formulario analisis de datos curso 2003-04

FORMULARIO ANALISIS DE DATOS CURSO 2003-04
Anova
Anova de una vía
SCT
N −1
SCE
MCE =
k −1
SCR
MCR =
N−k
SCT = ∑ ∑ ( Yij − Y ) 2
MCT =
SCE = ∑ n j ( Y j − Y ) 2
SCR = ∑ ∑ ( Yij − Y j ) 2
F=
MCE
~ Fk −1, N − k
MCR
Test de Bartlet
nj
2
k
2


∑ njsj
k
( n j - 1) 2 

j =1
C = 2.3026 (N - k) Log(
) − ∑ ( n j - 1)Log
sj 
N−k
nj
j =1


∑ (Yij −Yj )2
sj =
i =1
nj

1
k 1
A = 1+
−
∑
3( k − 1)  j =1 n j − 1

El estadístico de contraste es :


k

∑ ( n j − 1) 
j =1

1
B=
C
~ χ 2k −1
A
Test de comparaciones múltiples de Sheffé
Y j − Yi
S=
MCR (
S2
~ Fk −1, N − k
k −1
1
1
+ )
n j ni
Anova de dos víasy una observación por celda
SCT = ∑ ∑ ( Yij − Y ) 2
SCA = ∑ b ( A j − Y ) 2
SCB = ∑ a ( Bi − Y ) 2
SCR = ∑ ∑ ( Yij − A j − Bi ) 2
SCT
ab − 1
SCA
MCA =
a −1
SCB
MCB =
b −1
SCR
MCR =
( b − 1)( a − 1)
MCT =
MCA
~ Fa −1,( a −1)( b −1)
MCR
MCB
F=
~ Fb −1,( a −1)( b −1)
MCR
F=
Test de comparciones múltiples de Scheffé
A j − Al
a)
S=
a)
S2
~ Fa -1,(a -1)(b -1)
a −1
2
MCR ( )
b
b)
S=
B j − Bl
2
MCR ( )
a
2
S
b)
~ Fb -1,(a -1)(b -1)
b −1
Anova de dos vías con r observaciones por celda efectos fijos
SCT = ∑ ∑ ∑ ( Yijl − Y ) 2
SCT
rab − 1
SCA
MCA =
a −1
SCB
MCB =
b −1
SCinter
MCinter =
( a − 1)( b − 1)
SCR
MCR =
ab ( r − 1)
MCT =
SCA = ∑ rb ( A j − Y ) 2
SCB = ∑ ra ( Bi − Y ) 2
SCinter = ∑ ∑ r ( Yil − A j − Bi + Y ) 2
SCR = ∑ ∑ ∑ ( Yijl − Yij ) 2
MCA
~ Fa −1,ab( r −1)
MCR
MCB
~ Fb −1,ab( r −1)
F=
MCR
MCinter
~ F( a −1)( b −1),ab( r −1)
F=
MCR
F=
Test de comparaciones múltiples de Scheffé
S=
A j − Ai
2
rb
B j − Bi
MCR
S=
MCR
S=
2
rb
Yij − Ykl
MCR
2
r
S2
~ Fa −1, ab( r −1)
a −1
S2
~ Fb −1, ab( r −1)
b −1
S2
~ Fab −1,ab( r −1)
ab − 1
Efectos aleatorios en los dos factores:
F=
MCA
~ Fa −1,( a −1)( b −1))
MCinter
F=
MCB
~ Fb −1,( a −1)( b −1)
MCinter
F=
MCinter
~ F( a −1)( b −1),ab( r −1)
MCR
Efectos aleatorios en el factor B:
F=
MCA
~ Fa −1,( a −1)( b −1))
MCinter
F=
MCB
~ Fb −1, ab( r −1)
MCR
F=
MCinter
~ F( a −1)( b −1),ab( r −1)
MCR
Regresión
Estimadores puntuales de los parámetros en regresión simple
βˆ1 =
s xy
βˆ 0 = y − βˆ1 x
s x2
σˆ 2 = s r2 =
∑(y
i
− yˆ i ) 2
n−2
Coeficiente de determinación
R2 = 1−
( n − 2 ) s r2
ns y2
= rxy2
Distribuciones muestrales
σ
βˆ1 ~ N ( β 1 , 2 )
ns x
βˆ1 − β 1
~ t n−2
s r2
ns x2
2
σ 2 ( x 2 + s x2 )
βˆ 0 ~ N ( β 0 ,
)
ns x2
βˆ 0 − β 0
~ t n−2
s r2 ( x 2 + s x2 )
(n - 2)s 2r
~ χ n2− 2
2
σ
ns x2
Intervalos de confianza para β1 y β0 a nivel 1-α

s r2 ( x 2 + s x2 ) ˆ
s r2 ( x 2 + s x2 ) 
s r2 ˆ
s r2   ˆ
+
t
t
t
β
β
β
,
,
−
+


 βˆ1 −1−α / 2 t n − 2

1 1−α / 2 n − 2
0 1−α / 2 n − 2
0 1−α / 2 n − 2
ns x2
ns x2  
ns x2
ns x2


Regiones de rechazo para el contraste H0:β1=b1 y H0: β0=b0 a nivel α
R1 = { βˆ1 : βˆ1 − b1 >1−α / 2 t n − 2
s r2
ns x2
}
s 2 ( x 2 + s x2 )
R1 = { βˆ 0 : βˆ 0 − b 0 >1−α / 2 t n − 2 r
ns x2
ANOVA para el contraste sobre bondad de ajuste lineal
SCT = ∑ ( y i − y ) 2
SCReg = ∑ ( y$i − y ) 2
SCR = ∑ ( y i − y$i ) 2
SCT
n −1
SCReg
MCReg =
1
SCR
MCR =
n−2
MCT =
F=
MCReg
~ F1,n − 2
MCR
Intervalos de confianza para la media y para la predicción en x=x0

(x0 − x )2
(x0 − x )2 
2 1
2 1
$
$
−
+
+
+
y
t
s
(
),
y
t
s
(
)
 0 1−α / 2 n − 2 r
0 1−α / 2 n − 2
r
2
2
n
ns
n
ns


x
x

1 (x0 − x)2
1 (x0 − x)2 
2
2
$
$
), y 0 + 1−α / 2 t n − 2 s r (1 + +
)
 y 0 − 1− α / 2 t n − 2 s r (1 + +
n
ns x2
n
ns x2


}
Regresión Múltiple
Estimadores puntuales de los parámetros en regresión múltiple
βˆ = ( X ' X ) −1 X' Y
σˆ 2 = s r2 =
∑(y
i
− yˆ i ) 2
n − ( p + 1)
Distribuciones muestrales
(n - p - 1)s 2r
~ χ n2− p −1
2
σ
βˆ i ~ N ( β i , σ 2 (( X ' X ) −1 ) ii )
βˆ i − β i
s r2 (( X ' X ) −1 ) ii
~ t n − p −1
Coeficiente de determinación y coeficiente de determinación corregido
R2 = 1 −
( n − p − 1) s r2
ns y2
R 2 = 1−
s r2
ns y2
n −1
Intervalos de confianza para los parámetros a nivel 1-α
[β$ −
i
t
1−α / 2 n − p −1
sr2 (( X' X ) −1 ) ii , β$ i + 1−α / 2 t n − p −1 sr2 (( X' X ) −1 ) ii
]
Regiones de rechazo para el contraste H0:βι=bi a nivel α
R1 = { β$ i : β$ i − b i > 1−α / 2 t n − p −1 s r2 (( X' X ) −1 ) ii
}
ANOVA para el contraste sobre bondad de ajuste lineal
SCT = ∑ ( y i − y ) 2
SCReg = ∑ ( yˆ i − y ) 2
SCR = ∑ ( y i − yˆ i ) 2
SCT
n −1
SCReg
MCReg =
p
SCR
MCR =
n − p −1
MCT =
F=
MCReg
~ F p , n − p −1
MCR
Intervalos de confianza a nivel 1-α para la media y para la predicción en x=x0
[ y$ −
0
[ y$ −
0
t
1−α / 2 n − p −1
1− α / 2
s r2 x' 0 ( X' X ) −1 x 0 , y$ 0 + 1−α / 2 t n − p −1 s r2 x' 0 ( X' X ) −1 x 0
]
t n − p −1 s r2 (1 + x' 0 ( X' X ) −1 x 0 ), y$ 0 + 1−α / 2 t n − p −1 s r2 (1 + x' 0 ( X' X ) −1 x 0 )
]
Análisis discriminante
x il vector de observaciones del individuo i que está en la población l . i = 1, ..., nl l = 1, ..., k
Método de Fisher:
k
Dl = ( x − x )' Σˆ ( x − x )
(l )
−1
(l )
Σˆ =
con
∑n S
l =1
l
l
n−k
Matrices de varianzas-covarianzas dentro (W) y entre (B) grupos
k nl
k
l =1i =1
l =1
W = ∑ ∑ ( x il − x (l ) )( x il − x (l ) )' = ∑ n l Sl
k
B = ∑ n l ( x (l ) − x )( x (l ) − x )'
l =1
Transformación a variedades canónicas
Zj = n−k γ j' X − n−k γ j' X
con γ j '
j = 1, ..., s s = min ( p , k - 1)
el vector propio de W -1 B ordenados de mayor a menor valor propio asociado
Estadístico Lambda de Wilks
s
1
j =i
1 + λˆ j
Λ=Π
- (n -
p+k
− 1) LnΛ ~ χ (2p −i −1)( k −i − 2)
2