Métodos simplificados para efectos de segundo orden en

ICNC: Métodos simplificados para efectos de segundo orden en pórticos
SN033a-ES-EU
ICNC: Métodos simplificados para efectos de segundo
orden en pórticos
Esta ICNC presenta información relativa a los efectos de segundo orden en pórticos. Se
presentan métodos simplificados para tener en cuenta los efectos de segundo orden en
pórticos.
Índice
1.
Generalidades
2
2.
Análisis estructural elástico
2
3.
Método de primer orden modificado para análisis estructural plástico
7
4.
Referencias
12
Página 1
ICNC: Métodos simplificados para efectos de segundo orden en pórticos
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1.
Generalidades
Los efectos de segundo orden se originan debido al desplazamiento lateral de la estructura. El
desplazamiento lateral origina excentricidades de la carga vertical que generan momentos de
segundo orden en los pilares. Los efectos de la geometría deformada (efectos de segundo
orden) deberían considerarse si estos incrementan los efectos de la acción significativamente
o si modifican sustancialmente el comportamiento estructural, véase EN 1993-1-1, sección
5.2.
HTU
UTH
Cuando una estructura se analiza mediante un método elástico, los efectos de segundo orden
en el plano pueden tenerse en cuenta mediante:
a) análisis de primer orden, “método de momento traslacional amplificado”
b) análisis de primer orden, “método iterativo”
c) análisis de primer orden, con longitud de pandeo en modo traslacional.
En esta ICNC se presentan el método de momento traslacional amplificado y el método
iterativo (con un método global y con un ejemplo práctico).
Cuando se utilizan métodos plásticos para el análisis de estructuras, se deben considerar los
efectos de segundo orden con un análisis de primer orden modificado. Véase la sección 3.
Se puede hacer un cálculo utilizando un software adecuado que realice un análisis de 2º orden,
con las imperfecciones relevantes, de acuerdo a EN 1993-1-1 sección 5.3.2.
P
HTU
P
UTH
2.
Análisis estructural elástico
2.1
Método de momento traslacional amplificado
El ´método del momento traslacional amplificado´ es el más simple para tener en cuenta los
efectos de 2º orden en un análisis estructural elástico. El principio teórico se muestra en
EN 1993-1-1 §5.2.2.
P
P
HTU
UTH
En primer lugar se lleva a cabo un análisis lineal elástico; luego, las cargas horizontales HEd
(por ejemplo de viento) y cargas equivalentes VEd φ debidas a las imperfecciones, se
amplifican por un ´factor de traslación´, para determinar los efectos de segundo orden.
B
B
B
B
Para pórticos con cubiertas de poca pendiente, siempre y cuando la compresión axial en las
vigas o dinteles no sea significativa y αcr ≥ 3,0, el ´factor de traslación´ se puede calcular de
acuerdo a:
B
B
⎛
1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 1 − 1 α cr ⎠
(2.1)
donde αcr puede calcularse de acuerdo a EN 1993-1-1 §5.2.1(4), como se muestra en SN004.
B
B
HTU
UTH
HTU
UTH
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2.2
Método iterativo (método global)
El objetivo de este método es que los efectos debidos tanto a la fuerza de compresión NEd
como de rotación global φ del elemento sean reemplazados por ´fuerzas traslacionales
opuestas´ que actúan perpendicularmente al elemento comprimido. Las fuerza traslacionales
originan los mismos efectos de segundo orden en el elemento (véase la Figura 2.1). Donde la
rotación φ pueda ser la imperfección lateral inicial, pero también pueda ser el ángulo de
desplazamiento lateral bajo la combinación en E.L.U. (incluida la imperfección lateral inicial,
si fuese necesario)
B
B
Fuerzas equivalentes a los efectos de 2º orden debidas a la traslación
Figura 2.1
P
P
Los pasos de cálculo del método iterativo pueden resumirse de la forma siguiente.
1)
Realizar un análisis elástico de 1er orden del pórtico con todas las cargas aplicadas (V
+ H) y las imperfecciones laterales iniciales (φinitV), si fuesen relevantes. Resultados
que deben considerarse del análisis para aplicar este método: fuerza de compresión
NEd,i y ángulo de traslación φi para cada elemento en compresión.
P
P
B
B
B
B
B
B
2)
Determinar las fuerzas opuestasφiNEd,i para cada elemento en compresión, que deben
aplicarse en las direcciones que amplifican los ángulos de desplazamiento lateral
(véase la figura anterior).
3)
Realizar un nuevo análisis elástico de 1er orden del pórtico, con todas las fuerzas
aplicadas (V + H), las imperfecciones laterales iniciales (φinitV) si fuesen relevantes, y
todas las fuerzas traslacionales φiNEd,i aplicadas en los extremos de cada elemento en
compresión. Resultados que deben considerarse del análisis para aplicar este método:
fuerza de compresión NEd,i y ángulo de traslación φi para cada elemento en
compresión. Después regresar a 2) hasta alcanzar la convergencia de los
desplazamientos (por ejemplo φi) o de los momentos flectores.
B
B
B
B
P
P
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
U
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Iteración 1
V
H + φinitV
1
2
NEd,1(1)
NEd,1(1)
φ1(1)
φ2(1)
Iteración 2
U
V
H + φinitV
φ2(1).NEd,2(1)
φ1(1).NEd,1(1)
1
2
φ1(1).NEd,1(1)
NEd,1(2)
NEd,2(2)
φ1(2)
φ2(2)
φ2(1).NEd,2(1)
Iteración 3
U
V
H + φinitV
φ2(2).NEd,2(2)
φ1
(2)
1
φ1(2).NEd,1(2)
.NEd,1
(2)
NEd,1(3)
φ1
2
NEd,2(3)
(3)
φ2(3)
φ2(2).NEd,2(2)
…y así sucesivamente hasta alcanzar la convergencia: φi(n) ≈ φi(n-1) .
B
PB
P
B
PB
P
Generalmente, son suficientes 3 iteraciones, para alcanzar una convergencia bastante
aceptable. Al final del proceso, las fuerzas y los momentos internos, así como los
desplazamientos, se pueden considerar como los obtenidos del análisis de segundo orden.
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2.3
Método iterativo (ejemplo práctico)
Los efectos de segundo orden son denominados comúnmente como producidos por los efectos
P-∆, por ejemplo un carga axial P aplicada con una excentricidad ∆ (véase la Figura 2.2).
P
∆0
Figura 2.2
Efectos P-∆ en un pórtico
El procedimiento P-∆ puede separarse en los siguientes pasos:
1) Realizar un análisis elástico de primer orden para el pórtico, con todas las cargas
aplicadas, incluyendo el peso propio (y cargas por imperfecciones, cuando sea necesario)
y determinar las fuerzas y los momentos internos (MI).
P
P
2) Calcular el desplazamiento horizontal ∆0 (véase la Figura 2.2) debido a las cargas
aplicadas.
B
B
3) Determinar los momentos internos adicionales ∆M1 debidos a las deformaciones
estructurales (de acuerdo a los desplazamientos horizontales ∆0). Una primera
aproximación de los resultados podría ser MII = MI + ∆M1.
B
B
B
P
P
P
P
B
B
B
4) Determinar los desplazamientos horizontales adicionales ∆1 debidos a ∆M1. Esto puede
hacerse mediante una carga horizontal H (en analogía con las cargas debidas a las
imperfecciones). Se debe determinar el desplazamiento horizontal debido a la carga
horizontal H.
B
B
B
B
5) El desplazamiento horizontal ∆1 origina un momento interno adicional, que origina
nuevamente un desplazamiento horizontal adicional ∆2, y así sucesivamente.
B
B
B
B
Debido al hecho que el desplazamiento horizontal adicional se vuelve cada vez más pequeño,
puede despreciarse el proceso iterativo adicional. El procedimiento de cálculo puede
simplificarse mediante el uso de series geométricas. De esta manera, según procedimiento
mencionado, MII puede calcularse a través de:
P
P
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M II = M I + ∆M 1 + ∆M 2 + ∆M 3 + ...
∆M 1
∆M 2
∆M 3
+MI
+MI
+ ...
I
I
M
M
MI
= M I + M I q + M I q 2 + M I q 3 + ...
=MI +MI
con:
∆M 2
M
I
=
(2.2)
∆M 2 ∆M 1
∆M 2 ∆M 1
y
=
= q debido a que la rigidez traslacional del pórtico
⋅
I
∆M 1 M I
∆M 1 M
es constante y, por lo tanto:
∆M 2
M
I
= q2
La última línea de la ecuación (2.1) es equivalente a las series geométricas. Esta converge al
valor:
MI
MI
=
M ≈
∆M 1 1 − q1
1−
MI
II
(2.3)
Para obtener las series geométricas, los momentos adicionales para los siguientes pasos se
estiman por el primer momento adicional ∆M1. Así, el método de las series geométricas es
(excepto para algunos casos especiales) sólo una aproximación.
B
B
La exactitud de esta aproximación puede demostrarse a través de un paso adicional de cálculo.
Por lo tanto, se necesita calcular el momento adicional ∆M2 debido a los desplazamientos
horizontales ∆1, y el método de las series geométricas da una aproximación comprobada:
B
B
B
B
M II ≈ M I +
∆M 1
∆M 1
=MI +
∆M 2
1 − q2
1−
∆M 1
(2.4)
Una comparación de estos resultados ofrece información adicional sobre la calidad de los
resultados, donde qi es un valor de referencia significativo. Si q es constante, el resultado del
cálculo no cambiará más.
B
B
Los desplazamientos de los efectos de segundo orden pueden calcularse por analogía a las
fuerzas y los momentos internos mediante el método de las series geométricas:
∆II =
∆0
∆
1− 1
∆0
(2.5)
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3.
Método de primer orden modificado para
análisis estructural plástico
3.1
Filosofía de diseño
En ausencia de software de análisis de segundo orden elasto-plástico, la filosofía de diseño es
derivar cargas que se amplifican para tener en cuenta los efectos de la geometría deformada
(efectos de segundo orden). La aplicación de dichas cargas amplificadas, a través de un
análisis de primer orden, proporciona momentos flectores, fuerzas axiales y cortantes, que
incluyen los efectos de segundo orden aproximadamente. La amplificación se calcula por el
método que, en ocasiones, se conoce como el método de Merchant-Rankine. Es un método
para el análisis plástico equivalente al método para estructuras elásticas indicado en EN 19931-1 §5.2.2.(4), “Para estructuras donde el modo de pandeo por traslación es predominante, se
debe hacer un análisis de primer orden con la subsiguiente amplificación de los efectos de las
acciones relevantes (por ejemplo momentos flectores) mediante factores apropiados”. Debido
a que en un análisis plástico las rótulas plásticas limitan los momentos resistidos por la
estructura, la amplificación se aplica a las acciones aplicadas al análisis de primer orden, en
lugar de aplicarse a los efectos de las acciones calculadas por el análisis.
HTU
UTH
El método divide las estructuras en una o dos categorías:
‰ Categoría A: Regular, simétrica y cubierta con una sola pendiente (Sección 3.2.1)
‰ Categoría B: Estructuras fuera de la categoría A, pero excluyendo los pórticos atirantados
(Sección 3.2.2)
Para cada una de las dos categorías de estructuras, debe aplicarse un factor de amplificación
de carga diferente. El método ha sido verificado [4, 5] para estructuras que satisfacen el
siguiente criterio:
1. Estructuras en las cuales
L
≤ 8 para cualquier vano
h
2. Estructura en las cuales α cr ≥ 3
donde
L
es la luz del pórtico (véase la Figura 3.1)
h
es la altura del pilar más baja en cada extremo del vano que se está considerando
(véase la Figura 3.1)
αcr
B
B
es el factor de carga de pandeo crítico elástico (calculado exactamente mediante un
software o estimado a partir del primer modo traslacional (véase sección 3.3))
Otras estructuras deben diseñarse utilizando un software de análisis elasto-plástico de
segundo orden.
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3.2
Factores de amplificación
3.2.1 Categoría A: Pórticos regulares, cubierta con pendiente
simétrica o asimétrica, cubierta con una sola pendiente.
Los pórticos regulares, simétricos y cubierta con una sola pendiente (Figura 3.1), tienen uno o
varios vanos en los cuales solo existe una variación pequeña de altura (h) y vano (L) entre los
diferentes vanos. Las variaciones en la altura y el vano del orden del 10% pueden
considerarse suficientemente pequeñas.
En la aplicación industrial tradicional de este método, se puede utilizar un análisis de primer
orden para estos pórticos, si todas las fuerzas y momentos están amplificados por simplicidad
y seguridad
⎛
1 ⎞
⎟⎟ , aun cuando es conservador para las fuerzas axiales de los pilares.
⎝ 1 − 1 α cr ⎠
en ⎜⎜
3.2.2 Categoría B: Pórticos que no están en la Categoría A,
excluyendo pórticos atirantados
Para los pórticos que no están en la Categoría A, se puede aplicar un análisis de primer orden
⎛ 1,1 ⎞
si todas las cargas aplicadas están amplificadas por ⎜⎜
⎟⎟
−
α
1
1
cr
⎝
⎠
h
h
L
L
(b) Un solo vano
(a) Con una sola pendiente
h
L
L
(c) Varios vanos
Nota: h se mide desde la intersección del centro de línea central de la viga y de la línea central del pilar,
ignorando los refuerzos.
Figura 3.1
3.3
Ejemplos de Categoría A
Estimación de αcr
B
B
Para pórticos dentro de los límites de las Notas 1 y 2 de EN 1993-1-1 §5.2.1, αcr puede
calcularse de (5.2) en ese apartado, como se indica en SN004. Para pórticos que están fuera de
los límites de las Notas 1 y 2, pero que satisfacen los criterios 1 y 2 en la Sección 3.1 anterior,
se puede usar el siguiente método.
HTU
HTU
UTH
B
B
UTH
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Para cada caso de carga, puede obtenerse una aproximación del factor de carga de pandeo
crítico elástico, tal como sigue.
Para pórticos en los cuales los dinteles son rectos entre los pilares, como en la Figura 3.1(a):
αcr,est
B
= α cr,s,est
B
Para pórticos con dinteles inclinados, como en la Figura 3.1(b) y la Figura 3.1(c):
= min (α cr,s,est ; α cr,r,est )
αcr,est
B
B
donde
αcr,s,est
es la estimación de αcr para modo de pandeo por traslación (véase la Sección 3.3.1)
αcr,r,est
es la estimación de αcr para dinteles en modo de pandeo por rotura brusca (véase la
Sección 3.3.2)
B
B
B
B
B
B
B
B
3.3.1 Factor de carga por pandeo traslacional
Los parámetros requeridos para calcular αcr,s,est para un pórtico se muestran en la Figura 3.2.
Como se puede ver, δHEF es el desplazamiento lateral en la parte superior de cada pilar
sometido a una carga lateral arbitraria HEHF. (La magnitud de la carga lateral total es
arbitraria, y simplemente se usa para calcular la rigidez traslacional HEHF/δEHF.) La carga
horizontal aplicada en la parte superior de cada pilar debe ser proporcional a la reacción
vertical. Así, para un pilar individual:
B
B
B
B
B
B
B
B
B
B
H EHF,i H EHF
=
VULS,i
VULS
donde
HEHF
B
es la suma de todas las fuerzas horizontales equivalentes en la parte superior de los
B
pilares (véase la Figura 3.2(a))
VULS
B
es la suma de todas las reacciones verticales factorizadas en el ELU, calculada
B
mediante un análisis plástico de primer orden
HEHF,i
B
B
es la fuerza horizontal equivalente en la parte superior del pilar i (hay dos pilares en
un portal de un solo vano, tres en un portal de dos vanos, etc.)
VULS,i
B
B
B
es la reacción vertical factorizada en el ELU en el pilar i, calculada mediante un
análisis plástico de primer orden
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w ULS
NR,ULS
h
H ULS,A
L
H ULS, B
V ULS, A
VULS, B
(b) Reacciones y fuerza axial en la viga en el ELU
(a) Pórtico bajo carga en el ELU
δEHF,A
δEHF,B
H EHF,A
H EHF,B
(c) Desplazamiento horizontal en la parte superior de los pilares
Figura 3.2
Diagrama donde se muestra los parámetros requeridos para estimar αcr
B
B
Una aproximación de αcr puede obtenerse de
B
B
⎧⎪ ⎛ N
α cr,s,est = 0 ,8⎨1 − ⎜⎜ R,ULS
⎪⎩ ⎝ N R,cr
⎞ ⎫⎪⎧⎪⎛ hi ⎞⎛ H EHF,i ⎞⎫⎪
⎟⎜
⎟⎬
⎟ ⎬⎨⎜
⎟⎜ δ
⎟⎪
⎟ ⎪⎪⎜ V
ULS,
i
EHF,
i
⎠⎝
⎠⎭ min
⎠ max ⎭⎩⎝
donde
⎛ N R,ULS ⎞
⎜
⎟
⎜ N
⎟
R,
cr
⎝
⎠ max
es la relación máxima en cualquier viga
N R, ULS
es la fuerza axial en la viga (véase la Figura 3.2(b))
N R,cr =
B
δEHF,i
B
L2
es la carga de Euler de la viga con la luz total (se asume articulada)
es el momento de inercia en el plano de la viga
Ir
B
π 2 EI r
B
es el desplazamiento lateral de la parte superior del pilar (véase la
Figura 3.2(c))
⎧⎪⎛ hi ⎞⎛ H EHF,i ⎞⎫⎪
⎟⎜
⎟⎬
Es el valor mínimo para pilares 1 a n (n = número de pilares)
⎨⎜⎜
⎪⎩⎝ VULS,i ⎟⎠⎜⎝ δ EHF,i ⎟⎠⎪⎭ min
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3.3.2
Factor de carga de pandeo “snap-through” en dinteles
Para pórticos con pendiente de dinteles no mayores que 1:2 (26°), αcr,r puede considerarse
como:
B
B
⎛ D ⎞⎛ 55,7(4 + L h ) ⎞⎛ I c + I r ⎞⎛⎜ 275 ⎞⎟
⎟⎟
(tan 2θ r )
⎟⎜
⎟⎜⎜
Ω −1
⎝ L ⎠⎝
⎠⎝ I r ⎠⎜⎝ f yr ⎟⎠
α cr, r, est = ⎜
Esto tiene que verificarse, porque es posible diseñar pórticos de 3 vanos o más con vanos
exteriores rígidos que proporcionan apoyo horizontal a los dinteles de los vanos interiores.
Entonces, los dinteles interiores pueden actuar como arcos con las reacciones horizontales
proporcionadas por los vanos exteriores. En los lugares donde tiene efecto esta acción de arco,
los dinteles soportarán mayor carga vertical que si ellas actuasen solo como dinteles. Esta
verificación se usa para asegurar que los dinteles no sean tan flexibles para que fallen por un
cambio brusco en su deformada y pandeen bruscamente (snap-through)
Pero donde Ω ≤ 1, αcr,r = ∞
B
B
donde
D
es el canto de la sección transversal de la viga
L
es la luz del vano
h
es la altura promedio del pilar desde la base hasta el alero
Ic
es el momento de inercia en el plano del pilar (igual a cero si el pilar
no está
conectada rígidamente a la viga, o si la viga está apoyada sobre una viga de apoyo)
Ir
es el momento de inercia en el plano de la viga
B
B
B
B
fyr
es límite de elástico de los dinteles en N/mm2
θr
es la inclinación de la cubierta si es simétrico; en caso contrario: θr = tan-1(2hr/L)
hr
es la altura de la cumbrera de la cubierta encima de una línea recta entre la parte
superior de los pilares
Ω
es la relación del arco, dado por Ω = Wr/W0
B
B
B
B
P
B
P
B
B
B
B
B
B
P
P
B
B
B
W0
es el valor de Wr para fallo plástico de los dinteles consideradas como dinteles
empotradas en sus extremos de luz L
Wr
es la carga vertical factorizada total en el dinteles del vano
B
B
B
B
B
B
Si dos de los pilares o dos de los dinteles de un vano difieren, se debe utilizar el valor
promedio de Ic.
B
B
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4.
Referencias
Las reglas en esta ICNC están basadas en:
(1) EN 1993-1-1: Eurocode 3: Design of Steel Structures – Part 1-1: General rules and
rules for Buildings
(2) Horne, M.R. Safeguards against frame instability in the plastic design of single-storey
pitched roof frames, paper presented at the Conference on the behaviour of slender
structures, City University, London, 1977
(3) Davies, J.M. The stability of multi-bay portal frames, The Structural Engineer, Vol 69
No. 12, June 1991
(4) BSI paper B/525/31/04_525015, Final report on PiI project 38/9/14 cc1796, SCI 2004
(5) Lim, J.B.P., King, C.M., Rathbone, A.J., Davies, J.M. and Edmondson, V.: ‘Eurocode
3 and the in-plane stability of portal frames’, The Structural Engineer, 83, No. 21,
2005, p43.
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Registro de Calidad
TÍTULO DEL RECURSO
ICNC: Métodos simplificados para efectos de segundo orden en
pórticos
Referencias(s)
DOCUMENTO ORIGINAL
Nombre
Compañía
Fecha
Creado por
Matthias Oppe
RWTH Aachen
Contenido técnico revisado por
Christian Müller
RWTH Aachen
1. Reino Unido
G W Owens
SCI
30/03/06
2. Francia
A Bureau
CTICM
28/03/06
3. Suecia
B Uppfeldt
SBI
31/03/06
4. Alemania
C Müller
RWTH
20/03/06
5. España
J A Chica
Labein
28/03/06
G W Owens
SCI
11/07/06
Traducción realizada y revisada por:
eTeams International Ltd.
10/05/06
Recurso de traducción aprobado por: F Rey
Labein
25/05/06
Contenido editorial revisado por
Contenido técnico respaldado por los
siguientes socios de STEEL:
Recurso aprobado por el
Coordinador técnico
DOCUMENTO TRADUCIDO
Página 13