La topología del equilibrio económico
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5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 Trabajo: CB/UEN-12/044 La topología del equilibrio económico Juan Antonio Pérez Centro Regional de Estudios Nucleares, UAZ [email protected] Abstract. In this paper it is offered a topological characterization of the competitive equillibrium in a market economy and its intimate relationship with the behavior of its subconomies. It is proved here the equivalence between economical equilibrium and the intersection of certain family of cones. Resumen. En el presente trabajo se frece una caracterización topológica del equilibrio competitivo en una economía de mercado y su íntima relación con el comportamiento de sus subeconomías. Se demuestra la equivalencia entre equilibrio económico y la intersección de cierta familia de conos. 1. Introducción Uno de los problemas clásicos de Economía radica en, dada una función de estado de la economía, encontrar las condiciones de oferta y demanda que produzcan un estado de equilibrio, mismo que se conoce como equilibrio del mercado. En otras palabras, el equilibrio de mercado puede concebirse como un cero de una transformación, posiblemente no lineal : Rn Rn que representa el exceso de demanda en el mercado y expresa el comportamiento óptimo de los oferentes. El cero en cuestión puede localizarse mediante métodos homotópicos, examinando la economía desde la perspectiva de los sistemas dinámicos (ver por ejemplo Eaves [5], Hirsh-Smale [6] y [7], ó Smale [9] y [10]), y la compatibilidad del sistema dado con un sistema de conos de direcciones de mejoramiento de la economía. Las soluciones se encuentan a lo largo de la curvas solución, donode todos los oferentes obtienen ganancia. Puede procederse hasta que no es posible obtener más ganancia y se alcanza el deseado equilibrio. No obstante, el equilibrio bien puede ser inalcanzable, a menos que la economía dada satisfaga ciertas condiciones, bastante fuertes en la frontera. G. Chichilniski ha demostrado recientemente ([3], [4]) que la existencia de un equilibrio competitivo requiere de la intersección no vacía de una familia de conos, de hecho, si se observa el fenómeno en toda su generalidad, se obtiene una caracterización topológica de una familia finita de subespacios de un cierto espacio topológico que proporciona condiciones necesarias y suficientes para que tal familia tenga intersección no vacía (ver [4]). 5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 Trabajo: CB/UEN-12/044 La incursión de la teoría de homología en el estudio de la familia de conos, proporciona invariantes de la economía que proporciona respuestas a los problemas de existencia del equilibrio de mercado, tanto en la economía como en las subeconomías. La información contenida en la topología de la familia de conos es de fundamental importancia para la comprensión de la economía. 2. Preliminares topológicos Sea X un espacio topológico, entenderemos por familia una colección finita U1 ,,U k de subespacios de X, tal colección es una cubierta de X si k X U i , i 1 y decimos que es una cubierta abierta si U i es abierto para todo i 1, , k . Usaremos H * para denotar la teoría de homología singular reducida. Una familia es convexa si consta de subespacios convexos. Se dice que la homología obtenida del complejo de cadenas C2 C1 C0 0 es reducida si se sustituye por la homología del complejo de cadenas aumentado C2 C1 C0 Z 0 donde denota la transformación conocida como aumentación, y cuyo valor en cada 0-simplejo singular es 1. Claramente, todos los grupos de homología en dimensión positiva son exactamente los mismos que los que se obtienen con el complejo de cadenas original, el grupo de homología reducida en dimensión cero tiene un sumando directo menos, isomorfo a Z, en comparación con el grupo ordinario. La sucesión de Mayer Vietoris sigue siendo exacta si se usa homología reducida. Hq1 A B Hq1 A Hq1 B Hq1 A B Hq A B Un espacio se dice que es acíclico si todos sus grupos de homología son triviales en la homología ordinaria. Una familia se dice acíclica, si consta exclusivamente de subespacios acíclicos, o bien, si es vacía. Una buena referencia para los conceptos y resultados topológicos es Rotman [8] ó Spanier [11]. 5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 Trabajo: CB/UEN-12/044 Se dice que una familia satisface la condición Ak si la intersección de cualquier subfamilia, de a lo sumo k 1 elementos es acíclica, y se dice que satisface la condición Bk si la unión de cualquier subfamilia, de a lo sumo k 1 elementos es acíclica. 3. Economías de mercado Una economía de mercado E queda completamente descrita por sus bienes y sus oferentes, supóngase una economía con n 1 bienes y H 1 oferentes. Los oferentes obtienen utilidad de vectores en R n , estos vectores se conocen como haces de bienes y el espacio como espacio de consumo. Cada uno de los oferentes se identifica con un vector i Rn 0 que representa sus existencias iniciales de bienes y una función de utilidad ui : Rn R , que supondremos de clase C 2 y describe la utilidad obtenida del consumo de vectores. El espacio de cuotas es R nH y sus elementos describen la asignación de un vector de consumo para cada uno. los oferentes. Si existe algún r R tal que el conjunto ui1 r , no es inferiormente acotado, supondremos que la hipersuperficie correspondiente u i x : u i x r v u i x es cerrada en R n , con el fin de tener control en el infinito con las hojas de la foliación de R n inducidas por las hipersuperficies de la función ui . Sea E una economía de mercado, un equilibrio competitivo representa un punto silla de la actividad económica de la economía E. Definimos precio como una regla de correspondencia lineal que asigna un valor real a un haz de bienes, entonces, los precios son vectores en el espacio dual del espacio de consumo. Tenemos pues que un precio p define un conjunto de presupuestos de un oferente B p, i consistente de todos las ofertas posibles, de acuerdo con las existencias originales. Así pues, B p, i x R n | p, x p, i donde el producto indicado es el producto interno en el espacio de cuotas. Por supuesto, los oferentes operan teniendo como objetivo optimizar sus utilidades. El equilibrio del mercado se alcanza cuando la oferta iguala a la demanda. Un equilibrio competitivo es entonces un vector p , x ,, x R * * 1 * H n RnH 5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 Trabajo: CB/UEN-12/044 que satisface las condiciones siguientes: 1. u i x i* es un máximo en el conjunto de presupuestos. 2. se satisface x H i 1 * i i 0 . El vector x i* p * es la demanda del oferente i correspondiente al vector de precios p * . Una solución al problema 1) para un p dado es la función de demanda xi p : Rn Rn . La función de exceso agregado de demanda de la economía E está dada por H ED p x i p i . i 1 La condición 2) significa claramente que EDp* 0 . 4. La topología del mercado Consideremos una economía de mercado E. El cono asintótico de preferencias se define simbólicamente por C i v R n | sup u i i v sup u i x , 0, x R n en tanto que el cono del mercado es Di p Rn | p, v 0, v Ci . Supongamos que u i es una función cóncava, entonces los conos recién definidos son ambos subespacios abiertos y convexos. Diremos que la economía E satisface la condición de conciliación limitada (LA), si la colección de conos del mercado tienen intersección no vacía. El resultado siguiente ha sido demostrado en Chichilniski [4]. Teorema 1. La condición (LA) es necesaria y suficiente para la existencia de un equilibrio competitivo el mercado E. 5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 Trabajo: CB/UEN-12/044 Dado un conjunto U en un espacio topológico X, denotamos por U su interior, es decir, la unión de todos los abiertos contenidos en U. Decimos que una familia de subespacios de X U U j X| j J es una familia excisiva, si se satisface U U jJ j jJ j . Por supuesto, una cubierta abierta es una familia excisiva. Teorema 2. Sea U una familia excisiva de subespacios del espacio topológico X que satisface la condición A k 1 , para k 1 . Entonces, si L J tiene cardinalidad k 1 , para todo q natural se satisface H q U j H q k U j . jL jL Demostración: Para k 1 , la familia tiene cardinalidad 2, en tal caso, los grupos de homología de unión y de la intersección son acíclicos por hipótesis y se concluye la afimación. Supongamos ahora que el teorema se cumple para toda familia con k elementos y tomemos una familia con cardinalidad k 1 que satisfaga la condición Ak 1 . Supongamos que la familia en cuestión es U0 ,U1 ,,U k . Si denotamos Vj U0 U j para j 1,, k , entonces la familia V1 ,,Vk tiene k elementos y por Mayer-Vietoris, satisface la condición Ak 2 . Por hipótesis de inducción tenemos k k k H q U j H q V j H q k 1 V j . j 0 j 1 j 1 Notemos por otra parte, que si denotamos 5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 Trabajo: CB/UEN-12/044 k V0 U j , j 1 considerando la familia U 0 ,V0 y usando nuevamente Mayer Vietoris tenemos k H q k 1 U 0 V0 H q k U 0 V0 H q k U j j 0 con lo que concluimos la demostración. El siguiente resultado tiene carácter conciliatorio. Teorema 3. Una familia excisiva satisface la condición Ak si y sólo si satisface la condición Bk . Demostración: El presente teorema se sigue de aplicar inducción sobre k al resultado del teorema anterior. Teorema 4. Sea U una familia excisiva que satisface la condición An , entonces satisface Ak y Bk para todo k n . Demostración: El resultado se digue de usar Mayer-Vietoris, considerando que todo abierto simplemente conexo es acíclico. Notemos que, en particular, el teorema 4 afirma que una familia que satisface la hipótesis tiene intersección no vacía. Teorema 5. Sea U una familia acíclica excisiva en R n con cardinalidad por lo menos n 1 . Si toda subfamilia con n 1 elementos tiene intersección no vacía, entonces toda la familia tiene intersección no vacía. Demostración: Por aciclicidad se satisface la condición An , basta entonces aplicar directamente el teorema 4. 5. Economías y subeconomías Consideremos una economía de mercado E con n bienes y H oferentes, una subeconomía E , de E es una economía de mercado cuyos bienes y oferentes son todos bienes y oferentes de E, es decir, 5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 1, , n Trabajo: CB/UEN-12/044 y 1, , H. El resultado que sigue, muestra una relación natural íntima entre una economía y sus subeconomías. Teorema 6. Dada una economía de mercado E, las propiedes siguentes son equivalentes: a) E tiene un equilibrio competitivo. b) Toda subeconomía de E tiene un equilibrio competitivo. c) Toda subeconomía de E con a lo sumo n 1 oferentes tiene un equilibrio competitivo. Demostración: Por el teorema 1, claramente la condición H D D i 1 i implica i i para todo 1,, H no vacío, luego a) implica b); además, dado que E es una subeconomía de E, es claro que b) implica a). Tenemos pues que a) y b) son equivalentes. Por otra parte, es claro que la familia de los conos Di es excisiva, de manera que por el teorema 5, la familia de conos satisface la condición (LA) si y sólo si toda subfamilia con a lo sumo n 1 elementos tiene intersección no vacía, es decir, si satisface la condición (LA); con ello tenemos la equivalencia de a) y c), de manera que por transitividad, también son equivalentes b) y c) y se concluye la demostración. Referencias [1] A. C. Chiang. Métodos fundamentales de Economía Matemática. Mc. Graw Hill, México, 1987. [2] K. S. Brown. Cohomology of groups. Srpinger Verlag, New York, 1982. [3] G. Chichilniski. Intersecting families of sets: a topological characterization. Working paper no. 166, University of Essex, Feb. 1981. [4] G. Chichilniski. Limited arbitrage is necessary and sufficient for the existence of a competitive equilibrium. Working paper, Columbia University, 1992. [5] C. Eaves. Homotopies for computation of fixed points. Math. Programming 3 (1972). 5as Jornadas de Investigación Universidad Autónoma de Zacatecas 25 al 29 de Junio del 2001 Trabajo: CB/UEN-12/044 [6] M. Hirsh, S. Smale. Differential equations, dynamical systems, and linear algebra. Academic Press, New York, 1972. [7] M Hirsh, S. Smale. On algorithms for solving f x 0 . Comm. Pure Appl. Math. 32 (1979), 281-312. [8] J. J. Rotman. An introduction to Algebraic Topology. Springer Verlag, New York, 1988. [9] S. smale. Exchange processes with price adjustement. J. Math. Econom. 3 (1976), 211-226. [10] S. smale. A convergent process of price adjustement and global Newton method. J. Math. Econom. 3 (1976), 107-120. [11] E. Spanier. Algebraic Topology. Mc. Graw Hill, USA, 1966.
