UNA NOTA SOBRE LA MAXIMIZACIÓN DEL BIENESTAR SOCIAL

UNA NOTA SOBRE LA MAXIMIZACIÓN DEL BIENESTAR SOCIAL EN REDES
DE TRANSPORTE
Louis de Grange C.
Escuela de Ingeniería Civil Industrial, Universidad Diego Portales, Santiago de Chile.
FONO: (56-2) 676 8118 ; e-mail: [email protected]
Juan Carlos Muñoz A.
Departamento de Ingeniería de Transporte y Logística, Pontificia Universidad Católica de
Chile,
FONO: (56-2) 354 4270 ; e-mail: [email protected]
Rodrigo Troncoso O.
Instituto Libertad y Desarrollo, Santiago de Chile
FONO: (56-2 ) 377-4817; e-mail: [email protected]
RESUMEN
Usando una función de bienestar social del tipo Bergson-Samuelson mostramos que una
asignación a costo marginal (basada en el segundo principio de Wardrop), pese a minimizar
los costos totales del sistema, podría reducir el bienestar social respecto al equilibrio de
mercado (asignación basada en el primer principio de Wardrop).
Presentamos también un enfoque de asignación de tráfico basado en la maximización del
bienestar social (definido a la Bergson-Samuelson). Cuando las funciones de utilidad de los
viajeros son lineales, la asignación que maximiza el bienestar social es equivalente a la
asignación a costos marginales que minimiza el tiempo o costo total del sistema, pero cuando
los individuos presentan utilidades no lineales (tradicionalmente cóncavas debido a los
axiomas de no saciedad y de rendimientos decrecientes), ambas asignaciones son diferentes.
Mostramos que debido al efecto de la concavidad en las funciones de utilidad individuales, la
asignación producto de maximizar el bienestar social debiera ser menos resistido por los
usuarios que una asignación a mínimo costo total del sistema. Finalmente demostramos que
cuando las funciones de costo de los arcos son lineales, y los costos a flujo libre entre las
distintas rutas usadas son iguales, el equilibrio de mercado es simultáneamente el que obtiene
los menores costos totales del sistema.
Keywords: asignación de tráfico, Wardrop, costo mínimo, bienestar social, función de utilidad.
Acta XV Chileno de Ingeniería de Transporte, 2011
1. INTRODUCCIÓN
El segundo principio de Wardop (Wardrop, 1952) ha sido considerado, durante décadas, el
paradigma que debiera regir el patrón de flujos vehiculares dentro de una red vial
congestionada, si lo que se desea es obtener un uso eficiente del costo o tiempo total agregado
empleado por todos los usuarios para realizar sus viajes. Este criterio consiste en asignar los
vehículos de tal forma de que el costo total de la red sea el mínimo, y por lo tanto debiera ser
preferible al equilibrio de mercado o de usuarios, también conocido como primer principio de
Wardrop (Wardrop, 1952) en que cada usuario escoge su ruta en forma independiente de los
demás minimizando su costo individual. La asignación basada en el segundo principio de
Wardrop, también conocida como socialmente óptima, establece que los conductores cooperan
unos con otros, en algunos casos sacrificando su propio beneficio a fin de reducir el costo o
tiempo total de la red. Ambas asignaciones se establecen en función de los costos enfrentados
por los usuarios en la red y no por el bienestar que ello les causa.
Bell and Iida (1997) muestran que si cada viajero maximiza unilateralmente su función de
utilidad al momento de seleccionar una ruta sobre la red, en forma independiente de los demás
viajeros, se obtendrá el equilibrio de Mercado basado en el primer principio de Wardrop. Es
decir, la minimización de costos individuales de los viajeros genera el mismo equilibrio de
mercado que la maximización de la utilidad individual. Sin embargo, esta equivalencia no
necesariamente se cumple a nivel de una planificación centralizada que busque minimizar los
costos totales del sistema respecto a una planificación centralizada que busque maximizar el
bienestar social a nivel agregado. Este último punto representa la hipótesis central de nuestro
trabajo: es posible que una asignación a costo marginal reduzca el nivel de bienestar social
respecto a un equilibrio de mercado.
En efecto, en este trabajo mostramos que, cuando los viajeros presentan funciones de utilidad
tradicionales (crecientes pero con utilidad marginal decreciente, y en general funciones de
utilidad no lineal), una asignación de tráfico basada en el segundo principio de Wardrop podría
generar una reducción en la función de bienestar social, a pesar de que los costos totales del
sistema sean menores. Esto se explica básicamente porque moverse de un equilibrio de
mercado a una asignación de mínimo costo total implica una reasignación de recursos que
favorece a determinados viajeros pero perjudica a otros. Si consideramos el bienestar social
como la suma de las utilidades de los individuos (Bergson, 1938; Samuelson, 1956; Boadway
and Bruce, 1984), la no linealidad presente en las utilidades individuales producto de los
axiomas de no saciedad y de rendimientos decrecientes en el consumo, podría implicar que la
pérdida de bienestar de los usuarios perjudicados fuese mayor que el aumento de bienestar de
los usuarios favorecidos. Es decir, pese a que el tiempo total exigido para los viajes debiera ser
menor bajo el segundo principio de Wardrop, el bienestar del conjunto de viajeros de la red
podría verse reducido.
De acuerdo a Easa (1991), la asignación de tráfico is “the process of allocating a set of present
or future trip interchanges, known as origin-destination (OD) demands, to a specified
transportation network”. Los resultados de una asignación de tráfico contribuyen a la decisión
de muchos procesos de planificación y diseño de sistemas de transporte, como la evaluación de
escenarios para diferentes proyectos de infraestructura, análisis del impacto ambiental, diseño
y tarificación de autopistas. Luego, el criterio de asignación a considerar puede repercutir en
las decisiones que tomen las autoridades y planificadores del transporte, que finalmente
incidirán en el nivel de bienestar de los viajeros del sistema, que debiera finalmente
Acta XV Chileno de Ingeniería de Transporte, 2011
representar el objetivo del planificador central.
De hecho, por la simplicidad que significa, el desarrollo de muchas metodologías para el
estudio de mecanismos de tarificación vial (Arnott and Small, 1994; Button and Verhoef,
1998; Yang y Meng, 2002; Verhoef, 2002; Shepherd and Sumalee , 2004; Santos, 2004; Yanga
et al, 2010), diseño de redes de transporte y problemas de optimización bi-nivel (Marcotte,
1983; Newbery, 1989; Yang y Bell, 1998; Brotcorne et al, 2001; Mun et al, 2003; Koh et al,
2009), regulación de mercados de transporte (Smith,1979; Small, 1992; Small and GómezIbáñez, 1998; Parry, 2002), entre otros, han considerado acercarse a una asignación basada en
el segundo principio de Wardrop como objetivo principal.
En la sección 2 presentamos un modelo simple para una red pequeña que permite entender
gráficamente la pérdida de bienestar social que puede generarse al movernos de un equilibrio
de mercado a una asignación a costo marginal o de mínimo costo total. En la sección 3
presentamos un problema de optimización equivalente de asignación de tráfico que se basa en
maximizar el bienestar social a la Bergson-Samuelson en lugar de minimizar el costo total;
analizamos sus condiciones de optimalidad y las comparamos con las del segundo principio de
Wardrop. Finalmente, en la sección 4 se presenta un resumen y conclusiones del trabajo
realizado.
2. FORMULACIÓN DEL MODELO PARA UNA RED SIMPLE
2.1 Descripción de la Red y Equilibrio
Consideremos un ejemplo simple con viajeros homogéneos (e.g. todos los viajeros son
idénticos), con funciones de costo lineales, y que se asignan en una red en la que existe sólo un
par origen-destino con sólo dos rutas alternativas:
Figura 1
Ejemplo Simple de Red Vial
ca(fa) = a + afa
F
F
O
D
cb(fb) = b + bfb
De la Figura 1 observamos que el flujo total de viajeros entre el origen (O) y el destino (D) es
F, donde fa + fb = F. Los costos medios sobre cada arco son lineales respecto al flujo propio.
Los parámetros a y b representan los costos a flujo libre de cada arco y los parámetros a y
b representan el efecto marginal del flujo sobre el costo del arco.
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El equilibrio basado en el primer principio de Wardrop (o equilibrio de mercado) para la red
expuesta en la Figura 1 se obtiene igualando los costos medios y agregando la restricción de
conservación de flujos (Beckmann et al, 1956):
ca  f a   cb  fb    a   a f a   b  b fb
(1)
f a  fb  F
(2)
Suponiendo que en el equilibrio ambas rutas llevarán flujo (excluyendo una solución de
borde), la solución del problema (1) y (2) es:
f a* 
 b   a    b F
,
 a  b
fb*  F  f a*
(3)
Por otra parte, una asignación basada en el segundo principio de Wardrop, que considera la
minimización de los costos totales sobre la red, se obtiene igualando los costos marginales,
además de la restricción de conservación de flujos:
  ca  f a   f a 
f a

  cb  fb   fb 
fb
  a  2 a f a   b  2b f b
f a  fb  F
(4)
(5)
Considerando flujos positivos, la solución del problema (4) y (5) es:
f a** 
 b   a   2  b F
2   a  b 
,
fb**  F  f a**
(6)
La solución (6) se caracteriza porque genera costos totales inferiores a los costos generados por
la solución (3). A la solución (6) se le denomina asignación óptima del sistema (SOA).
2.2 Función de Utilidad de los Viajeros y Función de Bienestar Social
Consideremos que cada viajero i del sistema tiene una función de utilidad U  gi  , donde gi es
la cantidad que se consume de un bien. Las funciones de utilidad son crecientes (axioma de no
saciedad) a tasa decreciente en el consumo del bien (axioma de rendimientos decrecientes), es
U
 2U
decir:
0 y
 0 lo que representa que el bien es deseable, pero está sujeto al efecto
gi
gi2
de saturación.
Para el estudio de las asignaciones de flujos vamos a considerar como único bien el tiempo
disponible. Definimos g i  ti  ci , donde ti es el tiempo total disponible del individuo i (por
ejemplo, 24 horas al día), y ci es el tiempo de transporte del individuo i. Luego, gi representa el
tiempo libre que dispone el individuo.
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En el ejemplo de la Figura 1 se presenta el bienestar social que se genera para el total de los
individuos en función del tiempo libre g a  t  ca , y g b  t  cb , con que cuentan quienes usan
el arco a y b respectivamente a través de curvas iso-bienestar (Samuelson, 1956). El modelo
supone que los individuos son homogéneos: la utilidad de los viajeros del arco a será
U a  U  g a  y la de los viajeros del arco b será U b  U  gb  .
Es interesante notar que si cada viajero maximizara unilateralmente su función de utilidad al
momento de seleccionar una ruta sobre la red, en forma independiente de los demás viajeros,
se obtendría el equilibrio de mercado basado en el primer principio de Wardrop (Bell and Iida,
1997). Es decir, la minimización de costos individuales de los viajeros genera el mismo
equilibrio de Mercado que la maximización de la utilidad individual.
Sin embargo, esta equivalencia a nivel individual no necesariamente se traspasa a nivel de
planificación central. Es decir, la minimización de costos totales del sistema puede llevar a
resultados diferentes respecto a una maximización del bienestar social basado en las utilidades
de los individuos.
Para analizar este último punto, consideremos una función de bienestar social como las
descritas en Bergson (1938), Samuelson (1956) y Boadway y Bruce (1984):
n
W U1 ,U 2 ,...,U n    iU i
(7)
i 1
en que W corresponde al bienestar social, Ui es la utilidad del individuo i, y i es la
importancia relativa de cada individuo.
Asumiendo que todos los individuos son igualmente importantes
   i   1, i  ,
y
considerando el ejemplo de la Figura 1, podemos definir la siguiente función de bienestar
social:
W   f mU m  f a U  g a   fb U  gb   f a U a  f b U b
(8)
m
A partir de (8) podemos graficar una curva de iso-bienestar social sobre los ejes conformados
por las variables ga y gb. Dado que los flujos fa y fb dependen de los costos ca y cb
respectivamente, y que g i  t  ci , los flujos fa y fb se pueden expresar en función de ga y gb
t  gb   b
t  ga   a
respectivamente. Específicamente, tenemos que f a 
y fb 
.
b
a
Luego, (8) la podemos escribir como:
 t  ga   a 
 t  gb   b 
W 
U a  
U b
a
b




(9)
La curva de iso-bienestar social (para un determinado valor de W) que se obtiene de (8)
satisface la siguiente condición:
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 f
 f

U a 
U
dW   a U a 
f a  dg a   b U b  b fb  dgb  0
g a 
gb 
 g a
 gb
(10)
2.3 Estática Comparativa de Equilibrios
Para un equilibrio de mercado (primer principio de Wardrop), se tendrá que ca = cb y por lo
tanto
ga
1
gb
(11)
Por otra parte, el conjunto de soluciones factibles para los flujos queda determinado por fa + fb
t  gb   b
t  ga   a
= F. Considerando que f a 
y fb 
, el conjunto de soluciones factibles
b
a
en términos de ga y gb queda representado por la siguiente ecuación:
   b 
 a 
 a 
ga  t  a
  F  a   a   b    gb  
b 
 b  
 
 b 

(12)
K

g a  K  gb  a
 b

dg a

 a
 , es decir se debe cumplir
dgb
b

(13)
Luego, la intersección de las rectas definidas por (11) y por (13) da como resultado el
equilibrio de mercado (primer principio de Wardrop). En la Figura 2 se grafica este equilibrio
(punto A) y se muestra la curva de iso-bienestar social correspondiente, WA.
Por otra parte, para una asignación óptima que minimiza los costos totales del sistema
  ca  f a   f a    cb  fb   fb 
(segundo principio de Wardrop), se tendrá que
. En este caso, y

f a
fb
producto de igualar los costos marginales de ambas rutas ya definidos en la expresión (4) se
obtiene la siguiente relación expresada en términos de los tiempos disponibles para el usuario:
   a 
ga   b
  gb
 2 
(14)
Luego, la intersección de las rectas definidas por (14) y por (13) da como resultado la
asignación óptimo social del sistema (segundo principio de Wardrop).
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   a 
Es interesante notar que esta última recta g a   b
  gb es un desplazamiento paralelo
 2 
   a 
de la recta definida por la ecuación (11). Suponiendo que  a   b , la recta g a   b
  gb
 2 
g
está desplazada hacia la derecha respecto a la recta a  1; si en cambio  a   b , la recta
gb
estará desplazada hacia la izquierda. Por otra parte, si  a   b , se tendrá que el equilibrio de
Mercado coincidirá con la asignación de óptimo social del sistema.
Suponiendo que  a   b , consideremos primero un desplazamiento pequeño de la recta
   a 
ga   b
  gb , es decir, que a es sólo un poco mayor que b. Esto genera la asignación
 2 
del punto B que se grafica en la Figura 2:
Figura 2
Bienestar Social y Asignación a Costos Marginales (segundo principio de Wardrop)
ga
g a  gb
   a 
ga   b
  gb
 2 
K
C
A
B
WB
WC W
A
 a b
gb
Por lo tanto, se observa en este caso que una asignación a costo mínimo (punto B) genera un
aumento en la función de bienestar de los viajeros (WB > WA). Sin embargo, si  a   b , una
asignación a costo mínimo (punto C) genera una reducción en la función de bienestar de los
viajeros (WC > WA).
Incluso manteniendo el supuesto de que  a   b , si a es mucho mayor que b, obtendríamos
la asignación a costo mínimo del punto D que se grafica en la Figura 3 en que nuevamente una
asignación a costo mínimo del sistema genera una reducción en la función de bienestar de los
viajeros (WD < WA).
Acta XV Chileno de Ingeniería de Transporte, 2011
Figura 3
Bienestar Social y Asignación a Costos Marginales (segundo principio de Wardrop)
ga
   a 
ga   b
  gb
2


g a  gb
K
A
D
W
D
WA
 a b
gb
2.4 Asignación que Maximiza el Bienestar Social
De acuerdo a la expresión (10):
 fb
U b 
Ub 
fb 

gb
gb 
dg a


dgb
 f a
U a 
Ua 
fa 

g a 
 g a
(15)
Por otra parte, se debe satisfacer la condición (13) por lo que la condición de optimalidad
para obtener flujos que maximicen el bienestar social es:
 f b
U b 
Ub 
fb 

g b 
 a  gb

 b  f a
U a 
Ua 
fa 

g a
 g a

(16)
A partir de las ecuaciones (16) y (13) es posible obtener las soluciones g a* y g b* que
maximizan la función de bienestar social (notar que a partir de g a* y g b* podemos obtener
directamente los flujos correspondientes f a* y fb* que maximizan el bienestar social). Esta
última solución se representa en el punto E de la Figura 4:
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Figura 4
Asignación que Maximiza el Bienestar Social
ga
g a  gb
K
g a*
A
E
WE
WA
 a b
g b*
gb
Es importante notar que el punto E es diferente al punto B de la Figura 2.
Para que en este ejemplo un equilibrio de mercado sea equivalente a una asignación que
maximiza el bienestar social (es decir, para que el punto E de la Figura 4 coincida con el punto
A), tendría que cumplirse simultáneamente la condición de optimalidad (16) y que g a  gb . En
el Anexo A se presenta un ejemplo numérico para la red de la Figura 1, en el que se compara la
asignación que minimiza el tiempo total con la que maximiza el bienestar total.
Por otra parte, si los individuos presentaran funciones de utilidad lineales, como por ejemplo
de la forma U i     gi ( > 0), de la condición de optimalidad (16) se obtendría:
 1
 t  gb   b  
    gb    

b
 a  b

   a    t  gb   b      gb  


b  1
 t  g a   a   b    t  g a   a      g a  
    g a    

a


 a
(17)
  t  gb   b      gb     t  g a   a      g a 
(18)
   a
ga   b
 2
(19)

  gb

Acta XV Chileno de Ingeniería de Transporte, 2011
La expresión (19) es igual a (14), la cual representa la asignación a costos marginales que
minimiza el costo total del sistema. Por lo tanto, cuando los individuos presentan una función
de utilidad lineal, la asignación que minimiza el costo total del sistema es equivalente a la
asignación que maximiza la función de bienestar de los individuos.
3. ASIGNACIÓN BASADA EN LA MAXIMIZACIÓN DEL BIENESTAR SOCIAL
3.1 Problema de Minimización del Costo Total
La formulación de los problemas de asignación basado en la minimización del costo total y en
la maximización de la función de bienestar social presentados en esta sección serán
consistentes con la nomenclatura planteada en Nagurney (2000). El problema de optimización
que entrega el mínimo costo del sistema, y suponiendo que el costo de un arco ca es función
sólo del flujo en el propio arco (fa) y que además ese costo es positivo y creciente con el flujo,
está dado por:
min
C   ca  f a  f a
w
h 
(20)
a A
p
s.a.:
 hpw  Tw
pPw
fa 
 
wW pPw
 w 
w
ap p
h
hpw  0
w W
(21)
a  A
(22)
p  Pw , w W
(23)
ca: costo en el arco a.
fa: flujo en el arco a.
 ap : parámetro que toma el valor 1 si el arco a pertenece a la ruta p , y cero si no.
hpw : flujo en la ruta p entre el par w.
Tw: número de viajes (demanda fija) entre el par origen-destino w.
Pw: conjunto de rutas entre el par origen-destino w.
W: conjunto de pares origen-destino del sistema.
A: conjunto de arcos de la red vial.
El costo total de la ruta p se define como C p   ca  f a   ap . Luego, es posible escribir la
aA
función objetivo del problema (20) en función de los costos en las rutas (Nagurney, 2000):
min
C
w
h 
p
 C h
wW pPw
p
w
p

  Cˆ
wW pPw
w
p
(24)
La condición de optimalidad de primer orden de este problema (24) es la siguiente:
w
Cˆ pw  w , hp  0

hpw   w , hpw  0
(25)
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donde
Cˆ pw
h
w
p

C p
hpw
hpw  C p denota el costo marginal de una unidad adicional de flujo en la ruta
p entre el par w. En la ecuación (25), el parámetro w corresponde al multiplicador de
Lagrange asociado a cada restricción (21) y representa el aumento del costo total del sistema C
si la demanda en el par w aumentara en una unidad, por lo que se debe cumplir que
C
w 
 0.
Tw
El lado izquierdo de la condición de optimalidad (25) se puede reescribir como:
Cˆ pw
hpw

C p
hpw
hpw  C p 
 ca f a
 w
 
 w
c

h
C

h  Cp



 a ap  p p  
w ap 
 p
hpw  aA
 aA f a hp

Cˆ pw
 c

   a  ap  hpw  C p
h
 aA f a

(26)
(27)
w
p
 c

La expresión   a  ap  hpw representa la externalidad en términos de costos que se produce
 aA f a

en la ruta p al aumentar el flujo de dicha ruta. Por lo tanto, la asignación definida por (25) y
(27) iguala la suma de los costos y sus externalidades asociadas para todas las rutas usadas en
cada par.
3.2 Problema de Maximización del Bienestar Social
Por otra parte, el problema de optimización que entrega el mayor bienestar social de acuerdo al
criterio de función de bienestar definido por Bergson (1938), Samuelson (1956), y Boadway y
Bruce (1984), se puede escribir de la siguiente forma:
W
max
w
h 
p
 U
wW pPw
p
hpw 
  Uˆ
wW pPw
w
p
(28)
donde U p es la utilidad percibida por los usuarios de la ruta p entre el par w, y Uˆ pw  U p hpw es
la utilidad o bienestar total de los viajeros de la ruta p entre el par w. Considerando usuarios
homogéneos, la función de utilidad se puede escribir como U p  U  g p  .
La condición de optimalidad del problema (28) es la siguiente:
w
Uˆ pw   w , hp  0

hpw   w , hpw  0
(29)
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donde
Uˆ pw
h

w
p
U p
h
w
p
hpw  U p denota la utilidad marginal de la utilidad o bienestar total de los
viajeros de la ruta p entre el par w. En la ecuación (29), el parámetro w representa la reducción
del bienestar total del sistema W si la demanda en el par w aumenta en una unidad; el signo de
w dependerá del nivel de congestión de las rutas.
Las condiciones de optimalidad (29) y (25) en general producirán asignaciones diferentes de
los flujos sobre las rutas (ver ejemplo de la sección 2).
Considerando que Uˆ pw  U p hpw , de (29) obtenemos:
  w , hpw  0
w
h

U
p
p 
w
hpw
  w , hp  0
U p
(30)
Aplicando la regla de la cadena sobre (30) llegamos a:
  w , hpw  0
h U p 
w
C p hpw
  w , hp  0
U p C p
w
p
U p
   ap ca 
C p
h
a
w
p
La expresión
U p
C p
U p
C p

U p
g p
hpw 
U p 
c f  w U p  
ca
   ap a aw  hp 
    ap
C p  aA
f a hp 
C p  aA 
f a
(31)
 w
  hp

(32)
 
c  
hpw      ap a   hpw es la misma que aparece en (27). La expresión
h
f a  
 aA 
C p
w
p
es el negativo de la utilidad marginal del ingreso. La presencia del término
en la ecuación (31) equivale a incorporar una ponderación a la externalidad
C p
h
w
p
hpw .
La interpretación económica de la expresión (30)-(31) es diferente a la de la expresión (25)(27). Mientras en (25)-(27) la condición de optimalidad incluye las externalidades de los arcos
de las rutas utilizadas (independiente del costo a flujo libre), en (30)-(31) las externalidades
son ponderadas por la utilidad marginal del ingreso. Dado que hemos supuesto funciones de
utilidad tradicionales sujetas a los axiomas de no saciedad y rendimientos decrecientes, esto es
U p
 2U p
0 y
 0 , se tendrá que las rutas que tengan mayor costo individual en la
g 2p
g p
asignación óptima de sistema quedarán multiplicadas por una utilidad marginal del tiempo
disponible mayor en (36) que aquéllas rutas en que el tiempo individual demandado sea
menor.
Acta XV Chileno de Ingeniería de Transporte, 2011
Así, es esperable que la asignación de máximo bienestar reduzca el flujo por las primeras rutas
(de mayor costo individual) y aumente el flujo por las últimas (de menor costo individual). En
ese sentido, es posible argumentar que la nueva asignación basada en maximizar el bienestar
social a la Bergson-Samuelson será menos resistida por los usuarios que la asignación óptima
de sistema basada en el segundo principio de Wardrop.
4. ALGUNAS PROPIEDADES PARA LAS FUNCIONES DE COSTO LINEAL
4.1 Red Simple con Costos Lineales
Para el ejemplo de la sección 2, la condición (25) resultaría de la siguiente forma:
ca
c
f a  ca  b fb  cb
f a
fb
(33)
c  a
ca
c
c  b
y fb  b
, si reemplazamos
  a y b  b , además de que f a  a
a
f a
fb
b
en (33) obtenemos:
Dado que
 2ca   a 
 2cb  b 
  b 
  2  ca  cb    a  b 
 a 
 b 
a 
(34)
Como bajo el equilibrio de mercado ca  cb , se deberá cumplir que  a   b . Por lo tanto, si los
costos fijos entre las rutas alternativas son iguales, el equilibrio de mercado llevará a una
asignación que minimiza el tiempo total de la red.
4.2 Red General con Costos Lineales
Es posible generalizar el resultado de la sección 4.1 para redes con costos lineales y tiempos a
flujo libre de las rutas usadas iguales. Esto se obtiene fácilmente a partir de la condición de
optimalidad (25), que establece que:
Cˆ pw
h
w
p

Cˆ qw
h
w
q
,   p, q   Pw , hpw  0, hqw  0
Considerando que
Cˆ pw
hpw
  ca  f a 
 ap se obtiene:
f a
aA

Cˆ pw


 c

c
   ca  a f a   ap    ca ap     a f a ap 
h
f a 
aA 
aA
aA  f a

w
p
Dado que
(35)
ca
c  a
, la ecuación (36) se reduce a:
  a y que f a  a
f a
a
Acta XV Chileno de Ingeniería de Transporte, 2011
(36)
Cˆ pw
  c  a  
   ca ap      a  a
  ap 
h
a A
a A 
 a  
(37)
w
p
Cˆ pw
hpw
 2C p    a ap 
(38)
aA
Imponiendo la condición (35) resulta:
Cˆ pw
hpw

Cˆ qw
hqw
 2C p    a ap   2Cq    a aq 
a
(39)
a
Luego, si los costos a flujo libre de las rutas usadas entre el par w son los mismos


   a ap     a aq   , de (39) se obtiene que:
aA
 aA

C pw  Cqw ,   p, q   Pw , hpw  0, hqw  0
(40)
Por lo tanto, considerando funciones de costo lineales en los arcos, se demuestra que la
asignación generada por el equilibrio de mercado (primer principio de Wardop) es consistente
con una asignación a costos marginales que minimice el costo total del sistema (Segundo
principio de Wardrop), siempre que los costos a flujo libre de las rutas usadas sean los
mismos.
Finalmente, podemos indicar también que las condiciones de optimalidad (29) y (25) serán
equivalentes, independiente del tipo de función de costos sobre los arcos, si los viajeros
presentan funciones de utilidad lineales. De hecho, si U p     g p (> 0) es fácil demostrar
que, si todos los individuos son iguales y tienen el mismo tiempo total disponible, se cumplirá
que:
U
w
p
U
w
p
hpw      g p  hpw    hpw    g p hpw
w
p
p
U
w
p
p
w
w
w
(42)
p
hpw    T   Tw    C p hpw
w
(41)
p
hpw    Tw    T  C p  hpw
w
p
p
w
p
Acta XV Chileno de Ingeniería de Transporte, 2011
(43)
Dado
que
  T   Tw
es
constante
y
>
0,
se
tendrá
que
w
max  U p hpw  min  C p hpw .
w
p
w
p
4. CONCLUSIONES
Muchos procesos de planificación de sistemas de transporte urbano han desarrollado
metodologías cuyo objetivo es optimizar el uso de recursos, basándose para ello en criterios
como el que establece el segundo principio de Wardrop, el cual consiste en asignar flujos o
diseñar redes de transporte de tal forma que se minimice el costo total de los viajeros sobre la
red. Sin embargo, los resultados pueden diferir si en lugar de minimizar el costo total del
sistema el objetivo fuese maximizar una función de bienestar social definida como la suma de
las utilidades de los viajeros.
En este trabajo demostramos que, para una función de bienestar definida a partir de la suma de
las utilidades de los viajeros (bienestar a la Bergson-Samuelson), incluso un equilibrio de
mercado basado en el primer principio de Wardrop podría generar un nivel de bienestar social
superior al que se obtendría bajo un criterio de asignación basado en el segundo principio de
Wardrop. Es decir, minimizar los costos totales de la red podría llevar a una reducción en el
bienestar social.
La minimización de los costos totales de los individuos en el segundo principio de Wardrop
conlleva que ciertos individuos son asignados a rutas con un alto costo individual (comparado
a las rutas alternativas para el mismo viaje) debido al bajo costo marginal que significan para
el sistema. Debido a la utilidad marginal decreciente, estos individuos enfrentan un impacto en
su bienestar mayor por unidad de tiempo que aquellos usuarios que son asignados a rutas con
tiempos de viaje menores. Dado que la utilidad marginal es parte activa de la asignación a
máximo bienestar, ésta asignación reducirá la diferencia de costo (y de bienestar) entre los
usuarios perjudicados y beneficiados. Así, una asignación que maximiza el bienestar a la
Bergson-Samuelson debiese ser menos resistida por los usuarios que una asignación que
minimiza los costos totales del sistema según el segundo principio de Wardrop.
Sin embargo, si los individuos presentan funciones de utilidad lineales, la asignación basada en
el segundo principio de Wardrop (minimización de costos totales) coincide con el equilibrio
que maximiza la función de bienestar social, independiente del tipo de función de costo sobre
los arcos.
Finalmente, demostramos que si en los arcos de una red existen funciones de costo lineales
que dependen del flujo propio, y si las rutas alternativas presentan el mismo costo a flujo libre,
el equilibrio de mercado coincide con la asignación que minimiza el costo total del sistema.
Por lo tanto, en estos casos el mercado alcanzaría una asignación óptima de recursos pese a la
existencia de congestión.
Acta XV Chileno de Ingeniería de Transporte, 2011
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ANEXOS
Ejemplo Analítico Para una Red Simple
Para la red de la Figura 1, consideremos una demanda fija total f a  f b  100 y las siguientes
funciones de costo para cada arco:
ca  f a   50  f a
,
cb  fb   120  5 fb
(44)
Para estos datos, el equilibrio de mercado (primer principio de Wardrop) es:
f a*  95 ,
fb*  5 ,
ca  f a*   cb  fb*   145
(45)
El costo total de la red es ca  f a*   f a*  cb  fb*   fb*  14.500 . Si consideramos una función de
utilidad de la forma U i 
 gi 
1
1

 t  ci 
1
1
, con t = 200 y = 0.7, el valor de la función de
Acta XV Chileno de Ingeniería de Transporte, 2011
bienestar social es U  ca*   f a*  U  cb*   fb*  1.109,1 .
Por otra parte, la asignación a costo total mínimo (segundo principio de Wardrop) es:
f a*  89,17 ,
fb*  10,83 ,
ca  f a*   139,17 ,
cb  fb*   174,17
(46)
El costo total de la red es ca  f a*   f a*  cb  fb*   fb*  14.295,8 , y el valor de la función de
bienestar es U  ca*   f a*  U  cb*   fb*  1.115,1 . Por lo tanto, si comparamos el resultado (45)
con el resultado (46) vemos que para este último el costo total se reduce en 204,2 unidades
mientras que el bienestar social aumenta en 6 unidades. En consecuencia, para este ejemplo
tenemos que una asignación a mínimo costo total también aumenta el bienestar social.
Sin embargo, si consideramos ahora que el costo del arco a es ca  f a   100  f a , el equilibrio
de Mercado sería:
f a*  86, 7 ,
fb*  13,3 ,
ca  f a*   cb  fb*   186, 7
(47)
El costo total de la red es ca  f a*   f a*  cb  fb*   fb*  18.666, 7 y el valor de la función de
bienestar social es U  ca*   f a*  U  cb*   fb*  725 .
Del mismo modo, la asignación a costo mínimo ahora sería:
f a*  85 ,
fb*  15 ,
ca  f a*   185 ,
cb  fb*   195
(48)
El costo total de la red es ca  f a*   f a*  cb  fb*   fb*  18.650 , y el valor de la función de
bienestar social es U  ca*   f a*  U  cb*   fb*  719,5 .
Por lo tanto, si comparamos el resultado (47) con el resultado (48) vemos que para este último
el costo total se reduce en 16,7 unidades, pero ahora el bienestar social se reduce en 5,5
unidades. En consecuencia, para este ejemplo tenemos que una asignación a mínimo costo
total reduce el bienestar social.
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