Distribución Normal Estándar

Distribución Normal Estándar
Estandarización de la Distribución
Normal
Si Z tiene una distribución normal con
Esperanza cero y varianza 1, se dice que Z
tiene una distribución normal estandarizada.
La fdp de Z puede escribirse como:
g(z) =
1
2π
e
z2
−
2
Teorema
(
)
(
Si X ∼ N µ ,σ 2 e Y = ax + b ⇒ Y ∼ N a µ + b ; a 2σ 2
Corolario
(
Si X ∼ N µ,σ
2
)e
Y=
x−µ
σ
⇒ Y ∼ N ( 0,1)
Demostrar el Teorema y el Corolario.
La forma estandarizada de cualquier distribución
normal se puede obtener aplicando el corolario de
este teorema
)
Área en un intervalo de la Distribución
Normal Estandarizada
Si Z ∼ N ( 0,1) ⇒ P ( a ≤ z ≤ b ) =
0.25
1
2π
∫
b
a
e
z2
−
2
0.20
0.15
0.10
0.05
15
14
13
12
11
9
7
6
5
4
8
b
10
a
3
2
1
0.00
dz
La FDA está dada por Φ ( z )
P (Z ≤ z) = Φ (z) =
1
∫
2π
z
−∞
e
t2
−
2
dt
P( a≤x≤b) =Φ( b) −Φ( a)
Aplicación del Teorema
anterior y de esta tabulación
(
Si X ∼ N µ,σ
2
)y
Z=
Fórmula de transformación
x−µ
σ
⇒ Z ∼ N ( 0,1)
Ejemplos
X ∼ N (100,16 )
Verificar que:
a) P(90 < x < 105) = 0,8882
b) P(x<104) = 0,8413
c) P( x>95) = 0,8444
d) Si P(x<a) = 0,42 entonces a = 99,2
Problema
Supongamos que un consultor está investigando el tiempo
que emplearon obreros entrenados en una planta
automotriz. El consultor determinó que el tiempo en
segundos, invertido por los obreros entrenados con
este método, se distribuye normalmente con
esperanza de 75 seg. y una desviación estándar de 6
seg. ¿ Cuál es la probabilidad de que un obrero elegido
al azar haya empleado:
a)
Un tiempo entre 60 y 80 seg.
b)
Más de 85 seg.
c)
El 24% de los empleados invirtieron un tiempo mínimo
de x hs. ¿ Cuál es ese tiempo y cómo se llama esa
medida?
Cálculo de la probabilidad de
desviación prefijada: P ( x − µ < δ )
(
)
Si X ∼ N µ,σ 2 ⇒
P ( x − µ < δ ) = P ( −δ < x − µ < δ ) = P ( −δ + µ < x < δ + µ ) =
 µ +δ − µ 
 µ −δ − µ 
δ
= Φ
−
Φ
=
Φ



σ
σ
σ






 −δ
−
Φ

σ


δ
= 2.Φ 
σ

δ
=
Φ

σ


 
δ
−
1
−
Φ
 
σ
 





 −1

Si dos variables aleatorias están normalmente distribuidas con
igual esperanza, entonces la probabilidad de tomar un valor
en el intervalo −δ ,δ
(
)
es mayor para la variable de menor varianza.
Regla de las tres sigmas
Es un caso particular de desviación prefijada.
Si δ = 3σ ⇒P( x − µ < 3σ ) = P( −3σ < x − µ < 3σ ) = P( −3σ + µ < x < 3σ + µ)
 3σ + µ − µ 
 −3σ + µ − µ 
= Φ
− Φ
= Φ ( 3 ) − Φ ( −3 ) =


σ
σ




= Φ ( 3 ) − 1 − Φ ( 3 )  = 2.Φ ( 3 ) − 1 = 0,9974
Esto significa que el suceso
x − µ < 3σ
Es prácticamente un suceso cierto, o que el suceso contrario
es poco probable y puede considerarse prácticamente
imposible.
Esencia de la regla de las tres
sigmas.
Si una variable aleatoria está distribuida
normalmente, entonces la desviación
respecto de la esperanza matemática, en
valor absoluto, no es mayor que el triple de
la dispersión.
En la práctica se aplica así: si la distribución
de una variable no se conoce, pero se
cumple la condición
x − µ < 3σ
Se puede suponer que dicha variable está
distribuida normalmente.
Para recordar
P  x − µ < σ  = 0,6827
P  x − µ < 2σ  = 0,9545
P  x − µ < 3σ  = 0,9974
68,27%
95,45%
-3
-2
-1
99,74%
0
z
1
2
3