finales io

Investigación operativa
Ejercicio 1: uno de colas donde había que usar tablas. No era de lo que toma siempre
la verdad bastante difícil.
Ejercicio 2: PL. Te decia que tenia una maquina donde tenia que producir dos
productos durante 5 dias. Si producias A no podias producir B y viceversa. Empezabas
con 10 unidades de stock inicial de cada producto. Tenia un costo diario por capital
inmovilizado. Tenias que decir que producto y cuanto producir del mismo cada uno de
los 5 dias para que el costo sea el mas bajo y cumplir con la semanada diaria que te
daba. Tambien te daba los costos de produccion.
Ejercicio 3: Teorico de stocks, reaprovisinamiento constante con demanda constante y
una limitacion de un recurso que no te decia que era. Habia que usar el lagraniano.
Tenia que poner la expresion del costo y llegar a los q optimo para los items A y B.
Despues te habia unas preguntas sobre dimensionamiento de almace, Daba todos los
datos.
Ejercicio 4
Pert vs CPM
simulacion vs Metodos cuantitativos
Se pueden fabricar 3 productos A, B y C en 2 máquinas en una semana, cuyas
utilidades son 20, 30 y 25.
R1 y R2 con cantidades de materia prima en kg. El costo por es de 6 y 8
respectivamente.
Cada maquina esta disponible durante 40 hs/semana.
La demanda semanal de A,B y C es de 10, 20 y 10.
Zmax: 20A+30B+25C-6R1-8R2
CV) Disp. Máq. 1: 5A1+8B1+10C1 menor o igual que 40
Disp. Máq. 2: 8A2+6B2+2C2 menor o igual que 40
Totalizador A: -A+A1+A2=0
Totalizador B: -B+B1+B2=0
Totalizador C: -C+C1+C2=0
Utilizacion mat. Prima1: -R1+1A+2B+0.75C=0
Utilizacion mat. Prima2: -R2+0.5A+1B+0.5C=0
Demanda A: A menor o igual que 10
Demanda B: B menor o igual que 20
Demanda C: C menor o igual que 10
1) Si se fabrican los 3 productos, hay un costo adicional de $30 y ademas se imponen
las sig. condiciones:
a) cant. minima a fabricar de A y de B son 5 y 6 unidades respectiva//.
b) cant. maxima de unidades a fabricar es de 19 unidades.
c) cant. de unidades a fabricar de C es de 5 unidades.
2) Si se fabrican mas de 5 unidades de A: a) se deben fabricar mas de 6 unidades de B y
b) se debe agregar la restricción: A+B=15.
3) Si se fabrica mas de un producto, la utilización de mat. Prima se incrementa un 10%.
4) La relación de producción en B y C debe ser:
C
10
7
5
20
B
5) La maquina 1 según la restricción indicada en el enunciado esta programada para
operar en la modalidad O1. Sin embargo, existe la posibilidad de programar la maq. 1
para que opere en una modalidad diferente (O2) en cuyo caso las restricción es:
4A1+9B1+9C1 menor o igual que 40. En una semana determinada se puede operar la
maq. en una sola modalidad.
En el ejercicio hay que ir agregando restricciones y variando el funcional en base a lo
que pide cada punto. Hay que usar mucha binaria. En el punto del grafico hay que
sacar las pendientes y armar las restricciones con esas proporciones de B y C.
1)Programacion Lineal: Habia que ir modificando las restricciones en torno a las nuevas
condiciones que te iba dando usando binarias etc... (50 puntos)
2) Stock: restriccion de transporte. Se resolvia por medio de Lagrangiano. Sacar
qoptimo y CTEo.(30 puntos)
3) Camino Critico: Determinar Margen Libre/Independiente y Total (10 puntos)-facil4) Simulacion: sacar q optimo sacando las incognitas a traves de distribucion
normal/exponencial...(10 puntos)
1- Colas 1 canal con 2 lugares en cola (N=3). Ingresan 2 tipos de clientes al sistema. Los
clientes A tienen prioridad por sobre los clientes B. Si hay un cliente B en el canal
cuando entra un A el B se va y si hay un B en cola el A toma su lugar en la cola y el B
pasa atras.Pedía Hacer el Diagrama de Markov con sus ecuaciones de estado. L, Lc, H,
W, Wc de A de B y del sistema. Tambien pedia el ingreso esperado por ventas. Daba
lambda A y C, mu A y C. Igual al 5.2 del libro de colas.
2- Pedìa minimizar el tiempo de ocupacion de una maquina para una orden de
fabricacion de 3 tipos de productos. 15 unidades de A, 10 unidades de B y 9 de C. Daba
los tiempos de fabricacion de cada producto. A 2,5 h B 3,5 h y C 4,5 h. Una vez que se
empieza a fabricar un producto no se puede parar la maquina hasta terminarlo. La
maquina trabaja 9 horas por día. La forma de resolverlo es como el caso del libro de PL
con los distintos cortes de las bobinas.
3- 1 nodo de camino critico. Sacar MT, ML, MI.
1) era una mezcla de programación lineal y colas, te decía que tenías cajeros que
funcionaba como un sistema PPM tenías varios puntos
* describir el modelo PPM, cuales son las hipótesis, las condiciones y el funcional y
como hallas las probabilidades.
* te decía cúal era la cantidad óptima de cajeros, tenías como dato Ts y lamda, con eso
hallabas mu y calculabas ro, tq M mayor q ro
*formular el problema de PL, era igual al de cajeros del final del libro, con el M q
habías calculado antes
*calcular el M óptimo para un horario usando un ábaco.
2) calcular el qo con producción y demanda al mismo tiempo sin agotamiento con una
restricción de volumen (era teórico) había q usar el lagrangiano
1- uno medio raro de colas mezclado con programacion lineal. era un centro de
atencion donde dependiendo de la hora del dia llegaban clientes con una cierta
frecuencia, y se atendian con un cierto mu.
primero te decia que era un ppm y te pedia que desarrolles la formula de sacar las
probabilidades,despues te pedia cual era la cantidad minima de canales dependiendo
la hora del dia, despues te decia que armes un programa de PL que cumpla con los
requisitos minomos de personas que atienden el centro por hora y otros puntos eran
variaciones de este donde te ponian un par mas de condiciones, por ultimo te pedia la
cantidad optima de canales en un cierto rango de hora.
2- uno de stocks, donde era todo teorica no habia numeros, era uno de
reaprovisionamiento continuo donde pedia desarrollar el modelo, las formulas y por
ultimo te daba unas restricciones para desarrollar lo de Lagrange
1)Era un PP23: En donde te preguntaba todas las variables. Pero solo debías dejarlas
expresadas. El único inconveniente era que entraba clientes que podían ser A y B. Y
daba los datos de lambda y mu de cada uno. Creo que se hacía usando Markov
2)Programación Lineal. Era similar a un caso donde debías seleccionar si fabricar varios
productos en una máquina A o B MinimizaNDO la diferencia de tiempo entre una
máquina y otra, con el agregado que de los 7 artículos, había 2 que tenías que fabricar
2 unidades.
3)Era uno de stock con agotamiento admitido. Te pedía deducir la fórmula de q optimo
y te pedía el SR, y otros.
Hecho por Miranda, Tenias 2 horas para resolverlo
20/julio/2007
Final de Investigación Operativa
1- Ejercicio de colas (25 puntos). Trabajabas en una empresa pesquera y sabias
que el costo de tener una barco parado (sin ir a pescar) era de 50$/hora.
También sabias que a cada empleado que descarga el barco le pagas 8$/hora.
Además te decía que al muelle llegaba un barca cada 1 hora (=1) y también
sabias que una persona podía descargar un barco en 2 horas (=0,5). ¿cuál es la
cantidad de operarios conveniente?
2- Modelización (25 puntos). Se trataba de una refinería de petróleo, tenias que
armar el sistema de restricciones para resolver el ejercicio. Lo único difícil era lo
siguiente: “si se produce el producto C” se deben cumplir lo siguiente:
“2D+4N<=8787”
“3 A + 4G >= 878”
“A+B = 4500”
3- Stocks (30 puntos) del enunciado podías sacar los siguientes datos:
P=100 u/hora ; D=100.000 (u/año); b=20 ; i =10%; espacio de cada unidad =o,2
m3
Además te decía que actualmente tenias un deposito de 1500 m3. Tenias la
posibilidad de alquilar dos depósitos (los dos juntos o uno solo):
A: 2000 m3 que salía $3.500
B: 1000m3 que salía $.3000
4- Camino Crítico (10 puntos).Explicar en que consiste el método de aceleración
de proyectos (brevemente)
5- Simulación (10 puntos)
Tenias que simular y verificar si una señal que se emitía en la ciudad A y que
viajaba por dos caminos, llegaba a una ciudad B.
Había una probabilidad asociada a cada parte del camino:
A a S1=0.8
S1 a S2 =0.7...y así con las conexiones posibles que eran las del siguiente gráfico
S1
S2
B
A
S3
S4
FINAL INVESTIGACIÓN OPERATIVA 20/07/2009
1) En un local tipo automac, donde los clientes son atendidos sin bajarse de su
auto, se está evaluando la posibilidad de aumentar la capacidad. Actualmente
se cuenta con una ventanilla donde se atiende a los clientes con una velocidad
promedio de 10 clientes por hora y aparte hay un lugar para que un cliente
pueda esperar para ser atendido. Los clientes llegan con una media de 8
clientes por hora y cada cliente atendido significa un beneficio de $10. Hay
disponibles más espacios para que puedan esperar más clientes, que se pueden
alquilar por $20 000 anuales cada lugar adicional. Considerando que tanto la
atención en la ventanilla, como los arribos de clientes responden a una
distribución del tipo Poisson y que el local funciona 12 horas por día, 6 días a la
semana y durante 52 semanas al año, ¿Cuántos espacios adicionales le
conviene alquilar?
2) Una empresa fabrica tipos de neumáticos: A, B, y C. El A requiere un proceso
que se puede hacer indistintamente en las máquinas 2 o 3, para luego tener un
segundo proceso e la máquina 1. El tipo B se elabora indistintamente en, 1, 2 o
3 (único proceso). El tipo C requiere de tres procesos, uno en la 1, otro en la 2
y después en la 3. Si se fabrica el tipo B en la máquina 2, se incurre en un costo
fijo de $300 mensuales. Por último, en función de los pronósticos de demanda,
se desea que la cantidad de C sea, al menos, un 20% del total producido.
Formular un modelo de P.L. que permita determinar la cantidad de cada tipo de
neumáticos a producir de modo de maximizar los beneficios.
Tipo A
Tipo B
Tipo C
Disponibilidades
Máquina 1
2
1,5
1,7
300 h/mes
(h/u)
Máquina 2
3
1,2
2,1
400 h/mes
(h/u)
Máquina 3
4
1,3
3,2
200 h/mes
(h/u)
Precio $/u
100
120
150
Costo $/u
60
70
80
3) Camino crítico. A partir de la siguiente tabla de precedencias:
a) Dibujar la red
b) Determinar la duración esperada del proyecto
c) Determinar el (los) camino(s) crítico(s) y marcarlo(s) en la red
d) Determinar la probabilidad de finalizar el proyecto una semana antes
que su duración estimada
e) Determinar el valor actual neto y el valor a futuro si la tasa semanal es
de 1%
C
D
E
F
a
m
b
Costo
A
X
X
2
3
4
900
B
X
X
X
5
5
5
800
C
X
6
8
10
700
D
X
4
5
6
1200
E
2
2
2
1000
F
3
5
7
850
1) Colas: Conviene o no agregar mas espacios:
Datos: N=2, mu=10 Cl/h, landa=8 Cl/h
el año tiene 52 semanas, la semana 6 días y el día 12 horas
Espacios extras $20.000 por año
Decía que la llegada de clientes era exponencial (???).
2) Modelización: armar sistema que maximice las ganancias
Se fabrican 3 productos A, B y C. En las maquinas 1, 2 y 3.
A se fabrica en dos pasos, uno en la maquina 1 y otro en la maquina 2 o la 3.
B se fabrica en un solo paso en cualquiera de las maquinas 1, 2 o 3.
C se fabrica en tres pasos, en la maquina 1 despues en la 2 y despues en la 3.
Si alguna unidad de B se fabrica en 2 hay que hacer un gasto fijo de $300.
Por lo menos el 20% de los procutos debe ser de C.
Tabla de datos:
horas disponibles de cada maquina.
horas maquina necesarias de cada producto en cada maquina.
precio y costo de cada producto.
3) Camino Critico:
armar red; calcular duración media del proyecto; determinar el camino critico y
marcarlo en la red; pregunta teorica ¿que utilidad tiene conocer el camino critico?;
Calcular la probabilidad de terminar una semana antes de lo calculado; calcular el VAN
sobre las fechas tempranas y el valor total al final del proyecto.
Datos en tabla: precedencia; tiempos pesimistas, medios y optimistas de cada
actividad; costo de cada actividad.
1. Ej de colas un PP12 parecido al del automac. Tenias un lugar en ventanilla y otro en
cola y te daban lo que ganabas con una atención, y tenias que ver si te convenia abrir
otros espacios en la cola sabiendo que cada uno salia 200000$
2. Ej de programación Lineal, bastante complicado, tenias 3 maquinas, y tres productos
que se podian hacer en alguna maquina un proceso y otro no, y tenias que formular
3. Ej. de camino crítico, te daba las procedencias y el a m y b, y te pedia armar la red, el
cc, la probabilidad de terminar una semana antes, calcular el van y el valor futuro.
Stocks: Tomaron el ejemplo 8.3 de la pág 227 del libro.
PL: Tomaron el mismo ejercio de una empresa de transporte en el que hay que
minimizar el volumen vacío de los camiones. Está en otro final anterior fecha
13/12/07.
Colas: Tomaron uno parecido al ejemplo 2.6 de la pág 61 del libro, un PP1N en el que
había que calcular el número óptimo de lugares en la cola.
Simulación: Un supermercado analiza cual debería ser su dotación de empleados para
proveer el servicio de entrega a domicilio, para ello realiza una simulación. El ensayo
del comportamiento en un día indicó:
Gasto de clientes en compras: distribución normal mu=55, sigma=15
Domicilio: a menos de 10 cuadras el 70%, a más de 10 cuadras el 30%
Un cliente puede acceder al servicio si compra 60 pesos o más y vive a menos de 10
cuadras.
Un 20% de los clientes que cumplen los requisitos no solicitan el servicio.
Calcular porcentaje de envíos que se realizarán sobre un total de 30 clientes.
TEMA 1
1)PROGRAMACIÓN LINEAL: 5 Centros de Distribución y 4 Almacenes. Datos: costos de
transportar desde cada CD a cada almacen, demanda de cada almacen y existencias en
cada CD. Decía que se iba a dar de baja el CD 2, por lo que había que transportar todas
las existencias del CD 2, al resto de los CDs (daba como dato el costo transporte de CD
2 al resto). Armar un programa para optimizar la distribución.
2)COLAS: Automac, una vetanilla para un auto y otro lugar para un auto que espera
(N=2) Te daba lamda, mu, el costo de alquiler de un lugar mas y el beneficio por cada
cliente. Definir cuántos lugares conviene alquilar.
3)CAMINO CRÍTICO: Daba a, b y m y costo de 8 actividades críticas. Calcular la
probabilidad de que dure menos de 26 dias el proceso total. Calcular el VAN y el precio
que hay que paga si se paga todo al final. (i=0,02)
4)STOCKS: 3 productos X, Y y Z. Daban D, k y c1 de c/u. Restricción de 3000 de
capacidad entre los 3 productos.
Calcular lote óptimo para c/u.
1) Camino critico: Te daba las actividades criticas, su duracion pesimista, mas probable,
optimista y el costo. Te pedia la probabilidad de que la obra dure menos de 27 dias, el
VAN y cuanto habria que pagar si se desembolsa el dinero al final del proyecto. Tasa =
1% mensual.
2) Colas: Te daba la probabilidad de ingresar p(i/n)=1-n/4 y pedia sacar varias cosas (H,
L, Lc, etc). Hay un ejemplo similar en el libro.
3) Stocks: Te daba la demanda anual (20000), la cantidad de ordenes anuales (4), el
costo de compra no era dato (b), el costo de mantencion de inventario (10% de b) y el
costo de orden ($50). Te pedia evaluar si convienere esa modalidad o cambiarse a 3
ordenes anuales con un 10% de descuento sobre b.
4) Programacion lineal: El ejercicio tipico de fabricas y almacenes, con algunas
restricciones de variables binarias y costos fijos.
1- te daba las restricciones de un ejercicio de programación lineal (3 restricciones) y te
pedía encontrar la solucion óptima SIN USAR SIMPLEX, luego pedía valores marginales
de algunas variables.
2- COLAS: P/P/1. te daba Ts y Ta, y el costo de agregar una nueva BOCA al sistema. La
pregunta era: CUAL DEBE SER EL MINIMO LUCRO CESANTE por cliente para que valga
la pena agregar la 2da BOCA.
3- Stocks: percios. Te daba nua curva de percios (recta con pendiente negativa. EJES:
"Q" y "B":
punto inicial 0;b2)
punto final (Q1;b2) con b1>b2.
te pedía la expresión que te permite calcular el Q óptimo.
4- Camino critico: 9 actividades: T pesimista, mas probable y optimista. Pedía calcular
probablildiades (había dos caminos críticos de IGUAL tiempo esperado pero distinta
varianza)
- probablilidades que el proyecto termine antes de 65 semanas
- duracion del proyecto que haría que su probablidad de ocurrencia sea 95%
Habia uno de camino crítico que tenías que sacar la duración del proyecto y las
probabilidades de terminar en fecha.
Uno de colas donde te pedía calcular el lucro cesante mínimo para que fuera lo mismo
invertir en una máquina nueva o seguir con la actual.
Uno de teoría de stock que tenias que calcular el lote óptimo y te daba un gráfico de
como variaba el precio del producto por la cantidad de unidades compradas.
El último te pedía los valores marginales de unas restricciones, pero te decia que no
podias hacer el simplex para calcularlas. Obviamente tenias que explicar el método
que hacias.
1. Colas
Te decía que había tres máquinas y que se descomponían frecuentemente, te daba el
lambda y mu. Además, decía que había dos operarios, que cada máquina podía
producir tantas piezas por hora y que el precio de venta era tantos pesos por unidad.
Pedía calcular:
a. la probabilidad de que los dos operarios estén desocupados
b. el porcentaje de tiempo inocupado de cada operario
c. creo que la longitud de cola
d. el lucro cesante
2. Stocks
Te daba todos los datos: D,k,b,i y una relación de tantos m^3/u que ocupaba el
producto. Te decía que actualmente tenías un depósito de 500 m^3 y que tenías la
posibilidad de expandirte: deposito A con 400 m^3 más (y un costo fijo asociado) y
depósito B con 400 m^3 más (y su costo fijo asociado).
Tenías que decir si convenía o no expandirse (podías expandirte a A, a B o a A+B).
3. Programacion Lineal
Era una red de telecomunicaciones. Tenías varios nodos de los cuales algunos
generaban señal y otros la transmitían. Era un poco compleja la interpretación, pero la
cosa era que un nodo mandaba una señal y otro absorbía una parte y reenviaba el
resto y así.
Datos: nombre de cada uno de los nodos (1,2,3,..), cuánto podía generar (el máximo,
no necesariamente generaba eso) y cuanto 'absorbía' (según el tipo de nodo) y en la
línea que une los nodos entre sí, tenías un límite de transferencia y un costo por la
transmisión. Además, había unas redes que estaban en líneas punteadas, o sea que
tenías que decidir si se habilitaban o no. El objetivo era minimizar los costos.
Te daba un costo fijo para cada una de las redes punteadas y los costos variables, por
unidad transmitida.
Además, había una restricción más que establecía que si habilitabas una de esas redes
punteadas, la inversión total en las otras no podía ser mayor a 20.
Eran 3 ejercicios....el final lo hizo Carlevari...porq Miranda estaba de viaje.
El primer ejercicio era de Programacion lineal, era igual o muuuy parecido al caso nro
6.
El segudno era de colas....un P/P/M/N...muy facil, pedia calcular, L, y R raya. Y despues
calcular cuanto seria la inversion minima para poner un canal mas. te daba un par de
datos.
y el ultimo era de stocks...teorico...te pedia lo de parametros variables con cantidad a
adquirir con dos cortes...hacer el dibujito de la pag 149 del libro de stocks, pobner las
formulas, hacer el diagrama de flujo de la pag. 153 y los tres graficos de las pag. 151 y
152
1- Programación Lineal: parecido a uno de los ultimos ejercicios del libro (El de cortar
las bobinas de papel) pero con un montón de restricciones mas.
2- Colas: Calcular el uo (mu óptimo) en un P/P/1 sin ninguna complicación.
3- Camino Crítico: te daba una tabla con las siguientes columnas:
a) Actividad
b) Dependencia (cuales actividades dependen de cada actividad)
c) tiempo normal
d) Costo (en tiempo normal)
e) tiempo acelerado
f) costo (en tiempo acelerado)
Calcular:
-Camino crítico
-Plazo normal de finalización y costo
-Plazo acelerado de finalización y costo
-Te decía que la obra se debía finalizar en 25 días sinó te aplicaban una multa de $1000
por día de retraso. Tenías que ver si te convenía acelerar o no la obra en función de los
costos y multas
problema 1: modelización (mix de 7 productos) maximizando benficios (daba las
contribuciones marginales) pero sujeto a 3 restriccciones: R1: si se fabrica mas de una
unidad de producto 7 se incurre en un costo fijo de 2000 pesos. R2: un aumento de
costo unitario variable del producto 2 a partir de las 100 unidades. R3: sis se fabrican 4
y 5 se activa una restricción más.
problema 2: camino crítico. Haalar el camino, y calcular la probabilidad de terminar
antes del día 150. Daba la tabla de la normal acumulada.
problema 3: PP1 con rechazo (te lo daba) y creo que con abandono (no te lo decía pero
(mu) era variable, o sea, era (mu + A)). Mu valía 0; 10; 15; 20 para p(0); p(1); p(2) y
p(3). P(i/n)=0 para n=3 Y P(i/n)=1 para 0<=n<=2 . Calcular Lc y Wp (permanencia, ver
libro!)
problema 4: stocks. 2 productos sujeto a una restricción de: q1/100+q2/75<1. Había
que plantear el lagrangiano y derivar respecto a q1, q2 y lambda, y por tanteo de
lambda obtener q1 y q2.
1) Stocks, 2 articulos A y B, determinar qa y qb optimos sujeto a una restriccion de
volumen de almacenamiento y otra de TO.
2)una cola con tres centros de antencion (daba datos). Decir si conviene que formen
una cola esperando los 3 centros en paralelo o que formen 3 colas independientes.
3) Programacion Lineal: Hay que fabricar 5 productos en total. A, B, C, D y E y hay dos
Maquinas, la 1 y la 2. (Daba una tabla con los tiempos de fabricacion de CADA articulo
en CADA maquina) Optimizar el sistema de manera tal que se minimize la diferencia de
tiempos entre las 2 maquinas (carga de tiempo de cada maquina)
4)Simulacion: Simular si una señal de satelite llega de un punto a otro (pasando por 2
puntos intermedios). Daba los valores de las probabilidades y una tabla de numeros
aleatorios. Este era muy facil.
ejercicio 07 de los casos del final del libro de PL agregando una restriccion de
cantidades de productos que debias hacer.
ejercicio 8 de los propuestos del libro de stocks.
colas:te daba dos tipos de clientes,A y B con distinta vel de arribo y con dist vel de
atencion. Era un PP23. Pedia todo los de siempre, Lc, W, L, etc.
1) minimizar costo de almacenamiento sujeto a una restriccion de tiempo de hacer un
pedido. (multipl. de Lagrange) q significa Lambda?
2) Colas, 2 tipos de clientes a y b. Te daba Lambda y mu de c/u. Sistema P/P/1/2 Pedia
todas las probabilidades, L, Lc, W, Wc. (habia q usar cadenas de Markov)
3) SImulación. Te daba una ecuacion que tenia varias variables. De C/u de esas
variables te decia si era Uniforme, triangular, poisson, etc. Te daba un N Aleatorio.
(tenias q saber de memoria todas las formulas de las distribuciones)
4) Camino critico. facil, calcular margenes de una actividad y te daba todos los datos
(duracion, Fti, Ftj, FTi , Ftj)
5) PL. Complicado pero si le sacabas la ficha se hacia en 4 lineas. Te daba la posible
distrib de 3 tipos de piezas (x,y,z) en un vagon de tren (tipo A(2,1,3) ; B(1,2,4) C() D() y
los req. minimos de c/ pieza. Minimizar la cant de vagones.
6)PL. 4 diagramas. Escribir las restricciones de los diagramas. (habia x1,x2,x3,x4)