CAPITULO VIII MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO

Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
CAPITULO
VIII
MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO
8.1
Introducción
El movimiento gradualmente variado (M. G. V.) es un flujo permanente cuya profundidad (calado
o tirante) varía suavemente a lo largo del eje de un canal. En consecuencia, la velocidad varía
de una sección a otra. A diferencia de lo que ocurre en el movimiento uniforme, en el que las
pendientes del fondo, de la superficie libre y de la línea de energía son iguales, en el movimiento
gradualmente variado estas tres pendientes son diferentes.
El movimiento uniforme se da pocas veces en la naturaleza. No ocurre ni aun en los canales
hechos por el hombre, en los que el flujo sólo se aproxima al movimiento uniforme. Lo real es
que a lo largo de una conducción abierta (canal) hay cambios de pendiente, sección, rugosidad
y alineamiento que determinan la aparición de un movimiento, que siendo permanente no es
uniforme. Es variado. En este capítulo examinaremos el caso particular del movimiento
gradualmente variado.
La teoría del movimiento gradualmente variado empezó a desarrollarse en 1828 con los
estudios de Belanger y recién está completándose. Siguiendo a Ven Te Chow se presenta a
continuación los aspectos generales del movimiento gradualmente variado (M. G. V.).
La hipótesis general para el estudio del movimiento gradualmente variado es la siguiente
La pérdida de carga en una sección es la misma que
correspondería a un flujo uniforme que tuviese la misma
velocidad y radio hidráulico que la sección mencionada.
La aceptación de esta hipótesis implica que las fórmulas del flujo uniforme (Manning, Chezy,
395
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
etc.) pueden usarse para calcular la pendiente de la línea de energía en una sección de un
movimiento gradualmente variado. Además de la hipótesis general es necesario hacer otras.
Las principales son las siguientes
i)
La distribución de presiones en cada sección transversal es hidrostática. Esto implica un
flujo paralelo. Para que esta hipótesis no se aleje de la realidad se requiere que la variación
del tirante sea efectivamente gradual (suave) y, en consecuencia, la curvatura debe ser
pequeña. Cuando el radio de curvatura de la superficie libre es pequeño, menor que el
tirante, ya el movimiento no es gradualmente variado, sino rápidamente variado.
Cuando las líneas de corriente tienen curvatura, la distribución de presiones se diferencia
de la del movimiento uniforme y debería ser como aparece en la Figura 8.1.
M
M
P'
P
N
N
Flujo convexo
P
P'
Flujo cóncavo
M
P
N
Flujo uniforme
Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo
En cambio, en un movimiento uniforme la distribución de presiones es hidrostática, tal
como se aprecia en la Figura 8.1. Este tipo de flujo se llama paralelo. Las líneas de
corriente no tienen curvatura y, por lo tanto, no hay componentes de la aceleración
normales a la dirección de la corriente.
Los flujos convexos y cóncavos son curvilíneos. Hay una aceleración normal a la dirección
de la corriente. Si el flujo fuera paralelo la distribución de presiones correspondería a la
línea MP. En cambio, en el flujo convexo la fuerza centrífuga actúa en sentido contrario a
la gravedad y la presión resultante es menor que la correspondiente al flujo uniforme. En
el flujo cóncavo ocurre lo contrario, tal como puede verse en la Figura 8.1.
396
Capítulo VIII
ii)
Movimiento gradualmente variado
El canal es prismático. Esto significa que el canal tiene una sección transversal geométrica
definida (rectángulo, trapecio, triángulo, etc.) y que su alineamiento es recto. Un río no
es un ‘‘canal prismático’’.
iii)
El coeficiente de rugosidad es constante a lo largo del escurrimiento e independiente del
tirante.
iv)
La distribución de velocidades es invariable, lo que significa que el coeficiente de Coriolis
es constante, es el mismo, en todas las secciones transversales a pesar de que la
velocidad media varía.
v)
La pendiente del canal es pequeña, de modo que
a)
La profundidad es la misma, sea que se considere una vertical o la normal al fondo
del canal.
b)
No se considera aire incorporado. Cuando la pendiente es grande, la alta velocidad
da lugar a que el agua atrape aire, incorporándolo al escurrimiento y produciéndose,
eventualmente, un aumento del tirante. Este fenómeno se presenta generalmente
para velocidades mayores de 6 m/s.
En una canal de pendiente grande se tendría la siguiente expresión de la presión en un
punto de la corriente.
y y cos2 θ
y cosθ
θ
Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente.
Cuando la pendiente se supone pequeña desaparecen los problemas de aire incorporado
y, además, la profundidad a considerarse es la misma, ya sea que se mida vertical o
normalmente al fondo.
vi)
El factor de sección
Z y el factor de capacidad K , que se definen a continuación, son
funciones exponenciales del tirante.
397
Hidráulica de tuberías y canales
El factor de sección
Arturo Rocha
Z se define de la siguiente manera
Z=A d
siendo
(8-1)
d = A T , de acá que el factor de sección pueda también expresarse así
A3
T
Z=
(8-2)
A es el área de la sección transversal y T es el ancho superficial.
K hay que recordar que en el cálculo del
Para la definición del factor de capacidad
movimiento uniforme pueden usarse las expresiones genéricas siguientes
V = CR X S Y
(8-3)
Q = CAR X S Y
(8-4)
Tanto en la ecuación de Manning como en la de Chezy el exponente de la pendiente
S
es 1/2. Luego,
Q = CAR X S 2
1
(8-5)
K
Se denomina
K , factor de capacidad, a la expresión CAR X . En consecuencia,
K = CAR X
Como
(8-6)
K es directamente proporcional al gasto se considera que es una medida de la
capacidad de conducción de la sección transversal. De las últimas expresiones se deduce
inmediatamente que
Q = KS 2
(8-7)
Q
1
S2
(8-8)
1
Luego,
K=
Si se utiliza la ecuación de Chezy, entonces,
398
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
1
K = CAR 2
(8-9)
Si se utiliza la ecuación de Manning,
2
AR 3
K=
n
8.2
(8-10)
Definiciones fundamentales
Cuando en una corriente el tirante está determinado exclusivamente por el gasto, pendiente,
rugosidad y geometría de la sección se dice que hay condiciones normales. El tirante se
denomina normal ( y n ).
En un canal, o río, pueden presentarse ciertas singularidades que alteran el tirante normal (y,
por lo tanto, la velocidad media de la corriente).
Así por el ejemplo, cuando se construye un vertedero en un canal, o una presa en un río, la
corriente se eleva y, por lo tanto, se aparta de las condiciones normales. Su tirante se hace
mayor que el normal. Si esa variación de tirante no es brusca se genera un movimiento
gradualmente variado. A este caso particular se le llama una corriente peraltada porque su
tirante es mayor que el normal. Aguas arriba de la presa o vertedero aparece una curva de
remanso, (Figura 8.3).
Podría ser también que en un canal o río haya una caída brusca. En el plano de la caída la
energía es mínima, y en sus inmediaciones hay un tirante crítico. El río que viene de aguas
arriba con un tirante normal disminuye su tirante para aproximarse al crítico. Aparece así una
corriente deprimida porque el tirante es menor que el tirante normal, tal como se ve en la
Figura 8.3.
Eje Hidráulico
y
Vertedero
yn
Corriente peraltada y > yn
yn
y
yc
Corriente deprimida y < yn
Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida
399
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Hay muchas otras formas en las que puede generarse un movimiento gradualmente variado.
Cuando un canal o río desemboca en el mar, las mareas producen alternadamente corrientes
peraltadas y deprimidas. También un cambio de pendiente da lugar a una curva de ‘‘empalme’’,
entre los respectivos tirantes normales, produciéndose así un movimiento gradualmente variado.
Antes de establecer la ecuación del movimiento gradualmente variado conviene precisar otras
definiciones.
Ríos y torrentes. Esta es una clasificación que se refiere a la corriente.
En un río, el tirante (del movimiento gradualmente variado) es mayor que el crítico. En cambio,
en un torrente es menor.
y
yc
yc
y
Río ( y > yc )
Torrente ( y < yc )
Figura 8.4 Ríos y torrentes
En un río la velocidad de propagación de una onda superficial es menor que la velocidad media de
la corriente. Lo contrario ocurre en los torrentes. Por lo tanto, los ríos dependen de las condiciones
de aguas abajo. En cambio los torrentes no dependen de las condiciones de aguas abajo.
Pendientes suaves y fuertes. Esta es una clasificación que se refiere al lecho. Son pendientes
suaves los lechos en los que el tirante normal es mayor que el crítico. Son pendientes fuertes
los lechos en los que el tirante normal es menor que el crítico.
A las pendientes suaves se les denomina también tipo M, del ingles mild, y a las pendientes
fuertes se les denomina tipo S, del ingles steep.
yn
yc
Pendiente suave (tipo M) yn > yc
yc
yn
Pendiente fuerte (tipo S) yn < yc
Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes
400
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
Son pendientes suaves los lechos que en movimiento uniforme dan ríos y son pendientes
fuertes los que dan torrentes.
Si varía la rugosidad del contorno, conservándose constantes las otras características, un
lecho de pendiente suave puede convertirse en fuerte, o viceversa.
Nótese que fuera del movimiento uniforme, en cualquier clase de pendiente (fuerte o suave),
puede escurrir un río o un torrente.
La pendiente crítica es la que separa las pendientes suaves de las fuertes y da escurrimiento
crítico en movimiento uniforme.
Zonas
En función de las posiciones relativas (magnitud) que tienen el tirante crítico
yc , el normal
y n , así como el del movimiento gradualmente variado y , se distingue tres zonas
Zona 1
8.3
y > yc
y > yn
El tirante del movimiento gradualmente variado
y es mayor
que el tirante crítico y también es mayor que el tirante normal.
Zona 2
yc < y < yn
yn < y < yc
Zona 3
y < yc
y < yn
El tirante del movimiento gradualmente variado
y está
comprendido entre el crítico y el normal.
El tirante del movimiento gradualmente variado
y es menor
que el tirante crítico y también es menor que el tirante normal.
Ecuación general del movimiento permanente gradualmente
variado
Sea una sección longitudinal cualquiera de un movimiento permanente gradualmente variado,
que se presenta en un canal prismático con gasto constante Q , tal como se aprecia en la
Figura 8.6. La energía total
H es
V2
H=
+ y+ z
2g
(8-11)
Estamos suponiendo que el coeficiente de Coriolis es igual a 1 y que la pendiente del fondo
es pequeña.
401
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
(1)
V2
2g
(2)
SE
Línea de energía
H
SW
y
Superficie libre
S0
z
Fondo
dx
θ
x
Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado
dH
, siendo x la ordenada en la dirección
dx
de la corriente. Derivando la energía total H con respecto a x se tiene
La variación de esta energía a lo largo del canal es
V 2

d  + y + z
2g
dH

= 
dx
dx
(8-12)
La pendiente
S0 del fondo se define como el seno del ángulo θ .
La pendiente
SE de la línea de energía se obtiene a partir de la ecuación de Chezy o de la de
Manning.
La pendiente se asume como positiva si desciende en la dirección del flujo y como negativa si
asciende en la dirección del flujo. La variación de energía
∆H es siempre negativa en la
dirección del flujo, pues lo contrario implicaría que se añadiese energía al sistema. La variación
de la elevación del fondo ∆z puede ser positiva o negativa. En la Figura 8.6,
∆z es negativa.
Como ambas pendientes deben ser positivas, pues descienden en la dirección de
escurrimiento, se tendrá que
S0 = senθ = −
402
dz
dx
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
SE = −
dH
V2
V 2 n2
=− 2 = − 4
dx
C R
R3
Luego,
V 2

d 
+ y 
 2g
 − S = −S
0
E
dx
( 8-12a)
V 2

Pero 
+ y  es la energía específica E (ver la ecuación 7-2). Por lo tanto,
 2g

dE
= S0 − SE
dx
(8-13)
Pero, anteriormente hemos establecido (capítulo VII, ec. 7-19) que
dE
=1− F2
dy
Luego, combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene
dy S 0 − S E
=
dx 1 − F 2
(8-14)
que es una de las formas de la ecuación general del movimiento gradualmente variado.
Como el cuadrado del número de Froude es
F2 =
Q2T
gA3
(8-15)
se tiene que,
dy S 0 − S E
=
dx
Q 2T
1−
gA3
(8-16)
403
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Vamos a hacer algunas transformaciones en esta ecuación, a fin de introducir el factor de
capacidad ( K ) y el factor de sección ( Z ).
Según la definición de factor de capacidad
K=
Q
1
SE 2
para cualquier sección del M. G. V.
Q
1
S0 2
Kn =
para el movimiento uniforme
Luego,
SE  K n 
=
S 0  K 
2
Según la definición de factor de sección
Z=
A3
T
para cualquier sección
Zc =
Q
g
para condiciones críticas
Esta última expresión se obtiene a partir de la consideración de que para condiciones críticas
el número de Froude es igual a 1, por lo tanto
Vc = gd c = g
A
T
Q2
A
=g
2
A
T
;
;
Vc =
Q
A
= g
A
T
Q 2 A3
=
= Zc2
g
T
Luego,
2
2
 Zc  = Q T
 Z 
gA3
Introduciendo en la ecuación 8-16 los valores obtenidos para
404
K y Z se llega a
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
2
K
1 −  n 
dy
K 
= S0
2
dx
 Zc 
1−  
Z 
(8-17)
que es otra de las formas de la ecuación general del movimiento permanente gradualmente
variado.
Las ecuaciones de movimiento gradualmente variado, 8-14, 8-16 y 8-17 representan la variación
de la superficie libre con respecto al fondo del canal.
Aplicación a una sección rectangular muy ancha
Si usamos la fórmula de Manning (8-10) se tiene
2
Kn =
5
3
AR
y3
= n (para condiciones normales)
n
n
2
5
AR 3 y 3
K=
=
n
n
(para cualquier sección del M. G. V.)
2
Z c = A dc = y c3
(para flujo crítico)
3
Z = A d = y2
(para cualquier sección del M. G. V.)
Reemplazando estos valores en la ecuación general (8-17) se obtiene
10
y  3
1−  n 
dy
y
= S0
3
dx
 yc 
1−  
y
(8-18)
que es la ecuación de eje hidráulico para un canal rectangular muy ancho (fórmula de Manning)
en movimiento gradualmente variado.
Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy (8-9), entonces la ecuación general del movimiento
gradualmente variado sería
405
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
y 
1−  n 
y
dy
= S0  3
dx
y 
1−  c 
y
3
(8-19)
Si el coeficiente de Coriolis no fuese igual a la unidad, habríamos tenido que introducir su valor
(constante) en la ecuación 8-11 y proseguir con el desarrollo.
La ecuación general del movimiento gradualmente variado también puede expresarse así
Q 
1−  
dy
 Qn 
= S0
2
dx
Q
1−  
 Qc 
2
(8-20)
Q el gasto del movimiento gradualmente variado, Qn es el gasto para un flujo normal
cuyo tirante y fuese igual al del movimiento gradualmente variado, Qc es el gasto crítico
para una profundidad y.
siendo
Mediante algunas sencillas transformaciones puede obtenerse para el M. G. V. la siguiente
ecuación
Q2
dy
C 2 A2 R
=
dx
Q2
1− 2
gA d
S0 −
siendo
d el tirante hidráulico
(8-21)
A
T
Ejemplo 8.1 Demostrar que para un canal rectangular de ancho variable b y pequeña pendiente la
ecuación del movimiento gradualmente variado es
dy
=
dx
406
αQ 2 y db
gA3 dx
αQ 2 b
1−
gA3
S0 − S E +
(8-22)
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
Solución. A partir de la ecuación 8-12a y de la introducción del coeficiente de Coriolis obtenemos
V 2 
d 

2 g 
dy

− S E = −S 0 +
+α
dx
dx
(1)
Pero,
V 2 
d 

 2g 
=
dx
 Q2 
d 

2 
2
−2
Q2
 2 gA  Q dA
=
=
(− 2) A−3 dA
dx
2 g dx
2g
dx
=−
Q 2  dy
db 
b
+y 
3 
gA  dx
dx 
Reemplazando en (1)
− S E = −S 0 +
dy
Q 2  dy
db 
−α 3 b
+y 
dx
gA  dx
dx 
De donde,
dy
=
dx
αQ 2 y db
gA3 dx
αQ 2 b
1−
gA3
S0 − S E +
que es la expresión buscada.
8.4
Discusión de la ecuación del eje hidráulico
El signo de
dy
en la ecuación del M. G. V. nos da una indicación sobre algunas características
dx
del eje hidráulico. Así,
SW
dy
Si
> 0,
dx
entonces el tirante
y aumenta
en la dirección de la corriente.
y
S0
La superficie libre se levanta.
Esta condición se da en los
ríos peraltados y en los
torrentes deprimidos.
La superficie libre se levanta (
dy
>0 )
dx
407
Hidráulica de tuberías y canales
Si
Arturo Rocha
dy
< 0,
dx
entonces
SW
el
y
tirante
S0
disminuye en la dirección de
y
la corriente. La superficie libre
desciende. Se da en los ríos
deprimidos y en los torrentes
La superficie libre desciende (
peraltados.
dy
dx
0)
Para comprender mejor la discusión de la ecuación del eje hidráulico examinemos algunos
casos especiales.
¿Qué ocurre cuando el tirante
y del movimiento gradualmente variado se hace
igual al tirante crítico?
Esto implica que en la ecuación 8-17 se cumple que
Z = Z c , por lo tanto en la ecuación
diferencial del eje hidráulico se tendrá que como el denominador tiende a cero, entonces
dy
→ infinito
dx
lo que implicaría que para
y = yc el eje hidráulico debería ser vertical, tal como se aprecia en
la Figura 8.7.
yc
y = yc
y
Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con
Esto significa que en las proximidades del tirante crítico ( y =
y = yc
yc ) el eje hidráulico tiene una
gran curvatura y por lo tanto ya no es válida la hipótesis del movimiento gradualmente variado
de considerar que las líneas de corriente son paralelas y de aceptar, por lo tanto, una distribución
hidrostática de presiones. La consecuencia de este hecho es que la ecuación establecida
para el eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado no puede usarse en las
inmediaciones de
408
y = yc .
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
¿Qué ocurre cuando el tirante se acerca a cero?
En el caso más general el valor de
dy
se hace indeterminado.
dx
Examinemos algunos casos particulares. Si fuera un canal rectangular muy ancho en el que
se aplica la fórmula de Manning, (8-18), entonces para
y = 0 se obtiene que
dy
→ infinito,
dx
lo que implicaría que el eje hidráulico fuese vertical. En cambio, si hubiéramos usado la
fórmula de Chezy (8-19) se tendría que
dy
y3
= S 0 n3
dx
yc
lo que significaría que el eje hidráulico hace un cierto ángulo con el fondo.
¿Qué ocurre si el tirante es igual al tirante normal?
Entonces
dy
= 0 lo que significa que la superficie es paralela al fondo y se trata, por lo tanto,
dx
de un movimiento uniforme ( S 0 = S W ) .
¿Qué ocurre si el tirante
y crece indefinidamente?
Entonces,
dy
→ S0
dx
o sea que la superficie libre tiende a ser horizontal.
8.5
Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado
Partimos de la ecuación 8-17 y consideramos dos posibilidades con respecto al signo del
primer miembro. Para cada una de ellas se presenta esquemáticamente la forma en la que,
algebraicamente, se podría obtener el signo (positivo o negativo) del primer miembro.
La ecuación del eje hidráulico en el movimiento gradualmente variado, según la ecuación 8-17
es
409
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
2
K
1 −  n 
dy
K 
= S0
2
dx
 Zc 
1−  
Z 
En esta ecuación pueden presentarse las siguientes posibilidades
dy
>0
dx
Numerador y denominador positivos
dy
<0
dx
Numerador positivo y denominador negativo
Numerador y denominador negativos
Numerador negativo y denominador positivo
Con base en las posibilidades planteadas en este esquema general haremos la discusión de
cada uno de los seis casos del movimiento gradualmente variado, que son los siguientes
-
Río peraltado en pendiente suave (M1)
-
Río peraltado en pendiente fuerte (S1)
-
Torrente deprimido en pendiente suave (M3)
-
Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3)
-
Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2)
-
Río deprimido en pendiente suave (M2)
PRIMERA POSIBILIDAD
dy
>0
dx
Numerador y denominador positivos
Como el numerador es positivo esto significa que
1−
lo que necesariamente implica
normal ( y >
K n2
>0
K2
K > K n . Es decir, que el tirante es mayor que el tirante
y n ).
Se trata por lo tanto de una corriente peraltada. Esta es una conclusión de carácter general:
siempre que el numerador sea positivo se tiene una corriente peraltada.
410
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
Como el denominador también es positivo, esto significa que
1−
Lo que necesariamente implica
Z c2
>0
Z2
Z > Z c ( y > yc ). Se trata por lo tanto de un río. Esta es
también una conclusión de carácter general: siempre que el denominador sea positivo se
tiene un río.
Por lo tanto, numerador y denominador positivos implican necesariamente un río peraltado.
Este río peraltado puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte. Tenemos así los dos
primeros casos del movimiento gradualmente variado.
Caso 1 Río peraltado en pendiente suave (M1)
Por tratarse de un río el tirante del
M1
movimiento gradualmente variado
es mayor que el tirante crítico y
yn
por tratarse de una corriente
peraltada el tirante es mayor que
y
yc
el normal y por ser pendiente
suave el tirante normal es mayor
que el crítico. Por lo tanto,
Río peraltado en pendiente suave
y > y n > yc
Como el tirante es mayor que el normal y que el crítico, se dice que el eje hidráulico está en
la ZONA 1.
Como la pendiente es suave la curva es tipo M1. Es una curva cóncava.
Obsérvese que en cada sección transversal las velocidades son menores que las que
corresponderían al movimiento uniforme. Por lo tanto, las pérdidas de carga también serán
menores.
Esta curva es la más conocida y estudiada, pues se presenta frecuentemente. Usualmente
se le llama curva de remanso. Se observa que el eje hidráulico es asintótico a la recta
y = yn ,
de la que se separa gradualmente. Crece hacia aguas abajo.
Esta curva puede aparecer cuando se coloca un vertedero en un canal. También cuando hay
una presa vertedora en el lecho del río, cuando hay una diminución de pendiente, un aumento
en la rugosidad, un cambio de sección, en la entrega de un canal al mar o a un reservorio, etc.
411
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Caso 2 Río peraltado en pendiente fuerte (S1)
Por tratarse de un río el tirante del
S1
SALTO
movimiento gradualmente variado
es mayor que el tirante crítico y
por tratarse de una corriente
y
peraltada el tirante es mayor que
yc
yn
el normal y por ser pendiente
fuerte el tirante normal es menor
que el crítico. Luego,
Río peraltado en pendiente fuerte
y > yc > yn
Es una curva tipo S1, pues la pendiente es fuerte y el eje hidráulico está siempre por encima
del tirante crítico y del normal (ZONA 1).
Este eje hidráulico crece hacia aguas abajo a partir de su separación de
y = yc , que la
realiza normalmente. Esta curva empieza con un salto y tiende asintóticamente hacia aguas
abajo. Es una curva convexa.
Este tipo de perfil se origina de un modo similar al anterior, es decir, en un vertedero, presa o
compuerta que produzca una sobreelevación de la superficie libre, variando en que la pendiente
es fuerte. Esta curva es de longitud limitada.
Prosiguiendo con la discusión tenemos que
SEGUNDA POSIBILIDAD
dy
>0
dx
Numerador y denominador negativos
Como el numerador es negativo esto implica que
1−
lo que nos conduce a
K n2
<0
K2
K n > K ( yn > y ). Es decir que el tirante es menor que el tirante normal.
Se trata por lo tanto de una corriente deprimida. Esta es una conclusión de carácter general:
siempre que el numerador es negativo se trata de una corriente deprimida.
Como el denominador también es negativo se tiene que
1−
412
Z c2
<0
Z2
Capítulo VIII
Lo que implica
Movimiento gradualmente variado
Z c > Z . Es decir, que el tirante es menor que el crítico ( y < yc ). Se trata por
lo tanto de un torrente. Esta es también una conclusión de carácter general: siempre que el
denominador sea negativo se trata de un torrente.
Por lo tanto, numerador y denominador negativos implican un torrente deprimido, que por
cierto puede darse en pendiente suave o en pendiente fuerte, dando así lugar a otros dos
casos de movimiento gradualmente variado.
Caso 3 Torrente deprimido en pendiente suave (M3)
Por tratarse de un torrente el tirante
del movimiento gradualmente
variado es menor que el tirante
crítico y por tratarse de una
M3
corriente deprimida el tirante es
SALTO
menor que el normal y por ser
pendiente suave el tirante normal
y
yc
yn
es mayor que el crítico. Luego,
yn > y c > y
Torrente deprimido en pendiente suave
Como el tirante es menor que el crítico y que el normal se dice que el eje hidráulico está en la
ZONA 3. La curva es tipo M3. Es una curva cóncava.
Este perfil debería empezar teóricamente en el fondo, lo que es físicamente imposible.
Se puede originar en una compuerta de fondo como en la figura, también en una grada, en un
estrechamiento o, en una disminución de pendiente de fuerte a suave. Esta curva no llega en
realidad a alcanzar el tirante crítico, sino que salta al nivel
yn que está determinado por las
condiciones de aguas abajo.
Caso 4 Torrente deprimido en pendiente fuerte (S3)
Por tratarse de un torrente el
tirante
del
movimiento
gradualmente variado es menor
que el crítico y por tratarse de una
S3
corriente deprimida el tirante es
menor que el normal y por ser
pendiente fuerte el tirante normal
y
yn
yc
es menor que el crítico, Por lo
tanto,
Torrente deprimido en pendiente fuerte
413
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
yc > yn > y
Es un perfil tipo S3. Se trata de una curva convexa, asintótica hacia aguas abajo. Es muy
poco frecuente.
Puede ocurrir aguas abajo de la descarga de una compuerta de fondo de pequeña abertura,
que entrega a un canal de pendiente fuerte, o bien, por ejemplo, en un cambio de pendiente de
muy fuerte a fuerte.
Examinemos ahora los casos en los que la superficie libre desciende (se acerca al fondo) en
la dirección del escurrimiento, lo que implica la condición
dy
<0
dx
TERCERA POSIBILIDAD
dy
< 0 Numerador positivo y denominador negativo
dx
Según lo que hemos examinado anteriormente, numerador positivo significa corriente peraltada
y denominador negativo significa torrente. Esta combinación de signos da un torrente peraltado.
Este torrente peraltado podría darse en principio en una pendiente suave o en una pendiente
fuerte.
Para que se dé en una pendiente suave se requeriría lo siguiente
Corriente peraltada
y > yn
Torrente
y < yc
Pendiente suave
y > yc
No hay solución posible
Por lo tanto, no existe un torrente peraltado en pendiente suave. Para la combinación de
signos sólo hay una solución posible que es la que se presenta en el caso siguiente.
Caso 5 Torrente peraltado en pendiente fuerte (S2)
Por tratarse de un torrente el tirante
del movimiento gradualmente
variado es menor que el tirante
crítico y por tratarse de una
corriente peraltada el tirante es
mayor que el normal y por ser
pendiente fuerte el tirante normal
es menor que el crítico. Luego,
414
S2
y
yn
Torrente peraltado en pendiente fuerte
yc
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
yc > y > y n
Como el tirante
y es intermedio entre el crítico y el normal el eje hidráulico se desarrolla en
la ZONA 2.
La curva es del tipo S2. A veces a esta curva se la llama un remanso de depresión. Es una
curva cóncava, asintótica hacia aguas abajo.
Nótese que al corresponder este caso a
dy
< 0 la superficie libre desciende en la dirección
dx
del escurrimiento.
El eje hidráulico debe ser normal a
y = yc . Este perfil puede originarse, por ejemplo, en un
cambio de pendiente o como consecuencia de un ensanchamiento de la sección.
CUARTA POSIBILIDAD
dy
<0
dx
Numerador negativo y denominador positivo
El numerador negativo significa corriente deprimida y denominador positivo equivale a un río.
Luego, esta combinación de signos significa río deprimido. En principio puede darse en pendiente
suave o en pendiente fuerte. De esta consideración se origina el caso siguiente.
Caso 6 Río deprimido en pendiente suave (M2)
M2
Por tratarse de un río el tirante del
movimiento gradualmente variado
es mayor que el tirante crítico y
por tratarse de una corriente
deprimida el tirante es menor que
yn
yc
y
el normal y por ser pendiente
suave el tirante normal es mayor
que el crítico. Luego,
Río deprimido en pendiente suave
yn > y > yc
Como el tirante
y es intermedio entre el normal y el crítico, el eje hidráulico está en la ZONA 2.
Es una curva convexa del tipo M2.
415
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
El eje hidráulico desciende en la dirección del escurrimiento y se acerca normalmente a
y = yc . El eje hidráulico es asintótico a y = y n .
Este perfil se puede originar de varias maneras: una grada, una expansión en la sección, un
cambio de pendiente, etc.
Se demuestra fácilmente que la otra posibilidad (río deprimido en pendiente fuerte) es imposible.
Resumen de la discusión de los seis casos del M. G. V.
Hay varias maneras de resumir esquemáticamente la discusión de los seis casos del
movimiento gradualmente variado.
En el libro de Domínguez se encuentra una tabla que resume la discusión de la ecuación
general del M. G. V. que se presenta en la Tabla 8.1.
TABLA 8.1
RESUMEN DE LA DISCUSION DE LOS CASOS DEL
MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO
+
NUMERADOR
DENOMINADOR
416
CORRIENTE
PERALTADA
RIO
0
MOVIMIENTO
UNIFORME
CRISIS
CORRIENTE
DEPRIMIDA
TORRENTE
Capítulo VIII
Pueden sintetizarse los seis casos en el siguiente esquema
y > yn
RIO PERALTADO
M1 (CONCAVA)
dy
>0
dx
CASO 1
Pendiente Suave
y n > yc
yc > y n
RIO DEPRIMIDO
M2 (CONVEXA)
dy
<0
dx
CASO 6
CASO 3
y < yc
TORRENTE DEPRIMIDO
M3 (CÓNCAVA)
dy
>0
dx
y > yc
RIO PERALTADO
S1
(CONVEXA)
dy
>0
dx
yc > y > y n
TORRENTE PERALTADO
S2
(CONCAVA)
dy
<0
dx
yn
yc
CASO 2
CASO 5
CASO 4
y < yn
TORRENTE DEPRIMIDO
S3
(CONVEXA)
dy
>0
dx
417
⎛ dy
⎞
< 0 ⎟ son los ubicados en la ZONA 2.
⎝ dx
⎠
Obsérvese que los únicos perfiles que descienden en la dirección del escurrimiento ⎜
yc
yn
Movimiento gradualmente variado
Pendiente fuerte
y n > y > yc
Hidráulica de tuberías y canales
8.6
Arturo Rocha
Cambios de pendiente (perfiles de continuidad)
Como una ilustración del movimiento gradualmente variado se presenta una breve discusión
de diez perfiles del eje hidráulico (seis generales y cuatro especiales) generados
exclusivamente por cambio de la pendiente del fondo. Es decir, que se supone que todas las
otras características permanecen constantes.
Los seis casos generales son
-
De pendiente suave a pendiente más suave
-
De pendiente suave a pendiente menos suave
-
De pendiente suave a pendiente fuerte
-
De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte
-
De pendiente fuerte a pendiente más fuerte
-
De pendiente fuerte a pendiente suave
Los cuatro casos especiales son
-
De pendiente suave a pendiente crítica
-
De pendiente crítica a pendiente suave
-
De pendiente crítica a pendiente fuerte
-
De pendiente fuerte a pendiente crítica
1. De pendiente suave a pendiente más suave
Sean
y n1 e yn 2 los tirantes
normales en cada uno de los dos
M1
tramos.
P
En el primer tramo, por ser
pendiente suave,
yn1 > yc .
En el segundo tramo, por ser
pendiente suave también se
cumple que
yn2 > yc
tramo es mayor porque su
pendiente es menor que la del
418
yn
S0
y
yn
1
1
S0
El tirante normal del segundo
primero. Por lo tanto,
yc
yn 2 > y n1
Sc > S 0 > S0
1
2
2
Río uniforme
que empieza en el
punto P
2
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
El quiebre del fondo, de pendiente suave a más suave, da lugar a una curva de empalme tipo
M1, río peraltado en pendiente suave que se desarrolla en el primer tramo.
2. De pendiente suave a pendiente menos suave
Por consideraciones similares a
las anteriores se tiene que
yn 2 < yn1
M2
yn
1
y
yc
P
En ambos tramos se cumple que
S0
yn1 > yc (pendiente suave)
2
1
S0
2
S0 < S0 < Sc
yn2 > yc (pendiente menos
1
2
Río uniforme
suave)
Como
yn
yc
yn 2 está más cerca de yc que y n1 , se dice que la pendiente es menos suave.
El perfil de empalme es del tipo M2, río deprimido en pendiente suave. A partir del punto P
empieza un río uniforme.
3. De pendiente suave a pendiente fuerte
En el tramo de aguas arriba hay
un río que al aproximarse al
cambio de pendiente se deprime
(M2) y tiende a acercarse
normalmente a
y = yc , como un
M2 (río deprimido en
pendiente suave)
yn
1
yc
S2
río deprimido en pendiente suave.
S0
Inmediatamente aguas abajo del
S 0 < S c < S0
cambio de pendiente el torrente
se peralta (S2), arrancando
normalmente a
y = yc como un
torrente peraltado en pendiente
(torrente peraltado
en pendiente fuerte)
1
1
2
S0
2
SUAVE
FUERTE
yn > yc
yn < yc
1
yn
2
yc
2
fuerte.
419
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
4. De pendiente fuerte a pendiente menos fuerte
yc
yn
1
P
S0
S3
yn
1
S0
2
S0 > S0 > Sc
1
2
2
FUERTE
MENOS FUERTE
yn < yc
yn < yc
1
2
yn < yn
1
2
Este torrente no
puede ser modificado
por las condiciones de
aguas abajo.
Un torrente si puede
ser modificado por las
condiciones de aguas
arriba.
Desde el punto P se desarrolla un torrente deprimido en pendiente fuerte tipo S3.
5. De pendiente fuerte a pendiente más fuerte
El torrente aguas arriba no es influenciado por las condiciones de aguas abajo.
El torrente de aguas abajo se peralta a partir del cambio de pendiente, continuando en pendiente
más fuerte que la de aguas arriba.
yc
yn
S2
P
1
S0
(torrente peraltado
en pendiente fuerte)
1
S0
FUERTE
2
MAS FUERTE
yn
2
yc
S 0 > S 0 > Sc
2
1
y <y
c
6. De pendiente fuerte a npendiente
suave
1
yn > yn
yn < yc
2
1
2
Este es el caso más importante y corresponde
al salto hidráulico. Normalmente en un salto
420
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
y1 < y 2 (al respecto se puede ver la ecuación 7-90).
En el presente caso de cambio de pendiente, y n es el tirante y1 del salto.
1
hidráulico hay dos tirantes conjugados:
yc
yn
1
S0
yc
1
2
2
FUERTE
Si
SUAVE
yn < yc
yn > yc
puede ser igual, mayor o menor
y1 ( y n1 ) existe
1 un tirante conjugado y 2 que
2
Para el tirante
que
2
S0
S0 > S0
1
yn
yn > yn
yn 2 .
2
1
y2 < y n 2 el salto se produce en el tramo 1, es decir, que el salto se desplaza hacia aguas
arriba.
Si
y2 > yn 2 entonces el salto queda rechazado y se produce dentro del tramo 2.
Ambas posibilidades están presentadas en la figura adjunta.
7. De pendiente suave a pendiente crítica
M2
yn
1
yc
S0
1
S0 < Sc
yc = yn
Sc
2
1
SUAVE
CRITICA
El eje hidráulico se aparta suavemente
del movimiento uniforme,
y > y
y = y se desarrolla íntegramente entre
n1
c
n2
c
el tirante crítico y el normal y termina con una tendencia a hacer un ángulo de 90º con
y = yc .
En el segundo tramo hay un río uniforme en el que el tirante normal coincide con el tirante crítico.
8. De pendiente crítica a pendiente suave
421
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
yn = yc
yn
1
yc
Sc
S0
2
1
CRITICA
SUAVE
yn = yc
yn > yc
2
Antes del cambio de pendiente1 el eje hidráulico es intermedio
entre torrente deprimido en
yn > yn
pendiente suave y fuerte.
2
1
9. De pendiente crítica a pendiente fuerte
yn = yc
1
S2
Se compara al cambio de pendiente fuerte a más fuerte
CRITICA
yn
yc
2
FUERTE
10. De pendiente fuerte a pendiente crítica
yc
yn
1
yn = yc
2
Aguas abajo del cambio de pendiente el eje hidráulico es intermedio entre torrente deprimido
en pendiente suave y fuerte.
FUERTE
CRITICA
8.7 Curva de remanso
Se denomina curva de remanso a la que se produce en un canal al presentarse un movimiento
422
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
gradualmente variado (M. G. V.). El cálculo de la curva de remanso significa básicamente la
solución de la ecuación dinámica del movimiento gradualmente variado. Para obtener la longitud
de la curva de remanso debemos integrar la ecuación general del M. G. V. La longitud de la
curva de remanso se define como la longitud comprendida entre un punto extremo, que actúa
como sección de control, en la que el tirante es calculable, y otro ubicado en el extremo del
escurrimiento en el que el tirante es igual, o prácticamente igual al tirante normal. La definición
de longitud de la curva de remanso tiene un sentido práctico. Podríamos, por ejemplo, decir
que la curva termina cuando la diferencia entre el tirante normal y el del movimiento gradualmente
variado es inferior a un valor dado (por ejemplo, 1 cm).
No siempre es posible integrar directamente la ecuación diferencial del movimiento
gradualmente variado. En consecuencia es necesario proceder con métodos aproximados,
indirectos o gráficos. El uso de un programa de cómputo resulta particularmente útil.
Para la obtención de la curva de remanso presentaremos, siguiendo a Ven Te Chow, tres
métodos
-
Integración gráfica
-
Aproximaciones sucesivas
-
Integración directa
Método de la integración gráfica
Como su nombre lo indica este método consiste en integrar gráficamente la ecuación diferencial
del movimiento gradualmente variado.
Examinemos la siguiente figura
Eje hidráulico (M. G. V.)
y
y1
y2
0
x
1 transversales próximas 1 y 2. Evidentemente
x que
Consideremos dos secciones
x2
423
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
x = x 2 − x1 = ∫ dx = ∫
x2
x1
Nótese que
y2
y1
dx
dy
dy
dx es igual a la inversa del primer miembro de la ecuación general del M. G. V..
dy
Para el cálculo de una curva de remanso, es decir, la longitud de la curva del movimiento
gradualmente variado, es indispensable conocer un punto de dicha curva, lo que siempre es
posible.
Para iniciar el cálculo de la curva de remanso con este método consideraremos que se
conoce el valor de
y en una sección de control. Luego se determina el tipo de curva que se
presentará (M1, por ejemplo) y, a continuación, se procederá de la manera que se señala a
continuación.
i)
Suponer un valor para el tirante
ii)
Calcular el valor correspondiente de
iii)
Calcular
iv)
Construir una curva, como la mostrada a continuación, con los valores de
dy
a partir de la ecuación general del M. G. V..
dx
dx , que es la inversa del valor anterior..
dy
supuestos) y los valores obtenidos para
dx .
dy
Eje hidráulico (M. G. V.)
dx
dy
 dx 
 dy 
 1
y1
El valor de
424
y (tirantes
x
dx 
dy 
 2
y
y2
x es el área achurada comprendida
entre la curva, el eje y , y las ordenadas
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
dx correspondientes a los valores de y . Luego,
dy
Area
= x=∫
Al medir esta área se tiene el valor de
v)
y2
y1
dx
dy
dy
x.
Finalmente se obtendrá una curva de este tipo
∆ A3
∆ A2
∆ A1
dx
dy
y
De esta curva se puede obtener los correspondientes valores de
∆ A.
Para una sección transversal cualquiera se sugiere trabajar con la siguiente tabla
y
A
P
R
K
Z
dy
dx
dx
dy
∆ A
Es decir, que para cada sección se calcula a partir de un valor de
x
y , el área, perímetro,
radio hidráulico, factor de capacidad, factor de sección, inclinación del eje hidráulico, su
inversa, el valor del área comprendida en el gráfico y el correspondiente valor de
valores acumulados de
Por último se dibuja
x . Los
∆ A dan la longitud x de la curva de remanso.
x e y y se obtiene la curva de remanso.
Método de subdivisión en tramos
425
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
Se divide el canal en pequeños tramos y se calcula separadamente cada uno de ellos,
considerando como que en ese tramo el movimiento es uniforme.
En la Figura 8.8 se muestra un tramo de un canal prismático de longitud
∆x en el que
aparecen las secciones 1 y 2.
SE
2
α 1 V1
2g
2
α 2 V2
2g
SW
y1
S0
h f = SE ∆ x
y2
S0 ∆ x
∆x
z1
z2
Plano de
referencia
Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso
Aplicando la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 se tiene
S0 ∆x + y1 + α1
V12
V2
= y2 + α2 2 + S E ∆x
2g
2g
de donde,
∆x (S0 − S E ) = E2 − E1 = ∆E
y por lo tanto,
∆x =
El valor de
Manning
426
∆E
S0 − SE
SE se puede obtener, para una sección determinada, a partir de la fórmula de
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
SE =
n 2V 2
4
R3
Para un tramo (de longitud
∆x ) el valor de SE es el promedio de los respectivos valores de
SE al principio y al final del tramo. A continuación se presentan las situaciones típicas de
cálculo.Si se trata de la entrega a un lago, el cálculo se puede empezar por la sección
extrema de aguas abajo, en la cual el tirante alcanza su máximo valor, o mínimo según el
caso. (Ver las figuras 8.9 y 8.10 como casos típicos).
M. G. V.
yn
y
ymax
Lago
Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante
ymax
determinado por la condición de entrega al lago.
M. G. V.
ymin
yn
y
y = ymin
x=0
Figura 8.10 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante
ymin determinado por la grada.
Si se trata de un canal que termina en una grada, para hacer el cálculo asignaremos valores
al tirante
y de modo de acercarnos lentamente del valor extremo al normal.
Cada valor del tirante determina una sección para la que es posible calcular lo siguiente
427
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
A : Area (en función de la geometría de la sección)
R : Radio hidráulico
R=AP
V : Velocidad media
V =Q A
hV : Energía de velocidad
hV =
E : Energía específica
y+
∆E : Diferencia de energía específica
entre dos secciones
SE : Pendiente de la línea de energía
en esa sección
V2
2g
∆E = E2 − E1 ó ( E1 − E2 )
Vn
S E =  2 3 
R 
S E : Pendiente media de la línea de energía
SE =
para un tramo dado
∆x =
∆x : Distancia
Acumulando los valores de
V2
2g
2
S E1 + S E 2
2
∆E
S0 − S E
∆x se obtiene la distancia desde el origen escogido.
Metodo de la integración directa
En el apartado 8.3 se estableció que la ecuación general del movimiento permanente
gradualmente variado (8-17) es
2
K
1 −  n 
dy
K 
= S0
2
dx
 Zc 
1−  
Z 
Para la presente exposición de la integración de la ecuación 8-17 se sigue el procedimiento
de Bakhmettef expuesto por Ven Te Chow en 1955.
428
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
En primer lugar es necesario recordar la suposición hecha por Bakhmettef de que el cuadrado
del factor de capacidad
K (ec. 8-6) es proporcional a una cierta potencia del tirante, es decir
K 2 = c1 y N
(8-23)
c1 es una constante de proporcionalidad. N es el exponente hidráulico para el cálculo del
movimiento uniforme. Sus características se establecen a continuación.
Tomando logaritmos neperianos en la ecuación 8-23 se obtiene
(
2(ln K ) = ln c1 y N
Derivando con respecto a
)
y se llega a
2
d (ln K ) c1 Ny N −1dy dy
=
dy
c1 y N
De donde,
d (ln K ) N
=
dy
2y
Pero, al aplicar la fórmula de Manning, se obtiene que el factor de capacidad
K=
AR
n
(8-24)
K es
2
3
tal como aparece en la ecuación 8-10.
Tomando logaritmos en esta última expresión se obtiene
2


 AR 3 
ln K = ln 

 n 


Derivando con respecto a
y se llega a
d (ln K ) 2 1 dR 1 dA
=
+
dy
3 R dy A dy
Introducimos ahora, las conocidas expresiones,
(ec. 7-9)
dA
=T
dy
429
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
R=
(ec. 1-8)
A
P
y se obtiene,
d (ln K ) 2 1 dR T
=
+
dy
3 R dy A
Pero,
dP
 A
d  T − R
dR
P
dy
=  =
dy
dy
P
Reemplazando se llega a

dP 
 T − R

dy  T
d (ln K ) 2 1 
=
+
dy
3R
P
A
d (ln K ) 1 
dP 
=
5T − 2 R 

dy
3A 
dy 
Introduciendo la ecuación 8-24 se obtiene
N
1 
dP 
=
5T − 2R

2 y 3A 
dy 
De donde,
N=
2y 
dP 
5T − 2R

3A 
dy 
que es la expresión general del exponente hidráulico
(8-25)
N para cualquier sección transversal.
Para una sección trapecial se obtiene a partir de la ecuación 8-25 que


 y 
 y 
1 + 2 z  
1+ z 2  


10 
 b  8 
 b 
N=
−
3 
 y  3 
2  y 
1 + z  b 
1 + 2 1 + z  b  
 
 


siendo
430
b el ancho en el fondo y z el talud del canal.
(8-26)
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
Para una sección rectangular ( z
= 0 ) se obtiene
N=
y
b
10 8
−
y
3 3
1 + 2 
b

Si se tratase de una sección muy ancha, entonces la relación
a cero, con lo que
N=
(8-27)
y b es muy pequeña y tiende
10
3
(8-28)
Para obtener el exponente hidráulico M se puede hacer un desarrollo similar a partir de la
Z (ec. 8-1) es proporcional a una
suposición de que el cuadrado del factor de sección
potencia
M del tirante
Z 2 = c2 y M
(8-29)
M es el exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas. Sus características
se establecen a continuación
Tomando logaritmos
(
2 ln (Z ) = ln c 2 y M
Derivando con respecto a
)
y,
2
d (ln Z ) M dy
=
dy
y dy
se llega a
d (ln Z ) M
=
dy
2y
Pero,
(1)
Z = A3 T (ec. 8-2). Luego, tomando logaritmos en la ecuación 8-2 y derivando con
respecto a
y se obtiene
d (ln Z ) 3 T
1 dT
=
−
dy
2 A 2T dy
(2)
Igualando (1) y (2) se obtiene
M=
y
A dT 
 3T −

A
T dy 
(8-30)
431
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
que es la expresión del exponente hidráulico
críticas). Para un canal trapecial,
M para cualquier sección transversal (condiciones
2
y
y
y

31 + 2 z  − 2 z 1 + z 
b
b
b
M= 
y 
y

1 + 2 z b  1 + z b 
siendo
(8-31)
b el ancho en el fondo y z el talud del canal.
Para el caso particular de una sección rectangular ( z
= 0 ), se obtiene
M =3
(8-32)
Para efectos de integrar la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado
se considerará, a partir de la ecuaciones 8-23 y 8-29, lo siguiente
K 2 = c1 y N
K n2 = c1 y N
Z 2 = c2 y M
Zc2 = c2 y M
Reemplazando estos valores en la ecuación 8-17 se obtiene
y 
1 −  n 
dy
 y
= S0
M
dx
 yc 
1 −  
 y
N
(8-33)
que es la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado para cualquier
sección transversal, en función de los exponentes hidráulicos.
Obsérvese que si en la ecuación 8-33 se reemplaza
N = 10 3 (ec. 8-28) y M = 3 (ec. 8-32)
se obtiene la ecuación general del movimiento permanente gradualmente variado, para un
canal muy ancho en el que se aplica la fórmula de Manning, y que es la ecuación 8-18,
previamente establecida.
Si se considera que entre el tirante
normal
432
y del movimiento gradualmente variado y el tirante
y n existe la relación u , se tiene
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
u=
Como se recuerda, si
y
yn
(8-34)
u es mayor que 1 se trata de corrientes peraltadas y si es menor que
1 se trata de corrientes deprimidas. Introduciendo la ecuación 8-34 en la 8-33 se llega a
N
1
1 −  
dy
u 
= S0
M
dx
y 
1 −  c 
 y
De acá se obtiene
y
dx = n
S0
M

 yc  u N−M 
1
1 −
 du
+ 
N
N
y
1
−
u
 1 − u

 n
Para integrar esta ecuación se supone que los exponentes
N y M son constantes para el
tramo considerado. Luego,
y
x= n
S0
M


u du
 yc  u uN −M
u − ∫
+
du
 y  ∫ 0 1− u N  + c
0 1− u N


 n
(8-35)
Para obtener el resultado es necesario resolver dos integrales. A la primera de ellas, Ven Te
Chow la denomina función del flujo variado y la representa como
F (u, N )= ∫
du
0 1− u N
u
(8-36)
Para la segunda integral Ven Te Chow introduce una variable auxiliar
N
J
(8-37)
N
N − M +1
(8-38)
v=u
siendo
J=
Con lo que la segunda integral del segundo miembro de la ecuación 8-35 queda así
∫
u
0
u N −M
J v dv
J
du = ∫
= F (v, J )
N
J
1− u
N 01 − v
N
(8-39)
433
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
De donde,
F (v, J )= ∫
v
0
dv
1− v J
(8-40)
Introduciendo en la ecuación 8-35 la nueva notación de ambas integrales se llega a
M

 yc  J
yn 
u − F (u , N ) +  
x=
F (v, J ) + c
S0 

 yn  N

(8-41)
Ven Te Chow usa la siguiente notación,
x = A[u − F (u , N ) + B F (v, J )] + c
(8-42)
siendo,
A=
yn
S0
y 
B =  c 
 yn 
u=
M
J
N
y
yn
N
v=uJ
J=
N
N − M +1
A partir de la ecuación 8-42 se obtiene la longitud
L de la curva de remanso entre dos
secciones 1 y 2, de modo que
L = x2 − x1 = x = A{(u2 − u1 ) − [F (u2 , N ) − F (u1 , N )] + B [F (v2 , J ) − F (v1 , J )]} (8-43)
Los exponentes hidráulicos
N y M dependen de la ecuación particular que se use (Chezy
o Manning, por ejemplo), de la forma de la sección transversal (rectangular, parabólica, etc.)
y del tirante.
A partir del conocimiento del factor de capacidad
434
K y del respectivo tirante se puede calcular
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
el valor correspondiente del exponente hidráulico
N.
N es variable, también lo es que su rango de
variación no es muy amplio. Bakhmettef señala que N varía entre 2 y 5,5 para diferentes
Si bien es cierto que el exponente hidráulico
secciones transversales.
Bakhmettef, quien fue profesor de Hidráulica en San Petersburgo, preparó hacia 1914 unas
N . En la revolución rusa estas tablas se perdieron durante
muchos años. Más tarde se recalcularon para 2,8 < N < 5,4 y fueron publicadas por
tablas con diversos valores de
Bakhmettef en 1932.
La Tabla 8.2 que se adjunta fue preparada por Ven Te Chow entre 1952 y 1954, para valores de
N comprendidos entre 2 y 5,5 y aparece en su conocido libro sobre canales, del que se ha
tomado.
u y de N los correspondientes a la
función F (u, N ) . La Tabla 8.2 sirve también para la función F (v, J ) reemplazando u por v
y N por J .
En la Tabla 8.2 se presenta para diversos valores de
Para el cálculo se suponen conocidos el caudal, la pendiente, la rugosidad y las caracterísicas
de la sección transversal.
El procedimiento de cálculo para aplicar el método de integración directa es el siguiente
1.
Seleccionar una fórmula para el cálculo del flujo (Chezy o Manning, por ejemplo) y
determinar el tirante normal
yn
yc
2.
Calcular el tirante crítico
3.
Se supone que para un tramo determinado ( ∆ x ) los exponentes hidráulicos
N y M son
N (ec. 8-26, o alguna de sus simplificaciones) y M (ec.8-30, o
constantes. Se calcula
alguna de sus simplificaciones)
J , con la ecuación 8-38
4.
Se calcula
5.
Se calcula, para las secciones extremas (inicial y final) del tramo considerado, los valores
de
6.
u (ec. 8-34) y v (ec. 8-37)
Se entra a la Tabla 8.2 y se obtiene
calculados de
7.
F (u, N ) , ingresando con los valores previamente
u y N . Suele ser necesario hacer interpolaciones.
Se ingresa a la Tabla 8.2 y se obtiene
F (v, J ) , ingresando con los valores de v y de J
previamente calculados
8.
Se calcula la longitud
∆ x correspondiente mediante la ecuación 8-43
435
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
TABLA 8.2
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS Y NEGATIVAS
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS
F (u, N )= ∫
N
0
du
1− u N
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
0,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,000
0,020
0,040
0,060
0,080
0,10
0,12
0,14
0,16
0,18
0,100
0,120
0,140
0,161
0,181
0,100
0,120
0,140
0,161
0,181
0,100
0,120
0,140
0,160
0,181
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,100
0,120
0,140
0,160
0,180
0,20
0,22
0,24
0,26
0,28
0,202
0,223
0,244
0,265
0,286
0,201
0,222
0,243
0,263
0,284
0,201
0,221
0,242
0,262
0,283
0,201
0,221
0,241
0,262
0,282
0,200
0,221
0,241
0,261
0,282
0,200
0,220
0,241
0,261
0,281
0,200
0,220
0,240
0,261
0,281
0,200
0,220
0,240
0,260
0,281
0,200
0,220
0,240
0,260
0,280
0,200
0,220
0,240
0,260
0,280
0,30
0,32
0,34
0,36
0,38
0,307
0,329
0,351
0,372
0,395
0,305
0,326
0,348
0,369
0,392
0,304
0,325
0,346
0,367
0,389
0,303
0,324
0,344
0,366
0,387
0,302
0,323
0,343
0,364
0,385
0,302
0,322
0,343
0,363
0,384
0,301
0,322
0,342
0,363
0,383
0,301
0,321
0,342
0,362
0,383
0,301
0,321
0,341
0,362
0,382
0,300
0,321
0,341
0,361
0,382
0,40
0,42
0,44
0,46
0,48
0,418
0,442
0,465
0,489
0,514
0,414
0,437
0,460
0,483
0,507
0,411
0,433
0,456
0,479
0,502
0,408
0,430
0,452
0,475
0,497
0,407
0,428
0,450
0,472
0,494
0,405
0,426
0,448
0,470
0,492
0,404
0,425
0,446
0,468
0,489
0,403
0,424
0,445
0,466
0,488
0,403
0,423
0,444
0,465
0,486
0,402
0,423
0,443
0,464
0,485
0,50
0,52
0,54
0,56
0,58
0,539
0,565
0,592
0,619
0,648
0,531
0,557
0,582
0,608
0,635
0,525
0,550
0,574
0,599
0,626
0,521
0,544
0,568
0,593
0,618
0,517
0,540
0,563
0,587
0,612
0,514
0,536
0,559
0,583
0,607
0,511
0,534
0,556
0,579
0,603
0,509
0,531
0,554
0,576
0,599
0,508
0,529
0,551
0,574
0,596
0,506
0,528
0,550
0,572
0,594
0,60
0,61
0,62
0,63
0,64
0,676
0,691
0,706
0,722
0,738
0,663
0,678
0,692
0,707
0,722
0,653
0,667
0,680
0,694
0,709
0,644
0,657
0,671
0,684
0,698
0,637
0,650
0,663
0,676
0,690
0,631
0,644
0,657
0,669
0,683
0,627
0,639
0,651
0,664
0,677
0,623
0,635
0,647
0,659
0,672
0,620
0,631
0,643
0,655
0,667
0,617
0,628
0,640
0,652
0,664
0,65
0,66
0,67
0,68
0,69
0,754
0,771
0,787
0,804
0,822
0,737
0,753
0,769
0,785
0,804
0,724
0,738
0,754
0,769
0,785
0,712
0,727
0,742
0,757
0,772
0,703
0,717
0,731
0,746
0,761
0,696
0,709
0,723
0,737
0,751
0,689
0,703
0,716
0,729
0,743
0,684
0,697
0,710
0,723
0,737
0,680
0,692
0,705
0,718
0,731
0,676
0,688
0,701
0,71 3
0,726
0,70
0,71
0,72
0,73
0,74
0,840
0,858
0,878
0,898
0,918
0,819
0,836
0,855
0,874
0,892
0,802
0,819
0,836
0,854
0,868
0,787
0,804
0,820
0,837
0,854
0,776
0,791
0,807
0,823
0,840
0,766
0,781
0,796
0,811
0,827
0,757
0,772
0,786
0,802
0,817
0,750
0,764
0,779
0,793
0,808
0,744
0,758
0,772
0,786
0,800
0,739
0,752
0,766
0,780
0,794
u
436
u
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u, N )= ∫
N
u
0
du
1− u N
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
4,0
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,940
0,961
0,985
1,007
1,031
0,913
0,933
0,954
0,976
0,998
0,890
0,909
0,930
0,950
0,971
0,872
0,890
0,909
0,929
0,94 9
0,857
0,874
0,892
0,911
0,930
0,844
0,861
0,878
0,896
0,914
0,833
0,849
0,866
0,883
0,901
0,823
0,839
0,855
0,872
0,889
0,815
0,830
0,846
0,862
0,879
0,808
0,823
0,838
0,854
0,870
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
1,056
1,083
1,110
1,139
1,171
1,022
1,046
1,072
1,099
1,129
0,994
1,017
1,041
1,067
1,094
0,970
0,992
1,015
1,039
1,064
0,950
0,971
0,993
1,016
1,040
0,934
0,954
0,974
0,996
1,019
0,919
0,938
0,958
0,979
1,001
0,907
0,925
0,945
0,965
0,985
0,896
0,914
0,932
0,952
0,972
0,887
0,904
0,922
0,940
0,960
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
1,201
1,238
1,272
1,314
1,357
1,157
1,192
1,223
1,262
1,302
1,121
1,153
1,182
1,228
1,255
1,091
1,119
1,149
1,181
1,216
1,065
1,092
1,120
1,151
1,183
1,043
1,068
1,095
1,124
1,155
1,024
1,048
1,074
1,101
1,131
1,007
1,031
1,055
1,081
1,110
0,993
1,015
1,039
1,064
1,091
0,980
1,002
1,025
1,049
1,075
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
1,401
1,452
1,505
1,564
1,645
1,343
1,389
1,438
1,493
1,568
1,294
1,338
1,351
1,435
1,504
1,253
1,294
1,340
1,391
1,449
1,218
1,257
1,300
1,348
1,403
1,189
1,225
1,266
1,311
1,363
1,163
1,197
1,236
1,279
1,328
1,140
1,173
1,210
1,251
1,297
1,120
1,152
1,187
1,226
1,270
1,103
1,333
1,166
1,204
1,246
0,950
0,960
0,970
0,975
0,980
1,737
1,833
1,969
2,055
2,164
1,652
1,741
1,866
1,945
2,045
1,582
1,665
1,780
1,853
1,946
1,518
1,601
1,707
1,773
1,855
1,467
1,545
1,644
1,707
1,783
1,423
1,497
1,590
1,649
1,720
1,385
1,454
1,543
1,598
1,666
1,352
1,417
1,501
1,554
1,617
1,322
1,385
1,464
1,514
1,575
1,296
1,355
1,431
1,479
1,536
0,985
0,990
0,995
0,999
1,000
2,294
2,477
2,792
∞
3,523
2,165
2,333
2,621
∞
3,292
2,056
2,212
2,478
∞
3,097
1,959
2,106
2,355
∞
2,931
1,880
2,017
2,250
∞
2,788
1,812
1,940
2,159
∞
2,663
1,752
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u
437
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u, N )= ∫
N
0
du
1− u N
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2,4
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438
u
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u, N )= ∫
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0,794
0,805
u
439
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u, N )= ∫
N
0
du
1− u N
4,2
4,6
5,0
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1,402
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1,443
1,199
1,248
1,310
1,348
1,395
1,172
1,217
1,275
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1,246
1,280
1,339
1,128
1,167
1,319
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1,09
1,10
1,11
1,12
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0,194
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1,15
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1,17
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0,253
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1,19
1,20
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u
440
u
1,263
1,243
1,319
1,297
1,416
1,388
∞1,635 ∞ 1,596
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u, N )= ∫
N
u
0
du
1− u N
4,2
4,6
5,0
5,4
5,8
6,2
6,6
7,0
7,4
7,8
1,26
1,28
1,30
1,32
1,34
0,182
0,70
0,160
0,150
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0,100
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1,38
1,40
1,42
1,44
0,134
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0,049
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0,030
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0,032
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0,024
0,028
0,026
0,023
0,021
0,019
0,023
0,021
0,019
0,017
0,016
0,019
0,017
0,016
0,014
0,013
1,46
1,48
1,50
1,55
1,60
0,103
0,098
0,093
0,083
0,074
0,077
0,073
0,069
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u
441
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u, N )= ∫
N
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8,6
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Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
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u
443
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES POSITIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u, N )= ∫
N
0
du
1− u N
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8,6
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1,48
1,50
1,55
1,60
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0,009
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0,000
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0,000
0,000
0,000
0,000
u
444
u
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u, N )− S 0 = ∫
N
du
0 1+ u N
u
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
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0,713
0,719
0,727
0,733
u
445
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u, N )− S 0 = ∫
0
du
1+ u N
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
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0,830
0,832
0,834
0,837
0,833
0,837
0,840
0,842
0,845
0,841
0,844
0,847
0,849
0,852
0,847
0,850
0,753
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0,858
0,853
0,856
0,859
0,862
0,864
1,010
1,015
1,020
1,03
1,04
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0,793
0,795
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0,805
0,801
0,804
0,807
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0,816
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0,829
0,822
0,824
0,828
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0,840
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0,847
0,850
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0,855
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0,864
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0,871
0,877
0,867
0,870
0,872
0,877
0,883
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
0,810
0,815
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0,851
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0,904
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
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1,17
1,18
1,19
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0,866
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0,945
0,949
0,955
0,964
0,970
u
446
N
u
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u, N )− S 0 = ∫
N
du
0 1+ u N
u
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
1,30
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1,36
1,38
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0,948
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1,42
1,44
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1,000
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1,010
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1,000
1,004
1,009
1,012
1,016
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
0,983
0,997
1,012
1,026
1,039
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1,017
1,029
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0,996
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1,020
1,032
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1,001
1,012
1,024
1,035
1,045
1,005
1,016
1,027
1,037
1,047
1,009
1,020
1,030
1,039
1,048
1,012
1,022
1,032
1,041
1,049
1,015
1,024
1,034
1,041
1,049
1,017
1,026
1,035
1,042
1,049
1,019
1,028
1,035
1,042
1,048
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
1,052
1,064
1,075
1,086
1,097
1,053
1,064
1,074
1,085
1,095
1,054
1,064
1,074
1,084
1,092
1,055
1,064
1,073
1,082
1,090
1,056
1,065
1,072
1,081
1,087
1,057
1,065
1,071
1,079
1,085
1,056
1,064
1,069
1,077
1,081
1,056
1,062
1,067
1,074
1,079
1,055
1,060
1,066
1,071
1,075
1,053
1,058
1,063
1,066
1,071
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
1,107
1,126
1,144
1,161
1,176
1,103
1,120
1,136
1,150
1,163
1,100
1,115
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1,141
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1,104
1,115
1,124
1,133
1,090
1,100
1,109
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1,102
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1,082
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1,103
1,109
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1,090
1,097
1,101
1,075
1,080
1,085
1,090
1,094
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2,6
2,7
2,8
2,9
1,190
1,204
1,216
1,228
1,239
1,175
1,187
1,196
1,208
1,216
1,162
1,172
1,180
1,189
1,196
1,150
1,159
1,166
1,173
1,178
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1,158
1,162
1,131
1,137
1,142
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1,150
1,121
1,126
1,130
1,132
1,137
1,113
1,117
1,120
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1,125
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1,106
1,110
1,112
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1,000
1,102
1,103
1,106
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3,5
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1,249
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1,286
1,308
1,325
1,203
1,232
1,251
1,270
1,283
1,184
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1,223
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1,168
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1,198
1,205
1,212
1,154
1,167
1,176
1,183
1,188
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1,151
1,158
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1,166
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1,129
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1,134
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1,113
1,117
1,119
1,121
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8,0
9,0
10,0
1,406
1,430
1,447
1,461
1,471
1,342
1,360
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1,394
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1,303
1,313
1,319
1,324
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1,260
1,266
1,269
1,272
1,221
1,225
1,229
1,231
1,233
1,195
1,199
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1,203
1,203
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1,176
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1,156
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1,136
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1,137
1,137
1,122
1,122
1,122
1,122
1,122
u
447
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u, N )− S 0 = ∫
N
0
du
1+ u N
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4,2
4,5
5,0
5,5
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0,02
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0,475
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0,458
0,478
0,400
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0,459
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0,634
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0,652
0,660
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0,638
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0,656
0,665
0,674
0,640
0,650
0,659
0,668
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0,71
0,72
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0,670
0,678
0,686
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0,673
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0,699
0,707
0,716
0,686
0,694
0,703
0,712
0,720
0,75
0,76
0,77
0,78
0,79
0,709
0,717
0,724
0,731
0,738
0,712
0,720
0,727
0,735
0,742
0,717
0,725
0,733
0,740
0,748
0,724
0,731
0,739
0,747
0,754
0,728
0,736
0,744
0,752
0,760
u
448
u
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u, N )− S 0 = ∫
N
du
0 1+ u N
u
4,0
4,2
4,5
5,0
5,5
0,80
0,81
0,82
0,83
0,84
0,746
0,753
0,760
0,766
0,773
0,750
0,757
0,764
0,771
0,778
0,755
0,762
0,769
0,776
0,783
0,762
0,770
0,777
0,784
0,791
0,768
0,776
0,783
0,790
0,798
0,85
0,86
0,87
0,88
0,89
0,780
0,786
0,793
0,799
0,805
0,784
0,791
0,797
0,803
0,810
0,790
0,797
0,803
0,810
0,816
0,798
0,804
0,811
0,818
0,825
0,805
0,812
0,819
0,826
0,832
0,90
0,91
0,92
0,93
0,94
0,811
0,817
0,823
0,829
0,835
0,816
0,821
0,828
0,833
0,840
0,822
0,828
0,834
0,840
0,846
0,831
0,837
0,844
0,850
0,856
0,839
0,845
0,851
0,857
0,864
0,950
0,960
0,970
0,975
0,980
0,840
0,846
0,851
0,854
0,857
0,845
0,861
0,866
0,859
0,861
0,852
0,857
0,863
0,866
0,868
0,861
0,867
0,972
0,875
0,878
0,869
0,875
0,881
0,883
0,886
0,985
0,990
0,995
1,000
1,005
0,859
0,861
0,864
0,867
0,870
0,863
0,867
0,869
0,873
0,874
0,870
0,873
0,876
0,879
0,881
0,880
0,883
0,885
0,887
0,890
0,889
0,891
0,894
0,897
0,899
1,010
1,015
1,020
1,030
1,040
0,873
0,875
0,877
0,882
0,888
0,878
0,880
0,883
0,887
0,893
0,884
0,886
0,889
0,893
0,898
0,893
0,896
0,898
0,902
0,907
0,902
0,904
0,907
0,911
0,916
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
0,892
0,896
0,901
0,905
0,909
0,897
0,901
0,906
0,910
0,914
0,903
0,907
0,911
0,916
0,920
0,911
0,915
0,919
0,923
0,927
0,920
0,924
0,928
0,932
0,936
1,10
1,11
1,12
1,13
1,14
0,913
0,917
0,921
0,925
0,928
0,918
0,921
0,926
0,929
0,933
0,923
0,927
0,931
0,935
0,938
0,931
0,935
0,939
0,943
0,947
0,940
0,944
0,948
0,951
0,954
1,15
1,16
1,17
1,18
1,19
0,932
0,936
0,939
0,943
0,947
0,936
0,941
0,944
0,947
0,950
0,942
0,945
0,948
0,951
0,954
0,950
0,953
0,957
0,960
0,963
0,957
0,960
0,963
0,965
0,968
1,20
1,22
1,24
1,26
1,28
0,950
0,956
0,962
0,968
0,974
0,953
0,957
0,962
0,971
0,977
0,958
0,964
0,970
0,975
0,981
0,966
0,972
0,977
0,982
0,987
0,970
0,976
0,981
0,986
0,990
u
449
Hidráulica de tuberías y canales
Arturo Rocha
FUNCION DE FLUJO VARIADO PARA PENDIENTES NEGATIVAS (CONTINUACION)
(Tomado del libro Open Channel Hydraulics de Ven Te Chow)
F (u, N )− S 0 = ∫
N
0
du
1+ u N
4,0
4,2
4,5
5,0
5,5
1,30
1,32
1,34
1,36
1,38
0,979
0,985
0,990
0,994
0,998
0,978
0,986
0,992
0,996
1,000
0,985
0,990
0,995
0,999
1,003
0,991
0,995
0,999
1,002
1,006
0,994
0,997
1,001
1,005
1,008
1,40
1,42
1,44
1,46
1,48
1,001
1,005
1,009
1,014
1,016
1,004
1,008
1,013
1,016
1,019
1,006
1,010
1,014
1,017
1,020
1,009
1,012
1,016
1,018
1,020
1,011
1,014
1,016
1,018
1,020
1,50
1,55
1,60
1,65
1,70
1,020
1,029
1,035
1,041
1,047
1,021
1,029
1,035
1,040
1,046
1,022
1,029
1,034
1,039
1,043
1,022
1,028
1,032
1,036
1,039
1,022
1,028
1,030
1,034
1,037
1,75
1,80
1,85
1,90
1,95
1,052
1,057
1,061
1,065
1,068
1,051
1,055
1,059
1,060
1,064
1,047
1,051
1,054
1,057
1,059
1,042
1,045
1,047
1,049
1,051
1,039
1,041
1,043
1,045
1,046
2,00
2,10
2,20
2,30
2,40
1,071
1,076
1,080
1,084
1,087
1,068
1,071
1,073
1,079
1,081
1,062
1,065
1,068
1,071
1,073
1,053
1,056
1,058
1,060
1,061
1,047
1,049
1,050
1,051
1,052
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
1,090
1,092
1,094
1,096
1,098
1,083
1,085
1,087
1,088
1,089
1,075
1,076
1,077
1,078
1,079
1,062
1,063
1,063
1,064
1,065
1,053
1,054
1,054
1,054
1,055
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
1,099
1,103
1,106
1,108
1,110
1,090
1,093
1,097
1,098
1,099
1,080
1,082
1,084
1,085
1,085
1,065
1,066
1,067
1,067
1,068
1,055
1,055
1,056
1,056
1,056
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
1,111
1,111
1,111
1,111
1,111
1,100
1,100
1,100
1,100
1,100
1,085
1,086
1,086
1,086
1,086
1,068
1,068
1,068
1,068
1,068
1,056
1,056
1,056
1,056
1,056
u
450
u
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
PROBLEMAS PROPUESTOS
(Capítulo VIII)
1.
En un canal muy largo se establece un flujo permanente. El canal termina en una caída libre.
En una cierta sección del canal, alejada de sus extremos, se coloca una compuerta, tal
como se aprecia en la figura. Se debe determinar los diferentes perfiles de la superficie libre
considerando dos situaciones diferentes en el canal: a) flujo subcrítico, b) flujo supercrítico.
yn
2.
Un canal muy ancho tiene una pendiente de 0,00038. El tirante normal es de 3,20 m. Se
coloca un vertedero a todo lo ancho del canal y el tirante se eleva a 6,80 m. Si el coeficiente
C de Chezy es 40 m 1/2/s, calcular las características de la curva de remanso originada por el
vertedero. ¿Cuáles serían las características de dicha curva si la pendiente fuese 0,12?
3.
Se tiene un canal trapecial de concreto ( n =0,014). La pendiente es 0,001. El ancho en el
fondo es de 1,5 m. El talud es de 45º. El caudal es de 10 m3/s. En cierta sección el tirante
correspondiente al movimiento gradualmente variado es de 3 m. Calcular el tirante en una
sección ubicada 40 m aguas abajo de la sección mencionada.
4.
Se tiene un canal trapecial de 20 m de ancho en la base y un talud 1:2. El gasto es de 12,7 m 3/s.
La pendiente es 0,0003 y la rugosidad de Kutter es n =0,028.
Este canal desemboca en el mar. Cuando hay marea alta el pelo de agua alcanza en la
desembocadura un nivel que está 1,75 m por encima del tirante normal. Cuando hay marea
baja el nivel de la superficie libre está 0,75 m por debajo del que correspondería al tirante
normal. Calcular la curva de remanso en cada caso.
5.
Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 1 m. El coeficiente de rugosidad n de Kutter
es 0,025. La pendiente del fondo es 0,0001 y el gasto es de 1 m 3/s.
a) Calcular el tirante normal
b) Determinar cuál de los seis casos del movimiento gradualmente variado se presentará al
colocar un vertedero cuyo umbral es de 1,60 m.
451
Hidráulica de tuberías y canales
6.
Arturo Rocha
Un canal rectangular de 3,7 m de ancho toma agua de un embalse. La toma es suave y
redondeada. El nivel de agua sobre la cresta de entrada es de H =1,85 m. El canal de
concreto, con n =0,013, es recto y largo. La pendiente es S0 =0,001. Calcular el caudal y el
tipo de perfil superficial en la entrada del canal si se supone que las pérdidas son despreciables.
H
S0
7.
El canal rectangular de descarga de una turbina desemboca en un río. Los datos son los
siguientes
Cota del fondo del canal en la desembocadura
575,80 m
Cota del fondo del canal en su iniciación
575,85 m
Longitud del canal
275,00 m
Ancho del canal
8,00 m
Coeficiente de Kutter (supóngase constante)
0,014
Gasto en el canal
5,0 m 3/s
Nivel del agua en el río
576,80 m
Calcular
a) El nivel de la superficie libre en la iniciación del canal
b) Cota de la línea de energía en la iniciación del canal
c) Tipo de perfil correspondiente al movimiento gradualmente variado que se presenta en el
canal.
575,85 m
576,80 m
575,80 m
8.
452
Determinar el exponente hidráulico N de un canal trapecial cuyas características son las
Capítulo VIII
Movimiento gradualmente variado
siguientes
T
1
2
T = 12 m
b=5m
b
9.
Determinar el exponente hidráulico M de un conducto circular de 0,90 m de diámetro que
tiene un tirante de 0,60 m.
10. Un canal rectangular de 2,40 m de ancho tiene una pendiente de 1/500. En su extremo hay
un vertedero que eleva la corriente a 1,20 m de tirante. Existe una compuerta de fondo a
300 m aguas arriba del vertedero, que permite la salida de un chorro de agua de 0,15 m de
tirante. El coeficiente de Chezy es 49,7 m 1/2/s y el tirante normal es 0,90 m.
Calcular el perfil de la superficie (con un mínimo de 6 puntos) entre la compuerta de fondo y
el vertedero.
Si existiera un salto hidráulico, ¿dónde ocurriría y cuál sería su altura? Indicar igualmente los
tipos de curva y sus características.
453