Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el

Cálculo de economías de escala y curvas de
aprendizaje con el programa ViSta.
Herrero J, Castro-Uceda JA, García-Romero A, y Lillo I.
Departamento de Economía.
Universidad Carlos III de Madrid.
La enseñanza de la Economía desde un enfoque tradicional se basa en el
desarrollo de conceptos teóricos. La posibilidad de complementarla mediante
ejemplos resulta cada vez más factible debido al desarrollo de las herramientas
informáticas. En este trabajo se propone una metodología dual en la que los
desarrollos teóricos se muestran mediante ejemplos con datos reales.
Para ello se ha elegido el estudio de las Economías de escala y las curvas de
aprendizaje propuesto por Berndt[1]. El paquete estadístico empleado ha sido
ViSta[4], elegido por su facilidad de uso y accesibilidad, así como por la buen
calidad de los grá…cos que proporciona, lo que ayuda a la interpretación de los
resultados que se obtienen.
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 1
1
Introducción.
La enseñanza de la Economía requiere, además de los conceptos teóricos, el
empleo de herramientas estadísticas que sean rigurosas y, a la vez atractivas
y fáciles de emplear. Asimismo, conviene utilizar datos y ejemplos reales
para ilustrar los diferentes conceptos estadísticos y económicos.
En este trabajo se estudia un problema clásico de la Economía como es
el de la existencia de economías de escala, curvas de aprendizaje así como
la interacción que pueda haber entre ambas. Para ello se emplean los datos
y ejemplos que se incluyen en Berndt [1], relativos a la producción de energía eléctrica y de policarbonatos. El problema permite revisar conceptos
estadísticos como la omisión de variables en un modelo o la diferencia entre
la regresión múltiple y la simple. Además con objeto de hacer más fácil su
asimilación por parte de los alumnos, se emplea el paquete estadístico ViSta
que presenta dos ventajas respecto a otros ya que se trata de un programa
con un entorno grá…co muy amigable lo que le hace muy accesible y atractivo
para la enseñanza. Además, es un programa abierto y de libre distribución
en INTERNET.
El punto 2 está dedicado al fundamento teórico del problema haciendo
hincapié en los conceptos más que en la formulación matemática. En el punto
3 se describen los datos y se detallan los análisis que se han llevado a cabo para
determinar mediante modelos econométricos tanto las economías de escala
como las curvas de aprendizaje. En el punto 4 se presentan los resultados
que se obtienen con el paquete ViSta y …nalmente en el 5 se resaltan las
principales conclusiones acerca de las ventajas de ViSta como herramienta
pedagógica.
2
Fundamentos teóricos.
Tanto las economías de escala como las curvas de aprendizaje tienen efectos
de reducción de costes unitarios en la producción por lo que su determinación
mediante un modelo presenta numerosas utilidades desde el punto de vista
práctico. Así, las economías de escala asocian la reducción de los costes al
nivel de producción mientras que las curvas de aprendizaje tienen relación
con la experiencia acumulada por la empresa en cuanto a la capacidad de
producir cada vez más de un modo más e…ciente. El modo de apreciar estas
últimas es viendo como manteniendo la cantidad producida constante, se
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 2
reducen los costes debido a la mejora de la producción.
Un primer paso procede de la Teoría de la Producción, según la cual la
cantidad producida (output) se relaciona con los factores productivos (inputs)
mediante una función cuya forma especí…ca más habitual es la conocida como
Cobb-Douglas. La funcion de coste dual que se obtiene de la Cobb-Douglas
con tres factores productivos es
ln C = ln k +
µ ¶
µ
¶
µ
¶
µ
¶
1
®1
®2
®3
ln y +
ln p1 +
ln p2 +
ln p3 + ut (1)
r
r
r
r
donde C es el coste total asociado al nivel de producción y, las constantes
®1, ®2 y ®3 son parámetros desconocidos de la función de Cobb-Douglas que
tienen que ser estimados, r = ®1 + ®2 + ®3 son los denominados retornos
de escala de la función de producción, ut es un término que mide posibles
anomalías aleatorias, p1 , p2 y p3 son los precios unitarios de los inputs y
1
k = r (A®®1 1 ®®2 2 ®®3 3 )¡ r
(2)
donde A re‡eja los avances en el estado de conocimientos sobre la producción.
Por su parte, la curva de aprendizaje se obtiene generalmente asociando
los costes a la experiencia acumulada y para ello se usa como medida el
output total acumulado nt . De este modo la expresión que más se emplea
para modelizar las curvas de aprendizaje es la siguiente
ct = c1 n®t c eut , ln ct = ln c1 + ®c ln nt + ut
(3)
donde ct y nt representan el coste unitario y la producción acumulada respectivamente en el periódo de tiempo anterior a t, c1 es el coste inicial en
el periódo t = 0, ®c representa la elasticidad del coste unitario con respecto
a la producción acumulada y ut recoge posibles anomalías aleatorias en el
proceso.
Para integrar la curva de aprendizaje en la función de costes de la CobbDouglas, es adecuado de…nir el estado de conocimientos A en función de
nt
c
A = n¡®
t
(4)
y también asumir que el efecto que tienen los precios de los inputs sobre la
producción, se puede recoger dentro del coste total usando el de‡actor del
0
PIB o algún índice similar como el IPC. Teniendo en cuenta que ct = Cytt ,
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 3
donde Ct0 representa costes totales de‡actados, se consigue una expresión de
los costes derivados de la función Cobb-Douglas bastante similar a la curva
de aprendizaje como se puede ver a continuación
ln ct = ln k 0 +
µ
¶
µ
¶
®c
1¡r
ln nt +
ln yt + ut
r
r
(5)
1
donde k 0 = r (®®1 1 ®®2 2 ®®3 3 )¡ r . Se puede observar que si r 6= 1, los retornos
de escala no son constantes. En ese caso ocurriría que los costes se ven
afectados por el output total y por lo tanto no sería posible estimar la curva
de aprendizaje. Por el contrario si suponemos que los retornos de escala son
constantes obtenemos la curva de aprendizaje 3 en su versión más común.
Para calcular el sesgo producido al estimar de forma incorrecta la curva
de aprendizaje 3 en lugar de la ecuación 5, cuando los retornos de escala no
son constantes, se utiliza la siguiente ecuación de regresión auxiliar
ln yt = ± 0 + ±1 ln nt + "t
3
3.1
(6)
Metodología y datos.
Datos
Los datos reales proporcionados por el libro de Berndt [1] nos sirven para
ilustrar el manejo de ViSta en nuestro ejemplo. Las variables incluidas son el
coste unitario de‡actado (UCOST), la producción anual (PROD) y la producción acumulada (CUM) hasta el año t ¡ 1 para una fábrica de polietileno
durante un periodo de 13 años (de 1960 a 1972):
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 4
Año UCOST PROD CUMP
1960
.58
140
260
1961
.50
200
400
1962
.46
400
600
1963
.43
700
1000
1964
.39
500
1700
1965
.33
1100
2200
1966
.31
1200
3300
1967
.30
1300
4500
1968
.29
1400
5800
1969
.25
2100
7200
1970
.23
10700
9300
1971
.18
5000
20000
1972
.15
10000
25000
3.2
Metodología
Se plantean dos aplicaciones con ViSta que, basados en los planteamientos
y datos anteriores, sirven para ilustrar, en primer lugar, la especi…cación
de un modelo mediante la regresión lineal simple frente a otra basada en la
regresión lineal múltiple. En segundo lugar, se plantea un modo de observar el
sesgo cometido por la omisión de variables y, …nalmente se realizan diferentes
contrastes de hipótesis simples y conjuntos.
3.2.1
Determinación de la curva de aprendizaje
Dado que se acaba de ver cómo la ecuación de la curva de aprendizaje se
basa en que los retornos a escala sean constantes, será preciso determinar si
nuestros datos cumplen esta restricción. Para ello se estima el modelo de la
funcion de costes 5 y se contrasta la hipótesis de que el coe…ciente asociado
al output sea cero, condición que equivale a probar que r = 1:
3.2.2
Determinación del sesgo de variables omitidas
Calculamos el sesgo producido al estimar de forma incorrecta la elasticidad
en la curva de aprendizaje, utilizando la ecuación 3 en vez de la ecuación 5
cuando los retornos de escala no son constantes.
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 5
3.3
Resultados (VisTa)
Importamos los datos al programa desde cualquier editor de texto de forma
sencilla o creamos una nueva hoja de variables con los datos propuestos.
Si representamos y comparamos las grá…cas del coste unitario (UCOST)
frente a la produción acumulada (CUMP) y sus respectivos logaritmos naturales, apreciamos en esta última una fuerte relación lineal con pendiente
negativa facilmente evaluables mediante regresión lineal. Este hecho pone de
mani…esto la relación funcional entre las variables UCOST y CUMP, como
formulamos en la curva de aprendizaje 3
Grá…ca del coste unitario de‡actado frente a la producción acumulada
hasta el año t ¡ 1:
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 6
Grá…ca del LNUCOST frente a LNCUMP:
Además el programa proporciona una visualización combinada y más
completa de los datos mediante histogramas, diagramas de caja y diamantes,
y las distribuciones cuartílicas entre otras.
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 7
La descriptiva también se obtien de modo automático y recoge los estadísticos de centralidad dispersión y simetría más usuales.
LNCUMP
MEAN
7.94
StDv
1.44
VARIANCE
2.08
SKEWNESS -0.16
KURTOSIS
-0.92
N
13.0
MINIMUM
5.56
1st Q
6.91
MEDIAN
8.10
3rd Q
8.88
MAXIMUM
10.13
IQ-RANGE
1.97
RANGE
4.57
MID-RANGE 7.85
LNUCOST
-1.15
0.40
0.16
-0.34
-0.44
13.0
-1.90
-1.39
-1.17
-0.84
-0.54
0.55
1.36
-1.22
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 8
También se obtiene la matriz de correlaciones entre las variables [CORRELATIONS (Numeric Variables)]:
LNCUMP
1
-0.98
LNUCOST -0.98
1
así como la matriz de varianzas-covarianzas [COVARIANCES (Numeric
Variables)]:
LNCUMP 2.08 -0.57
LNUCOST -0.57 2.08
Calculamos con ViSta el modelo de regresión mediante MCO de LNUCOST frente a LNCUMP, para obtener la curva de aprendizaje. Puesto
que la variable producción PROD no es signi…cativa en dicha curva dado
que su coe…ciente no es signi…cativamente distintos de cero (hipótesis nula)
se obtiene la expresion simpli…cada de la curva de aprendizaje mediante la
regresión simple donde la única variable explicativa es LNUCOST. Los resultados obtenido se presentan a continuación.
Simple Regression Analysis
Response Variable: LNUCOST
PARAMETER ESTIMATES (LEAST SQUARES) WITH TWO-TAILED
T-TESTS:
Term
Estimate Std. Error t-Ratio P-Value
Constant
1.01
0.12
8.56
<.0001
LNCUMP
-0.27
0.01
-18.59 <.0001
SUMMARY OF FIT:
R Squared:
0.97
Adjusted R Squared:
0.97
Sigma hat (RMS error): 0.07
Number of cases:
13
Degrees of freedom:
11
Como puede observarse el ajuste es bastante bueno (R2 = 0:97).
ANALYSIS OF VARIANCE: MODEL TEST
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 9
Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-Ratio P-Value
Model
1.85
1
1.85
345.55 <.0001
Error
0.06
11
0.01
Total
1.91
12
Y la ecuación de la recta de regresión para el modelo 3 es:
Y = ¯ 1 + ¯ 2 X , Y = 1:01 ¡ 0:27 ln nt
(7)
La elasticidad ®c estimada del precio unitario con respecto a la producción
acumulada es igual a la pendiente de la recta de regresión: ®c = ¡0:27 y por
lo tanto d = 2®c = 0:829 expresa que al doblar la experiencia acumulada (la
producción acumulada) el coste unitario decrece un 83% aproximadamente.
Al término d = 2®c se le denomina pendiente de la curva de aprendizaje.
El programa también nos proporciona una visualización de datos relevantes en nuestro modelo de regresión:
Si calculamos el intervalo de con…anza con dos colas para un nivel de
con…anza 1 ¡ ®, teniendo en cuenta que para una recta de regresión general
con ecuación Y = ¯ 1 ¡ ¯ 2 X se cumple que la variable:
q
b̄ ¡ ¯ ) P x2
b̄ ¡ ¯
(
i
2
2
t = 2 b̄ 2 =
¾b
se( 2 )
(8)
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 10
sigue una distribución t-student con (n ¡ 2)df: Se obtiene un intervalo de
con…anza con nivel de signi…cación ® :
b̄ § t
b̄
®=2 ¢ se( 2 )
2
(9)
Utilizando los datos generados por el programa, b̄ 2 = ¡0:27, se( b̄ 2 ) =
0:01, df = 11 el intervalo de con…anza con un nivel de con…anza del 95% es
I=
µ [¡0:29201; ¡0:247999] :
Si contrastamos la hipótesis de que el efecto de la curva de aprendizaje
en el coste unitario es nulo:
H0 = ¯ ¤2 = 0
H1 = ¯ ¤2 6= 0
)
(10)
como ¯ ¤2 = 0 2
= I rechazamos la hipótesis nula con un 95% de con…anza.
Partiendo de la función de costes 5 más general de Cobb-Douglas, calculamos con ViSta el modelo de regresión multivariable (OLS) de LNUCOST
frente a LNCUMP y LNPROD, cuya visualización conjunta de los datos
es
y obtenemos la curva anterior de nuevo mediante regresión empleando
MCO obteniendose los siguientes resultados:
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 11
OLS Univariate Multiple Regression Analysis
Response Variable: LNUCOST
PARAMETER ESTIMATES (LEAST SQUARES) WITH TWO-TAILED
T-TESTS:
Term
Estimate Std. Error t-Ratio P-Value
Constant
1.01
0.12
8.77
<.0001
LNCUMP
-0.22
0.04
-4.98
0.0006
LNPROD
-0.06
0.05
-1.22
0.2514
SUMMARY OF FIT:
R Squared:
0.97
Adjusted R Squared:
0.97
Sigma hat (RMS error): 0.07
Number of cases:
13
Degrees of freedom:
10
ANALYSIS OF VARIANCE: MODEL TEST:
Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-Ratio P-Value
Model
1.86
2
0.93
181.09 <.0001
Error
0.05
10
0.01
Total
1.91
12
Y la ecuación de la recta de regresión para el modelo 5 es:
Y = ¯ 1 + ¯ 2 X2 + ¯ 3 X3 , Y = 1:01 ¡ 0:22 ln nt ¡ 0:06 ln yt
(11)
Con los datos anteriores se obtiene la estimación de los retornos a escala r:
1
1
r = 1¡¯
= 1¡0:06
= 1:0638
3
®c = ¯ 2 ¢ r = ¡0:234036
(12)
La visualización del modelo de regresión múltiple que nos ofrece el programa es:
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 12
Si se quiere contrastar la hipótesis de que los retornos de escala son constantes r = 1 o lo que es lo mismo ¯ 3 = 0; es preciso tener en cuenta que
t=
b̄ ¡ ¯
i
i
b̄
se( )
i = 1; 2; 3:
(13)
i
sigue una distribución t-student con (n ¡ 3)df: En nuestro caso el t-Ratio
proporcionado por el programa es t = ¡1:22 , si consideramos ® = :05
t ®2 = 2:228 para 10df: Como j¡1:22j < 2:228 podemos aceptar la hipótesis
nula de retornos de escala constantes para la función de producción de CobbDouglas.
Para evaluar el sesgo producido al estimar la curva de aprendizaje, omitiendo el término ln yt de forma incorrecta en la curva más general, se estima
la curva auxiliar dada por la ecuacion 6 mediante MCO en ViSta, obtienéndose el resultado siguiente:
Simple Regression Analysis
Response Variable: LNPROD
PARAMETER ESTIMATES (LEAST SQUARES) WITH TWO-TAILED
T-TESTS:
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 13
Term
Estimate Std. Error t-Ratio P-Value
Constant
0.06
0.73
0.09
0.9312
LNCUMP
0.88
0.09
9.72
<.0001
SUMMARY OF FIT:
R Squared:
0.90
Adjusted R Squared:
0.89
Sigma hat (RMS error): 0.45
Number of cases:
13
Degrees of freedom:
11
ANALYSIS OF VARIANCE: MODEL TEST
Source Sum-of-Squares df Mean-Square F-Ratio P-Value
Model
19.52
1
19.52
94.55
<.0001
Error
2.27
11
0.21
Total
21.79
12
Nos da la estimación de la curva auxiliar:
(14)
ln yt = 0:06 + 0:88 ln nt
cc ¡
®
µd¶
®c
r
=
µ d ¶
1¡r c
¢±
1
r
(15)
La diferencia de los coe…cientes ¯ 2 , correspondientes a la variable ln nt ,
entre las ecuaciones 3 y 5 es igual al producto del coe…ciente ¯ 3 de la ecuación
5 por el término ± 1 de la ecuación auxiliar 6.
³d´
cc ¡ ®rc = ¡0:06 ¢ 0:88 = 0:0528 se produce un sesgo
En este ejemplo ®
pequeño, que concuerda con la hipótesis de retornos de escala constantes
efectuado anteriormente.
4
Conclusiones
Las principales ventajas de ViSta en la econometría frente a otros programas
de caracteristicas similares utilizados comunmente, se pueden resumir en los
siguientes puntos:
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 14
1. Facilidad de uso para estudiantes y profesores interesados en la experimentación con datos económicos. Destacan las asistencias de mapas
guiados a través de todo el proceso, que facilitan el aprendizaje a todos
los niveles
2. Una visualización de los datos y de los modelos estadísticos notable que
permite una mejor comprensión del modelo y mucha más vistosidad
3. Tiene un entorno de trabajo muy cómodo y fácil de manejar con todos
elementos necesarios muy a mano
4. Es un programa gratuito de libre difusión en internet, abierto para programar cualquier tipo de mejora o añadir nuevas teorías, y la creación
de nuevos mapas guiados didácticos para ellas.
References
Berndt, Ernst R (1991).The Practice of Econometrics: Classic and
Contemporary. London: Addison-Wesley.
Johnston, J (1984). Econometric Methods. New Yor: McGraw-Hill
Damodar N. Gujarati (1995) Basic Econometrics. McGraw-Hill.
Cálculo de economías de escala y curvas de aprendizaje con el programa ViSta. 15
La versión del paquete estadístico VisTa (The Visual Statistic System) que se emplea es la 5.0.5 1 E W Beta (XLS 3.52.4).
c 1991-98 Forrest W. Young. Para más información consultar
°
http://forrest.psych.unc.edu/