Teorema: Existen 17 grupos de mosaicos planos no isomorfos.

●
Teorema: Existen 17 grupos de mosaicos planos no isomorfos.
La idea de la demostracion es empezar con los grupos que preservan orientacion, que son mas
sencillos y pueden clasificarse de acuerdo a los angulos de sus rotaciones.
Los grupos mas generales contienen un subgrupo de indice 2 que preserva la orientacion, por lo
que son “extensiones” de estos grupos que se obtienen al añadirles una isometria que invierta la
orientacion.
Para obtener todos los grupos hay que tomar un grupo que preserve la orientacion, añadir una
reflexion o un paso que preserve los centros con el mismo angulo, y ver que otras simetrias
genera, pero sin generar nuevas rotaciones.
Grupos de isometrias sin rotaciones.
Las isometrias del grupo que preservan orientacion
son solo traslaciones, que estan generadas por las
dos traslaciones mas cortas.
Si ademas el grupo contiene isometrias que invierten orientacion, deben ser reflexiones y pasos con la misma
direccion, ya que la composicion de dos reflexiones y/o pasos en distintas direcciones es una rotacion.
Ademas, al reflejar las direcciones de traslacion mas cortas deben ir a las direcciones de traslacion mas cortas.
Esto solo es posible si la latice es rectangular o romboidal y la direccion de reflexion es paralela a los lados de
los rectangulos o a las diagonales de los rombos. Las posibilidades son:
Latice rectangular
Reflexiones
Latice rectangular
Pasos
Latice romboidal
Reflexiones y pasos alternados
Grupos de isometrias con rotaciones minimas de 180º
Si el grupo G tiene una rotacion de 180º con centro o,
entonces tiene otra rotacion de 180º con centro To
para cada traslacion T del grupo, y tambien tiene una
con centro en el punto medio entre o y To. No puede
haber mas centros de rotacion porque habria mas
traslaciones. El grupo de isometrias que preservan
orientacion esta generado por dos traslaciones y una
rotacion
El conjunto de centros de rotaciones es la union de 4 latices.
El conjunto de centros solo puede tener mas simetrias si la latice es rectangular o romboidal.
Las reflexiones y pasos deben ser en las direcciones de los lados de los rectangulos y de las
diagonales de los rombos. Como hay rotaciones de 180º, si hay reflexiones o pasos en una
direccion entonces tambien debe haberlos en la direccion perpendicular.
Latice rectangular:
Latice romboidal
Las lineas de reflexion y pasos en las direcciones
diagonales deben pasar por los centros de rotacion.
Y si hay una reflexion entonces hay un paso en la
direccion perpendicular y viceversa.
La unica posibilidad es:
Reflexiones
Pasos
Reflexiones y Pasos
Grupos de isometrias con rotaciones minimas de 90º y 180º.
La composicion de la de 180 con el cuadrado de la de
90 mas cercana es una traslacion, asi que el mosaico
completo de centros de rotaciones debe verse como:
90º
180º
90º
El grupo de isometrias que preserva orientacion esta
generado por dos rotaciones adyacentes de 90º.
Si el grupo contiene isometrias que invierten orientacion, estas deben ser reflexiones o pasos en
rectas en las direcciones de los lados o de las diagonales de los cuadrados. Y como hay rotaciones
de 90º, si hay reflexiones o pasos en una direccion, tambien debe haber reflexiones o pasos en las
direcciones a 45º, asi que las unicas posibilidades son las siguientes:
Reflexiones
Pasos
Grupos de isometrias con rotaciones minimas de 120º.
La composicion de una rotacion de 120 con la inversa
de la rotacion de 120 mas cercana es una traslacion,
asi que el mosaico completo de centros de rotaciones
debe verse como:
El grupo de isometrias que preservan orientacion esta
generado por dos rotaciones con centros adyacentes.
Si el grupo contiene isometrias que invierten orientacion, estas deben ser reflexiones o pasos en las
direcciones de los lados o de las diagonales de los triangulos equilateros, las unicas posibilidades
son las siguientes:
Grupos de isometrias con rotaciones minimas de 60º, 120º y 180º.
La composicion de una rotacion de 120 con la inversa
de la rotacion de 120 mas cercana es una traslacion,
asi que el mosaico completo de centros de rotaciones
debe verse como:
El grupo de isometrias que preservan orientacion esta
generado por cualesquiera dos rotaciones con centros
en los vertices de un mismo triangulo.
Si el grupo contiene isometrias que invierten orientacion, estas deben ser reflexiones o pasos en las
direcciones de los lados o de las diagonales de los hexagonos, y las lineas de reflexion deben pasar
por los centros de rotacion de 60º. Las unicas posibilidades son las siguientes:
Tarea 6
Entregar (1 o 2) y (3 o 4) el lunes 9.
1. Haz un dibujo completo de las latices de centros de rotacion, lineas de reflexion y pasos
de este mosaico.
2. Muestra que el grupo de rotaciones y traslaciones del mosaico de la derecha esta
generado por dos rotaciones, pero el de la izquierda no.
3. Encuentra un mosaico cuyo grupo de simetrias este generado por dos pasos en
direcciones ortogonales. ¿Que otras simetrias contiene el grupo?
4. Demuestra que si un mosaico tiene todos sus centros de rotacion en lineas de reflexion y
otro mosaico tiene algunos centros de rotacion fuera de esas lineas, los grupos de simetrias
de los mosaicos no son isomeorfos. (ojo: se trata de hallar una diferencia algebraica entre
los grupos).