FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
Y NATURALES
Cálculo
Taller Nº 3
SEMILLERO DE MATEMÁTICAS
Semestre II
Valor Absoluto
Reseña Histórica Émilie du Châtelet (1706-1749):
Émilie du Châtelet (n. 17 de diciembre de 1706 en París; m. el
10 de sept iembre de 1749 en Lunéville), cuyo nombre completo
era Gabrielle Émilie Le Tonnelier de Breteuil, marquesa de
Châtelet, fue una matemática francesa, considerada como la
primera científica de la historia junto con Marie-Anne Pierrette
Paulze, conocida como Madame Lavoisier.
Hija de Louis Nicolas Le Tonnelier, barón de Breteuil,
introductor de Embajadores de Luis XIV, Émilie tuvo la suerte
de vivir en un medio culto: sus padres recibían a los poetas
Jean-Baptiste Rousseau y Fontenelle en su salón parisino, a los que ella conoció desde
su niñez. Su padre le proporcionó una educación que muy raramente se daba a las
mujeres en esa época. Le enseñó latín y, estudió, asimismo, griego y alemán. Dotada
para la música, aprendió a tocar el clavecín; amante de la danza y del teatro práctico,
como amateur, ambas artes, e incluso llegó a experimentar con la ópera.
Presentada por su padre en la Corte a los dieciséis años, quedó seducida por los placeres
que esta vida le ofrecía, cediendo a algunas extravagancias como el coleccionismo de
vestidos, zapatos o joyas. A los 19 años se casó, el 12 de junio de 1725, con el marqués
Florent Claude de Châtelet (o Chastellet), que tenía 30 años. Con su marido, gobernador
de Semur-en-Auxois, vivió durante un tiempo en esta ciudad, donde conoció al
matemático de Mezieres. Tuvo la fortuna de tener un marido que no le puso cortapisas,
asumiendo sus propias limitaciones y tomando en consideración la capacidad intelectual
de su mujer. El matrimonio fue más una cuestión de interés que de amor. Tuvieron tres
hijos, el mayor fue Louis Marie Florent de Châtelet, pero su esposo, entregado a su
carrera militar, apenas tenía contacto con su esposa.
Ëmilie fue amante del marqués de Guébriant y del mariscal Richelieu. El interés y el
gusto por el estudio, que demostró precozmente, no le impidieron disfrutar de las
veleidades de la Regencia.
De entre sus diferentes amantes, Voltaire fue el que más influyó en ella, animándola a
estudiar física y matemáticas, para las que demostró tener gran aptitud, hasta el punto de
que Voltaire la llegó a considerar superior a sí mismo por sus conocimientos. El
adjetivo "científica" no existía en ese tiempo, pero lo cierto es que Émilie de Châtelet
fue una de las primeras mujeres, junto con madame de Lavoisier, a las que se pudo
calificar con este término.
Émilie estudió a Gottfried Leibniz y trató a personalidades como Clairault, Maupertuis,
König, Daniel Bernoulli, Leonard Euler o Reaumur. Cuando Émilie emprendió la
traducción de Principia Matemática de Isaac Newton llegó, incluso, a consultar a
Buffon.
Émilie conoció a Voltaire cuando éste había caído en desgracia, le acogió en su casa de
Cirey-sur-Blaise, en el Alto Marne: Voltaire tenía 39 años y ella 27. Su relación
amorosa duró quince años. Por indicación de Voltaire, Émilie empezó a traducir a
Newton, que fue el que la hizo tomar conciencia de que podía pensar por sí misma.
Habiendo tenido la suerte, rara para esa época, de haber tenido un padre que no la
consideró sólo como "una hija a casar" necesaria únicamente para continuar la
descendencia de una línea tuvo, asimismo, la suerte de encontrar a unos compañeros
que la consideraron su igual. Voltaire la admiró siempre, alabando su inteligencia y sus
cualidades, de las que ella jamás hizo ostentación.
Émilie fue criticada, igual que Voltaire, por las damas de la Corte, principalmente por
Madame de Staal-de Launay, y más acerbamente por la pluma de Madame de Deffand.
Su posición social la ponía a resguardo de los comentarios más ácidos, pero su espíritu,
su verdadera "nobleza", la situaba muy encima de las críticas y los celos de las brillantes
epistológrafas.
Conoció, en 1746 al marqués Jean-François de Saint-Lambert, poeta, del que se
enamoró, dejó a Voltaire, con el que conservó, no obstante, una amistad que duró hasta
su fallecimiento, que le sobrevino tres años más tarde, tras un embarazo, a los 43 años,
del que nació una hija que no la sobrevivió. Saint-Laurent y Voltaire la asistieron hasta
el final.
Fue Voltaire el que se encargó de publicar la famosa traducción que su amiga había
hecho de Newton y que había enviado a la biblioteca real, como si hubiera presentido su
próximo final.
Élisabeth Badinter realizó un estudio profundo sobre Émilie de Châtelet en el que, a
través de su personaje, pone de relieve la "ambición femenina" que se pone al
descubierto durante el siglo XVIII. Según el autor, "Émilie tenía algo de viril,
andrógina, motivo por el que se maquillaba y emperifollaba de manera abusiva". Pero
las mujeres desde ese momento quisieron ser reconocidas, verdaderamente, por sus
capacidades y aptitudes y, a partir de esa época, empezaron a adquirir una consideración
distinta a la que habían sustentado hasta entonces: la de ser cortesanas convertidas en
favoritas del rey.
Objetivos Generales
1. Definir los conceptos de valor absoluto.
2. Establecer las propiedades de valor absoluto.
3. Resolver desigualdades con valor absoluto.
Marco Teórico
El valor Absoluto
Definición: (Valor Absoluto)
El valor absoluto del número real 𝑎 se denota 𝑎 y se define como:
𝒂 =
𝒂
𝒔𝒊 𝒂 ≥ 𝟎
−𝒂 𝒔𝒊 𝒂 < 0
𝑌
𝑦= 𝑥
𝑋
Ejemplo
−8 = 8
8 =8
Propiedades del Valor Absoluto
1.
2.
3.
𝑎 ≥0
𝑎 =0 ⇔𝑎=0
𝑎 2 = 𝑎2
4. 𝑎2 = 𝑎
5. − 𝑎 ≤ 𝑎 ≤ 𝑎
Ejemplo
Resuelva la ecuación 𝑥 − 5 = 4.
Solución
𝑥−5 =4 ⇔
Por tanto 𝑥 = 9 o 𝑥 = 1.
𝑥−5=4
∨
𝑥 − 5 = −4
Ejemplo
Resuelva la ecuación 2𝑥 + 1 = 𝑥 + 3.
Solución
𝑥+3≥0
2𝑥 + 1 = 𝑥 + 3 ⇔
∧
2𝑥 + 1 = 𝑥 + 3 ∨ 2𝑥 + 1 = − 𝑥 + 3
𝑥+3≥0
∧
⇔
4
𝑥=− ∨ 𝑥=2
3
4
Por tanto 𝑥 = − 3 o 𝑥 = 2.
Otras propiedades (PARA DESIGUALDADES)
Para cualquiera de los números reales 𝑎, 𝑥, 𝑏 donde 𝑏 ≥ 0, se cumple que:
1.
2.
3.
4.
𝒙 ≤ 𝒃 ⇔ −𝒃 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃
𝑥 − 𝑎 ≤ 𝑏 ⇔ −𝑏 ≤ 𝑥 − 𝑎 ≤ 𝑏
𝒙 ≥ 𝒃 ⇔ 𝒙 ≤ −𝒃 ∨ 𝒙 ≥ 𝒃
𝑥 − 𝑎 ≥ 𝑏 ⇔ 𝑥 − 𝑎 ≤ −𝑏 ∨ 𝑥 − 𝑎 ≥ 𝑏
Ejemplo.
Resuelva las desigualdades 𝑥 − 4 ≤ 3.
Solución.
Se tiene 𝑥 − 4 ≤ 3 ⇔ −3 ≤ 𝑥 − 4 ≤ 3.
O sea que 1 ≤ 𝑥 ≤ 7, que corresponde al intervalor 1,7 .
Ejemplo.
Resuelva la siguiente desigualdad 𝑥 − 3 ≥ 6.
Solución.
Se sabe que 𝑥 − 3 ≥ 6 ⇔ 𝑥 − 3 ≤ −6 ∨ 𝑥 − 3 ≥ 6.
Lo anterior es equivalente a decir que 𝑥 ≤ −3 ∨ 𝑥 ≥ 9. En notación de intervalos,
la solución toma la forma siguiente: −∞, −3 ∪ 9, ∞ .
Desigualdad triangular.
Para todo par de números reales 𝑎 y 𝑏 se cumple.
1.
𝑎 + 𝑏 ≤ 𝑎 + 𝑏 . Esta desigualdad se llama desigualdad triangular.
2.
3.
𝑎∙𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏 .
𝑎
𝑏
=
𝑎
𝑏
Ejemplo
Resuelva la desigualdad 𝑥 − 2 ≤ 2𝑥 + 3
Solución
𝑥 − 2 ≤ 2𝑥 + 3
𝑥 −2
2𝑥+3
Desigualdad dada
≤1
Pasar a dividir porque el valor absoluto es
positivo no cambia el sentido de la
desigualdad e imponiendo la condición
que 2𝑥 − 3 ≠ 0
𝑥−2
2𝑥+3
≤1
Propiedad del valor absoluto
𝑥−2
−1 ≤ 2𝑥+3 ≤ 1
𝑥−2
−1 ≤ 2𝑥+3 ∧
Propiedad del valor absoluto
𝑥 −2
2𝑥+3
𝑥−2
≤1
𝑥−2
Propiedades de las desigualdades
−1 − 2𝑥+3 ≤ 0 ∧
2𝑥+3
−2𝑥−3−𝑥+2
𝑥−2−2𝑥−3
2𝑥+3
−3𝑥−1
2𝑥+3
≤0 ∧
≤0 ∧
−𝑥−5
2𝑥+3
−1≤0
2𝑥+3
Desigualamos a cero
≤0
Suma de fracciones algebraicas
≤0
Suma de términos semejantes
Método del cementerio
−3𝑥 − 1 = 0, 2𝑥 + 3 = 0 ∧ −𝑥 − 5 = 0, 2𝑥 + 3 = 0 Igualando cada factor a cero
1
3
𝑥 = − 3 , 𝑥 = − 2,
+
+
−
−3𝑥 − 1
−
+
+
2𝑥 + 3
−
+
−
−3𝑥−1
−
3
2
−
1
3
𝑆1 = −∞, −
3
1
∪ − , +∞
2
3
2𝑥+3
𝑥 = −5, 𝑥 = −
3
2
+
−
−
−𝑥 − 5
−
−
+
2𝑥 + 3
−
+
−
−𝑥−5
-2
2𝑥+3
2
3
𝑆2 = (−∞, −5 ∪ − , +∞
2
𝑆 = 𝑆1 ∩ 𝑆2 =
3
1
3
∪ − , +∞ ∩ (−∞, −5 ∪ − , +∞
2
3
2
1
= (−∞, −5 ∪ − , +∞
3
−∞, −
Ejercicios
1. Encuentre todos los números reales que satisfacen 𝑥 + 1 ∙ 𝑥 − 1 = 0.
2. Encuentre los números reales que satisfacen: 𝑥 − 5 = 𝑥 − 5.
3. Encuentre la solución de 8𝑥 − 4 = 𝑥 .
4. Resuelva las siguientes desigualdades
a. 𝑥 + 3 < 8
b. 𝑥 − 6 < 4
c. 𝑥 − 1 > 5
d. 2𝑥 − 5 ≥ 3
e. 2𝑥 − 3 < 5
f. 3𝑥 − 5 > 4
g. 4𝑥 − 3 ≥ 1
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
2𝑥
−1 <2
3
2(𝑥+5)
3
≤
4
5
𝑥+2 ≤4
2𝑥 + 7 ≥ 0
2𝑥 + 4 < 15
1 − 2𝑥 > 5
𝑥2 − 1 ≤ 3
𝑥+1
𝑥
>2
𝑥−3 ≤ 𝑥+5
𝑥−2 ≥ 𝑥+4
5. La Compañia MNO tiene tres sucursales situadas en línea recta sobre el mapa.
La sucursal 𝐵 está a 300 kilometros al este de la sucursal 𝐴 y la sucursal 𝐶 está
1100 𝑘𝑚 al oeste de la sucursal 𝐴. Encontrar la distancia 𝐶𝐵 .
6. Una compañia tiene tres plantas, 𝐴, 𝐵 y 𝐶, localizadas sobre una línea recta en el
mapa. Encontrar la distancia de 𝐶 a 𝐵 si 𝐵 está 600 𝑘𝑚 al oeste de 𝐴 y 𝐶 está a
900 𝑘𝑚 al este de 𝐴.
7. Encontrar la distancia entre los siguientes pares de números que caen sobre la
recta real:
a. 4 𝑦 7
b. −3 𝑦 5
c. −9 𝑦 − 2.
8. Hallar el intervalo entre los que se encuentra la ganancia P, si 𝑃 − $1000 <
$300.
9. ¿ En que rango de valores cae la ganancia P, si (2𝑃
$100)2 ≤ $250000 ?
Escriba las siguientes proposiciones en términos de valor absoluto
10. 𝑥 está entre -3 y 3
11. La distancia entre 𝑥 y 2 es a lo sumo 4
En los siguientes seleccione la respuesta correcta
12. La solución de 3𝑥 + 2 = 0:
a. 𝑥 = 3/2
b. 𝑥 = 2/3
13. La solución de
a.
1
1
𝑥
c. 𝑥 = −3/2
d. 𝑥 = −2/3
> 2 es:
1
− 2 , 0 ⋃ 0, 2
b.
1 1
−2,2
c.
−2,2
d. −2,0 ∪ 0,2
Bibiografía
Buriticá, B., Algebra y Trigonometría, Ude@, 2º Ed. 2005.
http://www.matebrunca.com/Contenidos/Matematica/algebra/ecuadesigvalabso.pdf
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