probabilidad - Departamentos

PROBABILIDAD
Métodos Estadísticos Aplicados a las Auditorías Sociolaborales
Francisco Álvarez González
[email protected]
REPASO DE COMBINATORIA
VARIACIONES ORDINARIAS
Características :
No se pueden repetir los elementos
El orden de colocación de los elementos tiene influencia.
VARIACIONES CON REPETICIÓN
Características :
Vn, p =
Número :
VRn, p = n p
Número :
⎛n⎞
n!
Cn, p = ⎜⎜ ⎟⎟ =
⎝ p ⎠ p!.(n − p )!
Se pueden repetir los elementos
El orden de colocación de los elementos tiene influencia.
COMBINACIONES ORDINARIAS
Características :
No se pueden repetir los elementos
El orden de colocación de los elementos no influye.
n!
(n − p )!
Número :
NOTA : Factorial de un número n = n! = n.(n-1).(n-2). ... . 2 . 1
5! = 5.4.3.2.1 = 120
0! = 1
SUCESOS ALEATORIOS
EXPERIENCIA ALEATORIA es aquella que no está sometida a una ley concreta. Su ocurrencia sólo depende del azar.
ESPACIO MUESTRAL (E) es el conjunto de las posibles ocurrencias (sucesos elementales) de una experiencia
aleatoria.
SUCESO ALEATORIO es cualquier subconjunto o parte del espacio muestral.
OPERACIONES :
UNIÓN DE SUCESOS
A∪B
AoB
INTERSECCIÓN DE SUCESOS
A∩B
AyB
SUCESO CONTRARIO
A
no A
SUCESOS ESPECIALES :
SUCESO SEGURO
E
siempre se verifica
SUCESO IMPOSIBLE
φ
nunca se verifica
SUCESOS COMPATIBLES
A∩B≠φ
tienen algo en común
SUCESOS INCOMPATIBLES
A∩B=φ
no tienen nada en común
EJEMPLO :
Lanzar un dado es una experiencia aleatoria (nunca podremos asegurar el valor que se obtiene al lanzarlo). El conjunto
de las posibles ejecuciones constituye el espacio muestral E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } .
A ∪ B = { 2 , 3 , 4, 6 }
A = { salga cifra par } = { 2 , 4 , 6 }
A∩B={6}
B = { ser múltiplo de 3 } = { 3 , 6 }
A = { salga cifra impar } = { 1 , 3 , 5 }
C = { ser múltiplo de 5 } = { 5 }
A y B son compatibles A ∩ B = { 3 } ≠ φ
A y C son incompatibles A ∩ C = φ
PROBABILIDAD
DEFINICIÓN :
Probabilidad es una ley que asocia a cada suceso un valor numérico, sometida a las siguientes condiciones :
1ª
La probabilidad siempre estará comprendida entre 0 y 1 :
0 ≤ Pr(A) ≤ 1
2ª
La probabilidad del suceso seguro es igual a 1 :
Pr(E) = 1
3ª
Axioma de probabilidades totales :
Si dos sucesos A y B son incompatibles ( A ∩ B = φ ) , se verifica que Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B)
PROPIEDADES ELEMENTALES :
I.
Pr (A) = 1 - Pr( A )
II.
La probabilidad del suceso imposible es igual a 0 :
Pr(φ) = 0
Probabilidad (F. Álvarez) - 1
REGLA DE LAPLACE :
La probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de situaciones en que puede presentarse dicho
suceso y el número total de situaciones posibles.
TEOREMA DE PROBABILIDADES TOTALES :
Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B) - Pr(A ∩ B)
Generalizando :
Pr( A 1 ∪ A 2 ∪ A 3 ∪ ... ) =
∑ Pr( A ) − ∑ Pr( A
i
i
∪ Aj ) +
∑ Pr( A
i
∪ A j ∪ A k ) − ...
Así, por ejemplo :
Pr(A∪B∪C∪D) =
Pr(A) + Pr(B) + Pr(C) + Pr(D) - Pr(A∩B) - Pr(A∩C) - Pr(A∩D) - Pr(B∩C) - Pr(B∩D) - Pr(C∩D) +
+ Pr (A∩B∩C) + Pr (A∩B∩D) + Pr(A∩C∩D) + Pr(B∩C∩D) - Pr(A∩B∩C∩D)
PROBABILIDAD CONDICIONADA. TEOREMA DE PROBABILIDADES COMPUESTAS :
B/A = suceso B condicionado al A ( ocurrir B habiendo ocurrido A ).
Pr( B / A ) =
Generalizando :
Pr( A ∩ B )
Pr( A )
Pr( A ∩ B ) = Pr( A ).Pr( B / A )
Pr( A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ ... ) = Pr( A 1 ).Pr( A 2 / A 1 ).Pr( A 3 / A 1 ∩ A 2 ). ...
TEOREMA DE BAYES :
Sean n causas independientes Ai con probabilidades
Pr(Ai) conocidas y sea B un suceso que puede
presentarse en cada una de ellas, siendo conocidas las
probabilidades Pr(B/Ai).
Se verifica entonces que :
Pr( A k / B ) =
Pr( A k ).Pr( B / A k )
n
∑ Pr( A ).Pr( B / A )
i
i=1
2 - Probabilidad (F. Álvarez)
i
EJERCICIOS RESUELTOS
1
Al extraer al azar una ficha del juego del dominó, calcular la probabilidad de que sume un número de
puntos múltiplo de 3.
En situaciones como la presente nos vemos obligados a desarrollar el espacio muestral, contando, posteriormente, las
situaciones que se ajustan al problema (casos favorables).
Probabilidad
múltiplo de 3
0'32143
de
sumar
= 9 / 28 =
2
Al lanzar al aire cuatro monedas, calcular la probabilidad de obtener al menos dos caras.
En este caso podríamos contar las distintas situaciones, si bien puede efectuarse un desarrollo previo del espacio
muestral :
CCCC
CCC+
CC++
C+++
++++
CC+C
C+C+
+C++
C+CC
C++C
++C+
+CCC
+CC+
+++C
+C+C
++CC
Se obtienen 4 caras
Se obtienen 3 caras y 1 cruz
Se obtienen 2 caras y 2 cruces
Se obtienen 1 cara y 3 cruces
Se obtienen 4 cruces
Del total de 16 situaciones posibles, en 11 de ellas se obtienen al menos dos caras. Así : Pr = 11/16 = 0'6875
Sin proceder al desarrollo de todas las posibilidades :
a)
Situaciones posibles : VR2,4 = 24 = 16
b)
Se obtienen cuatro caras en 1 solo caso
Se obtienen tres caras en C4,3 = 4 casos
Se obtienen tres caras en C4,2 = 6 casos
3
Una caja contiene seis bolas blancas, tres rojas y dos negras. Al extraer simultáneamente dos bolas de
ella, calcular la probabilidad de que sean :
a)
las dos blancas
b)
las dos del mismo color
⎛ 6⎞
⎜⎜ ⎟⎟
2
15
Pr(a ) = ⎝ ⎠ =
= 0'2727
⎛11⎞ 55
⎜⎜ ⎟⎟
⎝2⎠
⎛ 6⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 2⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
2
2
2
19
Pr(b) = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =
= 0'3453
55
⎛11⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝2⎠
4
Una caja contiene seis bolas blancas (B), tres rojas (R) y dos negras (N). Al extraer sucesivamente dos
bolas de ella, calcular la probabilidad de que sean de distinto color:
a)
supuesta la extracción con devolución de la bola extraída
b)
supuesta la extracción sin devolución de la bola extraída
Las posibles situaciones que se ajustan al problema son : BR , BN , RB , RN , NB , NR
a)
Pr =
6 3
6 2
3 6
3 2
2 6
2 3
72
. + . + . + . + . + . =
= 0' 595
11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 121
Probabilidad (F. Álvarez) - 3
b)
Pr =
6 3
6 2
3 6
3 2
2 6
2 3
72
. + . + . + . + . + .
=
= 0' 6545
11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 11 10 110
5
La siguiente tabla nos muestra la distribución del alumnado de un Centro en función del curso y del
sexo.
Hombre
Mujer
Seleccionado un alumno al azar, calcular la probabilidad
1º
15
25
a) de que sea mujer o estudie 2º
2º
10
30
b) de que no estudie 1º y sea hombre
3º
25
45
c) de que sea mujer sabiendo que no es de 2º
b)
a)
Pr =
c)
110
= 0' 733
150
Pr =
35
= 0' 233
150
Pr =
70
= 0' 6364
110
6
Al extraer simultáneamente tres cartas de la baraja española, calcular la probabilidad de que :
a)
todas sean de oros
b)
al menos dos sean figuras
c)
sean del mismo palo
d)
sean de distinto palo
e)
no sean del mismo palo
a) Las tres de oros :
⎛10 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
3
Pr = ⎝ ⎠
b) Dos figuras o tres figuras :
⎛12 ⎞ ⎛ 28 ⎞ ⎛12 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
2
1
3
Pr = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c)
Las
tres
de
oros
o
⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
3
3
3
3
Pr = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 40 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝3⎠
de
⎛ 40 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝3⎠
=
120
= 0'0121
9880
⎛ 40 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟
⎝3⎠
copas
=
=
2068
= 0'2093
9880
o
de
espadas
o
de
bastos
:
480
= 0'0486
9880
Antes de efectuar lo solicitado en los apartados d) y e) , veamos su diferencia. Ser de distinto palo significa que,
por ejemplo, una sea de oros, otra de espadas y otra de bastos. No ser del mismo palo se presenta cuando, por
ejemplo, dos son de oros y la otra de copas.
El apartado d) se verifica al obtener :
oro-copa-espada ; oro-copa-basto ; oro-espada-basto ; copa-espada-basto.
El apartado e) es aconsejable resolverlo a partir del suceso contrario (ser del mismo palo).
d)
⎛ ⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞ ⎛10 ⎞
⎞
⎜ ⎜⎜ ⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟
⎟
1 ⎠⎝ 1 ⎠⎝ 1 ⎠
⎜
⎟ = 4000 = 0'4049
⎝
Pr = 4.⎜
⎛ 40 ⎞ ⎟ 9880
⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟
⎜⎜
⎝ 3 ⎠⎠
⎝
e)
Pr = 1 - Pr(ser del mismo palo) = 1 - 0'0486 = 0'9514
4 - Probabilidad (F. Álvarez)
7
Una rata se mueve libremente por los compartimentos dibujados en
el esquema de la izquierda. Supuesto que parte inicialmente del
identificado con el número 1, calcular :
a)
probabilidad de que alcance el compartimento 4, después
de realizar tres desplazamientos.
b)
probabilidad de que alcance un compartimento par
después de realizar tres desplazamientos, sabiendo que el primer
desplazamiento lo hace al compartimento 2.
a)
Desplazamientos posibles
Probabilidad
1 1 1
. .
3 4 4
1 1 2
. .
3 4 3
2 1 1
. .
3 3 4
2 2 2
. .
3 3 3
1-2 ; 2-5 ; 5-4
1-2 ; 2-1 ; 1-4
1-4 ; 4-5 ; 5-4
1-4 ; 4-1 ; 1-4
Total
1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2
. . + . . + . . + . .
3 4 4 3 4 3 3 3 4 3 3 3
Pr = 0'4282
b)
Si observamos las distintas posibilidades, siempre se acaba en un compartimento par. La probabilidad es pues
igual a 1.
Si no se advierte tal circunstancia, el problema se traduce en alcanzar un compartimento par, partiendo del 2,
en dos desplazamientos.
Desplazamientos
2-1 ; 1-2
2-3 ; 3-2
2-5 ; 5-2
2-1 ; 1-4
2-3 ; 3-6
2-5 ; 5-4
2-5 ; 5-6
Pr =
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 4 + 12 + 3 + 8 + 12 + 3 + 6 48
. + . + . + . + . + . + . =
=
=1
4 3 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 4
48
48
8
La tabla nos muestra la distribución final del
alumnado de Bachillerato.
a)
Hallar la probabilidad de que un
alumno no apruebe todas las asignaturas o sea
en la actualidad de 2º de BUP.
Si un cierto alumno debe repetir curso, calcule la probabilidad de que actualmente sea de 2º de
b)
BUP.
c)
Preguntamos a los tres primeros alumnos que salen del Centro. Hallar la probabilidad de que
sean del mismo curso.
a)
Pr =
140
= 0' 667
210
b)
Pr =
18
= 0' 4186
43
Probabilidad (F. Álvarez) - 5
Por las características del enunciado, puede
pensarse en una aplicación del Teorema de Bayes.
Resuelto por este método, el suceso B es repetir
curso y los sucesos A1 , A2 y A3 , ser de 1º, de 2º
y de 3º respectivamente.
La probabilidad se calcularía :
70
210
15
Pr( B / A 1 ) =
70
70
70
Pr( A 3 ) =
210
210
18
10
Pr( B / A 2 ) =
Pr( B / A 3 ) =
70
70
70 18
.
18
210 70
Pr( A 3 / B ) =
=
= 0' 4186
70 15 70 18 70 10 43
. +
. +
.
210 70 210 70 210 70
Pr( A 1 ) =
c)
Pr( A 2 ) =
Probabilidad de ser los tres de 1º o de 2º o de 3º :
Pr =
70 69 68
70 69 68
70 69 68
70 69 68
.
.
+
.
.
+
.
.
= 3.
.
.
= 0' 1079
210 209 208 210 209 208 210 209 208
210 209 208
9
Una experiencia consiste en lanzar una bola por el laberinto inclinado de la figura.
Hallar la probabilidad de que :
a)
b)
c)
la bola no salga por B .
la bola salga por C , sabiendo que pasó por la bifurcación 2 .
la bola pase por la bifurcación 3 .
Indicamos a-b el paso desde el nudo o bifurcación a a la b.
a)
Determinemos la probabilidad del suceso contrario (salir por B). Esto se produce si la bola realiza el recorrido
( 1-2 ; 2-4 ; 4-B ) o bien el ( 1-2 ; 2-5 ; 5-B ). La probabilidad pedida es :
⎡⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞⎤
Pr( B ) = 1 − Pr( B) = 1 − ⎢⎜ . . ⎟ + ⎜ . . ⎟⎥ = 0'75
⎣⎝ 2 2 2 ⎠ ⎝ 2 2 2 ⎠⎦
b)
El camino recorrido será ( 2-5 ; 5-C ). La probabilidad pedida es :
Pr =
c)
1 1
. = 0' 25
2 2
Al salir de 1, la bola puede pasar por 2 o por 3. La probabilidad pedida es :
Pr =
1
= 0' 5
2
10
Una fábrica funciona las 24 horas del día con tres turnos de 30 trabajadores cada uno. En el primer
turno el 40 % son mujeres; en el segundo hay 18 mujeres y, en el tercero, sólo el 10 % son mujeres.
a)
Seleccionadas al azar dos fichas de empleados de la fábrica (de forma simultánea), determine
la probabilidad de que pertenezcan a trabajadores del mismo turno.
b)
Tomamos una ficha al azar y corresponde a una mujer. Calcule la probabilidad de que sea la de
una de las que trabajan en el turno 3º.
Detallemos previamente el número de mujeres y hombres de cada turno, sabiendo que en total hay 30 :
Turno 1º
Turno 2º
Turno 3º
12
18
3
Mujeres
18
12
27
Hombres
a)
Probabilidad de ser ambos del turno 1º o del 2º o del 3º :
6 - Probabilidad (F. Álvarez)
⎛ 30 ⎞ ⎛ 30 ⎞ ⎛ 30 ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟
2
2
2
Pr = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1305
=
= 0'3259
90
⎛ ⎞ 4005
⎜⎜ ⎟⎟
⎝2⎠
b)
Nos encontramos en este caso en una aplicación del Teorema de Bayes.
El suceso B que conocemos se ha presentado es B = ser mujer. Tal suceso se puede dar o puede proceder
del primer turno (A1), del 2º (A2) o del 3º (A3).
30 1
=
90 3
18
Pr( B / A 2 ) =
30
Pr( A 1 ) = Pr( A 2 ) = Pr( A 3 ) =
Pr( B / A 1 ) =
12
30
3
30
1 3
.
3
3 30
=
= 0' 0909
Pr( A 3 / B ) =
1 12 1 18 1 3
33
+ .
+ .
.
3 30 3 30 3 30
La probabilidad pedida es :
Pr( B / A 3 ) =
11
Disponemos de tres urnas con la distribución de bolas
blancas y rojas indicada en el gráfico de la izquierda.
a) Extraída una bola de una de las urnas, hallar la probabilidad de que sea blanca.
b) Extraída una bola de una de las urnas resultó ser blanca, hallar la probabilidad de que proceda de la 2ª
urna.
a)
La pregunta es preciso detallarla con mayor precisión. Se trata de elegir la 1ª urna y extraer bola blanca o
seleccionar la 2ª y extraer bola blanca o seleccionar la 3ª y extraer bola blanca. Con esto, la probabilidad pedida será :
Pr =
1 2 1 4 1 3 9
. + . + . =
= 0' 6
3 5 3 5 3 5 15
b)
Aplicación del Teorema de Bayes.
El suceso B que conocemos se ha presentado es B = ser blanca. Tal suceso se puede dar o puede proceder
de la primera urna (A1), de la 2ª (A2) o de la 3ª (A3).
Pr( A 1 ) = Pr( A 2 ) = Pr( A 3 ) =
Pr( B / A 1 ) =
2
5
1
3
Pr( B / A 2 ) =
La probabilidad pedida es :
4
5
3
5
1 4
.
4
3 5
= = 0' 444
Pr( A 2 / B ) =
1 2 1 4 1 3 9
. + . + .
3 5 3 5 3 5
Pr( B / A 3 ) =
Sería correcto, en este caso, resolver el problema en base al conocimiento simple de que la bola extraída es
blanca.
La probabilidad de que proceda de la 2ª urna (teniendo en cuenta que hay 2 bolas blancas en la 1ª, 4 en la 2ª y
3 en la 3ª) sería igualmente:
Pr( A 2 / B ) =
4
4
= = 0' 444
2+ 4+ 3 9
12
Un arquero acierta en el centro de una diana en 7 de cada 10 lanzamientos. Calcule la probabilidad de
dar en el centro de la diana si dispara 6 flechas.
Al realizar los 6 disparos puede que dé en el centro de la diana 1, 2, ... , 6 veces. Se trata de calcular la probabilidad de
dar en el centro de la diana alguna vez. Es decir, lo contrario de no dar en ninguna ocasión.
La probabilidad de dar en el centro de la diana, en cada disparo, es 7/10 = 0'7. La de no dar : 3/10=0'3.
⎛3 3 3 3 3 3⎞
Pr(dar algunavez) = 1 − Pr(nodar ) = 1 − ⎜ . . . . . ⎟ = 1 − 0'36 = 0'999271
⎝ 10 10 10 10 10 10 ⎠
Probabilidad (F. Álvarez) - 7
13
En las pruebas de acceso a la Universidad, el 45% son alumnos de la opción A, el 10% de la B, el 30%
de la C y el resto de la opción D. Se sabe que aprueban el 80% de los alumnos de la opción A, la mitad
de los que cursaron las opciones C y D y el 60% de los de la opción B.
Si un cierto alumno aprobó la prueba, calcule la probabilidad de haber cursado la opción C.
Ejemplo clásico de aplicación del Teorema de Bayes.
El suceso B que conocemos se ha presentado es B = aprobar la prueba. Tal suceso se puede dar o puede proceder
de la opción A (A1), de la B (A2), de la C (A3) o de la D (A4).
Pr( A 1 ) = 0' 45
Pr( A 2 ) = 0' 10
Pr( A 3 ) = 0' 30
Pr( A 4 ) = 0' 15
Pr( B / A 1 ) = 0' 80
Pr( B / A 2 ) = 0' 60
Pr( B / A 3 ) = 0' 50
Pr( B / A 4 ) = 0' 50
La probabilidad pedida es :
Pr( A 3 / B ) =
0' 30 . 0' 50
0' 15
=
= 0' 23256
0' 45 . 0' 80 + 0' 10 . 0' 60 + 0' 30 . 0' 50 + 0' 15 . 0' 50 0' 645
14
En un examen de Psicología Matemática I se les proponen a los alumnos tres problemas (A, B y C), de
los que han de elegir uno. La mitad de los alumnos eligen el problema A, y de éstos aprueban el 60%. El
30% eligen el B, suspendiendo el 25%. Por último, entre los que eligen el C aprueban el 30%.
a) Considerando a todos los alumnos, ¿ cuál es la probabilidad de aprobar el examen ?.
b) Sabiendo que un alumno ha aprobado, ¿ cuál es la probabilidad de que haya elegido el problema A
?.
c) Sabiendo que un alumno suspendió, ¿ cuál es la probabilidad de que haya elegido el problema C ?.
El problema puede resolverse siguiendo dos procedimientos:
1º.- Utilizando propiedades del cálculo de probabilidades (especialmente el Teorema de Bayes).
2º.- Aplicando el puro y simple sentido común. Para ello es aconsejable exponer de forma clara los datos del
problema:
A
Aprueban
Suspenden
TOTAL
60% de 50
40% de 50
50%
B
30
20
50
75% de 30
25% de 30
30%
C
22’5
7’5
30
30% de 20
70% de 20
20%
6
14
20
Método 1º :
a)
0’30 =
b)
Pr(aprobar) = Pr(elegir A y aprobar o elegir B y aprobar o elegir C y aprobar) = 0’50 . 0’60 + 0’30 . 0’75 + 0’20 .
= 0’585.
Teorema de Bayes :
Pr( A ).Pr( aprobado / A )
=
Pr( A ).Pr( aprobado / A ) + Pr( B ).Pr( aprobado / B ) + Pr( C).Pr( aprobado / C)
0'50.0'60
0'30
=
= 0'5128
=
0'50.0'60 + 0'30.0'75 + 0'20.0'30 0'585
Pr( A / aprobado ) =
c)
Teorema de Bayes :
Pr( C). Pr( suspenso / C)
=
Pr( A ). Pr( suspenso / A ) + Pr( B ). Pr( suspenso / B ) + Pr( C). Pr( suspenso / C)
0'20.0'70
0'14
=
= 0'3373
=
0'50.0'40 + 0'30.0'25 + 0'20.0'70 0'415
Pr( C / suspenso ) =
Método 2º :
a)
b)
c)
Pr(aprobar) = (30+22’5+6) / 100 = 58’5 / 100 = 0’585.
Observando sólo los aprobados (en total 58’5) :
Pr(A/aprobó) = 30 / 58’5 = 0’5128
Observando sólo los suspensos (en total 41’5) :
Pr(C/suspendió) = 14 / 41’5 = 0’3373
15
La E.M.T. de Madrid dispone de 8 líneas de autobuses para ir de la ciudad al campus universitario.
Calcular de cuántas formas puede un estudiante hacer el viaje de ida y vuelta, si :
a) Los autobuses de ida y vuelta pueden ser de la misma o diferente línea.
b) Los autobuses de ida y vuelta han de ser de diferente línea.
c) Los autobuses de ida y vuelta han de ser de la misma línea.
a)
b)
8x8 = 64 (por cada línea de ida puede tomar las ocho de vuelta)
8x7 = 56 (por cada línea de ida puede tomar lsólo siete de vuelta)
8 - Probabilidad (F. Álvarez)
c)
8 (las ocho líneas)
16
Sabemos que de cada 10000 mujeres 25 sufren de daltonismo y 5 de cada 100 hombres también tienen
la misma anomalía. Suponiendo que existe igual número de hombres que de mujeres, y que elegimos
aleatoriamente de ésta una persona, ¿ cuál es la probabilidad de que sea varón, supuesto que sufre
daltonismo ?.
Daltónico
No daltónico
Hombre
500
9500
Mujer
25
9975
Trabajamos sobre 10000 individuos
Prob = 500 / 525 = 0’9524
17
En un experimento de condicionamiento se sitúa a una rata en el centro de un
laberinto como el de la figura. En cada uno de los ensayos la rata elige
siempre uno de los tres caminos (A, B, C) con igual probabilidad
(P(A)=P(B)=P(C)=1/3). El suelo de cada uno de estos tres caminos es una
rejilla eléctrica que dispensa una descarga (D) de 5V a la rata, una vez que lo
ha pisado, con distinta probabilidad : ¾ para A, ¼ para B y 0 para C.
En un determinado ensayo la rata no recibió la descarga eléctrica. ¿Cuál es la
probabilidad de que haya elegido el camino A ?. ¿Y el B ?. ¿Y el C ?
Teorema de Bayes. (B = NO recibir descarga)
P(A1) = P(A) = 1/3
P(A2) = P(B) = 1/3
P(A3) = P(C) = 1/3
1 1
.
3 4
= 0125
P(A1 / B) =
'
1 1 1 3 1
. + . + .1
3 4 3 4 3
P(B/A1) = 1/4
P(B/A2) = 3/4
P(B/A3) = 1
1 3
.
3 4
= 0'375
P(A 2 / B) =
1 1 1 3 1
. + . + .1
3 4 3 4 3
1
.1
3
= 0'5
P(A 3 / B) =
1 1 1 3 1
. + . + .1
3 4 3 4 3
Puede resolverse sin necesidad de aplicar el Teorema de Bayes. Sobre un total de 300 salidas o movimientos
de la rata, el problema plantea que
• sale 100 veces por cada camino (probabilidad = 1/3)
• recibe descarga : 75 veces en A (3/4 de 100) ; 25 veces en B (1/4 de 100) ; 0 veces en C
Descarga SI
75
25
0
100
Camino A
Camino B
Camino C
Luego :
Descarga NO
25
75
100
200
100
100
100
Pr(Camino A / NO descarga) = 25 / 200 = 0'125
Pr(Camino B / NO descarga) = 75 / 200 = 0'375
Pr(Camino C / NO descarga) = 100 / 200 = 0'5
18
Disponemos de dos métodos A y B para enseñar una cierta habilidad técnica. El 20% de los enseñados
con el método A y el 10% de los enseñados con el método B no aprenden la mencionada habilidad. No
obstante, el método B es más caro y se aplica sólo al 30% de las personas, mientras que el A se aplica
al 70%.
Una persona ha aprendido la habilidad, ¿ cuál es la probabilidad de que haya seguido el método A ?.
Aprende
No aprende
A
56
14
70
B
27
3
30
Trabajamos sobre 100 individuos
Prob = 56 / (56+27) = 0’6747
Probabilidad (F. Álvarez) - 9
19
Cierto profesor tiene por costumbre guardar todos los calcetines (limpios)en un cajón y cada mañana
elige consecutivamente al azar tres de ellos. Sólo tiene tres colores de calcetines: grises (G), azules (A)
y blancos (B). Si en las tres primeras extracciones los tres calcetines son de diferente color, decide no
ponérselos y se calza unas sandalias. Una mañana cualquiera tiene en el cajón 8 calcetines grises, 4
azules y 6 blancos.
a) ¿ Cuál es el espacio muestral de que dispone ese profesor esa mañana ?.
b) ¿ Cuál es la probabilidad de que esa mañana salga a la calle con sandalias ?.
c) ¿ Es igual la probabilidad de que saque dos calcetines grises y uno azul que la de que saque dos
grises y uno blanco ?. Calcule ambas probabilidades.
a)
b)
c)
E = { (GGG) , (GGA) , (GGB) , (GAA) , (GAB) , (GBB) , (AAA) , (AAB) , (ABB) , (BBB) }
8 4 5
. . = 0'1961
18 17 16
8 7 4
Pr(2G y 1A) = Pr(GGA o GAG o AGG) = 3. .
. = 0'1373
18 17 16
8 7 6
Pr(2G y 1B) = Pr(GGB o GBG o BGG) = 3. .
. = 0'2059
18 17 16
Pr(GAB o GBA o AGB o ABG o BAG o BGA) = 6.
20
Un profesor indeciso dispone de 5 problemas, de los que utilizará sólo dos, para elaborar un examen.
Los tres primeros corresponden a la primera parte y los dos siguientes a la segunda. Tampoco tiene
muy claro si dejar utilizar o no material didáctico a sus alumnos. Para resolver sus dudas utiliza una
urna que contiene tres bolas rojas, numeradas del 1 al 3, y dos blancas, numeradas con 4 y 5. Extrae al
azar, y sin reposición, dos bolas.
a) ¿ Cuál es la probabilidad de que los ejercicios sean de distinta parte ?.
b) Si los alumnos sólo pueden utilizar material cuando las bolas sean del mismo color, ¿ cuál es la
probabilidad de que puedan utilizarlo ?.
a)
b)
Pr(RB o BR) = 3/5 x 2/4 + 2/5 x 3/4 = 0’6
Pr(RR o BB) = 3/5 x 2/4 + 2/5 x 1/4 = 0’4
(o bien, utilizando el apartado anterior : 1 - 0’6 = 0’4)
21
De los 50 alumnos matriculados en un determinado Centro Asociado en la asignatura de Psicología
Matemática, 30 son varones. Para participar en un experimento de percepción visual, seleccionamos sin
reposición a dos de ellos. Calcular, justificando adecuadamente su respuesta, la probabilidad de que :
a) Los dos sean varones.
b) Los dos sean del mismo sexo.
c) Al menos uno sea mujer.
NOTA : Representamos el término "y" por el símbolo intersección (∩) y el término "o" por el de la unión (∪).
a)
La extracción sin reposición modifica el grupo en las extracciones sucesivas.
Pr( V1º ∩ V2 º ) = Pr( V1º y V2 º ) = Pr( V1º ).Pr( V2 º / V1º ) =
b)
30 29
. = 0'355102
50 49
Pueden ser los dos varones o las dos mujeres :
Pr ( ( V1º ∩ V2 º ) ∪ ( M 1º ∩ M 2 º ) ) = Pr ( V1º ∩ V2 º ) + Pr( M1º ∩ M 2 º ) =
c)
Pueden ser un varón y una mujer o las dos mujeres :
30 29 20 19
. + . = 0'510204
50 49 50 49
Pr( ( V1º ∩ M 2 º ) ∪ ( M1º ∩ V2 º ) ∪ ( M1º ∩ M 2 º )) = Pr( V1º ∩ M 2 º ) + Pr( M1º ∩ V2 º ) + Pr( M1º ∩ M 2 º ) =
=
30 20 20 30 20 19
. + . + . = 0'6449
50 49 50 49 50 49
10 - Probabilidad (F. Álvarez)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1
Sabiendo que Pr(B)=2.Pr(A) , Pr(A∪B)=0'8 y Pr(A∩B)=0'1, calcule :
Pr(A) , Pr(B) , Pr(A') , Pr(B-A) y Pr(A-B)
2
Al extraer dos cartas simultáneamente de una baraja española, calcule la probabilidad de que :
a)
las dos sean del mismo palo
b)
ambas sean figuras
c)
alguna sea de oros.
3
Disponemos de cuatro cajas con la siguiente composición de bolas blancas y negras :
la 1ª contiene 3 bolas de cada color
la 2ª y la 4ª contienen 5 bolas blancas y 2 negras
la 3ª está constituida por 1 bola blanca y 2 negras.
a) Seleccionada una urna al azar, hallar la probabilidad de extraer una bola blanca de ella.
b) Se extrajo una bola de una de las urnas que resultó ser blanca. Calcule la probabilidad de haberla extraído
de la 4ª urna.
4
La siguiente tabla muestra la distribución de los trabajadores de una empresa según su estado civil y el ser o no
fumadores.
Fuman
14
8
6
Solteros
Casados
Viudos
a)
b)
c)
d)
e)
No fuman
16
35
1
Seleccionados 3 trabajadores al azar, determine la probabilidad de que todos fumen.
Calcule la probabilidad de que un trabajador de la empresa esté casado o fume.
Calcule la probabilidad de que un trabajador de la empresa no esté casado o fume.
Si un cierto trabajador fuma, ¿ qué probabilidad tiene de ser soltero ?.
Si un trabajador es viudo, calcule la probabilidad de que no sea fumador.
5
Una urna contiene tres bolas con las letras A , A y N. Otra contiene las letras A , A , A , N y N.
Seleccionamos tres bolas sucesivamente y con devolución. ¿ Qué urna ofrece mayor probabilidad de obtener la
palabra ANA?.
6
Un alumno sólo estudió uno de los cuatro temas de un examen. Si el examen consta de diez preguntas, calcule
la probabilidad de que pueda contestar a alguna de ellas.
7
Hombres
Mujeres
1º
34
42
2º
21
50
3º
40
15
4º
12
14
5º
21
8
La tabla anterior nos muestra la distribución por sexo de los alumnos de los 5 cursos de una Carrera.
Seleccionados al azar dos alumnos, calcule la probabilidad de que :
a) sean del mismo curso.
b) alguno sea de 1º
c) los dos sean hombres o estudien 3º.
8
De un grupo de alumnos, la mitad son de primero, la quinta parte de 3º y el resto de 2º. De los de 1º, la cuarta
parte son repetidores y, de los otros cursos, la mitad repiten.
Si un cierto alumno es repetidor, calcule la probabilidad de que sea de 2º curso.
Probabilidad (F. Álvarez) - 11
9
Una urna contiene 5 bolas blancas, 3 rojas y 2 negras.
a)
Seleccionado un grupo de tres bolas, determine la probabilidad de que ninguna sea negra.
b)
Seleccionadas sucesivamente y sin reposición tres bolas, determine la probabilidad de que sean del
mismo color.
c)
Seleccionadas sucesivamente y con reposición tres bolas, determine la probabilidad de que alguna
sea negra.
10
De los 80 alumnos de tres grupos de COU de un centro, la mitad pertenecen al grupo A y el 15% al C.
Sabiendo que aprueban el curso el 40% de los alumnos del grupo A, 8 alumnos del grupo B y la tercera parte
de los del C, determine la probabilidad de que :
a) un alumno de COU suspenda.
b) un cierto alumno pertenezca al grupo B, sabiendo que aprobó.
11
Una caja contiene 6 bolas blancas, 2 negras y 4 rojas.
a) Si tomamos dos bolas simultáneamente de la caja, calcule la probabilidad de que sean del mismo color.
b) Al tomar sucesivamente y sin reposición tres bolas de la caja, hallar la probabilidad de que todas sean
blancas, sabiendo que ninguna es negra.
12
En relación con la opción cursada por los alumnos de COU, el 25% se matriculó en la A, el 35% en la B,
coincidiendo los matriculados en las opciones C y D.
Finalizado el curso, aprobaron : la mitad de los alumnos de la opción A y C, el 60% de la B y sólo un 20% de los
de la opción D.
a) Si un alumno seleccionado aprobó, calcule la probabilidad de ser de la opción C.
b) Calcule la probabilidad de que un alumno suspenda, sabiendo que no pertenece a la opción A.
12 - Probabilidad (F. Álvarez)
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS PROPUESTOS
1
Pr(A) = 0'3
Pr(B) = 0'6
Pr(A') = 0'7
Pr(B-A) = 0'5
Pr(A-B) = 0'2
2
a) 0'2308
b) 0'0846
c) 0'4423
3
a) 0'5655
b) 0'3158
4
a)
b)
c)
d)
e)
0'0399
0'7875
0'5625
0'5
0'1429
5
La primera (0'1481) más que la segunda (0'144)
6
0'9437
7
a) 0'2295
b) 0'5048
c) 0'2685
8
0'4
9
a) 0'4667
b) 0'0917
c) 0'488
10
a) 0'65
b) 0'2857
11
a) 0'3333
b) 0'1666
12
a)
b)
0'2105
0’5333
Probabilidad (F. Álvarez) - 13