1. el principio kkm en estructuras de convexidad generalizaday

El principio KKM en Estructuras de Convexidad Generalizada y aplicaciones a la Teoría Económica
EL
PRINCIPIO
KKM
EN
ESTRUCTURAS
DE
CONVEXIDAD
GENERALIZADA Y APLICACIONES A LA TEORÍA ECONÓMICA
Rafael Espínola García
Dpto. Análisis Matemático
José Manuel Huertas Fernández
Dpto. Econ., M. Cuantitativos e H. Económica
Universidad de Sevilla
Universidad Pablo de Olavide
RESUMEN
El Principio KKM (Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz) juega un papel
fundamental en el desarrollo de la Teoría Económica, con origen en los trabajos de
formalización de Debreu-Arrow, y está estrechamente relacionada con problemas de
equilibrio, el principio del minimax, teoría de juegos y otros aspectos en la
modelización económica. El Principio KKM se convirtió en una herramienta de gran
utilidad en los años 60 y los estudios sobre el mismo se han prolongado hasta la
actualidad. Por su propia naturaleza, este es un principio íntimamente ligado con la
convexidad del espacio donde se trabaja. Sin embargo en los últimos quince años se ha
creado toda una teoría del Principio KKM en espacios de convexidad generalizada
(espacios donde aún no pudiéndose hablar de una estructura convexa en sentido
clásico, sí se pueden encontrar ciertas estructuras que, de algún modo, conservan
algunas de la propiedades que garantiza la convexidad clásica).
En esta charla mostraremos cómo se definen estas nuevas estructuras y
cómo es posible obtener el Principio KKM sobre las mismas. Este campo de la
matemática económica ha sido objeto de estudio de muchos investigadores en
los últimos años como muestra la larga colección de trabajos publicados sobre el
mismo en revistas como J. of Econom. Theory, Ec. Theory o J. Math. Econom.
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1. INTRODUCCIÓN
Terminando la Segunda Guerra Mundial, la teoría económica entró en una fase
de intensa “matematización” que transformó profundamente lo hecho hasta entonces.
El esfuerzo hacia el rigor matemático en la Teoría Económica no sólo ha servido
para una dar una fundamentación sólida sino además para alcanzar un entendimiento
más profundo de los problemas a los cuales se aplica.
En el área que nos ocupa ha habido un cambio radical de instrumentos
matemáticos. En particular la utilización de propiedades topológicas y de convexidad
cada vez más débiles ha conducido a un incremento notable de la generalidad y, a veces,
incluso de la simplicidad de la teoría.
A continuación detallamos un proceso de modelización típico de la Teoría Económica.
2. MODELIZACIÓN MATEMÁTICA EN TEORÍA ECONÓMICA
2.1. INTRODUCCIÓN
Una vista global de una economía que quiere tener informe de el gran número de
sus mercancías, el igualmente gran número de sus precios, la multitud de sus agentes, y
sus interacciones, requiere un modelo matemático. Los economistas han construido
satisfactoriamente tales modelos porque el concepto central de la cantidad de una
mercancía tiene asociada de forma natural una estructura lineal. La acción de un agente
puede entonces describirse alistando la cantidad de sus inputs o outputs para cada
mercancía. Esta lista puede ser tratada como la lista de las coordenadas de un punto en
un espacio lineal de mercancías.
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Este espacio lineal, era un escenario perfecto para recoger deslumbrantes
desarrollos matemáticos del cálculo diferencial y el álgebra lineal. Un ejemplo
iluminado por teoremas básicos de matemáticas fue el crecimiento de un eficiente uso
de recursos, por los resultados del análisis convexo.
2.2. Definiciones
((
)
)
Una economía se define como la terna: E:= X i , π , (Yj ), w . Sea el subconjunto
i
no vacío X i ⊂ ℜ l completamente preordenado por π para cada i = 1,..., m ; El
i
subconjunto no vacío Y j ⊂ ℜ l para cada j = 1,..., n ; un punto w de ℜ l . ℜ l el espacio
de mercancías.
Para cada consumidor i , su consumo o demanda xi y su conjunto de consumo
X i , con su preorden de preferencias π (Dados dos consumos xi1 , xi2 ;
i
xi1 π xi2 ⇔ el
i
primero“es preferido al” segundo).Para cada productor j , una producción y j y su
conjunto de producción Y j . Por último, w los recursos totales( cantidades de
mercancías dadas a priori que están a disposición de sus agentes).
m
Definimos para cada consumidor x = ∑ xi como consumo o demanda
total y
i =1
m
X = ∑ X i el conjunto de consumo total( xi ∈ X i para todo i=1,…,n
equivale a que
i =1
x ∈ X ).
n
También diremos que y = ∑ y j es la producción u oferta total que describe el
j =1
n
resultado neto de la actividad de todos los productores juntos e Y = ∑ Y j el conjunto
j =1
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de producción total.( y j ∈ Y j para todo j=1,…n equivale a que y ∈ Y ) que describe
las posibilidades de producción de toda la economía.
Un estado de la economía E es una especificación de la acción de cada
agente, es decir, para cada consumidor(o productor), una especificación de su
consumo (o producción) en el espacio de mercancías. Por lo tanto, un estado de E es
una (m + n) − upla (( xi ), ( y j )) de puntos de ℜ l .
Dado un estado (( xi ), ( y j )) de E, el punto x − y (demanda neta) representa,
mediante coordenadas positivas (o negativas), los inputs no transferidos por (o los
productos no transferidos a) los agentes de la economía.
Un estado (( xi ), ( y j )) de E es realizable si xi ∈ X i para todo i, y j ∈ Y j para
todo j, y se verifica que x − y = w .
Dados dos estados realizables de E, (( xi ), ( y j )) y (( x' i ), ( y ' j )) , se dice que el
segundo al menos tan deseado como el primero, y se escribe la relación de preorden:
(( xi ), ( y j )) π (( x' i ), ( y ' j )) ,si para todo i, xi π x' i , es decir, si todo consumidor desea
≈
i
su consumo en el segundo estado al menos tanto como su consumo en el primero.
Diremos que un óptimo es un estado realizable
tal que, dentro de las
limitaciones impuestas por los conjuntos de consumo, los conjuntos de producción y
los recursos totales de la economía, no se pueden satisfacer mejor las preferencias de
algún consumidor sin satisfacer menos las de otro.
Se podría decir también que un óptimo de E es un elemento maximal del
conjunto de estados realizables A para el preorden π antes definido.
≈
En el caso en que , para todo i=1,…,m, el conjunto de consumo X i es conexo
y el preorden de preferencias π es continuo, puede obtenerse una representación
i
intuitiva del conjunto de estados realizables.
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Para ello se
define la función de utilidad (continua y creciente) u ,asociándole a cada estado
realizable (( xi ), ( y j )) (clase de indiferencia según el preorden de preferencias) la
m − upla (u ( xi )) ∈ ℜ m , así, comparar dos estados realizables por medio del preorden π
≈
equivale a comparar sus imágenes en ℜ m dadas por las imágenes de u por medio del
orden ≤ . Un estado realizable es óptimo si y sólo si su imagen por u es un elemento
maximal para ≤ de U = u (A) .Para el caso de dos consumidores en la economía E
podemos considerar la figura siguiente suponiendo que U = u (A) existe y es compacto.
2.3. Aplicación
Dada una economía E se plantéa la siguiente pregunta: ¿tiene óptimo?
Un resultado estándar de la Teoría económica es el siguiente:
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((
)
)
La Economía E:= X i , π , (Yj ), w tiene un óptimo si: para todo i,
i
a) X i es cerrado ,conexo, y tiene una cota inferior para ≤ ,
{
b) Para todo xi de X i , los conjuntos xi ∈ X i tal que xi φ xi'
{x ∈ X
i
i
tal que xi π xi'
i
i
}y
} son cerrados en X ;
i
c) Y es cerrado, convexo, y satisface Y ∩ Ω = {0}
d) w ∈ X − Y
3. FUNCIONES DE ELECCIÓN BINARIAS
3.1. Introducción
Un problema interesante sobre la Teoría de elección consiste en la
búsqueda de condiciones suficientes que aseguren la existencia de funciones de
elección sobre una clase de elección suficientemente grande. Este tipo de
resultados es muy importante, no sólo en Economía, en análisis de decisión,
optimización y teoría de juegos. En general hay dos tipos aproximaciones a
este problema, las funciones de elección binaria y las no-binaria.
En el caso binario, la función de elección se consigue usando una relación
binaria (representando preferencias), y el conjunto de elección de los mejores
elementos de acuerdo con esta relación binaria. Hay una gran cantidad de
trabajos dedicados al análisis de existencia de elementos maximales. Hay dos
formas básicas para probar la existencia de elementos maximales en conjuntos
compactos.
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Uno de ellos supone las condiciones de convexidad y continuidad y la otra
necesita condiciones de transitividad y continuidad.
La aproximación no binaria considera situaciones en las cuales la función de
elección no es representable por una relación binaria.
Empecemos tomando el espacio ℜ n y ℑ un familia de subconjuntos no vacíos
de ℜ n que representan los diferentes conjuntos factibles presentados para elección.
Dada A ∈ ℑ , ℑ A denota una familia de subconjuntos de A .Una función de elección
sobre ℜ n es una correspondencia:
C : ℑ → ℜ n tal que C ( A) ⊆ A, ∀A ∈ ℑ .
El objetivo que nos marcamos ahora es proveer de un resultado sobre la
existencia de funciones de elección que unifique las aproximaciones anteriormente
expuesta y que garantice la existencia genérica de funciones de elección usuales
(elementos maximales, funciones de elección no binarias, torneos,….) en un contexto
en donde no es necesaria la estructura lineal a la que estamos acostumbrados. La
mayoría de estas aproximaciones están basadas en un razonamiento de intersección no
vacía, en particular el Teorema KKM ha resultado ser una herramienta valiosísima
para este propósito.
3.2. Definiciones previas
Sean X , Y dos espacios vectoriales topológicos,
Un subconjunto C se dice convexo si αx + (1 − α ) y ∈ C cualquiera que sean
x, y ∈ C
y
0 ≤ α ≤ 1.
La
envolvente
convexa
de
C
se
define:
co(C ) = ∩{B ⊂ X : B es convexo y C ⊂ B} .
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Una aplicación multivaluada F de un conjunto X en otro Y es una
correspondencia que asocia a cada x ∈ X un subconjunto no vacío F ( x) ⊂ Y .
Denotamos por 2 Y el conjunto de los subconjuntos de Y .
Una aplicación multivaluada F : D → 2 X es llamada aplicación KKM si
n
co{x1 ,..., x n } ⊂ Υ F ( xi ) para todo {x1 , x 2 ,..., x n } ⊂ D
i =1
3.3. Principio de Knaster-Kuratowski-Mazurkéwicz (KKM)
Sea D un subconjunto no vacío de un espacio de dimensión finita
n
ℜ n ,donde n ∈ ℵ . Supongamos que F : D → 2 ℜ es una aplicación multivaluada
KKM. Entonces la familia ζ = {F ( x) : x ∈ D}posee la
propiedad de la
intersección finita.
3.4. Aplicaciones a la existencia de elementos maximales
Un ejemplo típico de aplicación del Principio KKM puede ser el
siguiente: Sea ℜ n el espacio euclídeo de dimensión n y una función de elección
n
C:
. Si para cada A ∈ ℑ existe una familia ℑ A y una correspondencia
KKM Ω A : ℑ A → 2 A con valores cerrados, tal que
Ι
Ω A ( J ) ⊆ C ( A) , y al menos
J ∈ℑ A
uno de los valores de Ω A (J ) es compacto, entonces C ( A) es no vacía.
3.4.1. H-espacios
(
)
El par X , {co( A)}A∈F ( X ) es un H − espacio (también llamado H − estructura )
con X es un espacio vectorial topológico.
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Sea X un conjunto no vacío e Y un espacio vectorial topológico. Una aplicación
G : X → 2 Y es transfer closed valued si Ι G ( x) = Ι G ( x)
x∈X
x∈X
3.4.2. Teorema
Dado el espacio vectorial topológico X y
elección. Si para
A∈ ℑ
existe una familia
ℑA
C : ℑ → X una función de
y una correspondencia
Ω A : ℑ A → A satisfaciendo que:
i)
Ι Ω A ( J ) ⊆ C ( A)
Jℑℑ
ii ) Ω A es transfer closed valued
iii ) A es un H − espacio tal que Ω A es una aplicación KKM
iv) Existe un J * ∈ ℑ A con Ω A ( J * ) A
compacto en A.
Entonces C ( A) ≠ φ
Mostraremos que este teorema generaliza resultados de existencia de
funciones de elección como es el caso de los elementos maximales.
3.4.3. Funciones de elección binaria
El concepto de función de elección binaria requiere que la elección
dependa de la relación binaria R . El caso más usual en este contexto es aquel en el
que la elección se hace para maximizar la relación binaria. Consideramos pues una
relación binaria R A , reflexiva y completa definida sobre un conjunto A .
Así podemos expresar esta función de elección como:
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C :ℑ → X
tal
que
{
para
A∈ ℑ,
todo
}
C ( A) = a * ∈ A tal que a * R A a ∀a ∈ A .
Aquí
la existencia de función de elección se reduce a asegurar la
existencia de los elementos mas grandes (maximales) de A para R A .
Para garantizar la existencia de esos elementos maximales, bastaría
aplicar el teorema antes enunciado a cualquier subconjunto A no vacío,
convexo y compacto de ℜ n y a la aplicación KKM Ω A : F ( A) → 2 A ,definida
como Ω A ( J ) = {a ∈ A tal que a ∈ C ( J ∪ {a})}
para todo J ∈ F ( A) en una
H − estructura asociada a A .
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4. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
•
DEBREU,G. (1973). “Teoría del valor”.Cowles Foundation: Monografía Nº
17.Bosch, Casa editorial. Barcelona.
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SINGH S., WATSON B. y SRIVASTAVA P. (1997). “Fixed Point Theory
and Best Approximation: The KKM-map Principle”. Kluwer Academic Publishers.
•
HART K.P., NAGATA J.& VAUGHAN J.E. (2004). “Encyclopedia of
General Topology”. Elsevier Science Ltd.
•
SÁNCHEZ M.C., LLINARES J.V., SUBIZA B. (2003). “A KKM-result and
an application for binary and non-binary choice functions”. Economic Theory, 21,
185-193.
•
LÓPEZ M.A. “Teoría de Juegos: Una aproximación a los conflictos desde
las matemáticas.”. Universidad de Alicante.
•
HORVATH C.(1983). “Points fixes et coincidences pour les applications
multivoques sans convexity”. C. R. Acad.Sci. Paris 296, pp. 403-406.
•
HORVATH C., LIN B. L. y SIMONS S. (1987). “Some results on
multivalued mappings and inequalities without convexity, Nonlinear and Convex
Analysis”. Marcel Dekker, pp. 96-106.
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