Lec02 - Señales en Tiempo Discreto

Señales en Tiempo Discreto
Dr. Luis Javier Morales Mendoza
Procesamiento Digital de Señales
Departamento de Maestría
DICIS - UG
Índice
2.1. Introducción
2.2. Señales en tiempo discreto
2.3. Clasificación de las señales en tiempo discreto
2.4. Manipulaciones Simples de Señales en tiempo discreto
2.5. Tarea
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2
1
Introducción
Definición: Una señal en tiempo discreto x(n) es una función de una
variable independiente entera. Gráficamente se representa como en la
Figura 2. es importante destacar que una señal en tiempo discreto no está
definida para instantes entre dos muestras sucesivas. Igualmente es incorecto pensar que x(n) es igual a cero si n no es un entero, simplemente la
señal x(n) no está definida para valores no enteros de n.
1
0.5
0
-0.5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Figura 2. Representación gráfica de una señal en tiempo discreto
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3
Introducción
Además de la representación gráfica de una señal en tiempo discreto o
secuencia como se ilustra en la Figura 2. existen otras representaciones
alternativas que para fines de manipulación matemática. Los formatos más
convenientes a utilizar son:
a) Representación funcional
⎧1 para n = 1, 3
⎪
x(n ) = ⎨4 para
n=2
⎪0 para otro caso
⎩
b) Representación tabular
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4
2
Introducción
n ... -2 -1 0 1 2 3 ...
x(n) ... 0 0 0 1 4 1 ...
c) Representación como secuencia. Una señal de duración infinita con el
origen de tiempo (n = 0) indicado por una flecha se representa como
x(n ) = {...,0,0,1,4,1,0,...}
2.2. Señales Elementales en Tiempo Discreto
En el estudio de sistemas y señales discretas en el tiempo existen varias
señales básicas que aparecen con frecuencia y juegan un papel importante
en el procesamiento digital de señales. Estas señales son:
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Señales en Tiempo Discreto
1. El Impulso Unitario, está función está simbolizada como δ(n) y se define
⎧1 n = 0
⎩0 n ≠ 0
δ (n ) = ⎨
(1)
en otras palabras, el impulso unitario es una señal que siempre vale cero
excepto para n = 0 donde vale uno.
Al contrario de la señal analógica δ(t), que también se conoce como
impulso unitario y siempre vale cero excepto cuando t = 0, donde tiene área
igual a la unidad, la secuencia de respuesta al impulso en tiempo discreto es
mucho menos complicada matemáticamente hablando que la respuesta al
impulso en señales continuas. La representación gráfica de δ(n) se muestra
en la Figura 3-a
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6
3
Señales en Tiempo Discreto
2. La señal Escalón Unitario, se denota como u(n) y se define como
⎧1 n ≥ 0
u (n ) = ⎨
⎩0 n < 0
(2)
en otras palabras, el escalón unitario es una señal que vale cero para todos
los valores negativos de n y uno para todo los valores positivos de n
incluyendo al cero. La representación gráfica del escalón unitario se
muestra en la Figura 3-b.
Del mismos modo que en el caso de tiempo continuo, el escalón tiene una
gran aplicación en el análisis de señales en tiempo discreto por lo cual es
de gran interés conocer todas la propiedades del escalón unitario.
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Señales en Tiempo Discreto
3. La señal Rampa Unitaria, se denota como ur(n) y se define como
⎧n n ≥ 0
u r (n ) = ⎨
⎩0 n < 0
(3)
en otras palabras, la rampa unitaria es una señal que vale cero para todos
los valores negativos de n y n en cualquier otro caso. La representación
gráfica de la rampa unitaria se muestra en la Figura 3-c.
En algunas ocasiones, para valores negativos de n, la magnitud no es cero,
sino que puede ser un valor negativo ó el modulo de n según se desee
ponderar a dicha señal.
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8
4
Señales en Tiempo Discreto
1
0.5
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
1
0.5
0
-10
10
5
0
-10
Figura 2. (a) Impulso unitario, (b) Escalón unitario y
(c) Función rampa unitaria
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Señales en Tiempo Discreto
4. Por último, se tiene a la Señal Exponencial, es una secuencia de la
forma
x(n ) = a n
(4)
si el parámetro a es real, entonces x(n) es una señal real. Cuando el parámetro a es complejo, este puede expresarse como
a ≡ r exp( jθ )
(5)
donde r y θ son ahora los parámetros de magnitud y fase. De aquí se puede
expresar a x(n) como
n
x(n ) = r n exp( jnθ ) = r (cos nθ + j sin nθ )
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(6)
10
5
Señales en Tiempo Discreto
dado que x(n) es ahora complejo, se puede representar gráficamente
dibujando su parte real e imaginaria como función de n, es decir
y
x R (n) ≡ r n cos nθ
(7a)
x I (n) ≡ r n sin nθ
(7b)
En las Figuras 4, 5 y 6 se muestran tres gráficas correspondientes a la (5) o
(6) para diferentes casos de r. Es decir, para r > 1, r < 1 y r = 1.
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Señales en Tiempo Discreto
Figura 4. Parte real e imaginaria de una exponente compleja;
r = 0.9 y θ = π/10
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6
Señales en Tiempo Discreto
Figura 5. Parte real e imaginaria de una exponente compleja;
r = 1 y θ = π/10
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Señales en Tiempo Discreto
Figura 6. Parte real e imaginaria de una exponente compleja;
r = 1.1 y θ = π/10
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7
Señales en Tiempo Discreto
Alternativamente, la señal x(n) dada por (6) se puede representar gráficamente mediante la función amplitud, es decir
x(n) = A(n ) ≡ r n
y la función fase
∠x(n ) = φ (n ) ≡ θn
(8)
(9)
La Figura 7. muestra A(n) y φ(n) para r = 0.9 y θ = π/10. se observa que la
función fase es lineal con n. Sin embargo, la fase se define solo sobre el
intervalo de –π < θ ≤ π ó equivalentemente, sobre el intervalo de 0 < θ ≤ 2π.
En la Figura 8 y 9 se muestran los casos en que la magnitud es r = 1 y r = 1.1
con la misma fase.
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Señales en Tiempo Discreto
Figura 7. Gráfica de amplitud y la fase de un exponencial complejo,
r = 0.9 y θ = π/10.
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8
Señales en Tiempo Discreto
Figura 8. Gráfica de amplitud y la fase de un exponencial complejo,
r = 1 y θ = π/10.
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Señales en Tiempo Discreto
Figura 9. Gráfica de amplitud y la fase de un exponencial complejo,
r = 1.1 y θ = π/10.
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9
Clasificación de las Señales
2.3. Clasificación de las señales en tiempo discreto
Los métodos matemáticos empleados en el análisis de sistemas y señales
en tiempo discreto dependen de las características de las señales. En esta
sección se realiza la clasificación de las señales en tiempo discreto que
atiende a diferentes características.
1. Señales de Energía y Señales de Potencia
La energía E de una señal x(n) se define como
E≡
∞
∑ x(n )
2
(10)
n = −∞
Aquí se considera el modulo cuadrado de x(n); por tanto, esta definición se
aplica tanto a señales reales como a señales complejas. La energía de una
señal puede ser finita o infinita.
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19
Clasificación de las Señales
Si E tiene energía finita (es decir, E < ∞), entonces se dice que x(n) es una
señal de energía.
Algunas veces se añade un subíndice x a E y escribamos Ex para hacer
hincapié en que Ex es la energía de la señal x(n). Muchas señales que poseen
energía infinita tienen potencia media finita. La potencia media de una señal
discreta en el tiempo x(n) se define como
N
1
2
x(n )
∑
N →∞ 2 N + 1
n=− N
P = lim
(11)
Retomando la (10), si se define a la energía de una señal x(n) en un
intervalo definido entre –N ≤ n ≤ N (señal finita) entonces, la energía es
EN ≡
N
∑ x(n )
2
(12)
n=− N
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10
Clasificación de las Señales
sustituyendo la (12) dentro de (11) se obtiene la potencia media de la señal
finita x(n)
P = lim
N →∞
1
EN
2N + 1
(13)
Claramente, si EN es finita, P = 0. Por otra parte, si EN es infinita, la
potencia media puede ser tanto finita como infinita. Si es finita (y diferente
de cero), la señal se denomina señal de potencia.
Ejemplo 1. Se tiene las siguientes señales discretas, definir si su energía es
finita ó infinita.
⎧ 1n
(
)
=
x
n
b)
⎨
⎩0
⎧1 n ≥ 1
a) x (n ) = ⎨ n
⎩0 n < 0
n ≥1
n<0
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Clasificación de las Señales
Aplicando la (10) se obtiene
∞
⎛1⎞
E = ∑⎜ ⎟
n =1 ⎝ n ⎠
aplicando
2
(
(− 1) 2 2 k B(2 k )π 2 k
1
=
∑
2k
2(2k )!
n =1 n
∞
k −1
)
donde B(2k) son los números de Bernoulli los cuales están definidos como:
B0 = 1; B1 = -1/2; B2 = 1/6; B4 = -1/30; B6 = 1/42; B8 = -1/30; B10 = 5/66
Para k =1 se obtiene
E=
π2
6
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11
Clasificación de las Señales
P = lim
y
N →∞
π2
6
2N + 1
=
0
Por lo tanto, como la serie es convergente, implica que la señal
x(n) posee energía finita con potencia promedio cero.
b)
⎧1
x(n ) = ⎨ n
⎩0
n ≥1
n<0
2
⎛ 1 ⎞
E = ∑⎜
⎟ =
n⎠
n =1 ⎝
N
N
⎛1⎞
∑ ⎜⎝ n ⎟⎠
n =1
= 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …
La gráfica de energía crece en forma monótona por lo cual, la serie es
divergente, y por lo tanto, la señal x(n) posee energía infinita. E = ∞ .
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23
Clasificación de las Señales
La potencia promedio de la señal x(n) es
P = lim
N →∞
1 ⎛ 1 1
1⎞
1
1
⋅ =
⎜1 + + + ... + ⎟ = Nlim
→
∞
2N + 1 ⎝ 2 3
2N + 1 N
N⎠
0
Por lo tanto, como la serie es convergente, implica que la señal
x(n) posee energía infinita con potencia promedio cero.
Ejemplo 2. Determine la potencia de la siguiente señal causal.
⎧3(− 1)
x(n ) = ⎨
⎩ 0
n
n≥0
n<0
∞
E = ∑ 3(− 1)
n =0
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n
2
∞
= 9∑ (− 1)
2n
n=0
24
12
Clasificación de las Señales
Por definición se tiene que:
1
E
N →∞ 2 N + 1
P = lim
aplicando
1 ⎛ N ⎞
⎜ 9 ∑ 1⎟
N →∞ 2 N + 1
⎝ n=0 ⎠
P = lim
N
∑ k = k (N − m + 1)
n=m
P = lim
N →∞
9
4 .5 ⎞
⎛
(N + 1) ≅ Nlim
⎜ 4 .5 +
⎟
→
∞
2N +1
2N +1⎠
⎝
Entonces, se llega a: P = 4.5
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25
Clasificación de las Señales
2. Señales Periódicas y No-Periódicas
Una señal x(n) es periódica con periodo N (N > 0) si y solo si
x( n + N ) = x ( n)
(14)
El valor más pequeño de N para que (14) se verifique se denomina periodo
fundamental. Si (14) no se verifica para ningún valor de N, entonces la señal
x(n) se denomina señal periódica ó no-periódica.
Ejemplo 3. Determine si la siguiente señal discreta es una señal periódica
o no periódica
a)
x (n ) = cos nω0
b)
x(n ) = u (n)
Se puede ver que:
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13
Clasificación de las Señales
⎛ 2πn ⎞
cos nω0 = cos⎜
⎟
⎝ T ⎠
Por lo tanto, para cualquier valor de n = 0, ±1, ±2, … la señal x(n) es
periódica. Por otro lado, para resolver el inciso b) se puede ver que esta
señal carece del factor ω0 por lo que, por definición es una señal noperiódica.
3. Señales Simétricas (Par) y No-Simétricas (impar)
Una señal real x(n) se denomina simétrica (par) si y solo si
x ( − n) = x ( n)
(15)
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Clasificación de las Señales
por otra parte, una señal x(n) se denomina antisimétrica (impar) si y solo si
x ( − n) = − x( n)
(16)
En la Figura 10 se representan señales con simetría par e impar. Una señal
arbitraria puede expresarse como la suma de dos componentes, una de las
cuales es par y la otra impar. La componente par de la señal se construye
sumando x(n) y x(–n) y dividiendo entre dos, es decir
x p ( n) =
1
[x(n) + x(−n)]
2
(17)
Claramente, xp(n) satisface la condición de simetría (15). De forma similar,
se forma la componente impar de la señal de acuerdo a la siguiente relación
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14
Clasificación de las Señales
Figura 10. Representación de una a) Señal Par y b) Señal Impar
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Clasificación de las Señales
xi (n) =
1
[x(n) − x(−n)]
2
(18)
Es evidente que xi(n) satisface a (16); por tanto, es impar. Si ahora se añade
las dos componentes de la señal dadas por (17) y (18), se obtiene a x(n) es
decir
x(n ) = x p (n ) + xi (n )
(19)
Ejemplo 4. Determine si las siguientes señales son del tipo par ó impar
a)
x (n ) = cos nω0
b)
x(n ) = sin( nω0 )
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15
Clasificación de las Señales
a)
x (n ) = cos nω0
x (− n ) = cos(− nω0 )
(
x(n ) =
1 jnω0
e
+ e − jnω0
2
x(− n ) =
1 − jnω0
e
+ e jnω0
2
(
)
)
= cos nω0
x (− n ) = x(n )
b)
x(n ) = sin nω0
Señal Par
x(n ) =
(
1 jnω0
e
− e − jnω0
2j
)
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Clasificación de las Señales
x (− n ) = sin (− nω0 )
x(− n ) =
(
1 − jnω0
e
− e jnω0
2j
)
Simplificando se llega a
x(− n ) = −
(
)
1 jnω0
e
− e − jnω0 = − sin nω0
2j
x (− n ) = − x(n )
Señal Impar
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16
Manipulación de las Señales
2.4. Manipulaciones Simples de Señales en Tiempo Discreto
En esta sección se considera algunas manipulaciones simples en las que
intervienen la variable independiente y variable dependiente.
2.4.1. Transformación de la variable independiente
Una señal x(n) puede ser desplazada en el tiempo remplazando la variable
independiente n por n– k, donde k es un entero.
Si k es un entero positivo, el desplazamiento temporal resulta en un retrazo
del origen (flecha) de la señal en k unidades de tiempo.
Por el contrario si k es negativo, el desplazamiento temporal resulta en un
adelanto del origen (flecha) de la señal en |k| unidades de tiempo.
y ( n) = x ( n − k )
–∞<n<∞ k>0
(20)
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Manipulación de las Señales
Ejemplo 3. se tiene una señal discreta x(n) como
x(n) = {0, 0, 0, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0}
la cual ha tenido una transformación a través de (20), donde la constante k
tiene los siguientes valores: a) k = 3, b) k = – 2.
a) para k = 3 se tiene
y(n) = {0, 0, 0, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0}
b) para k = – 2 se tiene
y(n) = {0, 0, 0, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0}
La representación gráfica del desplazamiento hacia delante y hacia atrás
se muestra en la Figura 11, junto a la señal original.
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17
Manipulación de las Señales
Señal Discreta Original
4
2
0
-2
-8
-6
-4
-2
0
Para k = 3
2
4
6
8
10
12
4
2
0
-2
-6
-4
-2
0
2
4
Para k = -2
6
8
4
2
0
-2
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
Figura 11.
Representación gráfica
de una señal y sus
versiones adelantada y
retrazada
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35
Manipulación de las Señales
2.4.2. Inversión temporal.
Esta operación es de gran utilidad en el tratamiento de señales discretas
en donde son hay que remplazar a la variable independiente n por – n. El
resultado de esta operación es un pliegue o una reflexión de la señal con
respecto al origen de tiempo n = 0, es decir,
y (n ) = x(− n )
(21)
Ejemplo 4. se tiene una señal discreta x(n) como
x(n) = {0, 0, 0, 2, 2, 2, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 0, 0, 0, 0}
la cual ha tenido dos transformaciones, las cuales son: y1(n) = x(–n) y y2(n)
= x(–n + 2), determine su grafica correspondiente para cada caso.
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18
Manipulación de las Señales
a)
y1(n) = {0, 0, 0, 0, 0, 4, 3, 2, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0}
b)
y2(n) = {0, 0, 0, 0, 0, 4, 3, 2, 1, 0, 2, 2, 2, 0, 0, 0}
En la Figura 12 se muestra dichas reflexiones y corrimientos.
2.4.3. Escalado
Una tercera modificación de la variable independiente implica remplazar a
n por µn, siendo µ un entero. Se conoce a esta modificación de la base
como escalado temporal o submuestreo, es decir,
y (n ) = x(µn )
–∞<n<∞
(22)
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37
Manipulación de las Señales
Señal Discreta Original
4
3
2
1
0
-6
-4
-2
0
-8
-6
-4
2
y(n) = x(-n)
4
6
8
10
-2
0
y(n) = x(-n+2)
2
4
6
4
3
2
1
0
-10
4
Figura 12. Gráfica de las
operaciones de reflexión y
desplazamiento
3
2
1
0
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
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38
19
Manipulación de las Señales
Ejemplo 5. Obtenga la representación gráfica de la señal y(n) = x(2n),
donde x(n) es la siguiente señal discreta
x(n) = {0, 0, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0}
La forma de solucionar el problema es la siguiente: la señal y(n) se debe
obtener a partir de x(n) tomando una de cada dos muestras de x(n),
comenzando en x(0). Por lo tanto, y(0) = x(0), y(1) = x(2), y(2) = x(4) y así
sucesivamente hasta completar las muestras. Por otra parte, se tiene que
para y(–1) = x(–2), y(–2) = x(–4), y(–3) = x(–6) y así sucesivamente. En
otras palabras, se han eliminado las muestras impares de x(n) y se
conservan las pares. La secuencia final y(n) se muestra a continuación
y(n) = {0, –2, 0, 2, 4, 4, 4, 4, 0, 0}
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Manipulación de las Señales
Señal Discreta Original
4
2
0
-2
-4
-10
-5
0
5
10
15
Señal Submuestreada
4
2
0
-2
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Figura 13. Ilustración gráfica de la operación de submuestreo
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40
20
Manipulación de las Señales
2.4.4. Escalado de Amplitud.
El escalado de amplitud de una señal por una constante A se obtiene
multiplicando el valor de cada muestra de la señal por la constante. Así,
obtenemos
y(n ) = Ax(n )
–∞<n<∞
(23)
2.4.5. Suma.
La suma de dos señales x1(n) y x2(n) es una señal y(n) cuyo valor en
cualquier instante es igual a la suma de los dos valores en ese instante de
las dos señales de partida, es decir
y(n ) = x1 (n ) + x2 (n )
–∞<n<∞
(24)
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41
Manipulación de las Señales
2.4.6. Multiplicación.
El producto de dos señales x1(n) y x2(n) es una señal y(n) cuyo valor se
define análogamente en cada instante de tiempo como
y (n ) = x1 (n )x 2 (n )
–∞<n<∞
(25)
Ejemplo 6. Si se tienen dos secuencias finitas de señales discretas las
cuales se muestran a continuación
x1(n) = {–1, 0.6, –2, 1, 1.5, 1, 2, 0.6, 1}
y
x2(n) = {1, 3, –3, 3, 2, 1, 2, 3, –3, 3, 2}
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42
21
Manipulación de las Señales
realice la suma, multiplicación y escalado de ambas secuencias como (23),
(24) y (25), como y3(n) = Ax1(n) siendo A = 2. Realice también sus
gráficas de cada operación correspondiente.
La suma de dos secuencias discretas se debe de realizar en forma individual por cada muestra n que tenga la secuencia. Si una secuencia tiene una
longitud más grande que la otra, se deberá llenar con ceros.
a)
y1(n) = {-1, 1.6, 1, -2, 4.5, 3, 3, 2.6, 4, -3, 3, 2}
Del mismo modo, para el problema de la multiplicación se debe realizar la
multiplicación por cada muestra n que tenga la secuencia. Si una secuencia
tiene una longitud más grande que la otra, se deberá llenar con ceros.
b)
y2(n) = {0, 0.6, -6,-3, 4.5, 2, 2, 1.2, 3, 0, 0, 0}
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43
Manipulación de las Señales
Finalmente, como A = 2, entonces solo se multiplica esta constante por
cada uno de los elementos que contenga la secuencia discreta x1(n),
c)
y3(n) = {-2, 1.2, -4, 2, 3, 2, 4, 1.2, 2}
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44
22
Manipulación de las Señales
Figura 14. Ilustración gráfica de las operaciones de a) suma,
b) multiplicación y c) escalado
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45
Tarea
2.5. Tarea:
1. Dibuje cada una de las siguientes señales discretas x(n) = {1, 2, 3, 0, 0,
1, 2, 1,}
y1 (n ) = x(n − 2)
y2 (n ) = x(4 − n )
y3 (n ) = x(n + 2)
y4 (n ) = x(n − 1)δ (n − 3)
2. Determine las propiedades de las siguientes señales discretas x(n) = {1,
2, 1, 1, 1, 1,}
x1 (n ) = {−2, 0, − 1, 2, 3, 2, 11, 0, 7, − 2}
x2 (n ) = x(4 − n )
x4 (n ) = x(n + 2)
n
x3 (n ) = ∑ x(k )
k =1
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Tarea
3. Realice las siguientes operaciones (realice la gráfica de cada uno)
x1 (n ) = {− 4, 5, 1, − 2, − 3, 0, 2, 2, 1, 5, 4}
x2 (n ) = { 2, − 4, 3, 5, − 1, 0, 0, 2}
y1 (n ) = x1 (n ) + x2 (n )
y2 (n ) = x1 (n )x2 (n )
y3 (n ) = 5 x1 (n ) + 2 x2 (n )
y4 (n ) = x1 (n )[x1 (n ) + 3x2 (n )]
4. Realice el código en Matlab® que pueda realizar la reflexión, desplazamiento, escalonado, multiplicación, sub-muestreo y suma de dos secuencias
cualesquiera de diferentes longitudes.
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