Anexo 1: Transformación del modelo abc del VSC simple de dos

Anexo 1: Transformación del modelo
abc del VSC simple de dos niveles a
un modelo dq
El seguimiento de referencias tı́picamente senoidales, y por tanto variables, puede
resultar especialmente difı́cil de controlar. Por ello, se plantea una transformación del
modelo expresado en las ecuaciones (3.27)-(3.30), que están en función de las corrientes
de fase, a un modelo expresado en magnitudes que sigan valores constantes. En este caso,
se utilizará la transformada de Park para obtener un modelo más sencillo de controlar.
En primer
definimos

 lugar,
 
  3 vectores:
vCa
ηa
if a
if abc =  if b , ηabc =  ηb , vCabc =  vCb 
vCc
ηc
if c
También
definimos
dos
matrices
diagonales
que caracterizan al circuito:




L 0 0
R 0 0
Rabc =  0 R 0 , Labc =  0 L 0 
0 0 L
0 0 R
Considerando estas expresiones puede expresarse el modelo abc dinámico del sistema
de manera matricial:
Labc
dif abc
vdc
= ηabc
− Rabc if abc − vCabc
dt
2
(5.1)
dvdc
1
= ηabc iTfabc
(5.2)
dt
2
Consideramos que la transformación de Park viene definida por la matriz T . A partir
C
de aquı́, transformamos las corrientes de fase:
if abc = T −1 idq
(5.3)
ηabc = T −1 ηdq
(5.4)
vCabc = T −1 vCdq
(5.5)
123
124
Anexo 1: Transformación del modelo abc del VSC simple de dos niveles a un modelo dq
Y sustituimos en las expresiones (5.1) y (5.2).
L
d(T −1 idq )
vdc
= (T −1 ηdq )
− R(T −1 idq ) − (T −1 vCdq )
dt
2
(5.6)
1
dvdc
= (T −1 ηdq )(T −1 idq )T
dt
2
(5.7)
C
Tomando (5.6) y desarrollamos la derivada del producto y multiplicamos por T :
TL
dT −1
vdc
didq
idq + T LT −1
= T T −1 ηdq
− T RT −1 idq − T T −1 vCdq
dt
dt
2
(5.8)
Simplificando:
Dado que T dTdt
−1
didq
vdc
dT −1
idq + L
= ηdq
− Ridq − vCdq
(5.9)
LT
dt
dt
2
0 −1
, la expresión (5.9) puede desarrollarse de la siguiente
=
1 0
forma:
L
ηd vdc
did
=
− Rid − Lωiq − vCd
dt
2
(5.10)
L
ηq vdc
diq
=
+ Riq − Lωid − vCq
dt
2
(5.11)
En cuanto a la expresión (5.7), simplificando se obtiene:
dvdc
1
= ηdqiTdq
dt
2
(5.12)
dvdc
1
= (ηd id + ηq iq )
dt
2
(5.13)
C
Y operando se obtiene:
C
Resumiendo, las expresiones que definen el modelo lineal en el dominio dq de un VSC
simple de dos niveles son las siguientes:
Siendo ηk′ =
1+ηk
2
did
1 ηd vdc
= (
− Rid − Lωiq − vCd )
dt
L 2
(5.14)
1 ηq vdc
diq
= (
− Riq + Lωid − vCq )
dt
L 2
(5.15)
dvdc
1
=
(ηd id + ηq iq )
dt
2C
(5.16)
el “duty cycle”, ∀k = d, q, con ηk ∈ −1, 1 .