Estimación de parámetros Tema 2 1. Estimación puntual

Universidad Autónoma de Madrid
Estimación de parámetros
1
Tema 2
1. Estimación puntual
Propiedades de los buenos
estimadores
2. Estimación por intervalos
2.1. Construcción del intervalo de
confianza. Límites
confidenciales. Nivel de
confianza y nivel de riesgo.
2.2. Intervalo de confianza para µ con
σ conocida
2.3. Intervalo de confianza para µ con
σ desconocida
2.4. Intervalo de confianza para π
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Tema 2
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2
1. Estimación puntual
Asignar un único valor al parámetro que
se desea estimar
Propiedades deseables en un estimador
puntual
Insesgado. Ejemplo:
E( X ) = µ
E ( S n2−1 ) = σ 2
E (P ) = π
n −1 2
2
E (S n ) =
σ
n
Consistente. Ejemplo:
σ X2 =
σ2
n
σ =
2
P
π (1 − π )
n
Eficiente. Ejemplo:
σ2 σ2
<
si m > n
n
m
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2. Estimación por intervalos
Asignar al parámetro un rango de valores
entre los cuales se espera que pueda
encontrarse con una alta probabilidad el
valor real del parámetro.
2.1 Construcción del intervalo de
confianza
1.- Obtener un estimador puntual θˆ
2.- Obtener el error muestral E, del que
depende la precisión de la estimación
3.- El intervalo es:
Límite inferior: Li = θˆ - E
Límite superior: Ls = θˆ + E
Nivel de confianza: Es la probabilidad
de que el intervalo incluya el valor
verdadero del parámetro: P (Li ≤ θˆ ≤ Ls) =
1-α
Nivel de riesgo: Probabilidad de que no
lo incluya: α
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Ejemplo: Edad media de la clase X =21
Con E = 2
Intervalo (19, 23)
Con E = 4
Intervalo (17, 25)
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Alta precisión
Baja confianza (1-α)
Alto riesgo (α)
Baja precisión
Alta confianza (1-α)
Bajo riesgo (α)
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Ejemplo:
Población (1, 2, 3). µ = 2, σ2 = 0,66
1. Muestreo aleatorio simple
E = 0,25. Amplitud = 0,5
X f (X)
1
1/9
1,5 2/9
2
3/9
2,5 2/9
3
1/9
Li
0,75
1,25
1,75
2,25
2,75
Ls
1,25
1,75
2,25
2,75
3,25
NO
NO
SI
NO
NO
Nivel de
confianza:
1-α = 3/9
Nivel de
riesgo:
α = 6/9
2. Muestreo aleatorio simple
E = 0,75. Amplitud = 1,5
X f (X)
1
1/9
1,5 2/9
2
3/9
2,5 2/9
3
1/9
Li
0,25
0,75
1,25
1,75
2,25
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Ls
1,75
2,25
2,75
3,25
3,75
NO
SI
SI
SI
NO
Nivel de
confianza:
1-α = 7/9
Nivel de
riesgo:
α = 2/9
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2.2 Intervalo de confianza para µ con σ
conocida
1. Fijar el nivel de riesgo:
α = 0,05
α = 0,01
2. Calcular los límites del intervalo de
confianza:
Ls = X + | zα / 2 |
Li = X − | z α / 2 |
σ
n
σ
n
Por tanto, el error muestral es:
E =| z α / 2 |
σ
n
y la anchura del intervalo es 2E
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Ejemplo. Obtenemos una muestra de
n=12 y se obtiene X = 483. Se sabe que
σ = 22.
Estimación puntual: X = 483
Estimación por intervalos con α = 0,05
|zα/2| = |z0,025| = 1,96
22
E = 1,96 12 = 12,45
Intervalo confidencial: (470,55, 495,45)
Estimación por intervalos con α = 0,01
|zα/2| = |z0,005 | = 2,57
22
E = 2,57 12 = 16,32
Intervalo confidencial: (466,68, 499,32)
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2.2 Intervalo de confianza para µ con σ
desconocida
Límites del intervalo de confianza:
• Con la desviación típica sesgada:
Sn
Ls = X + |α / 2 t n−1 |
n −1
Sn
Li = X − |α / 2 t n−1 |
n −1
• Con la desviación típica insesgada:
S n−1
Ls = X + |α / 2 t n−1 |
n
S n−1
Li = X − |α / 2 t n−1 |
n
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Ejemplo. Desea estimarse el tiempo que
es necesario esperar en la cola de un
cine antes de ser atendido. Las
siguientes cantidades son los tiempos de
espera en minutos de cinco personas.
10, 15, 12, 14, 11
Realice la estimación por intervalos con
un nivel de confianza del 99%.
1
X = (10 + 15 + 12 + 14 + 11) = 12,4
5
1
Media ( X 2 ) = (10 2 + 15 2 + 12 2 + 14 2 + 112 ) = 157,2
5
S n2 = 157,2 − 12,4 2 = 3,44
α = 0,01
α / 2 = 0,005
t
α / 2 n −1
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= 0, 005 t 4 = −4,604
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Ls = X + |α / 2
10
Sn
t n−1 |
n −1
3,44
= 12,4 + 4,604
4
= 12,4 + 4,27
= 16,67
Sn
Li = X − |α / 2 t n−1 |
n −1
= 12,4 − 4,27
= 8,13
Luego, con un nivel de confianza del
99%, puede concluirse que µ estará en
el intervalo (8,13, 16,67).
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2.4 Intervalo de confianza para π
1. Fijar el nivel de riesgo:
α = 0,05
α = 0,01
2. Los límites del intervalo de confianza
son:
Ls = P + | zα / 2 |
P(1 − P)
n
Li = P − | zα / 2 |
P(1 − P)
n
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Ejemplo. Treinta personas acuden a la
consulta de un vidente. Al cabo de un
año, ocho de ellos creen que les
realizaron una predicción certera. ¿Entre
qué límites se encuentra la probabilidad
de predicciones certeras con un nivel de
confianza del 99%?
8
Estimación puntual: P = 30 = 0,267
Estimación por intervalos con 1-α = 0,99
|zα/2| = |z0,005| = 2,57
P(1 − P)
Li = P − | z α / 2 |
n
0,267(0,733)
= 0,267 − 2,57
= 0,06
30
Ls = P+ | zα / 2
P(1 − P)
|
n
0,267(0,733)
= 0,267 + 2,57
= 0,47
30
Intervalo confidencial: (0,06, 0,47)
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Formulario del tema 2
Intervalo de confianza para µ con σ
conocida
Ls = X + | zα / 2 |
Li = X − | z α / 2 |
σ
n
σ
n
Intervalo de confianza para µ con σ
desconocida
Sn
Ls = X + |α / 2 t n−1 |
n −1
Sn
Li = X − |α / 2 t n−1 |
n −1
S n−1
Ls = X + |α / 2 t n−1 |
n
S n−1
Li = X − |α / 2 t n−1 |
n
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Intervalo de confianza para π
Ls = P + | zα / 2 |
P(1 − P)
n
Li = P − | zα / 2 |
P(1 − P)
n
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Ejercicios recomendados del libro
2.13
2.14
2.19
2.20
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