27-9-2016 Simetría de funciones y Principio de exclusión de Pauli Ulises Organista Mateos Luis Daniel Pedro Hernández Diana Alí Pérez Espinoza Lady Olivia Pérez Valera Acerca de Pauli. Wolfgang Pauli nació el 25 de abril de 1900 hijo de Wolfgang Joseph Pauli y Bertha Camile Shütz. Su nombre completo era Wolfgang Ernst Frederich Pauli, su segundo nombre fue elegido en honor a Ernst Mach, quien asumió el rol “padrino”, lo cual resulta un tanto irónico, ya que Ernst Mach tenía una actitud anticlerical. Su tercer nombre fue por su abuelo Frederich Shütz, a quien Wolfgang solía acompañar de paseo por tiendas de antigüedades. A los diez años cuando comenzó el bachillerato en el Döblinger Gymnasium sus inquietudes fueron dirigidas, en gran medida por su padre, hacia el campo de las ciencias naturales. Algo interesante acerca de Paulli es que no fue un pupilo modelo y sus ocho grados académicos en Doblinger lo demuestran, él era excelente en matemáticas, física y filosofía, pero en latín y griego sólo consiguió una nota de satisfactorio. En 1918 se trasladó a la Universidad de Munich donde obtuvo su Ph.D. física teórica y en 1921, se graduó con honores con A. Sommerfeld. Una vez graduado, Pauli se convirtió en asistente de Max Born en la Universidad de Göttingen. Después de ser un asistente de Max Born, Wolfgang Pauli pasó un breve tiempo en la Universidad de Hamburgo ayudar a Wilhelm Lenz antes de irse a trabajar con Niels Bohr en la Universidad de Copenhague. En 1924, Pauli desarrolló el principio de exclusión y por el cual recibió el Premio Nobel en 1945. Otras de las aportaciones de Pauli es que intuyó la existencia de una partícula neutral, el neutrino, cuya emisión coincidía con la del electrón. Aunque Pauli disfrutó trabajando con Bohr y donde era muy respetado, se fue a enseñar física en la Universidad de Hamburgo en 1924. En 1928, se trasladó de nuevo a la Escuela Politécnica Federal de Zúrich Hochshule y permaneció allí hasta su muerte en 1958. 1 Principio de indistinguibilidad En la descripción cuántica de las partículas subatómicas se tiene un principio de mucha importancia para la química. El principio de indistinguibilidad de las partículas idénticas. En la mecánica clásica, si se tiene un conjunto de partículas idénticas, la identidad de dichas partículas no tiene consecuencias especiales que modifiquen las propiedades del conjunto. Esto es que si se enumeran las partículas de un sistema en un instante y se hace un seguimiento de su trayectoria; entonces en un instante cualquiera será posible identificar las partículas. La identidad de las bolas no tiene efecto especial sobre sus movimientos. En mecánica cuántica la situación cambia completamente. Esto debido a que las partículas siguen el principio de incertidumbre, del cual se obtiene la imposibilidad de conocer la trayectoria exacta recorrida por una de las partículas del sistema. En el caso de tener un conjunto de partículas con propiedades diferentes, se puede emplear cada una de las propiedades para identificar a las partículas. Al ser un conjunto de partículas idénticas, es imposible poder distinguir una de otra. Por tanto, la función de onda asociada a un sistema de partículas idénticas que no interactúan no distinguirá entre las partículas. Se deducen las condiciones que hay que imponer la función de onda debidas al principio de indistinguibilidad de partículas en mecánica cuántica. Para un conjunto de N partículas indistinguibles, la función de onda está dada por las variables espaciales y la variable de espín de todas las partículas. Para la partícula 1, las variables son: 𝑥1 , 𝑦1 , 𝑧1 , 𝑚𝑠1 . Usando el símbolo q1 para denotar las cuatro variables, tenemos: 𝜓 = 𝜓(𝑞1 , 𝑞2 … , 𝑞𝑛 ). Ahora, definiendo el operador permutación 𝑃̂12 como el operador que intercambia las coordenadas de las partículas 1 y 2: 𝑃̂12 𝑓(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) = 𝑓(𝑞2 , 𝑞1 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) Un ejemplo de esto sería el efecto de 𝑃̂12 sobre una función de onda que tiene un electrón en un orbital 1s con espín positivo y un electrón en un orbital 2s con espín negativo es: 2 𝑃̂12 [1𝑠(1)𝛼(1)2𝑠(2)𝛽(2)] = [1𝑠(2)𝛼(2)2𝑠(1)𝛽(1)] Una vez definido el operador permutación se quieren conocer los valores propios del operador. Esto se hace a través de la doble aplicación del operador, de lo cual se observa que no tiene algún efecto neto: 𝑃̂12 𝑃̂12 𝑓(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) = 𝑃̂12 𝑓(𝑞2 , 𝑞1 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) = 𝑓(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) 2 De esta forma se sabe que 𝑃̂12 = 1̂. Sabiendo que, si de un operador cuyo cuadrado es el operador unidad, el operador tiene los valores propios +1 y -1. Si h es una función propia de 𝑃̂12 con valor propio +1, tenemos: 𝑃̂12 ℎ(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) = +1 ∗ ℎ(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) ℎ(𝑞2 , 𝑞1 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) = ℎ(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) De esto se dice que h es simétrica con respecto al intercambio de las partículas 1 y 2. Para el valor propio -1 tenemos: 𝑃̂12 ℎ(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) = −1 ∗ ℎ(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) ℎ(𝑞2 , 𝑞1 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) = −ℎ(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 … , 𝑞𝑛 ) En cuyo caso se dice que h es antisimétrica con respecto al intercambio de las partículas 1 y 2. Ahora, de manera general el operador 𝑃̂𝑖𝑗 está definido por: 𝑃̂𝑖𝑗 𝑓(𝑞1 , 𝑞𝑖 , 𝑞𝑗 … , 𝑞𝑛 ) = 𝑓(𝑞1 , 𝑞𝑗 , 𝑞𝑖 … , 𝑞𝑛 ) Dado que los valores propios del operador 𝑃̂𝑖𝑗 son los mismos para el operador 𝑃̂12, +1 y -1. Considerando las funciones de onda de un sistema de N partículas idénticas, al ser las partículas indistinguibles, el estado del sistema no es afectado por la forma en que lo denotemos, así pues, las dos funciones de onda: 𝜓(𝑞1 , 𝑞𝑖 , 𝑞𝑗 … , 𝑞𝑛 ) 𝑦 𝜓(𝑞1 , 𝑞𝑗 , 𝑞𝑖 … , 𝑞𝑛 ) Deben corresponder al mismo estado del sistema. Dos funciones de onda que corresponden al mismo estado por mucho, pueden diferir por una constante. Así que: 𝜓(𝑞1 , 𝑞𝑖 , 𝑞𝑗 … , 𝑞𝑛 ) = 𝑐 𝜓(𝑞1 , 𝑞𝑗 , 𝑞𝑖 … , 𝑞𝑛 ) 𝑃̂𝑖𝑗 𝜓(𝑞1 , 𝑞𝑖 , 𝑞𝑗 … , 𝑞𝑛 ) = 𝑐 𝜓(𝑞1 , 𝑞𝑗 , 𝑞𝑖 … , 𝑞𝑛 ) 3 De esta manera se llega a la conclusión de que existen sólo dos posibilidades: la función de onda es simétrica (es decir, no cambia en absoluto ante la permutación de las partículas, o es antisimétrica (es decir, cambia de signo al efectuar la permutación). Se hace evidente la condición de que las funciones de onda de diversos estados de un mismo sistema deben tener la misma simetría; si esto no se cumple, la función de onda de un estado, que es superposición de estado de simetría diferentes, no sería simétrica ni antisimétrica. Este resultado se puede generalizar a sistemas constituidos por un número arbitrario de moléculas ya que, al ser todas las partículas indistinguibles, todas pueden ser descritas por funciones simétricas o antisimétricas. La indistinguibilidad obliga que, si un par es descrito por una función de onda simétrica, todas las demás serán descritas por una función simétrica. De igual forma sucede para las descritas por funciones antisimétricas. Principio de Exclusión de Pauli Existen dos posibles casos para la función de onda de un sistema de partículas idénticas los casos donde las funciones son simétricas y anti simétricas. La evidencia experimental muestra que para los electrones (fermiones) sólo ocurre el caso anti simétrico, en consecuencia, la función de onda de un sistema de electrones debe ser anti simétrico con respecto al intercambio de dos electrones, a este postulado se le llamó Principio de exclusión de Pauli (1925). Un año antes, Stoner había encontrado las ocupaciones 2,6,10 y 14 para las subcapas s, p, d y f, en un átomo. Con este acontecimiento y el de los trabajos de Landé en espectroscopia. Pauli indicó que eran necesarios cuatro números cuánticos para caracterizar a cada uno de los electrones de un átomo establecido. Más tarde, basándose en el trabajo de Pauli, dos jóvenes alemanes harían una gran contribución al entendimiento de la estructura atómica. Primero Samuel Goudsmit (1902-1978) simplifico el argumento de Pauli introduciendo como los cuatro números cuánticos a: n, el número cuántico principal, con valores de 1,2,3… 4 l, el número cuántico acimutal modificado de Sommerfeld, con valores 0, 1,2,…n-1 m, el número cuántico magnético de Sommerfeld con valores 0, 1, 2…, l, y ms, nuevo número cuántico con los valores 1/2 Y en segundo lugar George Eugene Uhlenbeck (1900-1988), junto con su compañero Goidsmit, se dieron cuenta que la existencia de un cuarto número cuántico indicaba la presencia de un grado de libertad adicional en el movimiento electrónico. Hasta entonces el electrón había sido considerado como una carga puntual, sin estructura. Por ello su descripción completa dependía de sus tres coordenadas espaciales. Uhlenbeck y Goidsmit atribuyeron el cuarto número de Pauli a un movimiento extra del electrón: la rotación alrededor de su propio eje (espín). Al rotar, el giro del electrón producirá un momento angular 𝑆⃑ y la rotación de su carga daría lugar a un momento magnético 𝜇⃑𝑠 , adicional al producto por el movimiento orbital. Como ms sólo tenia dos valores, propusieron que cada uno de ellos indicaba el sentido de la rotación del electrón, como se indica en la siguiente figura Figura 1. Según Uhlenbeck y Goidsmit, el giro del electrón producirá un momento angular intrínseco, S, lo que trae aparejado un momento magnético, s, de sentido contrario. La magnitud del momento angular del spin sería 1 𝑆 = |𝑚𝑠 ℏ| = ℏ 2 El momento magnético asociado al espín tendría una magnitud 5 𝜇𝑠 = 𝜇𝐵 𝑔𝑆 ℏ 𝜇𝑠 = 1 𝜇 𝑔 2 𝐵 en donde al sustituir Para el movimiento orbital g=1 deacuerdo con la siguiente expresión 𝜇 ⁄𝜇𝐵 𝐿⁄ ℏ = 1. Sin embargo, Uhlenbeck y Goidsmit obtuvieron que para el espín g= 2, es decir, 𝜇𝑠 ≈ 𝜇𝐵 Así, cada electrón tendrá dos momentos angulares: uno clásico, con factor ⃑⃑ ), y giromagnético g=1, por su movimiento alrededor del núcleo (momento orbital 𝐿 otro no clásico, con factor de Landé g=2, por la rotación alrededor de su eje (momento angular del espín 𝑆⃑ ). El momento angular total del electrón, que recibe el símbolo 𝐽⃑, sería la suma de los anteriores: ⃑⃑ + 𝑆⃑ 𝐽⃑ = 𝐿 El Principio de Pauli tiene consecuencias interesantes para un sistema de fermiones idénticos. El requerimiento de antisimetría significa que 𝛹(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , … . , 𝑞𝑛 ) = −𝛹(𝑞1 . 𝑞2 . 𝑞3 , … . . , 𝑞𝑛 ) Considerar el valor de la función de onda cuando los electrones 1 y 2 tienen las mismas coordenadas cuando x1 = x2, y1 = y2, z1 = z2, ms1 = ms2 Colocando a 𝑞1 = 𝑞2 tenemos que 𝛹(𝑞1 , 𝑞2 , 𝑞3 , … . , 𝑞𝑛 ) = −𝛹(𝑞1 . 𝑞2 . 𝑞3 , … . . , 𝑞𝑛 ) 2𝛹 = 0 𝛹(𝑞1, 𝑞2, 𝑞3, … . . , 𝑞𝑛) = 0 6 Por lo que el principio de Pauli establece que dos electrones con el mismo espín tienen una probabilidad igual a cero para encontrarse al mismo tiempo en mismo espacio tridimensional, en otras palabras, no puede haber dos electrones equivalentes en un átomo con los mismos valores de números cuánticos. El átomo de helio Ahora consideremos al átomo de Helio desde el punto de vista del principio de exclusión de Pauli y espín electrónico. Recordemos que el átomo de helio en su estado basal tiene una función de onda 1s(1)1s(2), por lo que al tomar en cuenta el espín se debe multiplicar ésta función espacial por una función propia de espín. Sí pensamos en un estado en donde el electrón uno tiene un espín hacia arriba, α(1) y el electrón dos tiene espín hacia arriba α(2), y ya que cada electrón tiene dos posibles estados de espín podremos tener cuatro posibles funciones de espín: α(1) α(2), β(1) β(2), α(1) β(2), α(2) β(1) Con las primeras dos funciones no hay nada malo, pero con la tercera y la cuarta se viola el principio de indistinguibilidad de partículas idénticas, por ejemplo, la tercera función dice que el electrón uno tiene espín hacia arriba y el electrón dos tiene espín hacia abajo lo que hace distinguibles al electrón uno y dos. Sí se aplica el operador de permutación 𝑃̂12 a estas funciones encontramos que las dos primeras son simétricas con respecto al intercambio de dos electrones, pero la tercera y la cuarta función no son ni simétricas ni antisimétricas. Por otro lado, haciendo la analogía con respecto a los estados excitados del átomo de helio, donde se tienen las funciones 1s(1) 2s(2) y 2s(1)1s(2), dichas funciones, en las cuales se puede distinguir entre los electrones 1 y 2, no son funciones de orden cero por lo que las funciones correctas de orden cero serían: −1⁄ 2 [1𝑠(1)2𝑠(2) 2 ± 2𝑠(1)1𝑠(2)] Esto nos sugiere que en lugar de α(1) β(2) y β(1) α(2), tenemos que usar las siguientes funciones de espín. −1⁄ 2 [𝛼(1)𝛽(2) 2 ± 𝛽(1)𝛼(2)] 7 Estas dos funciones son combinaciones lineales normalizadas de α(1) β(2) y β(1) α(2) que son funciones propias del operador de permutación 𝑃̂12. las funciones propias de espín tenemos el siguiente conjunto de funciones: 𝛼(1)𝛼(2) Funciones Simétricas: 𝛽(1)𝛽(2) [𝛼(1)𝛽(2) + 𝛽(1)𝛼(2)]/√2 Función antisimétrica: [𝛼(1)𝛽(2) − 𝛽(1)𝛼(2)]/√2 Ahora se debe multiplicar la función simétrica 1s(1)1s(2) por una función antisimétrica de espín, la función de onda de orden cero en el estado basal para el átomo de Helio queda de la siguiente forma: −1⁄ 2 [𝛼(1)𝛽(2) 𝜓 (0) = 1𝑠(1)1𝑠(2) ∙ 2 − 𝛽(1)𝛼(2)] Donde la función 𝜓 (0) es una función propia del operador de permutación 𝑃̂12 con un valor propio de -1, como el principio de Pauli lo requiere. En conclusión, los dos electrones que se encuentran en el átomo de helio sólo pueden coexistir en el mismo orbital 1s si y sólo si tienen espines opuestos, cumpliéndose así el principio de exclusión de Pauli. Un electrón tendría los números 1 1 cuánticos (1, 0, 0, − 2) y el otro (1, 0, 0, + 2), por lo tanto, el átomo de helio tiene la siguiente configuración electrónica. Bosones y fermiones A través de su teorema, Nernst razonó que la ley clásica del calor específico para un gas ideal debía ser limitada, por lo tanto, predijo que el calor específico de los gases debía disminuir al acercarse al cero absoluto, mediante un proceso llamado “degeneración del gas”. Éste fenómeno trato de ser explicado a través de la 8 mecánica estadística clásica, no obstante, al ser un fenómeno cuántico, éste tratamiento no tuvo éxito. No fue hasta 1924, cuando Einstein recibió el artículo de un físico indio llamado N.S. Bose, en el cual proponía que el cálculo clásico de Planck sobre la fórmula de la radiación debía ser sustituido por un tratamiento basado en la estadística y el principio cuántico. Einstein aplicó las ideas de Bose al problema de un gas material, obteniendo como resultado la “degeneración del gas perfecto”. En honor a Einstein y Bose, ésta estadística se conoce como la estadística BoseEinstein. La cual establece que la probabilidad de que una partícula se encuentre en el estado Ei, está dada por la expresión: pi = 1 Ei eα ekT −1 Posteriormente, Dirac en su publicación de 1926, expone que las funciones de onda simétricas de dos partículas idénticas conducen a la estadística de Bose-Einstein, por lo que propone el nombre de bosones para las partículas que la obedecen. Y las funciones de onda antisimétricas conducen a una estadística muy diferente, en la cual las partículas obedecen el principio de exclusión de Pauli y propone el nombre de fermiones para las partículas que siguen ésta nueva estadística. Ésta estadística se conoce como la estadística de Fermi-Dirac, ya que Enrico Fermi y Paul Dirac la desarrollaron de manera independiente; y tiene la siguiente forma: pi = 1 Ei eα ekT +1 Por lo tanto, un estado cuántico que describe las propiedades espaciales y de espín de dos partículas idénticas, debe tener un intercambio de simetría definido; el cual puede ser simétrico o antisimétrico1. Sin embargo, en la naturaleza, las partículas no tienen la libertad de decidir, por lo cual existen dos tipos de partículas cuánticas: los fermiones y los bosones. 1 A.C. Phillips. (2003). Introduction to Quantum Mechanics. UK. WILEY. 9 Los bosones son partículas idénticas que tienen espín entero y están descritas por funciones de onda simétricas. Mientras que los fermiones son partículas idénticas que tienen espín semientero y están descritas por funciones de onda antisimétricas. A esto se le conoce como el postulado de espín-estadística. Los electrones tienen spin semientero, por lo que tiene estados antisimétricos: 𝜑 𝐴 (𝑝, 𝑞) = 1 √2 [𝜑𝑛,𝑙,𝑚𝑙,𝑚𝑠 (𝑝)𝜑𝑛′ ,𝑙′ ,𝑚𝑙′ ,𝑚𝑠′ (𝑞) − 𝜑𝑛,𝑙,𝑚𝑙,𝑚𝑠 (𝑞)𝜑𝑛′ ,𝑙′ ,𝑚𝑙′ ,𝑚𝑠′ (𝑝)] Estos estados, son muy importantes para el entendimiento del mundo que nos rodea, ya que determina las propiedades de los átomos y de los sólidos. Al ocupar estados antisimétricos, los electrones siguen el principio de exclusión de Pauli, los cual determina la física y química de los átomos, por lo tanto, permite entender la tabla periódica de los elementos. Por otra parte, cuando la parte del espín del estado cuántico de dos electrones es simétrica, entonces la parte espacial de la función de onda es antisimétrica: 𝜑 𝐴 (𝑝, 𝑞) = 𝜓 𝐴 (𝒓𝑝 , 𝒓𝑞 )𝜒 𝑆 𝑆,𝑀𝑠 (𝑝, 𝑞) Por lo que los electrones tienen la tendencia a “repelerse”, lo cual da las propiedades rígidas de la materia. Finalmente, cuando la parte del espín del estado cuántico de dos electrones es antisimétrica, entonces la parte espacial de la función de onda es simétrica: 𝜑 𝐴 (𝑝, 𝑞) = 𝜓 𝑆 (𝒓𝑝 , 𝒓𝑞 )𝜒 𝐴𝑆,𝑀𝑠 (𝑝, 𝑞) Cuando esto sucede los electrones tienen la tendencia a agruparse, por lo que en átomos adyacentes puede formarse un enlace y por lo tanto una molécula. Por otro lado, los bosones dan lugar a fenómenos como la coherencia en la luz de los láseres, ya que los fotones tienen una alta probabilidad de tener la misma energía y momento. Otro fenómeno interesante, es la superfluidez del helio líquido a temperaturas por debajo de los 2.2 K. En el helio líquido, los átomos se encuentran interactuando débilmente y se comportan como bosones ya que está constituido de núcleos de 4He con espín igual a cero y de electrones que forman un estado de espín combinado de cero. A bajas temperaturas una fracción considerable de átomos de helio “condensa” en el mismo estado de energía. Éstos forman un condensado de 10 Bose-Einstein en el cual los átomos tienen funciones de onda coherentes las unas con las otras, y se mueven sin fricción. Más del principio de exclusión de Pauli: estrellas blancas y de neutrones Los fenómenos mecano-cuánticos debido a la simetría y antisimetría de las funciones de onda, tienen una repercusión importante en la vida de las estrellas. Cuando una estrella está a punto de morir, su destino está determinado por la masa que posea. El físico Subrahmanyan Chandrasekhar calculó que las estrellas con masas no mayores a 1.5 veces la masa del Sol se convertirán en enanas blancas. En la fase final de la estrella, ésta comienza a colapsar sobre sí misma debido a que ésta no puede seguir manteniendo el equilibrio entre la gravedad y la presión generada por las reacciones nucleares. No obstante, llega un punto en el que el colapso se detiene debido a que el principio de exclusión de Pauli impide que la materia se comprima arbitrariamente, por lo que cuando se alcanzan densidades muy altas; se forman un gas de electrones, en el cual los electrones adquieren diferentes velocidades para ocupar el mismo espacio. Éste gas tiene propiedades particulares y genera la presión suficiente para alcanzar un nuevo estado de equilibrio; una enana blanca. Por otro lado, cuando la masa de una estrella es mayor a 1.5 veces la masa del Sol; los electrones no pueden mantener el colapso y se fusionan con los protones para formar neutrones, estos también siguen el principio de exclusión de Pauli y detienen el colapso al formar un gas de neutrones degenerados, llegando a una nueva configuración de equilibrio conocida como estrella de neutrones. Como se ha visto, las propiedades de las funciones de onda (simetría y antisimetría), gobiernan las propiedades y fenómenos de la materia. 11 Referencias ● L.D Landau E. M. Lifshitz. (2002). Mecánica cuántica no relativista. España: Reverté. ● Ira N. Levine. (1974). Química cuántica. España. AC. ● A.C. Phillips. (2003). Introduction to Quantum Mechanics. UK. WILEY. ● K. Mendelssohn. (1965). La búsqueda del cero absoluto. Madrid. McGraw Hill. ● Sergio Baselga Moreno. (2008). Dirac. La belleza matemática. España. Nivola. ● Shahen Hacyan. (2003). Los hoyos negros y la curvatura del espacio-tiempo. La Ciencia para todos. México. Fondo de cultura económica. ● Charles P. Enz. (2004). No time to be brief. A scientific biography of Wolfgang Pauli. Great Britain. 12