Matemática básica para ingeniería (MA105) Clase Práctica Sesión 10.3 1. Simplifique la siguiente expresión: 2 tan x sec x 1 1 1 sen x 1 sen x Solución: 2 tan x sec x 1 1 sen x 1 2 sen x 2 1 sen x 1 sen x cos x cos x 1 sen 2 x 2 sen x 2 sen x cos 2 x cos 2 x 0 2. Demuestre la siguiente identidad: cos x sen x cos x sen x 1 tan x 1 cot x Solución: cos x sen x cos x sen x 1 tan x 1 cot x cos x sen x senx cos x cos x sen x cos 2 x sen 2 x cos x sen x cos x sen x cos x sen x cos x sen x cos x sen x cos x sen x. 3. Determine el C.V.A. y el C.S. de: a. 4 cos2 t 1 4 cost Solución: C.V.A. = R. 4 cos2 t 4 cost 1 0 2 cost 12 0 1 2 De donde 5 2k ; k Z 3 3 5 C .S. 2k ; 2k ; k Z 3 3 También pueden responder: C .S. 2k ; 2k ; k Z 3 3 t cost 2k , k Z t 1 ASP/2010-01 b. tan4 (2x) 9 0 Solución: sen(2 x) Como tan(2 x) entonces: cos(2 x) C.V.A.= R x / cos(2 x) 0 R k / k Z , luego factorizando se tiene: 4 2 tan(2x) 3tan(2x) 3tan2 (2x) 3 0 tan(2x) 3 De donde 2 x tan1 ( 3 ) x k / k Z 6 2 CS1 k / k Z 6 2 tan(2x) 3 De donde 2 x tan1 ( 3 ) x k / k Z 6 2 CS 2 k / k Z 6 2 tan2 (2 x) 3 0 CS3 CS k ; k / k Z 6 2 6 2 4. Una torre de 125 pies se localiza en la ladera de una montaña que tiene una inclinación de 32º respecto de la horizontal. Se fijará un alambre de sujeción a la parte superior de la torre y se anclará en un punto a 55 pies colina abajo de la base de la torre. Determine la longitud del alambre. Solución: Analizando los datos tenemos la siguiente figura: 125 pies x 125 x 55 pies 122° 32º 55 32° Aplicando la ley de cosenos tenemos: x 2 552 1252 255125 cos122 x 161,047 787 576 Conclusión: La longitud del alambre es de aproximadamente 161,05 pies. 2 ASP/2010-01 5. Desde la azotea de un edificio que da al mar un observador ve un bote navegando directamente hacia el edificio. Si el ojo del observador se encuentra a 40 metros sobre el nivel del mar y el ángulo de depresión del bote cambia de 25º a 40º durante el periodo de observación, determine la distancia aproximada que recorre el bote. Solución: Según los datos, tenemos la siguiente idea geométrica (ver figura). 25 De donde: 40 40 … (A) tan 40 y y tan 40 40 40 m 40 40 tan25 x y … (B) x y tan25 40 Reemplazando (A) en (B) 40 40 x 38,110 133 116 6 tan 25 tan 40 y 25 x Conclusión: La distancia que recorre el bote es de aproximadamente 38,11 metros. 6. Sean P = (-2; 2), Q = (3; 4), R= (-2; 5) y S = (2; -8). Determine la forma de componentes y la magnitud del vector: a. i) 3 QR PS ii) 5 PQ 2 RS Solución: a. 3 QR PS 3 2 3; 5 4 2 (2); 8 2 3 5;1 4; 10 11;7 Luego 11; 7 170 b. 5 PQ 2 RS 5 3;4 2;2 2 2;8 2;5 17;36 Luego 17; 36 1585 b. ¿Cuál es el vector unitario en la dirección del vector obtenido el la parte a) y exprese como una combinación lineal de los vectores unitarios estándar i y j? Solución: Piden: 11; 7 11; 7 11 7 11 7 ; i j 170 170 170 170 7. Dos remolcadores jalan con fuerzas de 150 kN y 200 kN un barco averiado con rumbo de 18º NW y 15ºNE respectivamente hacia el un puerto para su reparación. ¿Qué fuerza resultante se desarrolla en el remolque de el barco averiado? Solución: Definimos: Fi: fuerzas 1 y 2 con F1 150 kN y F2 200 kN. R: fuerza resultante. 3 ASP/2010-01 Piden: R Como: F1 150 F1 150cos108;150sen108 N R F2 200 F2 200cos75; 200sen75 F2 Luego R F1 F2 , de donde al sumar ambos vectores y hallar la magnitud se tiene: F1 18 15 E W S R R x ; R y 150 cos 108 200 cos 75;150 sen 108 200 sen 75 5,41; 335,84 con R 335,89 Conclusión: La fuerza resultante del remolque es de aproximadamente 335,89 KN. 8. Se tiene los vectores u = 2;7 , v = 5;8 . a. Determine el producto punto de u y v. Solución: u v = 2; 7 5; 8 2 5 7 8 46 b. Determine el vector unitario del vector: u - v. Solución: u – v = 3;15 entonces 3;15 3 26 Piden 3;15 3;15 3 15 ; 3 26 3 26 1 ; 26 5 26 c. Determine el ángulo entre los vectores u y v. Solución: 46 u v = - 46 además u 53 y v 89 , luego cos1 132,05 53 89 9. Determine el vector proyección de u sobre v si u = 3;7 , v = 2;6 . Luego escriba u como una suma de dos vectores ortogonales, uno de los cuales sea proyvu. Solución: uv 36 9 27 proyv u 2 v 2; 6 ; v 40 5 5 24 8 ; 5 5 Verificamos que z y proyv u son ortogonales, Luego u z proyv u donde z z proyv u 24 8 ; 5 5 9 27 ; 0 5 5 proy v u v u z 4 ASP/2010-01 10. Determine el trabajo realizado por una fuerza F de 12 libras que actúa en la dirección 1; 2 para mover un objeto 4 pies desde A(0, 0) hasta B(4; 0). Solución: Datos: v 1; 2 AB 4; 0 con AB 4 F: fuerza en la dirección de v con F 12 entonces podemos escribir: v 1 2 12 24 F F 12 ; ; 5 5 5 5 v 12 24 48 ; 4; 0 21,47 Luego W F AB 5 5 5 Conclusión: El trabajo hecho por la fuerza es de aproximadamente 21,47 libras-pie. 11. Determine si los vectores u y v son paralelos, ortogonales o no son ni paralelos ni ortogonales. 10 4 a. u 2, 5 , v , 3 3 Solución: 10 4 10 4 40 Como 2, 5 , 2 5 0 , luego: no son ortogonales. 3 3 3 3 3 Asumiendo que son paralelos, se tiene que existe algún t R tal que: 3 10 4 y 2, 5 t , , por igualdad de vectores se tiene dos valores distintos t 5 3 3 15 t , lo cual contradice al concepto de vectores paralelos, luego: no son paralelos. 4 b. u 5, 6 , v 12, 10 Solución: Como 5; 6 12; 10 5 12 6 10 0 Luego: los vectores son ortogonales. c. u 2, 7 , v 4 , 14 Solución: Observamos que existe t 1 1 R , tal que 2; 7 4; 14 2 2 Luego: los vectores son paralelos. 5 ASP/2010-01