La circunferencia y sus elementos

2000157_M6_U11
9/25/07
3:34 PM
Page 96
La circunferencia y sus elementos
1 En una circunferencia de 5 cm de radio, tracen:
a. en azul, tres diámetros distintos;
b. en rojo, tres radios distintos;
c. en verde, tres cuerdas que no sean radios de la circunferencia.
2 En una circunferencia de radio 7 se trazó uno de sus diámetros. ¿Cuál es la medida
de dicho diámetro? ¿Por qué?
3 ¿Es posible trazar en una circunferencia de 5 cm de radio una cuerda que mida 11 cm?
¿Por qué?
4 Dibujen un cuadrado de 8 cm de lado y tracen las diagonales. Llamen P al punto donde
se cortan las diagonales del cuadrado. P es el centro del cuadrado.
a. ¿Están todos los puntos del cuadrado a igual distancia del centro P?
b. ¿Cuáles son los puntos más cercanos al centro del cuadrado? Márquenlos con rojo.
c. ¿Cuáles son los puntos más lejanos al centro del cuadrado? Márquenlos con verde.
d. Dibujen todos los puntos del plano que estén a 4 cm del centro del cuadrado.
5 Enzo y sus amigos encontraron un viejo plano realizado por antiguos exploradores españoles. En él se dan algunas pistas acerca de dónde enterraron un valioso tesoro.
En la playa hay tres palmeras. Exactamente 20
metros hacia el oeste de la palmera del centro y 10 metros hacia el sur, hay una roca.
El tesoro está enterrado a menos de 5 metros
de dicha roca.
a. Indiquen la posición de la piedra.
b. Utilizando los elementos de geometría que
crean convenientes, dibujen la zona donde
10 metros
puede estar escondido el tesoro.
6 Dibujen una circunferencia de 10 cm de diámetro.
a. Con una regla, tracen una recta que no tenga puntos en
común con la circunferencia.
b. Tracen una recta que tenga dos puntos en común con la
circunferencia.
c. Tracen una recta que solo tenga en común con la circunferencia el punto P, donde O es el centro de la misma.
¿Qué ángulo forma esta recta con el radio OP?
d. ¿Es posible trazar una recta que tenga tres puntos en
común con la circunferencia?
1
2000157_M6_U11
9/25/07
3:34 PM
Page 97
Longitud de la circunferencia
7 Calculen la longitud de una circunferencia cuyo radio mida 8.6 cm.
8 Dibujen con el compás una circunferencia cuya longitud sea 21.98 cm.
9 Leonardo trabaja en una carpintería y le encargaron que fabricara un marco para una ventana que está formada por un rectángulo y un
semicírculo, tal como se muestra en el dibujo
de la derecha. ¿Cuántos metros mide el perímetro de la ventana?
150 cm
80 cm
10 Calculen el perímetro de las siguientes figuras.
a.
b.
A
A
O
B
Datos:
OA y OB son radios
perpendiculares.
OA mide 5 cm.
B
Datos:
AB mide 6 cm.
11 Calculen el perímetro de la región verde, sabiendo que el diámetro de la circunferencia
mayor mide 14 cm.
12 La televisión, los teléfonos celulares, Internet, y otros sistemas de comunicación funcionan gracias a satélites artificiales que giran alrededor de la Tierra recibiendo y retransmitiendo señales. ¿Cuál es la distancia que recorre, en una vuelta, un satélite artificial que gira alrededor
del ecuador a 15 km de la superficie terrestre? (El radio terrestre es
de aproximadamente 6 378 km.)
13 Las ruedas de la bicicleta de Inés tienen un diámetro de 60 cm. ¿Cuántos
kilómetros recorre al dar 300 vueltas completas?
2
2000157_M6_U11
9/25/07
3:34 PM
Page 98
Polígonos regulares inscritos en una circunferencia
14 Utilizando el compás y el transportador, determinen cuáles de los siguientes polígonos son regulares.
a.
b.
c.
d.
15 a. En una hoja cuadriculada, dibujen un cuadrado de 6 cm
de lado.
b. Determinen el centro del cuadrado; luego, con un compás, inscriban el cuadrado en una circunferencia.
c. Utilicen el cuadrado anterior para dibujar un octógono
inscripto en una circunferencia.
16 Construyan, con regla y compás, un hexágono regular de 6 cm de lado.
17 Utilicen el dibujo de la actividad anterior para inscribir en una circunferencia un triángulo equilátero.
18 Actividad resuelta
En el pentágono regular ABCDE se trazaron los radios que tienen a los
^
vértices como extremos. Calculen la medida del ángulo AOB.
Solución:
Los triángulos AOB, BOC, COD, DOE y EOA son iguales entre sí. Observen,
por ejemplo, que los segmentos AO, OB y OC tienen la misma medida
por ser radios, y AB = BC por tratarse de un polígono regular. Por lo tanto, cada uno de los cinco ángulos centrales tiene la misma medida, y to^
dos ellos suman 360°, con lo cual el ángulo AOB mide eyp
g ° = 72°.
B
C
O
A
D
E
19 Completen la siguiente tabla.
Polígono regular
Triángulo
Cuadrado
Hexágono
Octógono
Decágono
3
Nº de lados
Ángulo central
2000157_M6_U11
9/25/07
3:34 PM
Page 99
Actividades integradoras
20 Inscriban un decágono regular en una circunferencia de 8 cm de radio. Además de
la regla y el compás, usen un transportador para medir los ángulos centrales.
21 Un hexágono regular está inscripto en una circunferencia. Sabiendo que su perímetro
es de 33 cm, calculen la longitud de la circunferencia.
r
22 La recta r es tangente a la circunferencia en el pun-
P
to P y la recta s pasa por el centro de la circunferenQ
cia. Si s y r se cortan en el punto Q, tal como muestra el dibujo, clasifiquen el triángulo OPQ según sus
s
O
ángulos. Expliquen su respuesta.
23 Tracen una circunferencia de 5 cm de radio y marquen sobre ella dos puntos, P y
Q, que no estén sobre un mismo diámetro. Las rectas tangentes a la circunferencia en P y Q se cortan en un punto que se llama R. ¿Qué tipo de cuadrilátero es el
POQR? (utilicen el compás para tomar las medidas).
24 Sobre una recta, elijan un punto O y tracen una circunferencia de 4 cm de radio.
a. ¿A qué distancia de O, sobre la misma recta, debe estar un punto Q para que
sea el centro de una circunferencia de 6 cm de radio y para que tenga solo un pun-
to en común con la circunferencia de centro en O?
b. ¿A qué distancia debe estar Q para que las circunferencias anteriores no se corten?
c. ¿Es cierto que si Q está a menos de 10 cm de O las circunferencias se cortan en
dos puntos?
25 Calculen el perímetro de la región sombreada, sabiendo que el radio de la circunferencia mide 8.5 cm.
26 Lean en grupos y comenten entre todos el siguiente texto.
El número π
Las antiguas civilizaciones que desarrollaron la matemática descubrieron que existe una relación
entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Mediante distintos métodos (experimentales o
teóricos), observaron que al dividir la longitud de una circunferencia por su diámetro se obtenía el mismo resultado, independientemente de la circunferencia que usaran.
Los egipcios calcularon que dicho valor era 3.16, mientras que algunos griegos utilizaron como
aproximación la fracción WW
J . Desde el siglo XVIII se sabe que la razón entre la longitud de una circun-
ferencia y su diámetro es un número al que se llamó π, el cual no se puede escribir en forma comple-
ta, ya que tiene un desarrollo decimal que nunca termina (es infinito) y, además, no es periódico. Sus
primeras cincuenta cifras decimales son: 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510...
Pero π continúa y continúa y continúa...
4
2000157_M6_U11
9/25/07
3:34 PM
Page 100
Para hacer con mate
Mediciones circulares
En este tema, utilizaron en varios problemas la fórmula c= π x d, que
Materiales
relaciona el diámetro de una circunferencia con la medida de su contorno,
Varios objetos que tengan algu-
es decir, de su longitud.
na base con forma circular (tapas
En esta actividad veremos cómo podemos establecer dicha relación
de frascos, latas, vasos, etcétera).
realizando mediciones.
Un centímetro o un hilo de no
más de 1 metro de longitud.
Para hacerlo, hay que seguir estos pasos:
Calculadora.
Paso 1. Midan las longitudes de las circunferencias de
Una cartulina o un cartón rectan-
los objetos circulares con un centímetro. En lugar de un
gular.
centímetro pueden utilizar un hilo. Para ello deben rodear
el objeto con el hilo; luego, lo estiran, y con una regla miden la longitud del hilo.
Paso 2. Cada vez que realicen una medición, completen
las dos primeras columnas de una tabla como la siguiente.
Objeto
Longitud de la
circunferencia (c)
Diámetro de la
circunferencia (d)
c
d
Paso 3. Midan el diámetro de cada circunferencia y completen la tercera columna de la tabla.
Para saber cuál es el diámetro, tomamos el ángulo recto
de una cartulina y apoyamos su vértice sobre la circunferencia. Los lados del ángulo se cruzan con la circunferenB
cia en los puntos A y B. Estos puntos son los extremos
del diámetro.
Paso 4. Calculen el cociente indicado en la cuarta columna, y complétenla. Utilicen la calculadora.
A
Observen que los valores de la cuarta columna deben ser parecidos, aunque seguramente no
todos iguales. Esto se debe a que en toda experiencia de medición se cometen pequeños errores
inevitables.
El cociente entre la longitud L de cualquier circunferencia y su diámetro es, siempre, aproxi-
madamente 3.14.
5
2000157_M6_U11
9/25/07
3:34 PM
Page 101
El baúl matemático
Polígonos con regla y compás
A los diecinueve años de edad, el matemático alemán Carl Gauss fue la
primera persona en construir con regla y compás un polígono regular de 17
lados. También dio una demostración respecto de cuáles son los polígonos
regulares que pueden ser construidos con regla y compás.
Polígonos récord
En 1832, Richelot y Schwendenwein construyeron el polígono regular de
257 lados. Otro matemático, J. Hermes, dedicó diez años de su vida a construir un polígono regular de 65 537 lados. En la Universidad de Göttingen
(Alemania), hay un cofre que contiene un manuscrito en el que se expone diCarl Gauss.
cha construcción.
El día de π
En los Estados Unidos, para escribir la fecha de manera
numérica, primero se menciona el mes y luego el día. Debido
a ello, el 14 de marzo se ha convertido en el día de π: 3.14.
Algunos consideran más preciso conmemorar el 14 de marzo
a la 1.59, en reconocimiento a la aproximación 3.14159. Los
más fanáticos también festejan el 22 de julio (22/7), día de la
aproximación (griega) de π, ya que 22 : 7 = 3.142857142857…
π en la poesía
La poetisa polaca Wislawa Szymborska, premio Nobel de Literatura en el
año 1996, dedicó una poesía al número π, en la que van apareciendo sus
primeras cifras decimales. Estos son los primeros versos:
El admirable número pi,
tres coma uno cuatro uno.
Las cifras que siguen son también preliminares,
cinco nueve dos porque jamás acaba.
No puede abarcarlo seis cinco tres cinco la mirada,
ocho nueve ni el cálculo,
siete nueve ni la imaginación,
ni siquiera tres dos tres ocho un chiste, es decir, una comparación
cuatro seis con cualquier otra cosa
dos seis cuatro tres de este mundo (...).
6