MATEMÁTICAS UNIDAD 3 GRADO 8º factorización

1
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
MATEMÁTICAS
UNIDAD 3
GRADO 8º
factorización
1
2
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
LOGRO:
Reconoce la formación de los casos principales de factorización a partir
de los productos notables identificando la forma correcta de lograr
factorizarlos a partir de la reversibilidad de la propiedad distributiva de
la multiplicación respecto a la suma.
INDICADORES DE LOGRO:
Reconoce los principales casos de factorización.
Factoriza polinomios por el método de factor común.
Factoriza polinomios por el método de factor común por agrupación.
Factoriza binomios y trinomios cuadrados.
Factoriza diferencias de cuadrados.
Factoriza la suma y la diferencia de cubos
2
3
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
FACTORIZACIÓN
Cuando una expresión algebraica es el producto de dos o más
expresiones, llamadas factores de ella, la determinación de estas
cantidades es llamada factorización.
Factorizar significa convertir en factores una expresión algebraica dada.
Existen varios casos de factorización que se encuentran cotidianamente
cuando se trabajan los algoritmos (procedimientos) matemáticos.
Factor común:
Cuando cada uno de los términos de una expresión es divisible por un
factor común, la expresión puede ser simplificada dividiendo cada
término separadamente por este factor y encerrando la cantidad que
resulta entre paréntesis y el factor común afuera como coeficiente.
Ejemplo 1:
Los términos de la expresión 3a² - 6ab tienen un factor común 3a.,
luego:
3a² - 6ab = 3a(a - 2b). Recuérdese que como no hay signo entre el 3a
y el paréntesis, asumimos que es un producto.
3
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
4
Ejemplo 2:
5a²bx³ - 15abx² - 20b³x²
Los términos 5a²bx³, 15abx², 20b³x² tienen un factor común 5bx², por
lo tanto:
= 5bx²(a²x - 3a - 4b²).
Procedimiento para factorizar una expresión algebraica:
PASO 1: Extrae todos los monomios que sean comunes a todos los
términos.
PASO 2: Agrupa todos los términos por parejas y extrae los monomios
comunes de cada par de términos.
PASO 3: Agrupa todos los términos con la finalidad de hacer aparecer
productos notables como los mencionados en.
PASO 4: Escribe la expresión algebraica original bajo la forma de un
producto de factores.
TRABAJEMOS EN
NUESTRO APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
4
5
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios basándose en los
últimos ejemplos realizados.
1) a² + ab =
2) b + b² =
3) x² + x =
4) 3a³ - a² =
5) x³ - 4x =
6) 5m² + 15m³=
7) ab – bc =
8) x²y + x²z =
9) 2b²x + 6bx² =
10) 8m² - 12mn =
11) 9a³x² - 18ax³=
12) 15c³d² + 60c²d³ =
5
6
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
13) 35m²n³ - 70m³ =
14) abc + abc² =
15) 24a²xy² - 36x²y=
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
Factor común por agrupación:
Una expresión puede ser factorizada si los términos pueden ser
arreglados en grupos que tengan un factor común.
Ejemplo 1: factorizar x² - ax + bx - ab
Notemos que los dos primeros términos tienen factor común x y que los
dos últimos tienen factor común b, entonces agrupamos los dos
primeros términos entre paréntesis y los dos últimos también.
(x² - ax) + (bx – ab) = x(x - a) + b(x - a)
Aquí encontramos otro factor común (x-a) por lo que esto es igual a
(x - a)(x + b)
6
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
7
Ejemplo 2: factorizar 6x² - 9ax + 4bx - 6ab
6x² - 9ax + 4bx - 6ab = (6x² - 9ax) + (4bx - 6ab)
= 3x(2x - 3a) + 2b(2x - 3a)
= (2x - 3a)(3x + 2b)
Ejemplo 3: factorizar 12a² - 4ab - 3ax² + bx²
12a² - 4ab - 3ax² + bx² = (12a² - 4ab) - (3ax² + bx²)
= 4a(3a - b) - x²(3a - b)
= (3a - b)(4a - x²)
TRABAJEMOS EN
NUESTRO APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios basándose en los
últimos ejemplos realizados.
1) a² +ab + ax + bx =
2)am – bm + an – bn =
3) ax – 2bx – 2ay + 4by =
7
8
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
4) a²x² - 3bx² + a²y² - 3by² =
5) 3m – 2n – 2nx + 3mx=
6) x² - a² + x – a²x =
7) 4x³ - 1 –x² + 4x=
8) x + x² - xy² - y² =
9) 3abx² - 2y² - 2x² + 3aby² =
10) 3c – b² + 2b²x – 6cx =
11) 4m³x – 4m²b + 3ab – 3amx =
12) 6bx + 3b + 1 + 2x =
13) 3x³ - 9bx² - x + 3b=
14) 2b²x –5b²y + 15ay – 6ax =
8
9
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
Expresiones trinomiales
Observemos los siguientes productos resueltos utilizando la propiedad
distributiva de la multiplicación respecto a la suma.
(x + 5)(x + 3) = x² +3x+5x+ 15= x² + 8x + 15
(x - 5)(x - 3) = x² - 8x + 15
(x + 5)(x - 3) = x² + 2x - 15
(x - 5)(x + 3) = x² - 2x – 15
Nos proponemos considerar el problema inverso. Examinando estos
resultados tenemos:
i) El primer término de ambos factores es x
ii) El producto de los segundos términos de los dos factores es igual al
tercer término del trinomio.
iii) La suma algebraica de los segundos términos de los dos factores es
igual al coeficiente de x en el trinomio.
Ejemplo 1: factorizar x² + 11x + 24
x² + 11x + 24 =
9
10
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
El segundo término de los factores debe ser tal que su producto sea +24
y su suma +11. Es claro que ellos deben ser +8 y + 3 , luego
x² + 11x + 24 = (x + 8)(x + 3)
Ejemplo 2: factorizar x² - 10x + 24
El segundo término de los factores debe ser de tal modo que su
producto sea +24 y su suma -10.
De ahí que ambos números deben ser negativos, y es fácil ver que los
números son -6 y -4, algunas veces o empezando con este juego de
adivinar cuales número son, se hace algo complicado, en ese caso se
deben sacar los factores del número 24 y ver cuales nos dan como
resultado de su suma el valor -10, luego
x² - 10x + 24 = (x - 6)(x - 4)
Ejemplo 3: factorizar x² - 18x + 81 =
(x - 9)(x - 9) = (x - 9)²
Ejemplo 4: factorizar x + 10x² + 25 =
(x² + 5)(x² + 5) = (x² + 5)²
10
11
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
TRABAJEMOS EN
NUESTRO APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios basándose en los
últimos ejemplos realizados.
1) a² - 2ab + b² =
2) a² + 2ab + b² =
3) x² - 2x + 1 =
4) y + 1 + 2y² =
5) x² - 10x + 25=
6) x² + 7x + 10 =
7) x² - 5x + 6 =
8) x² + 3x – 10 =
11
12
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
9) x² + x – 2 =
10) x² + 4x + 3 =
11) m² + 5m – 14 =
12) y² - 9y + 20 =
13) x² - 6 – x =
14) x² - 9x + 8 =
15) c² + 5c – 14 =
16) x² - 3x + 2 =
17) b² + 7b + 6 =
18) y² - 4y + 3 =
19) 12 – 8n + n² =
12
13
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
TRINOMIO ax² + bx + c
De acuerdo a lo visto tenemos los siguientes resultados
(3x + 2)(x + 4) = 3x² + 14x + 8
(3x - 2)(x - 4) = 3x² - 14x + 8
(3x + 2)(x - 4) = 3x² - 10x - 8
(3x - 2)(x+ 4)= 3x² + 10x - 8
El problema inverso presenta mayor dificultad que los casos que hemos
considerado.
Antes de establecer un método general examinaremos en detalle dos de
las identidades vistas arriba.
Consideremos el resultado de (3x + 2)(x + 4) = 3x² + 14x + 8.
El primer término es el resultado del producto de 3x y x
El tercer término + 8 es el resultado de +2 por +4
El término central es el resultado de sumar los productos de3x y -4 y de
x y 2.
Procedimiento para encontrar la factorización del trinomio ax² + bx + c
Lo realizaremos a través del siguiente ejemplo
13
14
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
7x² - 19x – 6
Multiplicamos el trinomio por 7/7
La multiplicación debe expresar el resultado del término con x² y del
término sin x, solamente el término con x sólo se expresará el producto
sin realizarlo
Ahora se intercambian los valores del término que sólo se expresó
Dado que esta expresión es equivalente con
Corresponde a una expresión del caso ax² + bx + c, luego
El primer paréntesis tiene factor común 7, entonces
Simplificando por 7
(x - 3)(7x + 2) que es el resultado
Ejemplo 2 factorizar14x² + 29x - 15
14
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
15
Multiplicamos por 14/14
Cambiamos el orden del término central
Factorizamos usando el caso III
Sacando factor común en ambos paréntesis
Simplificando
(2x + 5)(7x - 3)
TRABAJEMOS EN
NUESTRO APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios basándose en los
últimos ejemplos realizados.
15
16
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
1) 2x² + 3x – 2 =
2) 3x² - 5x – 2 =
3) 6x² + 7x + 2 =
4) 5x² + 13x – 6 =
5) 6x² - 6 – 5x=
6) 12x² - x – 6 =
7) 4x² + 15x + 9 =
8) 3 + 11x + 10x² =
9) 12m² - 13m – 35 =
10) 20y² + y – 1 =
11) 8x² - 14x – 15=
16
17
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
12) 7x² - 44x – 35 =
13) 16m + 15m²- 15 =
14) 2x² + 5x + 2 =
15) 12x² - 7x – 12 =
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
La Diferencia de dos cuadrados
Al multiplicar (a+ b)(a - b) obtenemos la identidad
(a + b)(a - b) = a² + ab –ab - b² = a² - b²
Un resultado que puede ser verbalmente expresado como
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual a la
diferencia de sus cuadrados.
Recíprocamente, la diferencia de dos cuadrados es igual al producto de
la suma por la diferencia de las dos cantidades.
Ejemplo 1
17
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
18
25x² -16y² = (5x + 4y)(5x - 4y)
Ejemplo 2
1 - 49c² = (1+ 7c)(1 - 7c)
Ejemplo 3
329² - 171² = (329 + 171)(329- 171)
= 500x158
= 79000
TRABAJEMOS EN
NUESTRO APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios basándose en los
últimos ejemplos realizados.
1) x² - y² =
2) a² - 1 =
3) a² - 4 =
18
19
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
4) 9 – b² =
5) 1 – 4m² =
6) 16 – n² =
7) 1 – y² =
8) 4x² - 9 =
9) 25 – 36x² =
10) a²b – c² =
11) (x+y)² - a²=
12) 4 – (a + 1) ² =
13) 9 – (m + n)² =
14) (m – n)² - 16 =
19
20
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
15) (x – y)² - 4z² =
Caso especial
1) (x+y)²- a²=
2) 4 - (a + 1)²=
3) 9 - (m + n)² =
4) (m - n)² - 16 =
5) (x - y)² - 4z² =
6) (a + 2b)² - 1 =
7) 1 - (x - 2y)² =
8) (x + 2a)² - 4x² =
9) (a + b)² - (c + d)² =
10) (a - b)² - (c - d)² =
20
21
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
11) (x + 1)² - 16x² =
12) 64m² - (m - 2n)²=
13) (a - 2b)² - (x + y)² =
14) (x + 1)² - 4x² =
15) 36x² - (a + 3x)²=
SEMBREMOS UN
POCO DE
CONOCIMIENTO
LA SUMA O LA DIFERENCIA DE DOS CUBOS
Si dividimos a³+b³ por a +b el cociente es a² - ab + b² ; y si dividimos
a³ - b³ por a - b el cociente es a² + ab + b², por lo tanto tenemos las
siguientes identidades:
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Estos resultados nos permiten factorizar expresiones en las cuales
aparece una suma o una diferencia de cubos.
21
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
22
Ejemplo 1: factorizar 8x³ - 27y³ = (2x)³ - (3y)³
= (2x - 3y)(4x² + 6xy + 9y²)
Ejemplo 2: factorizar 64a³ + 1 = (4a)³ + 1
= (2a + 1)(4a² - 2a + 1)
TRABAJEMOS EN
NUESTRO APRENDIZAJE
ACTIVIDAD
Resuelva en su cuaderno los siguientes ejercicios basándose en los
últimos ejemplos realizados.
1) 1 + a³=
2) 1 - a³ =
3) x³ + y³=
4) m³ - n³ =
5) a³ - 1 =
22
23
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
6) y³ + 1 =
7) y³ - 1 =
8) 8x³ - 1 =
9) 1 - 8x³ =
10) x³ - 27 =
11) a³ + 27 =
12) 8x³ + 27 =
13) 27a³ - b³ =
14) 64 + a =
15) a³ - 125 =
16) 1 - 216m³ =
23
24
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
17) 8a³ - 27b =
18) x – b =
19) 8x³ - 27y³ =
20) 1 + 343n³ =
Recolectemos
lo aprendido
En los siguientes ejercicios debes interpretar cual es el caso de
factorización utilizado y resolverlo según lo estudiado en la presente
unidad.
1) a³ + a² + a =
2) 4x² - 8x + 2 =
3) 15y³ + 20y² - 5y =
4) a³ - a²x + ax² =
5) 2a²x + 2ax² - 3ax =
6) x³ + 5x2 – 7x=
7) 14x²y² - 28 x³ + 56x=
24
25
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
8) 34ax² + 51ay² - 68ay² =
9) 96 – 48mn² + 144n³ =
10) x – x² + x³ - x=
11)2x²y + 2xz² + y²z² + xy³=
12) 6m – 9n + 21nx – 14mx =
13) 1 + a + 3ab + 3b =
14) 4am³ - 12amn – m² + 3n =
15) 20ax – 5bx – 2by + 8ay =
16) a³ + a² + a + 1 =
17) 2bm – 2bn + 2b – m + n – 1 =
18) 3mx – 2by – 2bx – 6m + 3my + 4b =
19) a³+ a² + a + 1 + x² + a²x² =
20) y + z² - 2ax – 2az² =
21) x² + 10x + 21 =
22) x² + 7x – 18 =
23) m² - 12m + 11=
24) x² - 7x – 30 =
25) n² + 6n – 16 =
26) 20 + x² - 21x =
27) y² + y – 30 =
28) 28 + x² - 11x=
29) n² - 6n – 40 =
25
26
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
30) x² - 5x – 36 =
31) x² + 8x – 180=
32) m² - 20m – 300 =
33) x² + x – 132=
34) m² - 2m – 168 =
35) c² + 24c + 135=
36) m² - 41m + 135=
37) 9x² + 10x + 1 =
38) 20n² - 9n – 20=
39) 21x² + 11x – 2 =
40) m – 6 + 15m² =
41) 15x² - 8x – 12 =
42) 9x² + 37x + 4 =
43) 44n + 20n² - 15 =
44) 14m²- 31m – 10 =
45) 2x² + 29x + 90 =
46) 20x² - 7x – 40 =
47) 4n² + n – 33=
48) 30x²+ 13x – 10 =
49) 1 – (x – 2y)² =
50) (x + 2y)² - 4x² =
26
27
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
51) (a + b)² - (c + d) ² =
52) (x + 1)² - 16x² =
53) 64m² - (m-2n)²=
54) a² + 2ab + b² - x² =
55) x² - 2xy + y² - m² =
56) m² + 2mn + n² - 1=
57) x² -2x + 1 – b² =
58) n² + 6n + 9 – c² =
59) a²+ x²+ 2ax – 4 =
60) x² + 4y² - 4xy – 1 =
61) a² - 6ay + 9y² - 4x² =
62) 4x² + 25y² - 36 + 20xy =
63) 1 – a² + 2ax – x² =
64) 64a³ - 729 =
65) a³b³ - x =
66) 512 + 27ª =
67) x - 8y =
68) 1 + 729x =
69) 27m³ + 64n =
70) 343x³ + 512y =
71) x³y - 216y =
27
28
Franklin Eduardo Pérez Quintero
Licenciado en Matemáticas y Física
Universidad de Antioquia
72) a³b³x³ + 1 =
73) x + y =
28