ángulos y triángulos en las pirámides egipcias

ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS EN LAS PIRÁMIDES EGIPCIAS
En las pirámides egipcias, todo parece indicar que fueron diseñadas sobre
la base de los Triángulos Sagrados egipcios, que son aquellos triángulos
rectángulos cuyos lados están en la relación 3-4-5, a los que se les
atribuían propiedades mágicas o estéticas y de hecho en los nombres de
algunas de estas pirámides aparece el trilítero nfr (símbolo F35, según la
clasificación de Gardiner), que significa hermoso o bello.
Símbolo F35
La preferencia por este ángulo de inclinación (poco más de 53º) la
podemos también observar en el papiro matemático de Rhind (RMP). Es el
único documento en el que se encuentran problemas referentes a la
inclinación de las caras de pirámides. En concreto, los problemas nº 56,
57, 58 y 59, hacen referencia a pirámides de caras lisas en los que se
pide calcular el “seked” (inclinación de las caras de la pirámide) a partir
de las dimensiones de la pirámide, o viceversa, sabiendo el “seked” y una
de sus dimensiones (por ejemplo, el lado), calcular la otra dimensión
(altura).
PROBLEMA ÁNGULO (*)
RMP 56
54º 14'
RMP 57
53º 8'
RMP 58
53º 8'
RMP 59
53º 8'
(*) NOTA: No se ha incluido en esta tabla el problema nº 60 del papiro
matemático Rhind (RMP 60) y el nº 14 del papiro matemático de Moscú
(MMP 14), pues los ángulos que se obtienen de ellos son respectivamente
75º 58' y 80º 34', propios de pirámides truncadas o escalonadas y no de
pirámides de caras lisas como se está considerando.
Donde podemos observar que, en tres de los cuatro problemas conocidos
sobre pirámides también utilizaban la pendiente propia del diseño con
triángulos sagrados.
Se tiene constancia de que los antiguos egipcios utilizaron este tipo
especial de triángulos en muchas de sus construcciones como templos y
pirámides, e incluso en dibujos y pinturas. Los mejores ejemplos los
tenemos en las 4 pirámides de la VI Dinastía. No obstante, hay muchas
otras pirámides, de otras dinastías, en las que también se utilizó, casi
todas ellas del Imperio Antiguo, especialmente en la pirámide de Kefrén
(IV Dinastía), como primera y mayor pirámide construida en base a estos
triángulos.
En concreto las pirámides de este grupo, por orden cronológico de
construcción, son:
•
Pirámide de JAFRA (Kefrén) en Giza. IV Dinastía.
•
Pirámide de USERKAF en Sakkara. V Dinastía.
•
Pirámide de NEFERIRKARA-KAKAI en Abusir. V Dinastía.
•
Pirámide de DYEDKARA-ISESI en Sakkara. V Dinastía.
•
Pirámide de TETI en Sakkara. VI Dinastía.
•
Pirámide de MERYRA-PEPY-I en Sakkara. VI Dinastía.
•
Pirámide de MERENRA-ANTYEMSAF en Sakkara. VI Dinastía.
•
Pirámide de NEFERKARA-PEPY-II en Sakkara. VI Dinastía.
•
Pirámide de SEHETEPIBRA-AMENEMHAT-I en el-Lisht. XII Dinastía.
Excepto la ultima, del Imperio Medio, con un ángulo de inclinación de
caras de 53º 36' 56”, a todas las demás se les atribuye el ángulo de 53º
7' 48” exactamente el de los triángulos 3-4-5 y pertenecen al Imperio
Antiguo (III-VI Dinastía).
Pirámide de Kefren © Johanna Vargas
En cuanto a tamaños, la de Jafra (Kefrén) en Giza (215,25 m de lado) y la
de Neferirkare en Abusir (105 m de lado), son las más grandes, el resto
tienen dimensiones muy parecidas (Casi 80 m de lado y unos 52 m de
altura), y se localizan en Saqqara, excepto la ultima, la de Amenemhat I,
que está en el-Lisht.
Respecto a la geometría de estas pirámides, veremos que el uso de los
triángulos 3-4-5 en su construcción reporta importantes ventajas. Una de
ellas es que para la resolución de estos triángulos rectángulos, no es
necesaria la aplicación del Teorema de Pitágoras, ya que en estos casos,
se puede realizar de una manera mucho más sencilla utilizando tan sólo
sumas o restas, sin necesidad de elevar números al cuadrado, ni resolver
complicadas raíces cuadradas.
Los ángulos interiores de este tipo de triángulos son 90 , 36º 52' 11" y
53º 07' 48". Lo cual quiere decir que cualquier triángulo que posea estos
ángulos, independientemente del tamaño que tenga, será un triángulo 34-5 o Triángulo Sagrado.
Es fácil demostrar que en este tipo de triángulos se cumplen ciertas
relaciones simples. Citaremos algunas, como por ejemplo:
La hipotenusa es igual al cateto menor más la mitad del cateto mayor.
El cateto mayor es igual al doble de la diferencia de la hipotenusa con el
cateto menor.
La hipotenusa es igual a la diferencia que hay entre el doble del cateto
mayor con el menor.
Todas
estas
relaciones
son
muy
fáciles
de
deducir
empírica
y
matemáticamente, pero por otro lado son tan sencillas que es fácil darse
cuenta de ellas al poco de manejar y resolver triángulos de este tipo, y
que no es improbable que se les ocurriese a los antiguos escribas.
Por otro lado, diseñar un triángulo de este tipo a partir del valor de uno
de los catetos, también resulta muy simple, basta multiplicar dicho valor
por la fracción ¾, operación bastante sencilla para nuestros escribas, que
manejaban
con
excelente
soltura
los
números
fraccionarios.
La
importancia de esta fracción, es que junto con la de 2/3, son las únicas
fracciones de numerador distinto de uno con las que operaban; todas las
demás fracciones eran unitarias (de numerador uno), en caso contrario
eran reducidas a sumas de fracciones unitarias y por tanto, ambas
fracciones, 2/3 y ¾ tenían una consideración especial.
Una de las aplicaciones de los Triángulos Sagrados es que podían
utilizarse para construir ángulos rectos, pues la unión de tres palos o
barras cuyas longitudes estén en la proporción 3-4-5, forman un triángulo
rectángulo. Esto también es posible con la ayuda de una cuerda dividida,
con nudos, en doce partes iguales, permitiendo construir un triángulo 34-5. En el Museo de El Cairo se encuentran muestras de ello.
Las pirámides diseñadas con Triángulos Sagrados contienen 4 triángulos
de este tipo en su estructura, siendo éstos los que se forman con cada
uno de las apotemas de las caras, la base y la altura de la pirámide y que
precisamente están orientados en la dirección de los 4 puntos cardinales.
En las pirámides construidas así, es fácil demostrar que la altura que
alcanzará es 4/3 del valor de la mitad de su lado, o mejor dicho las 2/3
partes del valor de éste. En efecto, si s es el lado y h la altura, tenemos:
Despejando h de la ecuación, queda:
Donde nos aparece la mencionada fracción 2/3. Teniendo esto en cuenta,
es fácil predecir cual será la altura final de una pirámide diseñada sobre la
base de este tipo de triángulo.
De la misma manera, teniendo en cuenta lo mencionado hasta ahora, en
una pirámide de este grupo, es fácil demostrar que:
El apotema es igual a la semisuma del lado y la altura de la pirámide.
Por tanto, con operaciones muy básicas para nuestros escribas, se
simplifican mucho los cálculos para el diseño de pirámides. Por dar un
ejemplo, recordemos que el apotema para el resto de las pirámides se
calcularía con una expresión mucho más complicada:
Podríamos decir que los antiguos egipcios han utilizado este tipo de
triángulo, no solo por motivos estéticos, como se ha mencionado
anteriormente, sino porque facilitaba muchos los cálculos que debían de
hacerse en el diseño inicial, en los proyectos previos a las obras. Pero sin
embargo, la mayor aplicación práctica de todo esto se encontró en las
fases
de
la
construcción.
Efectivamente,
podemos
encontrar
dos
aplicaciones importantes, fundamentales para que la pirámide adquiera la
forma final pretendida:
1)
La
posición
de
los
bloques
de
piedra
en
las
hiladas
2) La zona de corte los bloques de revestimiento
La primera de ellas se refiere al calculo del desplazamiento horizontal de
los bloques de piedra (no de revestimiento) respecto a los bloques
exteriores de la hilada inmediatamente inferior, de tal manera que el
cuerpo de la pirámide fuese alcanzando la inclinación de 53º 07' 48"
propia de los triángulos sagrados. Para ello basta multiplicar la altura del
bloque de la hilada superior por la fracción ¾. Puesto que no todos los
bloques tenían el mismo tamaño, los cálculos se realizarían en cada una
de las hiladas, e incluso se repetirían con bloques de una misma hilada, si
éstos tuviesen alturas diferentes.
La segunda aplicación se encuentra a la hora de calcular la zona del corte
de los bloques de revestimiento de las pirámides. Para darles la
inclinación deseada, bastaría con multiplicar el valor de la altura del
bloque por la fracción 3/4, tal como se explica en la Figura.
Por ultimo, baste decir que según los procedimientos matemáticos de los
egipcios, la multiplicación de un número por la fracción ¾ o 2/3 era muy
sencilla de realizar. Veamos un par de ejemplos. Multiplicar 28 palmos por
¾. El proceso se basa en duplicar, de tal manera que se parte de la
unidad, a la cual le corresponderá en este caso ¾. Se generan, por tanto
dos columnas numéricas. Se marcan los valores que suman 28 en la
columna de la izquierda, a los cuales les corresponden los marcados en la
columna de la derecha. La suma de estos últimos (21) será el resultado
buscado:
1
¾
2
1½
Total:
4 *
3 *
8 *
6 *
16 *
12 *
28
21
Así por ejemplo si tenemos un bloque pétreo de 28 palmos de altura,
bastará desplazarlo 21 palmos, con respecto al bloque de la hilada
inmediatamente inferior, para que la inclinación de la pirámide vaya
adquiriendo la forma deseada.
Para multiplicar por 2/3, el proceso es similar. Veamos el mismo ejemplo:
28 palmos por 2/3:
1
2/3
2
1 + 1/3
4 *
2 + 2/3 *
8 *
5 + 1/3 *
16 *
10 + 2/3 *
Total: 28
18 + 2/3
El primer paso ha consistido en duplicar 2/3, fracción, de sobra conocida
por los antiguos escribas como la suma ½ + 1/6, y por tanto el doble de
la misma es 1 + 1/3. El siguiente paso consiste en duplicar esta suma,
que lógicamente es 2 + 2/3, y así sucesivamente.
Este mismo tipo de aplicaciones se ha considerado en el grupo de
pirámides cuyo seked es 4 ¾, (Grupo 3) es decir cuyo ángulo es poco
más de 56º, pues en este caso pueden basarse en un triángulo cuyos
catetos están en la relación 2-3 y por tanto, al igual que en el caso
anterior, para calcular el desplazamiento horizontal de los bloques basta
multiplicar por 2/3 la altura del bloque. Y lo mismo ocurre para
determinar el punto de corte de los bloques del revestimiento y darles la
inclinación deseada, basta con multiplicar por 2/3 la altura del mismo.
Por ultimo, para finalizar, el uso de los triángulos sagrados bien pudo
haber sido como consecuencia de un fenómeno solar: la formación de
sombras, pues la necrópolis menfita, donde se elevaron estas pirámides
está muy próxima al paralelo 30º del globo terrestre y como consecuencia
de ello, cuando el sol del solsticio de invierno, alcanza su máxima altura,
se produce la formación de triángulos sagrados de los objetos con su
sombra, especialmente los alargados, como obeliscos, o incluso personas
de pie y por tanto, es muy probable, que los egipcios, como buenos
observadores, conocieran la formación de triángulos sagrados con las
sombras en este día tan señalado.