problemario de la asignatura de calculo

Prof. Jorge Luis Rosas Mendoza
Enero 2008
INSTITUTO POLITECNICO
NACIONAL
UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA DE BIOTECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
PROBLEMARIO DE LA ASIGNATURA DE
CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL
PROFESOR
M EN C JORGE LUIS ROSAS MENDOZA
ENERO DEL 2008
1
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Ejercicios
Funciones
Funciones reales de una variable real.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Definiciones de función, dominio, rango y gráfica
Operaciones con funciones.
Determinar el dominio natural de la función.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
2
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16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28. Para
determinar
a)
b)
c)
29. Para
, determinar
a)
3
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b)
c)
30. Para
Determine y simplifique
31. Para
Determine y simplifique
32. Para
Determine cada valor
a)
b)
c)
33. Para
, encuentre cada valor
a)
b)
c)
34. Para
35. Para
Determine y simplifique
Determine y simplifique
36. Determinar una función f que tenga las siguientes propiedades: su dominio es [–2, 2], y f(0)= f (– 2) = f
(2) = 0.
37. Determinar una función f que tenga las siguientes propiedades: su dominio es R, f (3) = 0, f (– 2) = 0 y f
(0) = – 36
Encuentra la expresión para la función cuya gráfica es la curva dada.
38. El segmento rectilíneo que une los puntos (–2, 1) y (4, –6)
39. La mitad inferior de la parábola x + (y – 1)2 = 4.
Determine si la curva es la grafica de una función de x. Si lo es, dé el dominio y la imagen de la función.
4
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40.
41.
42.
43.
5
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¿Cuáles de las relaciones siguientes determinan una función f con fórmula
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? Para aquellas que lo
sean, determine
. Sugerencia: Despeje a y en términos de x y observe que la definición requiere un solo
valor de y para cada x.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51. La grafica que se muestra da el peso de cierta persona como función de la edad. Describa con palabras
la manera en que varía el peso de esta persona a lo largo del tiempo ¿Qué piensa el lector que sucedió
cuando esta persona tenia 30 años?
52. La grafica que se muestra da la distancia a la que se encuentra un vendedor de su casa como función del
tiempo en cierto día. Describa con palabras lo que la grafica indica respecto al recorrido del vendedor
en este día.
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53. Usted pone algunos cubos de hielo en un vaso, lo llena con agua fría y lo deja sobre una mesa. Describa
como cambia la temperatura del agua a medida que pasa el tiempo. A continuación, trace una grafica
aproximada de la temperatura del agua como función del tiempo transcurrido.
54. Trace una grafica aproximada de la temperatura exterior como función de la época, durante un día
típico de primavera.
55. El propietario de una casa corta el césped cada miércoles por la tarde. Trace una grafica aproximada de
la altura del césped como función del tiempo durante un periodo de cuatro semanas.
56. En la tabla, se muestra la población P (en miles) de San José, California, desde 1984 hasta 1994. (Se
dan las estimaciones correspondientes a la mitad del año.)
t
P
1984
695
1986
716
1988
733
1990
782
1992
800
1994
817
(a) Dibuje una gráfica de P como función del tiempo.
(b) Use la gráfica para estimar la población de 1991.
57. El 18 de marzo de 1996, en Atlanta, Georgia, se registraron las lecturas T de la temperatura, cada dos
horas, desde la media noche hasta medio día. El tiempo t se midió en horas a partir de la media noche.
T
T
0
58
2
57
4
53
6
50
8
51
10
57
12
61
(a) Use las lecturas para trazar una gráfica aproximada de T como función de t.
(b) Utilice la gráfica para estimar la temperatura a las 11 A.M.
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Ejercicios
Operaciones Algebraicas
Determine :
a)
b)
d)
g)
c)
e)
f)
h)
y calcule sus dominios.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Respuesta:
8.
9.
10.
11.
12.
13. Supóngase que G es una función y x es un número tal que
, ¿Cuál es el valor de
15 veces.
Exprese la función F(x) en la forma
.
14.
8
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15.
16.
17.
18. Sea
Demuestre que
, siempre y cuando
19. Sea
Demuestre que
, siempre y cuando
.y
20. Sea
Demuestre que
, siempre y cuando
.y
9
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Ejercicios
Operaciones gráficas
Trace las gráficas de f para los tres valores de c en un mismo sistema coordenado (utilice desplazamientos
verticales, desplazamientos horizontales, ampliaciones o reducciones y reflexiones).
1.
2.
3.
; c=0, c=1, c=-3.
; c=0, c=-1, c=2.
; c=0, c=1, c=-2.
4.
c= -1, c= -2, c=1.
5.
; c=1, c= 2, c= -1.
6.
; c= -1, c=3, c=1.
7.
; c=0, c=3, c=1.
8.
; c=0, c=-4, c=2.
9.
10.
; c=0, c=2, c=-1.
; c=0, c=4, c=-2.
11.
; c=0, c=4, c=-2
12.
; c=0, c=-2, c=3.
13.
; c=1, c=2, c=3.
14.
; c=0, c=4, c=-3.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
; c=0, c=5, c=-2.
; c=0, c=5, c=-2.
; ; c=-1, c=2, c=3.
; ; c=-1, c=2, c=3.
; ; c=-1, c=2, c=3.
; ; c=-1, c=2, c=3.
; ; c=1, c=-2, c=3.
; c=0, c=2, c=-1.
; c=0, c=-2, c=1.
; c=0, c=2, c=-1.
; c=1, c=2, c=-1.
26.
c= -1, c= -2, c=1.
27.
; c=1, c= 2, c= -1.
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Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
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Ejercicios
Aplicación de Funciones
1)
(Superficie de un cilindro en función del radio) Se desea construir un recipiente cilíndrico de metal sin
tapa que tenga una capacidad de 1 m3. Exprese el área de la superficie como una función del radio del
cilindro.
2)
(Área de un rectángulo en función de un lado ) Un rectángulo tiene un perímetro de 20 m. Exprese el área
del rectángulo como función de la longitud de uno de sus lados.
3)
(Costo de las paredes de un edificio) Un edificio de oficinas está construido sobre un área de 46 m2. El
plano del piso se muestra en la figura. Suponiendo que el costo de las paredes es de $1000 pesos el metro
lineal, exprese el costo C de las paredes como una función del ancho x. (Desprecie la porción de pared
sobre las puertas).
4)
(Caja sin tapa) Se desea construir una caja sin tapa a partir de una hoja de cartón rectangular que tiene
dimensiones 15cm X 20cm. Para ello se recortarán cuatro cuadrados idénticos de área x2, uno en cada
esquina y se doblarán hacia arriba los lados resultantes. Exprese el volumen V de la caja como una
función de x.
x|
?
|x
30
20
5)
(Costo de viaje en taxi) Un taxista cobra 5 pesos por el primer kilómetro (o fracción de kilómetro) y 2
pesos por cada décimo de kilómetro (o fracción) siguiente. Expresa el costo, C, de un viaje como una
función de la distancia x, recorrida en kilómetros, para 0 < x < 2, y traza la gráfica de esa función.
6)
(El primero Problema de la Ventana) Una ventana normanda tiene la forma de un rectángulo coronado
por un semicírculo. Si el perímetro de la ventana es de 30 pies, exprese el área A de ella como función del
ancho x de la misma.
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7)
(Distancia recorrida por un globo)Un globo de aire caliente se suelta a la 1 P.M. y se eleva verticalmente
a razón de 2m/s. Un punto de observación esta situado a 20m del punto en el suelo que se encuentra
ubicado directamente abajo del globo. Sea t el tiempo en segundos transcurridos a partir de la 1 P.M. .
Exprese la distancia d del globo al punto de observación como una función de t.
8)
(Tiradero de basura ) Un tiradero de basura de forma rectangular tiene 400 Km2 y va a ser cercado.
Exprese el costo de la cerca en función de uno de sus lados x., si el precio es de $4.00 dólares el metro
lineal de cerca,
9)
(El Problema del Libro) Las páginas de un libro deben tener cada una 600 cm2 de área con márgenes de 2
cm. abajo y a los lados y 3 cm. arriba. Exprese el área impresa en función de uno de sus lados.
10)
(Volumen de un cubo) Exprese el volumen V de un cubo como una función del área total de su superficie.
11)
(Perímetro de un rectángulo ) Un rectángulo tiene un área de 16 m2. Exprese su perímetro como función
de la longitud de uno de sus lados.
12)
(El equilibrista) La figura muestra las instalaciones de un equilibrista en el alambre. La distancia entre
los postes es de 16m, pero aun no se ha determinado la altura del punto de amarre P.
a) Exprese la longitud L como una función de la altura x del punto P.
b)Determine la altura del punto de amarre P suponiendo que el alambre o cuerda tiene una longitud de
24m.
13)
(Remar o caminar ) Un hombre se encuentra en un bote a 2 kilómetros del punto mas cercano A de la
costa, que es recta, y desea llevar a una casa que se encuentra en un punto B de la citada costa, a 6
kilómetros de A. El hombre piensa en remar hasta un punto P entre A y B que se encuentra a x millas de
la casa y luego caminar el resto. Suponiendo que puede remar a una velocidad de 3 km/h por hora y
caminar 5 km/h, exprese el tiempo total T que le tomará llegar a la casa, como una función de x.
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14)
(Costo de la pintura de un depósito rectangular ) Se desea pintar un depósito rectangular de base
cuadrada, abierto por arriba. Debe tener 125 M3 de capacidad. Si el costo de las caras laterales es de $2.00
pesos por metro cuadrado, y el del fondo es de $4.00 por metro cuadrado, Exprese el costo en función del
lado, x, de su base.
15)
(El Problema del Triángulo) Sea dado un punto (x0 , yo)) que se halla en el primer cuadrante en un
sistema de coordenadas rectangulares. Trazar por este punto una recta de manera que forme un triángulo
con las direcciones positivas de los ejes de coordenadas. Hallar una expresión para el área del triángulo.
16)
(El incendio) Un incendio comienza en un campo abierto y seco, y se extiende en forma de círculo. El
radio de tal círculo aumenta a razón de 6m/min. Exprese el área con fuego como una razón del tiempo t.
17)
(La onda) Se deja caer una piedra en un lago, que crea una onda circular que viaja hacia fuera a una
velocidad de 60 cm/s. Exprese el radio r de este circulo como función del tiempo t (en segundos). Si A es
el área de este circulo como función del radio, encuentre A o r e interprétala.
18)
(Área de un triángulo equilátero) Exprese el área del triángulo equilátero como función de la longitud de
uno de sus lados.
19)
(Longitud y diagonal de un cuadrado ) Exprese la longitud del lado de un cuadrado como una función de
la longitud d de la diagonal. Luego, exprese el área como una función de la longitud de la diagonal.
20)
(El problema del alambre). Se tiene un alambre de 100cm de largo. Se corta en dos partes para construir
con uno de los trozo de alambre un cuadrado y con el otro un circulo. Exprese la suma de las áreas del
cuadrado y del círculo como una función de x.
21)
(El Segundo Problema de la Ventana) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con una
triángulo equilátero. El área de la ventana es de 6 metros cuadrados. Exprese el perímetro de la ventana
como una función de uno de sus lados, x.
22)
(El potrero) Se dispone de 400 m de alambrado para cercar un potrero rectangular. Expresar el área del
potrero en función de uno de sus lados (x).
23)
(La torre y el avión ) En la figura se muestran las posiciones relativas de una avión y una torre de control
de 20 metros de alto. El principio de la pista se encuentra a una distancia de 300 metros de la base de la
torre, sobre la perpendicular. Exprese la distancia x que el avión ha recorrido sobre la pista.
24)
(El Problema del Cable más Corto) Dos postes con longitudes de 6 y 8 metros respectivamente se
colocan verticalmente sobre el piso con sus bases separadas una distancia de 10 metros. Exprese la
longitud de un cable que pueda ir desde la punta de uno de los postes hasta un punto en el suelo entre los
postes y luego hasta la punta del otro poste.
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25)
(El Problema del Yate y el Vapor) Un yate se mueve en línea recta hacia el punto donde se encuentra un
vapor con una velocidad de 60 km/h. En el momento en que la distancia entre ambos es de 4 km, el vapor
se empieza a mover en dirección perpendicular a la del yate con una velocidad de 25 km/h. Determinar la
distancia entre las embarcaciones después de t horas en que el vapor se empieza a mover.
26)
(El Problema de la Escalera) Una cerca de 8 pies de altura colocada al nivel del piso corre paralela a un
edificio alto. La cerca se encuentra a un pie del edificio. Exprese la longitud de la escalera que puede
colocarse en el suelo y recargarse en el edificio por encima de la cerca como una función de x.
27)
(Superficie y volumen de un cubo) Exprese el área superficial de un cubo como función de su volumen.
28)
(Segundo problema de la caja) Una caja rectangular abierta, con volumen de 2m3, tiene una base
cuadrada. Exprese el área superficial de la caja como función de la longitud de uno de los lados de la
base.
29)
(Problema del Canalón) Una pieza larga y rectangular de lámina de 50 cm. de ancho va a convertirse en
un canal para agua doblando hacia arriba dos de sus lados hasta formar ángulos de 120º con la base.
Exprese el volumen del canalón
30)
(El Problema del Vaso Cónico) Un vaso cónico de papel tiene capacidad de 100 cm3. Expresar el área de
la cantidad de papel que se usa para fabricarlo como una función del radio.
31)
(La tienda de campaña)Se desea construir una tienda de campaña con forma de pirámide de base
cuadrada. Un poste de metal colocado en el centro será el soporte de la tienda. Se cuenta don s pie
cuadrados de lona para los cuatro lados del albergue y x es la longitud de la base. Demuestre que el
volumen V de la tienda es
32)
(El Problema del Correo) Un paquete puede enviarse por correo ordinario solamente si la suma de su
altura y el perímetro de su base es menor que dos metros y medio. Exprese el volumen de una caja que
puede enviarse por correo si la base de la caja es cuadrada.
33)
(El cilindro y el cono ) Un cilindro circular recto de radio r y altura h esta inscrito en un cono de
altura 12 y radio de base 4, como se ilustra en la figura.
a)
Exprese h como una función de r (sugerencia: use triángulos semejantes.)
b) Exprese el volumen V del cilindro como una función de r.
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34)
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(El Problema del Triángulo Isósceles) Hallar una expresión para el área de un triángulo isósceles de
perímetro p = 40 cm.
Ejercicios
Ejercicios
Propiedades de las funciones
I.a)
b)
c)
d)
e)
Determine si f es par, impar o ninguna de las dos.
Trace un bosquejo de la gráfica de la función.
Determine si f es monótona.
Determine si f es biunívoca o no. Explique.
Si la función no es biunívoca de los intervalos más grandes donde es biunívoca.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
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14)
15)
16)
17)
II.-
Establezca si cada una de las funciones es par o impar o bien, ninguna de las dos. Demuestre sus
afirmaciones.
18) La suma de dos funciones impares es impar.
19) No todo polinomio de grado impar es una función impar.
20) La suma de dos funciones pares es par.
21) El producto de dos funciones impares es impar.
22) La suma de dos funciones impares es impar.
23) El producto de dos funciones pares es par.
24) El producto de una función impar y una par es impar .
25) No todo polinomio de grado par es una función par.
III.-
Sea F cualquier función cuyo dominio contiene a –x siempre que contenga a z. Demuestre que
26)
27)
28) F siempre puede expresarse como la suma de una función par y una función impar.
III.-
Determine si la función dada tiene inversa en todo su dominio.
Si no tiene inversa en todo su dominio, dé un dominio en el que la función tenga inversa.
Calcule la función inversa.
Determine el dominio y la imagen de la función inversa.
Grafique las dos funciones en un mismo plano.
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35)
36)
37)
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38)
39)
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
IV.- Determinar si la f unción dada es periódica y calcule el periodo.
49)
50)
51)
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Límites
Métodos para calcular límites
Ejercicios
Técnicas para determinar límites
I.-
Trace la gráfica de la función f definida por partes y determine los límites si es que existen.
a)
b)
c)
1)
2)
3)
4)
II.-
Utilice simplificaciones algebraicas como ayuda para evaluar el límite, si es que existe.
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
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12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
20
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27)
28)
29)
30)
31)
32)
33)
34)
35) Si
36) Si
hallar
hallar
37) Si
hallar
38) Si
hallar
39) Trace la gráfica de un ejemplo de una función f que satisfaga todas las condiciones dadas.
a)
b)
c)
d)
f)
¿Hay un número a tal que
exista? Si es así, determina los valores
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Funciones continuas
Funciones seccionalmente continuas
Ejercicios
Continuidad
I.-Demuestre que la función f es continua en el número a dado.
1.
,
2.
a=4
, a = -1
3.
4.
, a=3
5.
6.
7.
8.
II.- Demuestre que f es continua en el intervalo indicado.
9.
10.
11.
12.
13.
en [-1, 3].
14.
en [-2, 5]
22
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15.
en [-3, 3]
16.
en [-4, 3]
III.- Encuentre todos los números en los que la función f es continua
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
23
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IV.- Describa el tipo de discontinuidad que tienen las siguientes funciones y si la discontinuidad es removible
define una nueva función que sea continua.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
=
36.
37.
38.
39.
40. Encuentre un valor de c para el cual f sea continua en todo ℜ.
24
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41. Dar una función necesaria y suficiente sobre A y B para que la función sea continua en x=2 pero
discontinua en x=1.
42. Encuentre un valor de c para el cual f sea continua en todo ℜ.
43. Encuentre un valor de c y d para los que f sea continua en [-3,3].
44. Encuentre el valor de c, para que f sea continua en [-2 3].
45. Determinar los valores de c para que f sea continua en todo ℜ.
46.
47. Determinar los valores de a para que f sea continua en todo ℜ.
48. Encuentre un valor de a y b para los que f sea continua en todo ℜ.
49. ¿Es continua f en 3? Justifique su respuesta.
50. ¿Es continua f en 3? Justifique su respuesta.
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51. ¿Es continua f en –1? Justifique su respuesta
52. ¿Es continua f en 2? Justifique su respuesta.
53. Sean
Determine si las funciones compuestas fog y gof son continuas en x=0.
54. Un vendedor tiene un salario básico de $10,000.00 y recibe $1000.00 por cada $50,000 de las ventas
que excedan $100,000.00. Trace la gráfica que muestre su ingreso como función de las ventas. Discuta
la discontinuidad de la función.
55. La cuota de un estacionamiento para automóviles es de $10.00 por la primera media hora y $5.00 por
cada media hora o fracción adicional. Hasta un máximo de $50.00. Encuentre una función f que
relacione la cuota con el tiempo que se deja un automóvil en el estacionamiento. Trace la gráfica de f y
discuta la continuidad de f.
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La derivada
La derivada como razón de cambio
Interpretación geométrica
Propiedades de la derivada.
Derivada de las operaciones elementales.
Incrementos y diferencias
Regla de la cadena y función inversa
Derivación implícita
Derivadas de orden superior
Ejercicios
Derivada usando la definición
I.- Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto dado.
1.
2.
3.
4.
II.-
Calcular el dominio de
Trace la gráfica de f y f ‘.
.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
III.- Cada límite representa la derivada de una función en un número c. Determinar f (x) y c.
12.
27
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13.
14.
15.
16. Calcular A y B suponiendo que la función
es diferenciable en x=1.
17. Sea g la función definida por
Demostrar que g es diferenciable en x=c. ¿Cuál es su
derivada
?
IV.- Dar un ejemplo de una función f, definida para todos los reales, que verifique las siguientes condiciones.
18.
para todo
19.
;
existe para todo
20.
no existe.
;
no existe.
;
21.
para
;
para
;
22. Sea
a) Demostrar que f es continua en x=0 y discontinuas en cualquier
b) ¿Pueden ser f una función diferenciable en un valor x donde
c) Demostrar que f no es diferenciable en x=0.
.
?
23. Sea
a) Demostrar que g es una función ontinua en x=0 y discontinuas en cualquier
.
b) ¿Pueden ser g una función diferenciable en un valor x donde
? Explicarlo.
c) Demostrar que g es diferenciable en x=0 y calcular
.
28
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24. Sea
a) Demostrar que f es una función continua en x=0.
b) Demostrar que f no es diferenciable en x=0.
25. Sea
a) Demostrar que g es una función continua en x=0.
b) Demostrar que g es diferenciable en x=0 y calcular
.
26. Sea
a) ¿Es continua la función? Si no es continua, indique el tipo de discontinuidad que tiene.
b) ¿Es derivable la función en: x = -3, x = -1, x = 0, x = 1, x = 3?
a) ¿Es derivable la función?
27. Sea
a) Es la función continua?
b) ¿Es la función derivable?
28. Sea
con dominio
.
a) ¿Es continua la función?
b) ¿Es derivable la función?
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Ejercicios
Reglas de derivación
I:- Calcular la derivada de las siguientes funciones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
II.- Hallar una fórmula para derivada n-ésima.
14.
15.
16.
17.
a, b y c constantes
n entero positivo, a,b constantes
III.- Calcular y’.
18.
19.
20.
21.
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22. Hallar los coeficientes A, B, C, D de tal modo que la curva
tangente a la recta
en el punto (1,0) y tangente a la recta
23. Determinar los coeficientes A, B y C de tal modo que la curva
punto (1,3) y sea tangente a la recta
sea
en el punto (2,9).
pase por el
en el punto (2,0).
24. Hallar el o los valores de x para los que la tangente a la gráfica de la función cuadrática
es una recta horizontal.
25. Hallar condiciones en A,B,C y D que garanticen que la gráfica del polinomio cúbico
a)
tenga:
Exactamente dos tangentes horizontales.
b)
Exactamente una tangente horizontal.
c)
Ninguna tangente horizontal.
26. Demostrar la regla del producto
27. Demostrar la regla del cociente.
28. Hallar A y B para que la derivada sea continua para todo x real.
29. Hallar A y B para que la derivada sea continua para todo x real.
30. Sea
, donde n es un entero positivo.
a)
Hallar
Para k=n.
b)
Hallar
Para k<n.
c)
Hallar
Para k>n.
31. Dada la función polinomial
a)
Hallar
b)
¿Cuál es
32. Si
para k>0?
Demostrar que
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33.
34. Comprobar la identidad
35. Una función L tiene la propiedad de que
para toda
36. Sean f y g funciones diferenciables tales que
. Hallar
. Calcular la derivada de
y
, y sea
.
37. Sean f y g funciones diferenciables tales que
. Hallar
y
, y sea
.
38. Sea f una función diferenciable. Utilizar la regla de la cadena para demostrar que:
a) Si f es par, entonces f’ es impar.
b)
Si f es impar, entonces f’ es par.
39. Sea
a) Demostrar que f es diferenciable en x=0 y dar
b)
Determinar
c)
Demostrar que
d)
Dibujar las gráficas de
.
para todo x.
no existe.
y
.
40. Sea
a) Demostrar que tanto
b)
Determinar
c)
Demostrar que
d)
Dibujar las gráficas de
como
y
existen y dar sus valores.
para todo x.
no existe.
,
.y
.
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Rapidez de variación
Razones de cambios relacionadas.
Para resolver los problemas de variación relacionada posemos seguir los siguientes pasos:
1) Dibujar una diagrama, cuando sea pertinente, e indicar las cantidades que varían.
2) Especificar en forma matemática la tasa de variación que se está buscando y recopilar toda la
información dada
3) Hallar una ecuación que implique la variable cuya tasa de variación se debe hallar.
4) Diferenciar respecto a t la ecuación hallada en el paso 3).
5) Enunciar la respuesta final de forma coherente, especificando las unidades empleadas.
1) Una escalera de 10 metros está apoyada contra la pared de un edificio. La base de la escalera resbala
alejándose de la pared a razón de 2m/s. ¿Con qué rapidez desciende el extremo superior de la escalera
cuando se encuentra a 6 metros del piso?
Respuesta:
En el instante en el que
y=6 la escalera resbala verticalmente a razón de
2) Una persona comienza a correr a partir de un punto A hacia el este, a una velocidad de 3 m/s. Un minuto
después, otra persona sale corriendo desde A hacia el norte a 2 m/s. ¿Cuál es la rapidez de variación de la
distancia entre las personas un minuto más tarde?
cuando
3) A las 10:00 horas el barco A se encuentra a 25 kilómetros al sur del barco B. Suponiendo que A navega
hacia el oeste a razón de 12km/h, y que B navega hacia el sur a 16km/h ¿cuál es la rapidez de variación de
la distancia entre los barcos a las 11:00?.
Nota: Observe que
4) Un vaso de papel en forma de cono con un diámetro de 10 centímetros y una profundidad de 10
centímetros está lleno de agua. El vaso pierde agua por abajo a razón de 2 centímetros cúbicos por
minuto. ¿A qué velocidad está bajando el nivel del agua en el instante en el cual tiene exactamente 5
centímetros de profundidad.
Respuesta:
5) Cuando un disco metálico circular se calienta, su diámetro aumenta a razón 0.01 cm/min. ¿cuál es la
rapidez de cambio del área de uno de sus lados, cuando el diámetro es de 15 cm?.
6) Un hombre que está en un muelle tira de una cuerda atada a la proa de un bote que se halla 30 cm sobre
el nivel del agua. La cuerda pasa sobre una polea simple que se encuentra en el muelle a 2 m del agua
(véase la figura). Si tira de la cuerda a razón de 1 m/s, ¿con qué rapidez se acerca el bote al muelle en el
momento en que la proa está a 6 m del punto sobre el agua que se encuentra directamente abajo de la
polea.
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7) Un globo de aire caliente se eleva en forma vertical y una cuerda atada a la base del globo se va soltando
a razón de 1.5 m/s. El torno desde el cual se suelta la cuerda está a 6 m de la plataforma de abordaje. ¿Si
se han soltado 150 m de cuerda, con qué rapidez asciende el globo?
8) Un globo esférico se está expandiendo. Si su radio crece a razón de 1 centímetro por cada 30 segundos.
¿con qué rapidez crece el volumen cuando el radio es de 5 centímetros.+
9) Una partícula se mueve en el sentido de las manecillas del reloj en una órbita circular dada por
. Cuando la partícula pasa por el punto
unidades por segundo. ¿Con qué rapidez varía su abscisa?
, su ordenada disminuye a razón de 2
10) Un depósito para agua con sección vertical transversal en forma de triángulo equilátero se llena a razón
de 1 metro cúbico por minuto. Suponiendo que la longitud del depósito es de 3 metros. ¿con qué rapidez
sube el nivel del agua en el momento en el cual ésta alcanza una profundidad de 2 metros.
11) Dos aviones uno rumbo al oeste y el otro al este, se aproximan uno a otro siguiendo dos trayectorias
paralelas que distan 80 metros. Sabiendo que ambos aviones vuelan a una velocidad de 800km por hora,
¿con qué rapidez está disminuyendo la distancia entre ambos cuando distan entre sì 100 kilómetros.
12) Un vaso de papel tiene forma de cono, de 10 centímetros de alto y 5 centímetros de radio en la base. Se
suministra agua a razón de 2 centímetros cúbicos por minuto. ¿cuál es la rapidez de cambio del nivel del
agua cuando tiene exactamente 5 centímetros de profundidad.
13) Un globo despega a 500 metros de un observador y se eleva verticalmente a la velocidad de 140 metros
por minuto. ¿Con qué velocidad está creciendo el ángulo de inclinación de la visual del observador en el
instante en el cual es globo está exactamente a 500 metros del suelo?
Respuesta:
El ángulo de visión crece a razón de 0.14 radianes por segundo es decir
aproximadamente 8 grados.
14) Una escalera de 15 metros de largo está apoyada contra un edificio. Si la base de la escalera se separa de
la pared a razón de 0.2 metros por segundo, ¿ con qué velocidad está cambiando el ángulo formado por la
escalera y el suelo en el instante en el cual el otro extremo de ésta se encuentra a 10 metros del suelo?.
Respuesta: En el instante en el que el extremo de la escalera está apoyada a 10 mtros. Del cuelo, el
ángulo formado por el otro extremo y el suelo, disminuye a razón de 0.02 rad. por seg.
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Valores extremos y gráficas
Máximos y mínimos
Criterio de la primera derivada
Concavidad y criterio de la segunda derivada
Gráficas con elementos de derivación
Ejercicios
Máximos Mínimos y Concavidades
I.- Calcule los valores máximos y mínimos absolutos de f sobre el intervalo dado.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
[-1,3]
7.
8.
9.
[-4, 5]
10.
11.
12.
[-1,8]
13.
II.- Calcule los máximos y mínimos locales de f. Describa los intervalos en los que f es creciente o decreciente y
trace la gráfica de f.
14.
15.
16.
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17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
III.- Halla los intervalos en los que f es creciente, o decreciente. Halla los valores máximos o mínimos de f. Halla
los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión. Bosqueje la gráfica de la función.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
37
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34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
IV.- a.
b.
c.d.e.-
Halle las asíntotas verticales y las
horizontales.
Halle los intervalos de crecimiento o decrecimiento.
Halle los valores máximos y mínimos locales.
Halle los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.
Bosqueje la gráfica de la función.
50.
38
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51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
VI.- Trace la gráfica de una función continua f que satisfaga todas las condiciones dadas.
58.
si
si
si
si
.
59.
si
si
si
si
o si
o si
Aplicaciones de máximos y mínimos
Ejercicios
Aplicaciones de máximos y mínimos
1) Halle el rectángulo de área más grande que se puede inscribir en un triángulo equilátero de lado L si un
lado del rectángulo se encuentra sobre la base del triángulo.
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2) Un trozo de alambre de 1m de largo se corta en dos partes. Una se dobla para formar un cuadrado y la
otra para formar un triángulo equilátero. ¿Cómo debe cortarse el alambre de modo que el área total
encerrada sea (a) máxima y (b) mínima?
3) Por experiencia, el gerente de un complejo de apartamentos de 100 unidades sabe que se ocuparán todos
si la renta es de 400 dólares al mes. Una investigación del mercado sugiere que, en promedio, quedará una
unidad adicional vacía por cada incremento de 5 dólares en la renta. ¿Cuánto debe cargar el gerente por
renta para maximizar el ingreso?.
4) Demuestre que de todos los rectángulos con área dada, el que tiene perímetro menor es el cuadrado.
5) Un yate se mueve en línea recta hacia el punto donde se encuentra un vapor con una velocidad de 60
km/h. En el momento en que la distancia entre ambos es de 4km, el vapor se empieza a mover en
dirección perpendicular a la del yate con una velocidad de
25 km/h. Determinar el momento en que las
embarcaciones se encuentran a la mínima distancia.
6) Se va a construir una vía de ferrocarril de un pueblo A a un pueblo C, que cambiará su dirección t grados
hacia C, en un punto B. Debido a las montañas que hay entre A y C el punto B de la curva debe estar por
lo menos 20 Km al este de A. El costo de la construcción es de 500,000 pesos por kilómetro entre A y B,
y de 1000000por kilómetro entre B y C calcule el ángulo t para el cual el costo de la construcción es
mínimo.
7) (El problema de la escalera) Una Cerca de 8 pies de altura colocada al nivel del piso corre paralela a un
edificio alto. La cerca se encuentra a un pies del edificio. Encuentre la longitud de la escalera más corta
que puede colocarse en el suelo y recargarse en el edificio por encima de la cerca.
8) (El problema de la ventana) Una ventana tiene la forma de un rectángulo coronado con un triangulo
equilátero. El área de la ventana es de 3.4 metros cuadrados. Encuentre las dimensiones del rectángulo
para el cual el perímetro de la ventana sea mínimo.
9) Dos pasillos de 3m y 4m de ancho se encuentran formando un ángulo recto evalùe la longitud de la barra
rígida más larga que puede transportarse horizontalmente dando vuelta a la esquina, (Desprecie el grosor
de la barra).
10) Sea dado un punto (x0, y0) que se halla en el primer cuadrante en un sistema de coordenadas
rectangulares. Trazar por este punto una recta de manera que forme un triangulo de área mínima con las
direcciones positivas de los ejes de coordenadas.
11) Si un cultivador californiano planta 200 naranjos por acre, el rendimiento promedio es de 300 naranjas
por árbol. Por cada árbol adicional que siembre por acre, el cultivador obtendrá 15 naranjas menos por
árbol. ¿Cuántos árboles por acre darán la mejor cosecha?
12) Calcule las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que se puede inscribir en un cono
de radio a y altura h.
13) Un hombre se encuentra en un bote a 2 kilómetros del punto mas cercano A de la costa, que es recta, y
desea llevar a una casa que se encuentra en un punto B de la citada costa, a 6 kilómetros de A. El hombre
puede remar a una velocidad de 3 km/h y caminar 5 km/h.
a) ¿Qué debe hacer para llegar a su casa en el menor tiempo posible.
b) Que debe hacer si el hombre tiene una lancha de motor que puede viajar a 15km/h.
14) Girando un rectángulo de perímetro p alrededor de uno de sus lados, se genera un cilindro circular recto.
Calcule las dimensiones del rectángulo que producen el cilindro de mayor volumen.
15) Se desea construir una tienda de campaña con forma de pirámide de base cuadrada. Un poste de metal
colocado en el centro será el soporte de la tienda. Se cuenta con S pies cuadrados para los cuatro lados de
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la tienda y x es la longitud de la base. Demuestre que el volumen de la tienda es
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y
determine el valor de x para el que el volumen es máximo.
16) Una cartelera rectangular de 20 pie de altura está instalada arriba de un edificio de manera que su orilla
inferior está 60 pie arriba del nivel de los ojos de un observador. ¿A qué distancia del edificio se debe
colocar el observador para que el ángulo t entre las rectas que van de sus ojos a la orilla de arriba y a la de
debajo de la cartelera sea máxima? (Este ángulo es con el que se obtendrá una mejor vista del cartel)
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Funciones exponenciales y logarítmicas
Derivadas de funciones logarítmicas
Derivadas de funciones exponenciales
Derivada de las funciones inversas
Calcula la derivada de la función
1.
2.
23.
24.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
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41. Demostrar la propiedad si a y b son cualesquiera números reales positivos, en tanto que x y y
son números reales.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
42. Encontrar la segunda derivada de la siguiente función:
43. Si
,
,y
44. Considere
. Determinar la segunda derivada de
.
para a fija a>0 y a≠0 demuestre que ƒ tiene una función inversa
y encuentre una fórmula para
45. Para a>1 fija, sea f(x)=
46. Sea
con
.
en [0, ) Demuestre que f(x) alcanza su máximo en x0=
.
Demuestre que para cualquier u fija:
alcanza su máximo en x0 = u
47. Determinar y’ en
48. Para
a) Trazar la gráfica
b) Determinar los extremos relativos de f.
c) Determinar los intervalos de crecimiento.
d) Determinar los intervalos de decrecimiento.
e) Determinar los intervalos de concavidad.
f) Determinar los puntos de inflexión.
49. Sea
demostrar que f (b + c) + f (b – c) = 2 f (b) f (c).
50. Demostrar la propiedad si a y b son cualesquiera dos números reales positivos diferentes de 1,
en tanto que x y y son números reales.
(a)
(b)
(c)
(d)
51. Despeje x de las siguientes ecuaciones.
a)
b)
c)
52. Deducir la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica y = 2x en el punto en el
que x = 2.
53. Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en los puntos dados.
(a)
en
(b)
54. Explicar porqué conociendo los valores de
calculadora,
,
,
,
,
en
y
, se puede obtener, sin emplear
pero no
.
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55. La única solución de la ecuación
porque no existen otras.
es x = 1. Explica porque está es una solución y
Funciones trigonométricas
Límites de las funciones trigonométricas
Derivadas de las funciones trigonométricas
Funciones trigonométricas inversas
Composición de funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas.
Halla el valor exacto de cada expresión sin usar calculadora
16.
1.
9.
17.
2.
10.
3.
11.
4. sen(arctan 2)
5.
12.
6.
13.
7.
8.
18.
19.
20.
21.
14.
15.
Hallar la expresión algebraica determinada por la expresión dada
22.
28.
33.
23.
34.
24.
25.
26.
27.
29.
35.
30.
31.
32.
Verifica que las identidades son válidas
36.
39.
37.
38.
40.
44
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41.
45.
42.
46.
43.
44.
45
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Derivadas
Hallar la derivada de la función
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68. Obtener ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de y = sen – 1(x – 1) en el
punto
46
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69. Despeje x de la ecuación:
70. Encuentre el punto de intersección de las gráficas de:
y
.
71. Obtener las ecuaciones de la recta tangente y normal a la gráfica de la ecuación
en
72. Hallar los puntos de la gráfica de y = tan– 12x en los que la recta tangente es paralela a la recta
13y – 2x + 5 = 0
73. Hallar los intervalos en los que la gráfica de y = tan– 1x tiene concavidad hacia arriba y
concavidad hacia abajo
74. Dados los puntos A(3, 1) y B(6, 4) en un sistema de coordenadas rectangulares, encontrar la
abscisa del punto P sobre el eje x para la que el ángulo APB toma su valor.
Encontrar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la ecuación en el punto dado.
75.
76. arctan(xy) = arcsen (x + y)
(0,0)
77.
78.
(1, 0)
79. De un rectángulo de lados a y b se va a recortar un triángulo de base a y altura b. ¿Cómo se
debe cortar el rectángulo para obtener el mayor ángulo θ posible?
80. Un observador está parado a 300 pies del punto en el que se suelta un globo. El globo se
eleva a una velocidad de
¿Qué tan rápido aumenta el ángulo de elevación desde la mira
del observador cuando el globo se halla a 100 pies de altura?
81. Un avión vuela horizontalmente a una altura de 4400m alejándose respecto de un observador.
Cuando el ángulo de elevación es
82.
, el ángulo decrece a razón de 0.05
. ¿Cuál es la
rapidez del avión en ese instante?
La altura oblicua del cono que se muestra en la fig. es 3m. ¿Cuál debe ser el ángulo θ para
maximizar el volumen del cono?
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83.
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Una pintura de 50cm de altura está colgada
en una pared de modo que su parte inferior
está a 180 cm del piso, como se muestra
en la figura:
Un observador se encuentra a b pies de la pared y el nivel de sus ojos de pie es de 60cm.
a) Exprese θ en función de b.
b) Calcule θ si b = 4 cm
84.
Una escalera de 12 m de longitud se recarga sobre una pared vertical. Si la base de la
escalera resbala horizontalmente alejándose de la pared de modo que su parte superior se
desliza hacia abajo a 3 m/s, ¿qué tan rápido está cambiando la medida del ángulo formado
por la escalera y el suelo cuando la base de la escalera está a 8 metros de la pared?
85. Hallar el ángulo
86. ¿Dónde debe elegirse el punto P sobre el segmento rectilíneo AB, de
modo que se maximice el ángulo θ?
87. En una galería de arte, una pintura tiene la altura h y
está colgada de modo que su borde inferior queda a
una distancia d arriba del ojo del observador. ¿Cuán
lejos de la pared debe pararse un observador para
tener la mejor vista? (En otra palabras, ¿dónde debe
situarse el observador a fin de que se maximice el
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ángulo θ subtendido en su ojo por la pintura?
88. Estás en un salón de clases, sentado junto a
una pared, mirando la pizarra que se encuentra
al frente. Esta mide 12 pies de largo y
empieza a tres pies de la pared que esta junto
a ti.
(a) Demuestra que tú ángulo de visión es
si estas a x pies de la
pared de enfrente.
(b) Deseas colocar tu silla junto a la pared,
para ampliar al máximo tu ángulo de visión
. ¿A qué distancia del frente del salón debes sentarte?
89. ¿Qué valor maximiza el ángulo θ de la ilustración? ¿Cuál es la magnitud de θ en ese punto?
Empieza por mostrar que
Funciones hiperbólicas
Demostrar que las siguientes identidades son válidas.
1.
2.
7.
3.
9.
4.
8.
10.
5.
6.
11. Determinar el valor de cosh x, tanh x, ctgh x, sech x y csch x si
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Calcular las siguientes derivadas
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
50
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31. Una línea telefónica cuelga entre dos postes separados uno de otro a 14m en forma de
catenaria
donde x y y están en metros.
(a) Encontrar la pendiente de la curva que toca al poste derecho.
(b) Encontrar el ángulo entre la línea y el poste.
32. Demostrar que cualquier función de la forma y = Asenh mx + Bcosh mx satisface la ecuación
diferencial
33. Para y = Asenh mx + Bcosh mx encontrar y = y(x) tal que y’’= 9y, y(0) = – 4 y y’(0) = 6.
34. Si x = ln(secθ + tan θ), demostrar que secθ = cosh x.
35. Evaluar
36. ¿En qué punto de la curva y = cosh x la tangente tiene pendiente 1?
x
37. Hallar y’ si senh xy = ye
2
38. Hallar y’ suponiendo que x tanh y = ln y
39. Mostrar la igualdad
40. Mostrar la igualdad
41. Determinar
42. Simplifica usando las definiciones de las funciones hiperbólicas.
43. Demostrar
Determinar la derivada de:
1.
2.
9.
3.
11.
4.
5.
12.
6.
10.
13.
7.
8.
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La integral
Integral definida y área bajo una gráfica
Integral definida y sus propiedades
Teorema fundamental del cálculo
Integral indefinida y cambio de variable
Técnicas de integración
Integrales inmediatas
Integración por sustitución trigonométrica
Integración por partes
Integración por fracciones parciales
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
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12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
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40.
41.
42.
43.
44.
45.
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58.
59.
60.
61.
62.
55
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Enero 2008
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
56
Prof. Jorge Luis Rosas Mendoza
Enero 2008
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
90.
91.
92.
93.
57
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Enero 2008
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
58
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Enero 2008
111.
112.
113.
114.
115.
116.
117.
118.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
59
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Enero 2008
127.
128.
129.
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
60
Prof. Jorge Luis Rosas Mendoza
Enero 2008
143.
144.
145.
146.
147.
148.
149.
150.
151.
152.
153.
154.
155.
156.
157.
61
Prof. Jorge Luis Rosas Mendoza
Enero 2008
Integrales de funciones exponenciales y logarítmicas
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
56.
57.
62
Prof. Jorge Luis Rosas Mendoza
Enero 2008
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
90.
91.
92.
93.
94.
95.
96.
Integrales de las funciones trigonométricas
63
Prof. Jorge Luis Rosas Mendoza
Enero 2008
Integrales de las funciones inversas trigonométricas
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
64
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Enero 2008
109.
110.
111.
65
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14.
Enero 2008
35.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
66
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Enero 2008
Áreas y volúmenes
Áreas en dos dimensiones
Área por Integral
Determinar el área de la región limitada por f (x) y el eje x
1.
15.
2.
[0, 4]
16.
3.
[0, 3]
17.
4.
[0, 3]
5.
[0, 2]
18.
6.
[0, 3]
19.
7.
[0, 5]
20.
[1, e]
8.
[– a, a]
21.
[1, 2]
9.
[– 2, 1]
22. y = sen x [0, π]
23. y = 1 + cos x
[0, 3π]
10.
[– 2, 2]
11.
24.
25.
12.
13.
26.
14.
, [-3, 3]
27. Determinar el área del triángulo formado por (1, 1), (2, 4), (3, 2)
[0, 1]
Área entre Curvas
Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas
28.
29.
31.
30.
67
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Enero 2008
32. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función
las rectas
y
33. Calcular el área de la región limitada por la gráfica de la función
las rectas
y
.
, el eje x y
, el eje x y
34. Calcular el área de la región comprendida entre las curvas
,
35. Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las ecuaciones
36. Calcular el área de la región acotada por las graficas de
y
37. Encontrar el área de la región encerrada por las parábolas
y
38. Calcular el área de la región acotada por las gráficas de
,
39. Encontrar el área de la región comprendida entre las curvas
,
,
.
y
.
.
.
,
.
en
.
Calcular el área de la región acotada por las gráficas de las curvas.
40.
41.
42.
43.
44.
,
, x = 1 y x = 2.
,
.
y
y
y
45.
y
46.
y
47.
,x=0 y x=
,
,
,
,
.
,
.
.
Representar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones, mostrar un rectángulo típico
vertical u horizontal y calcular el área de la región.
48. y = x2 + 2x y y = – x + 4 en
63.
,
49. y = x3 – 4x + 2 y y = 2 en [– 1, 3]
2
50. y = 6 – 3x y y = 3x en [0, 2]
64.
,
51. y2 = 1 – x y 2y = x + 2
65.
,
,
52. y – x = 6, y – x3 = 0 y 2y + x = 0
66.
,
,
,
53. 3y + x2 = 6 y y + 2x – 3 = 0
54. y = sen x y y = cos x en [0,2 ].
67.
,
,
,
55.
, y = – x2, en x = 1 y x = 2
68.
,
,
,
56. y = ln x, y = 2 ln x, x = 1 y x = 5.
69.
,
,
57. x = y 2, x = y + 2
70.
,
,
58.
71.
,
,
,
59.
2
4
72. x + 4y = 4 y x + y = 1 para x 0
60.
73. y2 = –x, x – y = 4, para y = –1 y y = 2
74. y = 1 – x2, y = x – 1
61.
75. y2 = 4 + x, y2 + x = 2
76. y = x, y = 3x, x + y = 4
62.
,
,
77. x = 4y – y3, x = 0
68
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78.
Enero 2008
y=0
79.
80.
81.
,
,
en [– 2, 3]
en [–3, 1]
,
en
[– 2, 2]
82.
,
en [– 2, 3]
83. y = sen x, y = cos x en [0,
84.
,
85.
en [0,
,
]
,x=2
86.
87.
,
88.
,
,
89.
en [– 1, 2]
,
90.
,
en
91.
,
en
92.
,
93.
,
94.
,
,x=2
95.
,
96.
,y=x
97.
,
98.
,
99.
100.
]
en
para y en
,
, x = 0 en
69
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101.
Enero 2008
Calcular el área de la región acotada
por la curva
113. (a)Hallar el número a tal que la recta
x = a biseque el área bajo de la curva
, el eje x, el
eje y y la recta x = 4.
102. Las graficas de
y
se cortan 4 veces, limitando
2 regiones de la misma área. Calcular el
área de estas regiones.
103. Calcular el área de la región limitada
por la curva y = ex, los ejes coordenados
y la recta x = 2.
104. Calcular el área de la región limitada
por la curva y = ex, y la recta que pasa
por los puntos (0, 1) y (1, e).
105. Calcular el área de la región limitada
por la gráfica de y = 5x y las rectas x = 1
y y =1.
106. Calcular el área de la región acotada
por las gráficas de curva y = ex y y = 2x, y
la recta x = 2.
107. Calcular el área de la región limitada
por las gráficas de
,
y la recta
.
108. Determinar el área de la región
acotada por la curva
el eje y y la recta x = 2.
109. Calcular el área de
determinada
por
la
, el eje x,
en [1,4].
(b) Encontrar el número b tal que la recta
y = b biseque el área mencionada en (a).
114. Hallar los valores de c tales que el
área de la región encerrada por las
parábolas
y = x2 – c2 y y = c2 – x2
sea 576.
115.
Suponga que 0 < c <
valores de c, el área de la región
encerrada por las curvas y = cos x, y =
cos (x – c) y x = 0 es igual al área de la
región encerrada por las curvas y = cos (x
– c),
y
?
116. Hallar el área de la región en el 1er,
cuadrante que está acotada por la
izquierda por el eje y, abajo por la curva
, por arriba a la izquierda por la
curva
y por arriba a la
derecha por la recta x = 3 – y.
117. Hallar el área de la región en el 1er.
cuadrante que está acotada por la
izquierda por el eje y, por abajo por la
recta
, por arriba a la izquierda por
la curva
la región
catenaria
, el eje x, el eje y y la recta x
= 6ln6.
110. Determinar el área del triángulo con
los vértices (a) (0, 0), (2, 1), (–1,6); (b)
(0, 5), (2,–2), (5, 1)
111. Hallar el área de la región limitada
por la parábola y = x2, la recta tangente a
esta parábola en (1, 1) y el eje x.
112. Encontrar el número b tal que la recta
y = b divida la región limitada por las
curvas y = x2 y y = 4 en dos regiones de
áreas iguales.
. ¿Para qué
y por arriba a la
derecha por la curva
118. Hallar el área de la región entre la
curva
y la recta y = – 1
integrando con respecto a (a) eje x, (b)
eje y.
119. Sea R la región acotada por las
graficas de x – 2y = 0, x – 2y – 4 = 0, y =
3, y = 0. Calcule su área usando (a)
integración, y (b) una fórmula de
geometría.
Volúmenes de revolución
Volúmenes de figuras geométricas conocidas
Áreas de superficies de revolución
70
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Enero 2008
1. Sea
Calcular el volumen
del sólido de revolución que se genera al
girar la región acotada por la grafica de
, el eje x,
y
alrededor del
eje x.
4. Hallar el volumen del sólido generado al
girar la región entre la parábola
y la recta
alrededor de
la recta
.
2. Hallar el volumen del sólido generado al
girar la región acotada por
y las
rectas
y
alrededor de la
recta
.
3. La región acotada por le eje
y las
graficas
y
gira
alrededor del eje y. Calcular el volumen
del sólido.
Calcular el volumen del sólido generado al girar R alrededor del eje indicado. Trazar un
rectángulo típico así como el disco o la arandela que genera.
6.
,
, alrededor del
5.
,
,
alrededor
eje x.
del eje x.
71
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7.
Enero 2008
alrededor de
9.
8.
alrededor del eje x.
alrededor del eje y.
10. La
región
acotada por la curva
y la recta
gira
alrededor del eje
para generar un
sólido. Hallar el volumen del sólido.
12. Calcular el volumen del sólido generado
si la región R encerrada por las curvas
y
se hace girar alrededor de
la recta
.
11. Se hace girar la región R encerrada por
las curvas
y
entorno al eje
. Hallar el volumen del sólido
resultante.
72
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13. Calcular el volumen del sólido generado
si la región R encerrada por las curvas
y
se hace girar alrededor de
la recta
.
Enero 2008
16. La región en el primer cuadrante acotada
por las gráficas de
y
gira alrededor del eje
. Calcular el
volumen del sólido resultante.
17. La región encerrada por la parábola
, el eje , y la recta
gira
14. Calcular el volumen del sólido generado
si la región R encerrada por las curvas
y
se hace girar alrededor de
la recta
.
15. La región acotada por la parábola
y la recta
en el primer cuadrante
gira alrededor del eje
para generar un
sólido. Hallar el volumen del sólido.
alrededor de la recta
para generar
un sólido. Hallar el volumen del sólido.
18. La región encerrada por
,
,
; gira alrededor del eje y,
calcular el volumen del sólido resultante.
73
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Enero 2008
Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por las rectas y las curvas dadas
alrededor del eje indicado (discos)
19.
, y = 0; eje x
23.
; eje y
20.
,
,
21.
,
22.
; eje x
24.
; eje x
,
,
; eje y
; eje y
Hallar el volumen del sólido generado al rotar la región acotada por las rectas y las curvas dadas
alrededor del eje indicado (arandelas)
25. y = x, y = 1, x = 0; eje x
30.
,
,
,
; eje y
26. y = 2x, y = x, x = 1; eje x
27.
,
; eje x
31. 1er cuadrante
,
,
28.
; eje x
; eje y
29.
; eje x
32. 1er cuadrante
,
,
; eje y
Representar la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones para calcular el volumen
del sólido generado al girar R alrededor del eje indicado. Trace un rectángulo típico junto
con la envolvente cilíndrica que genera.
33.
34.
35.
36.
37.
,
,
,
,
, eje y
, eje y
,
,
, eje y
,
,
, eje x
, y = 0, eje x.
38.
39.
,
40. y = x,
41.
,
,
,
, eje x
, recta
, recta
Hallar los volúmenes de los sólidos generados al girar las regiones acotadas por las curvas y las
rectas dadas alrededor del eje x.
47. x + y = 3, x = 4 – (y – 1)2
41.
,
42.
,
48.
,
en
2
43. x = 2y – y , x = y
44. y = x, y = 2x, y = 2
49.
,
,
45.
, y=0, y=x–2
46. x = 1 + y 2, x = 0, y = 1, y = 2
Hallar el volumen del sólido generado al girar cada región alrededor del eje y.
50. y = x2, x = 2 y el eje x.
52.
, y = 0 y x = 4.
51.
y por y = x
53.
,
74
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54.
, x = 0, y = 9
55.
,
56.
Enero 2008
57.
,
,
,
,
.
.
Obtener el volumen del sólido de revolución que se forma haciendo rotar la región limitada por
las graficas de las ecuaciones dadas, en torno del eje indicado.
58.
, x = 0, y = 5, eje y
81. 2do cuadrante
;
59.
, x = 1,
, eje y
recta
60. y = x2, y = 2x, eje y
61. y = (x – 2)2, x = 0, y = 0; eje x
62. 2x – y – 12 = 0, x – 2y – 3 = 0, x = 4; eje
y.
63. y = x3 + 1, x + 2y = 2, x = 1; eje y.
64. x2 = 4y, y = 4; eje x.
65. 2y = x, y = 4, x = 1; eje x.
66. y = 4 – x2, y = 1 –
x2, eje x
67. y = 1 – x2, y = x2 – 1, eje y
68. y = x3, x = – 2, y = 0, eje x
69. y = x, y = 2x, y = 2, eje x
70. y2 = x, 2y = x, eje y
71. y = 2x, y = 4x2, eje y
72. x = y3, x2 + y = 0, eje x
73. x = y2, y – x + 2 = 0, eje y
74. x + y = 1, y = x + 1, x = 2, eje y.
75.
, y = 0,
, x = 2, eje y
76.
, x = 1,
,
77.
,
; eje y.
, gira alrededor de
,
.
78. 1er cuadrante
,
; recta
83.
,
; recta
84.
,
; recta
85. y =
,
,
; recta
86. y =
,
,
; recta
87. y =
,
,
; recta
.
88.
,
; recta
89.
,
; recta
90.
,
; recta y =16.
91.
,
,
; recta x = 2
92.
,
,
; recta x = 3
93.
,
,
; recta
94. y = 4 – x2 y y =0; recta x = 2
95. y = 4 – x2 y y =0; recta x = –2.
;
,
; recta
79. 1er cuadrante
;
recta
80. 1er cuadrante,
82.
96.
, y = 2, y x = 0; recta y = 2,
97.
, y = 2, y x = 0; recta x = 4.
98. yx2 = 1, y = 1 y y = 4; recta y = 5.
99. y2 = x, x = 0, y = –1 y y = 1; recta y = 2.
,
,
;
100.
y = x2, x = y2; y = –1.
recta
75
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101.
y = x2 + 1, x = 0, x = 2 y y = 0; recta x
=3
102.
y = x2 + 1, x = 0, x = 2 y y = 0; recta x
= –1.
3
103.
x = y – y y el eje y; recta y = 1.
104.
y = 2x – x2 y y= x; recta x =1.
Enero 2008
105.
x = 4+6y – 2y2 y x = – 4; recta x = -4.
106.
2y = x + 4, y = x y x = 0; eje x
107.
2y = x + 4, y = x y x = 0; el eje y
108.
2y = x + 4, y = x y x = 0; recta x = 4;
109.
2y = x + 4, y = x y x = 0; recta y = 8.
110. Al girar alrededor del eje x la región limitada por la curva
, el eje x, el eje y y
la recta x = c (c>0), se generó un sólido de revolución. ¿Para qué valor de c el volumen del
sólido será de
unidades cúbicas?
111. Obtener el volumen del sólido de revolución generado cuando la región acotada por la
curva
112.
, el eje x y la recta x = 1se gira alrededor del eje x.
Calcular el volumen del sólido de revolución generado cuando la región limitada por el
eje x, la curva
y las rectas x = 1 y x = 4se gira alrededor del eje x.
113. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las gráficas de las
curvas y = ex y y = 2x, y la recta x = 2, alrededor del eje x.
114. Calcular el volumen del sólido generado al girar la región limitada por las gráficas de
,
y la recta
.
115. Calcular el volumen del sólido de revolución generado si la región determinada por la
catenaria
, el eje x, el eje y y la recta x = 6ln6, gira alrededor del eje x.
116. Obtener el volumen del sólido de revolución generado cuando la región limitada por la
curva
, el eje x, y las rectas x = 0 y x = ln 2, se gira alrededor del eje x.
117. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por yx2 = 1, y = 1 y y = 4
alrededor de la recta y = 5.
118. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las graficas de y2 = x,
x = 0, y = –1 y y = 1 gira alrededor de la recta y = 2.
119. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada por y = 4x – x2, y = 8x –
2x2; en torno de x = –2
120. Hallar el volumen del sólido obtenido al girar la región limitada por y = x2, x = y2; en
torno de y = –1
121. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y = x2 + 1, x = 0, x = 2
y y=0;
(a) alrededor de la recta x = 3;
(b) alrededor de la recta x = –1.
122. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y = 4 – x2 y y=0;
(b) alrededor de la recta x = 2,
(b)alrededor de la recta x = –2
123. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por
y las rectas y
= 2, y x = 0 alrededor de:
a) La recta y = 2 b) La recta x = 4
76
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Enero 2008
124. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por las rectas y = 2x, y =
0 y x = 1 alrededor de:
a) x = 1 b) x = 2
125. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por x = y3, x = 8 y y = 0
alrededor de la recta x = 8.
126. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por x = y – y3 y el eje y
alrededor de la recta y = 1.
127. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región acotada por y = 2x – x2 y y= x,
alrededor de la recta x =1.
128. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región y = x4 y y = 1 alrededor y=1
129. Hallar el volumen del sólido generado al girar la región y = x2 y y = 4 alrededor de:
(a) y = 4,
(b) y = 5,
(c) x = 2
130. Obtener el volumen del sólido obtenido al girar la región triangular acotada por las rectas
2y = x + 4, y = x y x = 0 alrededor de:
(c) el eje x; (b) el eje y; (c) la recta x = 4;
(d) la recta y = 8.
131. Obtener el volumen del sólido obtenido al girar la región en el primer cuadrante acotada
por y = x3 y y = 4x alrededor de:
(a) el eje x;
(b) la recta x = 8.
Obtener una fórmula para el volumen del sólido inclinado usando una integral definida.
132. Un cono circular recto de altura h y radio de la base r.
133. Una esfera de radio r.
134. Un cono circular recto troncado de altura h, radio de la base inferior R y radio de la base
superior r.
135. Un segmento esférico de altura h y radio de la esfera r.
Representar la región R acotada por las gráficas de las ecuaciones dadas y luego plantee la
integral o las integrales que se necesitan para calcular el volumen del sólido que se obtienen al
girar R alrededor de la recta indicada. Use todos los métodos posibles en cada ejercicio.
136.
,
, eje x
137.
, recta
138.
, recta
139.
,
, recta
140.
,
141.
142.
143.
, recta
, recta
,
, recta
,
, recta x = – 3
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Enero 2008
Formas indeterminadas
Integrales impropias
Determinar si la integral converge o diverge, si converge calcule su valor.
1.
7.
13.
2.
3.
4.
5.
6.
12.
8.
9.
14.
15.
10.
11.
Determinar si la integral converge o diverge y, si converge calcule su valor.
16.
20.
17.
21.
18.
19.
24.
25.
26.
22.
23.
Determinar si la integral converge o diverge, si converge calcule su valor.
27.
30.
33.
28.
31.
34.
29.
32.
35.
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Determine si las integrales dadas convergen o divergen.
36.
45.
54.
46.
55.
37.
47.
38.
39.
56.
48.
57.
49.
58.
40.
50.
41.
51.
42.
59.
60.
52.
61.
43.
44.
53.
Hallar los valores de p para los que la integral converge.
62.
63.
64.
66.
67.
65.
Calcular el valor de la constante C para el cual converge la integral
68.
69.
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70. Demostrar
Aproximación de Taylor y series de potencias
Series numéricas. La serie binomial y algunas otras series
Polinomios de Taylor
El teorema del residuo y las series de Taylor
Series de potencias y radio de convergencia
Series de Taylor y de MacLaurin
Determinar la serie de Taylor de cada función en el punto indicado
1. f (x) = ln x en a = 2
6.
2.
a =1
3.
4.
5.
en a = 2
en a = 3
en a = 2
en a = 4
7.
en
8.
en
Determinar la serie de MacLaurin
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Determinar si la sucesión converge o diverge; si converge calcule el límite.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
11.
15.
12.
16.
13.
17.
14.
18.
7.
8.
9.
10.
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19.
20.
27.
22.
30.
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32.
25.
26.
44.
36.
45.
37.
29.
24.
35.
28.
21.
23.
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33.
38.
46.
47.
39.
48.
40.
49.
41.
42.
43.
34.
Series
Hallar una fórmula para la n-ésima suma parcial de cada serie y úsela para hallar la suma de la
serie sí ésta converge.
1.
7.
2.
8.
3.
9.
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10.
5.
11.
6.
12.
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Determinar si las siguientes series convergen o divergen, si converge calcule su valor.
13.
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16.
14.
20.
17.
15.
18.
Expresa cada número como razón de enteros.
23. 0.234234234…
21.
24. 1.24123123123....
22. 17.0.234234234.....
25. 5.22222…
26. 1.212121…
Hallar los valores de x para los cuales la serie geométrica converge. Calcule la suma
27.
29.
31.
28.
30.
32.
33. Si la n-ésima suma parcial de la serie
es
Determinar An
y
Aplicar el criterio del n-ésimo término a cada serie y comentar el resultado.
34.
35.
39.
43.
48.
40.
44.
49.
36.
45.
41.
37.
50.
51.
46.
42.
38.
47.
Criterios de convergencia
Usar el criterio de convergencia apropiado para determinar si las series convergen o divergen.
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1.
17.
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18.
3.
4.
5.
19.
20.
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34.
35.
36.
50.
51.
52.
37.
53.
38.
54.
39.
55.
40.
56.
22.
6.
23.
7.
24.
8.
41.
25.
9.
26.
42.
27.
12.
28.
29.
59.
44.
60.
Si
45.
46.
13.
30.
14.
31.
15.
32.
16.
58.
43.
10.
11.
57.
33.
61.
47.
48.
49.
Convergencia Absoluta
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Determinar si las series Convergen Absolutamente, Condicionalmente o Divergen.
1.
15.
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3.
17.
30.
18.
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19.
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20.
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13.
39.
27.
14.
Serie de potencias
Hallar el radio e intervalo de convergencia de cada serie.
1.
3.
5.
7.
2.
4.
6.
8.
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41.
24.
33.
42.
25.
34.
43.
35.
44.
11.
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15.
16.
17.
26.
27.
36.
18.
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