Sección: 8 - PUPR - Universidad Politécnica de Puerto Rico

UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE PUERTO RICO
PROGRAMA DE SERVICOS EDUCATIVOS
MANUAL MATEMÁTICA 1340
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PROGRAMA DE SERVICIOS EDUCATIVOS
COMPONENTE DE TUTORÍA
MÓDULO MATEMÁTICA 1340
Sección: 7.2: Ley del Seno
Ejemplo:
1) Resuelva el triángulo presentado en la figura. Dado: α = 35°, β =15° y c = 5.
Figura:
Solución: Usando la ley del seno
seno α = seno β = seno γ
a
b
5
seno α = seno γ
a
5
 5 seno α = a
seno γ
 5 seno(35°) = a
seno(130°)
 3.74 = a
seno β = seno γ
b
5
 5 seno β = b
seno γ
 5 seno(15°) = b
seno(130°)
 1.69 = b
Práctica:
En los siguientes problemas, resuelva cada triángulo.
1)
2)
3) α = 40°, β =20°, a = 2.
4) β = 70°, γ = 10°, b = 5.
5) α = 40°, β =40°, c = 2.
6) b = 5, c = 3, β =100°.
7) b = 4, c = 6, β =20°.
8) a = 2, c = 2, γ = 100°.
Verbales:
1) Un avión es divisado por dos observadores quienes están a 1000 pies abajo del avión.
Como el avión pasa por encima de la línea que los une, cada observador toma un apunte
del ángulo de la elevación al avión, como se indica en la figura. ¿Cuán alto está el avión?
Figura:
2) Roberto necesita determinar la altura de un árbol antes de cortarlo para estar seguro de
que no caerá en la cerca cercana. El ángulo de elevación del árbol desde una posición en
un camino plano es 30°, y desde una segunda posición mas lejana a lo largo de este
camino esta a 20°. ¿Cuál es la altura del árbol?
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Sección 7.3: Ley del coseno
Ejemplo:
1) Resuelve el siguiente triángulo: a = 2,b = 3, γ = 60°.
Figura:
Solución: Usando la ley del coseno
c² = a² + b² - 2abcos(γ)
=(2)² + (3)² - 2(2)(3)cos(60°)
c² = 4 + 9 – (12)(1/2)
= 13 – 6
c = √7
Determinar los ángulos α y β.
Para α:
a² = b² + c² - 2bccos(α)
cos(α) = 9 + 7 – 4
2(2)(√7)
cos(α) = 2√7
7
α = cosֿ¹ 2√7
7
α = 40.9°
 cos(α) = b² + c² - a²
2bc
Para β:
b² = a² + c² - 2accos(β)  cos(β) = a² + c² - b²
2ac
cos(β) = 4 + 7 – 9 = 2 = 1 = √7
2(2)(√7) 4√7 2√7 14
β = cosֿ¹ √7 = 79.1°
14
 Note que la suma de los tres ángulos es 180°.
α + β + γ = 40.9° + 79.1° + 60° = 180°
Práctica:
En los siguientes problemas, resuelva cada triangulo.
1)
2)
3)
4)
γ
9
β
4
5) a = 3, b = 4, γ = 40°
6) b = 1, c = 3, α = 80°
7) a = 3, c =2, β = 110°
8) a = 12, b = 13, c = 5
α
6
9) a = 2, b = 2, c = 2
10) a = 5, b = 8, c = 9
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Sección 7.4: Área del triángulo:
Resuelve:
Ejemplo: Determine el área de un triángulo cuyos lados son 4, 5 y 7.
Solución:
s
1
a  b  c   1 4  5  7  1 16  8
2
2
2
A  s s  a s  b s  c 
A  88  4 8  5 8  7 
A  84 3 1
A  96
A4 6
Práctica:
En los siguientes problemas, resuelva cada triangulo.
1)
2)
3)
4)
γ
9
β
4
5) a = 3, b = 4, γ = 40°
6) b = 1, c = 3, α = 80°
7) a = 3, c =2, β = 110°
8) a = 2, b = 2, γ = 50°
9) a = 4, b = 5, c = 3
10) a = 2, b = 2, c = 2
α
6
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Sección: 8.1: Coordenadas Polares
Ejemplos:
Encuentra las coordenadas rectangulares del punto cuya coordenadas polares son.
a) (6, /6)
x = r cos  = 6 cos /6 = 6 * 3 / 2 = 33
y = r sin  = 6 sin /6 = 6 * 1 / 2 = 3
Las coordenadas rectangulares del punto son: (33, 3)
Encuentra las coordenadas polares del punto cuya coordenadas rectangulares son:
a) (2, -2)
r = x 2  y 2  (2) 2  (2) 2  8  2 2
 = tan -1 y / x = tan -1 ( -2 / 2) = tan -1 (-1) = - /4
Las coordenadas polares del punto son (22, - /4)
I. Dibuja cada punto en coordenadas polares.
1) (3, 90)
2) (5, 5 / 3)
II. Encuentra las coordenadas rectangulares.
1) (3, /2)
2) (-3, -3 / 4)
III. Encuentra las coordenadas polares.
1) (3,0)
2) (-2, -23)
IV. Escribe cada ecuación usando las coordenadas polares (r,).
1) 2x2 + 2y2 =3
2) x2 = 4y
V. Escriba cada ecuación usando las coordenadas rectangulares (x,y).
1) r = cos 
2) r = 4
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Sección 8.3: Números Complejos
Ejemplos:
z = 3 – i, escribe la expresión para z en forma polar.
El punto tiene coordenadas rectangulares (3, -1), r = x 2  y 2  ( 3 ) 2  (1) 2  4  2
sin  = y / r = - 1 / 2, cos  = x / r = 3 / 2 , 0 <  < 2
Entonces  = 11 / 6 y r = 2, por lo tanto la forma polar de z = 3 – i es
z = r(cos  + i sin ) = 2( cos 11 / 6 + i sen 11 / 6)
Cambiar a forma rectangular z = 2 (cos 30 + i sin 30).
z = 2 (cos 30 + i sin 30) = 2(3 / 2 + 1 / 2 i) = 3 + i
z = 3(cos 20 + i sin 20), w = 5(cos 100 + i sin 100), encuentra zw y z / w.
zw=[3(cos 20 + i sin 20)][5(cos 100 + i sin 100)]=(3 x 5)[cos(20 + 100) + i sin(20 + 100)]
zw = 15( cos 120 + i sin 120)
z / w=3(cos 20 + i sin 20) / 5(cos 100 + i sin 100)= 3/5 [cos(20 - 100) + i sin(20 -100)]
z / w = 3/5 [( cos (-80) + i sin (-80)] = 3/5 (cos 280 + i sin 280)
Escribe [2(cos 20 + i sin 20)]3 en la forma estándar a + bi
[2(cos 20 + i sin 20)]3 = 23[cos(3 x 20) + i sin (3 x 20)] = 8 (cos 60 + i sin 60)
= 8( 1 / 2 + 3 / 2 i) = 4 + 43 i
I. Escribe los siguientes números complejos en forma polar.
1) 1 + i
2) 93 + 9i
II. Escribe los siguientes números complejos en forma rectangular.
1) 0.2(cos 100 + i sin 100)
2) 4(cos  / 2 + i sin  / 2)
III. Encuentra zw y z / w.
1) z = 2(cos 40 + i sin 40)
2) w = 4(cos 20 + i sin 20)
Sección 8.4: Vectores
Ejemplos:
Escribir v en la forma ai + bj. v = P1 P2 , si P1 = (-1,2) y P2 = (4,6).
v  a, b   x2  x1, y 2  y1 
Encuentra ||v||. v = 2i + 3j.
v =  4  (1),6  2  5,4 = 5i + 4j
2
2
||v|| = a1  b1
v = 2 2  32  13
Suma, Resta y Multiplicación de vectores. v = 2i + 3j, w = 3i + 4j.
a) v + w = (2i + 3j) + (3i – 4j) = (2 + 3)i + (3 – 4)j = 5i – j
b) v – w = (2i + 3j) - (3i – 4j) = (2 - 3)i + (3 – (-4)j = -i + 7j
c) 3v = 3(2i + 3j) = 6i + 9j
Encuentra el vector unitario, v = 4i – 3j.
||v|| = 16  9  5
u = v / ||v||
v / ||v|| = 4i – 3j / 5 = (4 / 5) i - (3 / 5)j
I. Escribe v en forma ai + bj.
1) P = (3, 2); Q = (5, 6)
2) P = (-2, -1); Q = (6, -2)
II. Encuentra ||v||.
1) v = 3i – 4j
2) v = -5i + 12j
III.Encuentra cada cantidad.
1) 2v + 3 w
2) ||v – w||
3) ||v|| + ||w||
IV. Encuentra el vector u.
1) v = 5i
2) v = i – j
Sección 8.5: Producto Punto.
Ejemplos:
Encuentra el producto punto v . w, si v = 2i – 3j y w = 5i + 3j.
v . w = 2(5) + (-3)3 = 1.
Encuentra el vector proyección de v = i + 3j hacia w = i +j. Descompone v en 2 vectores v1 y
v2, donde v1 es paralelo a w y v2 es perpendicular a w.
v1 =
v.w
1 3
w
w  2w  2(i  j )
2
|| w ||
( 2)2
v2 = v – v1 = (i + 3j) – 2(i + j) = -i + j
I. Encuentra el producto punto v . w.
1) v = i – j, w = i + j
2) v = 4i, w = j
II. Descompone v en 2 vectores v1 y v2.
1) v = 2i – j, w = i - j
2) v = 3i + j, w = -2j - j
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Sección 4.3: Funciones Exponenciales
Ejemplos:
I. Grafica cada una de las siguientes funciones.
1) y = 3x
2) y = 1 – 3x
3) y = 3x - 1
II. Grafica y determina el dominio, alcance y asíntota horizontal de cada función.
1) y = e-x
2) y = 9 – 3e-x
3) y = ex – 1
x
x
4) y = 2 + 1
5) y = 1 – 3(2 )
6) y = 2x + 2
Sección 4.4: Funciones Logarítmicas
Ejemplos:
Cambia la expresión exponencial a una expresión logarítmica.
a) 1.23 = m
3 = log1.2m
b) eb = 9
b = loge9
Cambia la expresión logarítmica a una expresión exponencial.
a) loga4 = 5
a5 = 4
b) logeb = -3
e-3 = b
Encuentra el dominio de la función logarítmica.
a) F(x) = log2 (1 – x)
1 – x > 0, x < 1, (-∞, 1)
Resuelve la ecuación:
a) log3(4x – 7) = 2
4x – 7 = 32
4x – 7 = 9
4x = 16
x=4
I. Cambia cada expresión exponencial a logarítmica.
1) 9 = 32
2) 2.23 = N
3) xп = e
II. Cambia cada expresión logarítmica a exponencial.
1) log28 = 3
2) log2M = 1.3
3) ln 4 = x
III. Encuentra el dominio de cada función.
1) f(x) = ln(x – 3)
2) g(x) = log5x3
3) h(x) = ln ( 1 / (x – 5))
IV. Grafica cada función.
1) y = log3x
2) y = 1 – log3x
V. Resuelve cada ecuación.
1) log3x = 2
2) e3x = 10
3) log636 = 5x + 3
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Sección 4.5: Propiedades de Logaritmos
Ejemplos:
Propiedades de Logaritmos
1) alogaM = M
2) logaar = r
3) loga(MN) = logaM + logaN
4) loga(M / N) = logaM - logaN
5) logaMr = rlogaM
Expresa como una diferencia de logaritmos.
ln x2 / (x – 1)3 = ln x2 – ln ( x – 1)3 = 2 ln x – 3 ln (x – 1)
Escribe como un simple logaritmo.
Loga7 + 4 loga3 = loga7 + loga34 = loga7 + loga81 = loga(7 x 81) = loga567
I. Usa propiedades de logaritmos y encuentra el valor de cada expresión.
1) log3371
2) eln 8
3)log82 + log84
II. Escribe cada expresión como suma y diferencia de logaritmos.
1) loga(u2v3)
2) log2 (a / b2)
3) ln(x 1  x 2 )
III. Cambia cada expresión como un simple logaritmo.
1) 3log5u + 4log5v
2) log2(1 / x) + log2(1 / x2)
3) log3u2 – log3v
Sección 4.6: Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
Ejemplos:
Resuelve las siguientes ecuaciones.
1) 2log5x = log59
log5x2 = log59
x2 = 9
x=3
3) 2x = 5
x = log25 = ln 5 / ln 2 = 2.3222
2) log3(x + 3) + log4(2 – x) = 1
log4 [ (x + 3)(2 – x)] = 1
(x + 3)(2 – x) = 41 = 4
- x2 – x + 6 = 6
x2 + x – 2 = 0
(x + 2)(x – 1) = 0
x = -2 , x = 1
4) 8 x 3x = 5
3x = 5 / 8
x = log3( 5 / 8) = ln 5 / 8 / (ln 3) = - 0.428
I. Resuelve cada ecuación
1) log4(x + 2) = log48
4) ln x – ln (x + 2) = 4
2) 2 log5x = 3 log54
5) 32x + 3x – 2 = 0
3) 2x = 10
6) 2-x = 1.5
Sección 4.7: Aplicaciones
Ejemplos:
Un objeto es calentado a 100ºC y se está calentando el cuarto con una temperatura de 30ºC.
a) Si la temperatura del objeto es 80ºC después de 5 minutos, cuándo esa temperatura
se convertiría en 50ºC?
u(t) = 30 + (100 – 30) ekt = 30 + 70ekt
u(t) = 30 + 70ekt
80 = 30 + 70ek(5)
50 = 70ekt
e5k = 50 / 70
5k = ln (5 / 7)
K = ln (5 / 7) / 5 = -0.0673
I. Crecimiento de una población de insectos. El tamaño P de cierta población de insectos en
un tiempo t obedece la función P(t) = 500e0.02t. Después de cuantos días la población
alcanzará 1000? 2000?
II. Decaimiento Radiactivo. Estroncio 90 es un radioactivo , material que decae de acuerdo
la función A(t) = A0e-0.0244t, donde A0 es la cantidad inicial presentada y A es la cantidad
presente en un tiempo t ( en años).
a) Cuál es la mitad de vida de estroncio 90?
b) Determina cuánto tiempo tarda 100 gramos de estroncio 90 para decaer a 10
gramos.
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Sección 10.1: Sistemas de Ecuaciones Lineales
Ejemplos:
Resuelve el siguiente sistema de ecuación lineal.
2 x  y  5

 4 x  6 y  12
y = -2x + 5
-4x + 6y = 12
-4x + 6(-2x + 5) = 12
-4x – 12x + 30 = 12
-16x = -18
x = -18 / -16 = 9 / 8
2x + y = 5
2( 9 / 8) + y = 5
9/4+y=5
y = 5 – 9 / 4 = 11/ 4
x = 9 / 8 = 1.125
y = 11 / 4 = 2.75
I. Verifica que los valores de las variables listadas sean las soluciones de los sistemas de
ecuaciones.
2 x  y  5
5x  2 y  8
1) 
x = 2, y = -1
3x  2 y  2
 x  7 y  30
2) 
x = -2, y = 4
2 x  1 / 2 y  0
3x  4 y  19 / 2
3) 
x = - 1 /2, y = 2
II. Resuelve cada uno de los sistemas de ecuaciones. Usa sustitución o eliminación.
x  y  8
x  y  4
1) 
3x  24
x  2 y  0
2) 
3x  6 y  2
5x  4 y  1
3) 
III. Resuelve el siguiente problema con un sistema de ecuaciones.
Costo de un “Fast Food”. Cuatro “cheeseburguers” y dos chocolates hacen un total de
$7.90. Dos chocolates cuestan 15 c más que un “cheeseburguer”. ¿Cuál es el costo del
“cheeseburguer” y del chocolate?
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Sección 10.2: Matrices
Ejemplo:
Resuelve el sistema de ecuaciones lineales usando matrices.
x  y  z  6

2 x  y  z  3
x  2 y  2z  0

1 1 1 |

= 2 -1 -1 |

1 2 2 |
6
3  =
0 
1 1 1 | 6  1 1 1 | 6 
 0 - 3 - 3 | - 9  = 0 1 1 | - 6 

 

0 1 1 | - 6 0 - 3 - 3 | - 9
1 1 1 | 6 
0 1 1 | - 6 


0 0 0 | - 27
I. Escribe la matriz argumental de los siguientes sistemas de ecuaciones.
x  5 y  5
4 x  3 y  6
1) 
3x  4 y  7
4 x  2 y  5
2) 
2 x  3 y  6  0
4 x  6 y  2  0
3) 
II. Escribe el sistema de ecuaciones correspondiente a la matriz dada. Determina si el
sistema es consistente o inconsistente.
1) 1
0|
5
2) 1
0
0|
1
0
1|
-1
0
1
0|
2
0
0
0|
3
III. Resuelve cada sistemas de ecuaciones usando matrices.
x  y  8
1) 
x  y  4
x  y  6

2) 2 x  3 z  16
2 y  z  4

3x  5 y  3
15x  5 y  21
3) 
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Sección 10.3: Determinantes
Ejemplos:
Encuentra el valor del determinante.
3 -2
 (3)(1) – (6)(-2) = 3 – (-12) = 15
6 1
Resuelve usando la Regla de Cramer.
3
3x  y  4
=

6
6 x  y  13
4 -2
x = Dx / D =
13
1
-2
 (3)(1) – (6)(-2) =15
1
= 30 / 15 = 2
y = Dy / D =
15
La solución es x = 2, y = 1.
I. Encuentra el valor de cada determinante.
3
3 1
1)
4 2
4
4
= 15 / 15 = 1
13
15
2
2) 1 - 1
1
3
6
5
2 -2
3)
6 4
-1 3
II. Resuelve cada sistema de ecuaciones usando la Regla de Cramer.
x  y  z  6

2) 3 x  2 y  z  5
 x  3 y  2 z  14

x  y  8
1) 
x  y  4
Sección 10.4: Álgebra de Matrices
Ejemplos:
Operaciones con matrices
2
0
A= 
4 8
1 2
- 3
3
 3
 6
B= 
4
8
0
2
1
0
2
0
A+B= 
4 8
1 2
- 3
+
3
 3
 6

4
8
0
2
1
2  (-3) 4  4 8  0 - 3  1 
= 


0
0  6 1  8 2  2 3  0
 1 8 8 - 2

 6 9 4 3
A+B= 
Encuentra la Inversa
3
2
1
1
A= 
1 - 1

- 2 3
A-1 = 
I. Usa las siguientes matrices para realizar las operaciones dadas.
A=
0 3
1 2

1) A + B
-5
6
4
B= 
- 2
2) A – B
3) 4A
1
3
0
- 2
4 1 


C= 6 2


- 2 3 
4) AC
5) -3B
II. Encuentra la inversa de cada matriz.
2
1) 
1
1
1
1 - 1 1 


2) 0 - 2 1


- 2 - 3 0
 4 1 

 6 - 2
3) 
Sección 10.5: Fracciones Parciales
Ejemplos:
Escribe la descomposición parcial de
x
x  5x  6
2
1  A  B

0  3 A  2B
x2 – 5x +6 = (x – 2) (x – 3)
x
A
B

=
x  5x  6 x  2 x  3
2
A = -2
x = A(x – 3) + B(x – 2)
x = (A + B)x + (-3A – 2B)
I. Escribe descomposición parcial de las siguientes fracciones.
1)
4
x( x  1)
2)
3x
( x  2)(x  1)
3)
1
x( x  1)
2
B=3
6) 3A – 2B
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE PUERTO RICO
PROGRAMA DE SERVICIOS EDUCATIVOS
COMPONENTE DE TUTORÍA
MÓDULO MATEMÁTICA 1340
Sección 9.2:Parábola
Ejemplos:
I. Encuentra la ecuación de la parábola descrita.
1) Foco en (4.0), vértice en (0,0)
2) Foco en (0, -3), vértice en (0,0)
3) Directriz en eje y , vértice (0,0)
II. Encuentra el foco, vértice y directriz de cada parábola.
1) x2 = 4y
2) (y – 2)2 = 8(x + 1)
3) y2 + 12y = -x + 1
III. Gráfica cada ecuación.
1) y2 = 4x
2) (y – 1)2 = 4(x – 1)
3) (x + 1)2 = - 4(y + 1)
Sección 9.3:Elipse
Ejemplos:
I. Encuentra el vértice y el foco de cada elipse.
1)
x2 y2

1
25 4
2) 4x2 +y2 =16
II. Encuentra la ecuación para cada elipse.
1) Centro (0,0), foco en (3, 0), vértice en (5,0)
3)
x2 y2

1
9 25
2) Centro (0,0), foco en (0, -4), vértice en (0,5)
III. Gráfica cada ecuación.
1)
x2
 y2  1
4
2) x 
y2
1
4
3)
x2 y2

1
16 4
Sección 9.4:Hipérbola
Ejemplos:
I. Encuentra la ecuación de la hipérbola descrita.
1) Centro en (0, 0), foco en (3 , 0), vértice en (1, 0)
2) Foco en (-5, 0) y (5, 0), vértice (3, 0)
II. Encuentra el centro, las asíntotas, los ejes transversales y el foco.
1)
x2 y2

1
25 9
2)
y2 x2

1
16 4
3) 4x2 – y2 = 16
III. Gráfica cada ecuación.
1)
x2
 y2  1
4
2)
y2
 x2  1
4
3) y 2 
x2
1
4