TEMA

TEMA
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Elementos de geometría*
Consideramos que elementos de geometría como el punto, el plano y la recta son
elementos ya conocidos intuitivamente.
Los puntos se representan por letras mayúsculas: A, B, C, etc.
Las rectas se representan por letras minúsculas: r, s, t, etc.
Los planos se representan con letras griegas: α, β, π, etc.
Propiedades elementales:
1. Por dos puntos sólo pasa una recta
2. Dos rectas en un plano, son paralelas cuando o bien coinciden o bien no tienen
ningún punto común.
Se llama semirrecta a la mitad de una recta (una recta está compuesta por dos
semirrectas)
A
(semirrecta)
Se llama segmento al conjunto de puntos de una recta, contenidos entre dos puntos
dados, llamados extremos:
A
B
Llamaremos ángulo a la región del plano, determinada por dos semirrectas con el
mismo extremo u origen. Se representan por letras griegas o letras mayúsculas, como α,
β, A, B, etc..
β
α
A
El punto A se llama vértice del ángulo.
Se llama ángulo completo al ángulo que da una vuelta completa. El ángulo completo se
divide en 360 partes, llamadas cada una de ellas grado sexagesimal. Así un ángulo
completo mide 360 grados sexagesimales (360° )
Un ángulo llano, es el que mide 180°.
Se llama ángulo recto, al que mide 90°. Por tanto un ángulo completo tiene cuatro
ángulos rectos.
Se dice que un ángulo es agudo cuando es menor de 90° y obtuso si es mayor de 90°.
Cada grado sexagesimal se divide en 60 minutos (60’) y cada minuto en 60 segundos
(60”).
El transportador es el instrumento que nos ayuda a medir los ángulos en grados
sexagesimales (ver Fig. siguiente)
1
Transportador
Pero no es el grado sexagesimal la unidad habitual en que se miden los ángulos, sino el
radián. Para medir un ángulo en radianes hemos de definir previamente, qué es un
radián.
Un radian es el ángulo cuya medida de su radio coincide con su longitud de su arco.
Si tomamos una circunferencia de radio l y un ángulo de arco l, tenemos un ángulo de 1
radián:
l
1 radian
l
Puesto que la longitud de la circunferencia es 2πr y el radio es l, la longitud de la
circunferencia es 2πl, por lo que un ángulo de 360º, contiene 2π veces la longitud del
radio y por tanto:
360º = 2 π radianes
y proporcionalmente:
180º = π radianes
90º = π/2 radianes
45º = π/4 radianes
60º = π/3 radianes
30º = π/6 radianes
Para pasar de grados a radianes basta establecer una proporción, sabiendo que a 180º
le corresponden π radianes.
Ej. Hallar cuántos radianes son 225º
180 225
225π 5π
=
por tanto x =
=
π
x
180
4
A la inversa, para pasar de radianes a grados , es más fácil puesto que lo único que hay
que hacer es cambiar π por 180º .
Ej.1 π/5 radianes = 180º / 5 = 36º
5π 5 ∗ 180 900
=
=
= 225 0
4
4
4
Ej. 3 Calcular cuántos grados son 1 radian
Ej. 2
π
1
180 x
180 180
x=
≅
= 57'29578 0 = 57 0 17´ 44' '
π
3'14
=
2
Rectas paralelas cortadas por una recta
Al cortar dos rectas paralelas, por una recta, se forman ocho ángulos, cuatro de ellos
iguales entre sí (los ángulos α agudos) e igualmente los cuatro restantes (los ángulos β
obtusos)
β
α β
α
β α
α
β
Rectas perpendiculares
Son aquellas que forman cuatro ángulos de 90º:
90º
90º
90º
90º
Propiedad: Dado un punto P y una recta cualquiera, sólo existe una recta que pase por
P, perpendicular a dicha recta.
Dos ángulos se dice complementarios cuando suman 90º
α + β = 90º
α + β = π/2
Ej. el complementario de 30º es 90º - 30º = 60º y viceversa.
En radianes, el complementario de π/3 es:
En general el complementario de α es
π/2 - π/3 = π/6
π
2
−α
ó 90º −α si es en grados
Se dice que dos ángulos son suplementarios si su suma es 180º
Ej. El suplementario de 20º es 180º - 20º = 160º
En general el suplementario de α es π − α ó 180º −α
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Triángulos rectángulos
Es conocido que un triángulo es el polígono que consta de tres lados, tres vértices y tres
ángulos. Los vértices suelen denotarse por letras mayúsculas, como A, B y C. Los
ángulos correspondientes a cada uno de esos vértices se representan por α, β, y γ, y los
lados opuestos a cada uno de ellos, por a, b y c.
Triángulo equilátero es el que tiene los tres lados iguales, y por tanto también tendrá
los tres ángulos iguales.
Triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados iguales y uno desigual.
Un triángulo se dice rectángulo cuando uno de sus ángulos es recto (A = 90º)
El lado opuesto al ángulo recto (el más largo) se llama hipotenusa (a), y los otros dos
lados (b y c) se conocen como catetos.
En todo triángulo rectángulo se cumple el llamado Teorema de Pitágoras (importante),
que dice: La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.
b2 + c2 = a 2
Teorema de Pitágoras
Ej. Hallar la hipotenusa sabiendo que los catetos miden 3 y 4 cm. respectivamente.
a 2 = b 2 + c 2 = 32 + 4 2 = 9 + 16 = 25 luego a = 25 = 5 cm.
Triángulos cualesquiera
Propiedad: En un triángulo cualquiera se cumple que la suma de sus tres ángulos vale
180º. Por tanto conocidos dos de ellos se puede hallar el tercero.
Expresado en radianes, si los ángulos se denominan α, β, y γ, se cumple, la fórmula
siguiente:
α + β +γ =π
Ejercicio 10.3.1 Pág. 230
Un triángulo tiene un ángulo α que mide π/2 radianes y el otro β que mide π/6 radianes.
Averiguar el valor del tercero.
a) Podemos pasarlo a grados y trabajar en grados: tenemos dos ángulos de 90º y 30º
luego el tercero vale 180º - (90º + 30º) = 180º - 120º = 60º, que pasado a radianes son
π/3.
b) O trabajar directamente en radianes:
π
2
+
π
6
+γ =π
γ =π −
π
2
−
π
6
6π − 3π − π
6
2π π
γ =
=
6
3
γ =
Dos triángulos se dicen semejantes cuando sus ángulos son iguales dos a dos. De la
propiedad anterior se deduce que para que dos triángulos sean semejantes, basta que
tengan dos ángulos iguales dos a dos.
Para dos triángulos semejantes, se cumple el Teorema de Tales, que dice lo siguiente:
En dos triángulos semejantes, los lados homólogos son proporcionales, dos a dos.
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Es decir, si tenemos un triángulo de ángulos α , β, y γ y de lados correspondientes, a ,
b y c, y otro semejante de ángulos α = α’, β = β’, y γ = γ’ y de lados correspondientes
a’, b’ y c’.
Es decir :
Entonces se cumple el Teorema de Tales:
a b c
= =
a ' b' c '
Teorema de Tales
Ejercicio 1,3 y 5 de la Pág. 235 del libro.
Ej. 1
a) Si α mide 5º, para pasarlo a radianes, podemos escribir la proporción siguiente:
5π
180 5
π
=
y despejando x queda: x =
=
radianes
π
x
180 36
b) Si β mide
π
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radianes, para pasarlo a grados, basta sustituir π por 180º y queda
180
= 18º grados
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Exámenes de años anteriores:
7º septiembre 96 (es el 5 de la página 235 del libro)
6º junio 05 tarde
No hay ejercicios de examen de este tema ni en el 2006 ni en el 2007
β=
* Este tema ha sido pasado a soporte informático por los alumnos José Miguel Sánchez y Jesús Ramil,
basándose en el libro Matemáticas Especiales, de E. Bujalance y otros, editado por la editorial Sanz y
Torres y en las explicaciones dadas en las tutorías presenciales, por el profesor tutor del Centro de la UNED
Alzira-Valencia “Francisco Tomás y Valiente”, José Luis Lombillo, que los ha corregido, completado y
ampliado.
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