 20. La segunda alternativa de inversión
es de resultado cierto de 65. Representamos las alternativas anteriores de la siguiente
forma:
0.8
100
0.2
20
0.8
0.2
65
65
Se sabe además que su función de utilidad está dada por:
U ( w)  e w*0.01
a) Dada la información anterior podemos saber cual alternativa es la que genera mayor
utilidad:
Alternativa n°1 (juego incierto):
0.8 * e100*0.01  0.2 * e 0.01*20 =2.418 útiles
Alternativa n°2 (resultado cierto):
e 0.01*65 = 1.9155 útiles
Dado los niveles de utilidad que le reportan cada una de las posibilidades de
inversión (determinada por su función de utilidad) esta persona elige la alternativa número
1, ósea al juego incierto, pues este le genera niveles de utilidad mayores.
a) Ya que la E(w) = 84, (0.8*100 + 0.2*20), considera ahora que además del juego con
flujo incierto tenemos otra alternativa de inversión que entrega un flujo cierto de 84, se
representa a continuación la situación a la que ahora se ve enfrentado nuestro tomador
de decisiones:
0.8
100
0.8
84
Teoría de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
0.2
20
0.2
84
Anteriormente se calculo, E( U (w) ) =2.418 útiles, correspondiente a la utilidad de
tomar la alternativa riesgosa, ahora veamos qué utilidad le reporta a esta persona la
inversión cierta presentada anteriormente, que retorna un flujo de 84, que a su vez es la
misma cantidad que el esperaría ganaren la inversión riesgosa
U( E (w) ) = e (84*0.01) = 2.316 útiles
Como se puede observar de los resultados anteriores:
E( U (w) ) mayor que U( E (w) )
Esto significa que nos encontramos frente a una persona propensa al riesgo, pues
ante la misma riqueza esperada presenta niveles de utilidad mayores con la alternativa
riesgosa.
c) A continuación se presenta la función de utilidad de otra persona, representada por:
U(w) = Ln(w)
Si ofrecemos a esta persona las mismas dos alternativas de inversión que tenia la
persona anterior ¿Qué alternativa toma este individuo?
Recordemos que las alternativas estaban dadas por:
0.8
100
0.2
20
0.8
0.2
84
84
Así entonces tenemos:
E( U (w) ) = 0.8 * Ln 100 + 0.2 * Ln20 = 4.283 útiles
U( E (w) ) = Ln84 = 4.43 útiles.
Como: E( U (w) ) menor que U( E (w) )
Entonces podemos decir que esta es una persona adversa al riesgo y por la misma
razón elige distinto que la persona anterior, pues en este caso a esta persona le brinda
mayor satisfacción la alternativa cierta.

Ejercicio 2.
Teoría de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
Si Alfredo presenta la siguiente función de utilidad U (w)  w y debe elegir entre
dos juegos que presenta los siguientes valores de su riqueza a final de cada periodo, dados
los distintos estados de naturaleza.
50
60
0.8
0.3
0.1
40
0.4
0.1
40
0.3
20
20
¿Qué juego elige? ¿Por qué?
E( U (w) )J1 = 0.8 50  0.1 40  0.1 20 = 6.736 Útiles
E( U (w) )J2 = 0.3 60  0.4 40  0.3 20 = 6.1952 Útiles
Por lo tanto se queda con la primera alternativa de inversión, pues esta le genera
niveles de utilidad mayores.
Valor Equivalente Cierto:
 Ejercicio 3.
a) ¿Cuánto es lo mínimo que estaría dispuesto a aceptar una persona por dejar de jugar el
siguiente juego?
100
0.4
0.3
50
0.3
0
Sabemos además que esta persona no presenta otra riqueza adicional de lo
proporcionado por el juego, sabemos también que su función de utilidad está dada por:
U(w) =
w
Así entonces, tenemos que:
E( U (w) ) = 0.4 100  0.3 50  0.3 0 = 6.12 Útiles
Por lo tanto podemos despejar el valor equivalente cierto, a partir de:
Teoría de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
U ( w e )  6.12 útiles
w e  6.12
w e  37.47
Dado el resultado anterior, lo mínimo que pediría hoy esta persona por dejar de jugar el
juego ( dada su función de utilidad) la cantidad de 37.47.
b) Si damos a la persona del ejemplo anterior una riqueza inicial de 100, entonces el valor
equivalente cierto cambiara, pues nos encontramos analizando la utilidad a partir de la
riqueza que presenta la persona y esta riqueza a cambiado con respecto a la presentada
en el último ejemplo.
Gráficamente podemos presentar la situación anterior como:
200
0.4
0.3
150
0.3
100
Despejando ahora el valor equivalente cierto, tenemos que:
E( U (w) ) = 0.4 200  0.3 150  0.3 100 = 12.33 Útiles
100  w e  12.33
100 + w e  152.0289
w e  52.05
El valor equivalente cierto, que espera esta persona para dejar de jugar, es distinto que en el
caso de no tener riqueza inicial. El nuevo valor equivalente cierto es igual a 52.05.
Seguro de Cobertura Total

Ejercicio 4:
Analizamos a continuación otro caso (Seguros), para lo cual tomamos el siguiente
ejemplo:
Una persona con función de utilidad U(w) = w , presenta una riqueza inicial de 100 y un
automóvil. El valor del automóvil podrá cambiar dependiendo de tres sucesos probables:
a) El automóvil no sufre accidentes, ni averías en ese caso su valor alcanza a 200, existe
un 90% de probabilidad de que esto ocurra:
b) El automóvil sufre accidentes menores, por lo cual pierde valor y solo llega a los 150,
hay un 5% de probabilidad que esto ocurra.
Teoría de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
c) El automóvil sufre accidentes mayores por lo cual su valor en estas condiciones es 0,
existe un 5% de probabilidad de que esto ocurra.
Gráficamente la situación anterior se presenta:
200
0.9
Valor auto
0.05
150
0.05
0
300
0.9
Valor auto +100
0.05
250
0.05
100
Si toma un seguro para los distintos estados de la naturaleza, este reembolsará de la
siguiente forma:
0
0.9
0.05
50
0.05
200
De lo anterior tenemos que:
E( U (w) ) = 0.9 300  0.05 250  0.05 100 = 16.879 Útiles
a) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar esta persona por un seguro de cobertura total?
300 - S
0.9
0.05
250 – S + 50
0.05
100 – S + 200
Teoría de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
Por lo tanto queda en la siguiente posición.
300 - S
0.9
0.05
300 - S
0.05
300 - S
Despejando podemos obtener el valor del seguro:
U(300 – S) = 16.879 útiles
300  S = 16.879
300 – S = 284.9
S = 15.098
c) ¿Cuál es el valor actuarial de la perdida?
El valor actuarial de la pérdida es:
VAP = 0.9* 0 + 0.05*50 + 0.05*200
Finalmente tenemos que:
Seguro = VAP + Premio por riesgo.

Ejercicio 5
Pedro y Juan presentan la misma función de utilidad dada por U(w) = Ln (w),
ambos tienen una casa que inicialmente vale 4000 ( 90% de probabilidad), pero existe la
posibilidad de que esta sufra deterioros producto de un sismo que está anunciado con un
8% de probabilidad de que este suceda en cuyo caso el valor del inmueble alcanzaría solo a
2000, finalmente en caso de algún siniestro mayor (2% de Probabilidad de ocurrencia) la
casa se valoraría en 1000. Juan además de la casa tiene una riqueza inicial de 2000, la tasa
de interés de mercado es de 10%. Supongamos que la compañía de seguro puede negociar
cobrando lo máximo a cada uno.
a) ¿Cuánto es lo máximo que cobra a cada uno? ¿Cuánto es lo máximo que cada uno
estaría dispuesto a pagar?
b) ¿Cuánto es lo mínimo que podría cobrar la compañía aseguradora?
A continuación se presenta esquemáticamente la situación anterior.
Teoría de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
4000
Pedro
Juan.
4000 +2200
0.9
0.9
0.08
0.08
2000
2000
0.02
2000+2200
0.02
1000

1000+2200
Pedro comprara el seguro, siempre que la utilidad esperada con seguro sea mayor que
la utilidad esperada sin seguro. Ósea:
E(U (w))c.s  E(U (w))s.s
En el límite comprara el seguro cuando:
E(U (w))c.s  E(U (w))s.s
Analicemos a continuación el caso de Pedro:
E(U(w))s.s.
= 0.9 Ln (4000) + 0.08 Ln (2000) +0.02 Ln (1000)
=8.21
E(U(w)) con seguro
4000-S
0.9
0.08
2000-S+2000
0.02
1000 S+3000
E (U ( w))  Ln(4000  S )
8.21  Ln(4000  S )
S  322.457
S es la cantidad máxima que la compañía de seguros puede cobrar a Pedro.
4000-S
Teoría de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA

Analicemos ahora el caso de Juan
E(U(w))s/s
= 0.9 Ln (6200) + 0.08 Ln (4200) +0.02 Ln (3200)
= 8.68791942
Esquemáticamente tenemos que la situación anterior se presenta.
4000 + 2000*1.1
0.9
0.08
2000
4000-S+2000*1.1
0.9
0.08
2000-S+2200
2000 + 2000 * 1.1
0.02
0.02
1000 + 2000*1.1
1000-S+2200
r=10%
8.687919  Ln(6200  S )
5930.829  6200  S
S  269.17
Lo máximo que la compañía de seguros le puede cobrar a B es 269.17.
Respondamos ahora la segunda pregunta que se nos hacía con respecto a este ejercicio ,
¿Cuánto es lo mínimo que podría cobrar la compañía de seguro?
Lo mínimo que cobrara será el valor actuarial de la perdida, pero siempre que se cumplan
los siguientes supuestos.
a) La compañía aseguradora no tiene otros costos.
b) Que la empresa aseguradora pueda asegurar a muchos otros con las mismas
características de tal modo que el promedio de la perdida tienda al valor
actuarial de la perdida.
VAP = 0.9*0+0.08*2000+0.02*3000
Teoría de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
Seguros De Cobertura Parcial.

Ejercicio 6
Tomemos nuevamente el ejercicio anterior (Pedro y Juan), pero ahora el seguro
cubrirá un monto máximo de pérdida de 2000.
Pedro
0.9
4000-S
0.9
4000
0.08
0.08
2000-S+2000
2000
0.02
0.02
1000
1000-S+2000
4000-S
0.9
0.08
4000-S
0.02
3000-S
E(U(w))s.s = 0.9*Ln (4000)+0.08*Ln (2000)+0.02*Ln (1000)
= 8.2108719 Útiles.
E(U(w))s.s = E(U(w))c.s
8.2108719  0.98Ln(4000  S )  0.02Ln(3000  S )
8.2108719  Ln(4000  S )0.98  Ln(3000  S )0.02
8.2108719  Ln((4000  S )0.98  (3000  S )0.02 )
3680.75  (4000  S )0.98  (3000  S )0.02
Finalmente por tanteo obtenemos el valor del seguro.
Teoría de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
S = 296

Veamos ahora que sucede con Juan, gráficamente tenemos:
6200-S
0.9
0.08
4200-S+2000
0.02
2200-S+2000
Ya sabemos que E(U(w))s.s para Juan es de 8.687919, por lo tanto el valor del
seguro será:
8.68  0.98Ln(6200  S )  0.02 Ln(4200  S )
8.68  Ln(6200  S ) 0.98  Ln(4200  S ) 0.02
8.68  Ln((6200  S ) 0.98 (4200  S ) 0.02 )
3680  (6200  S ) 0.98 (4200  S ) 0.02
Por tanteo se obtuvo que el valor del seguro es:
S = 268
Ya sabemos cuánto es lo máximo que estaría dispuesto a pagar cada una de estas
personas por este seguro parcial que cubre un monto de hasta 2000 de pérdidas del
inmueble.
b) Pero preguntémonos ahora ¿Cuánto cobrarían tanto Pedro como Juan si quisieran
vender la casa?

Valor de venta para Pedro
4000
0.9
0.08
2000
0.02
1000
We
Teoría de utilidad bajo incertidumbre, Roberto Ortiz Herrera, CFA
8.21087197  Ln( we )
we  3680
VAcasaPedro 

3680
 3345
1.1
Valor de venta para Juan:
6200
0.9
0.08
4200
0.02
3200
we
8.68791942  Ln( we  2200)
we  3431
VAcasaJuan 
3431
 3119.09
1.1