Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco

DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA
UNIVERSIDAD NACIONAL DE QUILMES
Roque Sáenz Peña 352 – (B1876BXD) Bernal – Buenos Aires – Argentina
TEORÍA DE LAS TELECOMUNICACIONES
DETECCIÓN
DE SEÑALES BINARIAS EN PRESENCIA DE RUIDO BLANCO
GAUSSIANO
Una vez que los símbolos digitales son transformados en señales eléctricas, pueden ser
transmitidos a través del canal. Durante un intervalo de tiempo T un sistema binario
transmitirá una de dos formas de onda, indicadas por s1(t) y s2(t). La señal transmitida
durante el intervalo (0, T) se puede representar como:
s1(t ) 0 ≤ t ≤ T
si (t ) = 
s2(t ) 0 ≤ t ≤ T
para el 1 binario
para el 0 binario
Por ejemplo, un 1 puede ser representado por una tensión eléctrica V que se mantiene
constante durante un tiempo T, y un 0 por una tensión –V que también se mantiene constante
por igual duración de tiempo. Esta señal puede ser transmitida directamente (transmisión en
banda base) o bien puede ser usada para modular una portadora. La señal recibida está
afectada por el ruido y por lo tanto existe una cierta probabilidad de que el receptor cometa un
error al decidir si se transmitió un 1 o un 0. La señal recibida por el receptor, r(t) se puede
representar por:
r (t ) = si (t ) + n(t ) i = 1, 2; 0 ≤ t ≤ T
donde n(t) es el ruido blanco gaussiano aditivo, de media cero y varianza σ2, que
interfiere sobre la señal que fue transmitida.
Trataremos de encontrar qué características debe tener nuestro receptor para que
pueda hacer una detección lo más fiel posible del bit que fue transmitido. El transmisor “sabe”
que fue transmitido un 1 ó un 0, pero debido al efecto del ruido esas señales eléctricas que
representan al 1 y al 0 fueron deformadas y eso puede “confundir” al detector a la hora de
dicernir qué señal se transmitió.
Supongamos entonces que una secuencia binaria consiste en señales de niveles +V y
-V, o sea, una secuencia de pulsos positivos y negativos aleatorios. Realmente no interesa
conservar la forma de la señal en el receptor, sino que lo que interesa saber es si en el
intervalo de bit T se transmitió +V o –V. Pero, como se dijo antes, con el ruido presente, el
receptor ciertamente nunca va a detectar exactamente ±V.
Supongamos que el ruido es Gaussiano. Debido a la simetría de la función de densidad
de probabilidad que lo representa, la probabilidad de hacer aumentar el valor de la muestra de
señal tomada es igual a la probabilidad de hacerla disminuir. Entonces, como primera
aproximación, es bastante razonable diseñar un detector que tome una muestra cada T
segundos, y, si el valor es positivo asumir que transmitió +V, mientras que si el valor es
negativo asumir que se transmitió –V. Por supuesto, es posible que en el instante del muestreo
la tensión de ruido pueda tener una magnitud mayor que V y de polaridad opuesta a la del bit
transmitido en ese momento. En tal caso se producirá un error en la detección. En la Figura 1
se puede ver este efecto.
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
1
Figura 1. Efecto del ruido en una señal digital binaria de amplitud V y duración T.
Podemos reducir la probabilidad de error procesando la señal recibida junto con el
ruido, de manera tal de encontrar un instante de muestreo adecuado en donde la tensión de
símbolo sea enfatizada frente a la tensión de ruido. Además, intuitivamente se ve que es
necesario agregar algo delante del muestreador, ya que con un esquema como el que hemos
planteado como primera aproximación indudablemente se está desperdiciando todo el tiempo
de bit. Es decir, ¿para qué transmitir un bit con una duración T si finalmente se lo está
“mirando” en un solo instante? ¿No sería mejor que el receptor haga una “observación” de
todo el bit para recién luego concluir si fue un 1 ó fue un 0? Tendremos que pensar en un
esquema que aproveche todo el tiempo de bit. Entonces planteamos lo siguiente.
La señal transmitida s(t)(representada por uno de sus dos estados ±V), junto con el
ruido Gaussiano n(t), se la hace pasar por un integrador y luego sí es muestreada. Esto se
puede hacer con un amplificador operacional con una resistencia de entrada R y un capacitor
de realimentación C, como se muestra en la Figura 2. Por lo tanto, la salida del integrador
produce una señal que es la integral del pulso enviado, multiplicada por una constante
1/RC = τ. Al final de cada tiempo de bit T, una llave en paralelo con el capacitor se cierra para
descargarlo y así comenzar la siguiente integración desde cero. A la salida del integrador y
justo al instante de tomar la muestra, tenemos:
v 0 (T ) =
1
τ
1
∫ [s(t ) + n(t )]dt = τ ∫
T
T
0
0
s(t )dt +
1
τ
T
∫ n(t )dt
0
(1)
La muestra de tensión correspondiente sólo a la señal es:
s0 (T ) =
1
T
VT
0
τ
Vdt =
τ ∫
(2)
o bien con el signo opuesto cuando la entrada del integrador es –V. La muestra de
tensión correspondiente al ruido es:
n0 (T ) =
1
τ
T
∫ n(t )dt
0
(3)
Cabe destacar que n(t) es un proceso aleatorio, mientras que no(T) es una variable
aleatoria. La varianza (potencia media) de n0(T) se expresa como:
σ 02 =
2
N 0T
2τ 2
(4)
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
Además n0(T) tiene una fdp que es Gaussiana. El valor N0/2 es la densidad espectral del
ruido a la entrada del integrador. No demostraremos aquí la obtención de la última ecuación,
pero la misma surge de plantear que:
G no (f ) = G ni (f ) H(f )
2
(5)
donde H(f) es la función de transferencia del integrador, Gni(f) es la densidad espectral
de ruido a la entrada del integrador y Gno(f) es la densidad espectral de ruido a la salida del
integrador.
Figura 2. Esquema propuesto inicialmente para mejorar la relación senal a ruido, en el
instante de muestreo, de la señal recibida.
La salida del integrador es v0(t) = s0(t) + n0(t). La señal de salida s0(t) es una rampa
para cada intervalo de tiempo T. Al final de la rampa, o sea, al instante del muestreo T, la
señal s0(t) tiene un valor que es +VT/τ o –VT/τ, dependiendo de si el bit transmitido fue 1 ó 0,
respectivamente. Mientras que el ruido, en el instante del muestreo, tiene un valor aleatorio
n0(T). Ambas situaciones se muestran en la Figura 3. Finalmente, el voltaje total al momento
del muestreo es:
v 0 (T ) = s0 (T ) + n0 (T )
(6)
Figura 3. Señal a la salida del integrador (a), y ruido a la salida del integrador (b).
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
3
Naturalmente, buscamos que la tensión correspondiente a la señal sea mayor que la
tensión de ruido para mejorar la performance de nuestro detector. Por lo tanto una figura de
mérito para este caso es la relación señal a ruido. Relacionando ambas potencias en el instante
de muestreo nos queda el siguiente resultado:
2
[s0 (T )]
[n0 (T )]2
2
 VT 


V 2T 2 2τ 2
2 2
V 2T
 τ 
=
=
V T =
=
2
N0
N0 2
 N 0T 
τ N 0T


2 
 2τ 
(7)
Nótese que la relación señal a ruido aumenta con el incremento de la duración de bit T
y que depende de V2T que es la energía normalizada de la señal. Es decir que para mejorar la
relación señal a ruido se puede aumentar el tiempo de bit T (transmitiendo menos bits por
segundo, o sea, más lentamente), o bien aumentar la tensión V de la señal. Este último caso
implica transmitir con mayor potencia, con lo cual se necesitaría un equipo transmisor más
grande, fuentes de alimentación más grandes, quizás disipadores más grandes, etc.,
aumentando el costo y el tamaño del sistema. La primera alternativa, como se dijo, implica
transmitir a menor velocidad. Esto puede verse, por ejemplo, en una comunicación vía modem
(aunque en este caso no es bandabase sino una señal modulada, el ejemplo vale). Un modem
que cumple con la norma de comunicación V.90 debería conectarse normalmente a 56 Kbps.
Sin embargo esto casi nunca ocurre, pues la línea telefónica tiene un ruido mayor al esperado
y para mantener la relación señal a ruido en un nivel aceptable el modem transmite más
lentamente. Otro ejemplo lo muestran los satélites que se envían al espacio (por ejemplo la
NASA o la Agencia Espacial Europea) para tomar fotografías, hacer estudios, mediciones, etc.
en diversos planetas. Debido a la gran distancia que separa al satélite de la antena terrestre,
la relación señal a ruido es realmente muy baja como consecuencia de la atenuación de la
señal transmitida. Por lo tanto, para mantener una relación señal a ruido razonable en el
receptor la alternativa es aumentar T. La conclusión es que la velocidad de transmisión es muy
baja.
Hemos visto entonces, que, para el ejemplo anterior de transmisión binaria bipolar, el
filtro que nos mejora la relación señal a ruido es un integrador. Esto ha sido para este ejemplo.
En los párrafos siguientes trataremos de ver si es éste el mejor filtro que podemos poner o
existe uno mejor, y además generalizar la situación y tratarla no sólo para la señal bipolar que
se planteó sino para cualquier señal binaria.
En la Figura 4 se muestran los dos pasos que se involucran en la detección de una
señal. El primer paso consiste en convertir la señal recibida r(t) = si(t) + n(t) en un número
real z(t=T). Esta operación se realiza por medio de un filtro lineal seguido de un muestreador.
Al final de la duración de símbolo T la salida del bloque 1 (después de la llave de muestreo) da
como resultado la muestra z(T). También puede demostrarse que un proceso Gaussiano que
pasa por un filtro lineal produce como salida otro proceso Gaussiano. Entonces, la salida del
bloque 1 da como resultado:
z(T ) = ai (T ) + n0 (T )
i = 1, 2
(8)
donde ai(T) es la componente de señal de z(T) proveniente de si(t), y n0(T) es la
componente de ruido proveniente de n(t). Para abreviar la notación podemos escribir
z = ai+ n0. La componente de ruido, n0, es una variable aleatoria Gaussiana de media cero. Por
lo tanto, z(T) también es una variable aleatoria Gaussiana pero con media a1 o a2 (a1 y a2 son
dos números reales, obtenidos a la salida del muestreador), dependiendo de cuál de los dos
símbolos binarios fue enviado, (s1(t) o s2(t)). Si no existiese el ruido, z(T) sería un número real
con dos valores posibles. La función de densidad de probabilidad (fdp) del ruido aleatorio
Gaussiano n0 puede expresarse como:
4
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
p(n0 ) =
 1  n 2 
exp −  0  
 2 σ0  
2π


1
σ0
(9)
donde σ 02 es la varianza del ruido. Las funciones de densidad de probabilidad
condicional, p(z|s1) y p(z|s2) se pueden expresar como:
p( z | s1 ) =
p( z | s2 ) =
 1z − a
1
exp − 
 2  σ0
2π





 1z − a
2
exp − 
 2  σ0
2π





1
σ0
1
σ0
2



2



(10)
(11)
Figura 4. Esquema básico de detección de una señal binaria.
Estas fdp condicionales se ven en la Figura 5. La fdp de la derecha, p(z|s1) ilustra la
función de densidad de probabilidad de la salida del detector, z(T), dado que s1(t) fue
transmitido. De manera similar, la curva de la izquierda ilustra p(z|s2), la función de densidad
de probabilidad de z(T) dado que se ha transmitido s2(t). El eje de las abcisas representa el
rango completo de valores posibles de z(T) que se pueden obtener a la salida del bloque 1 de
la Figura 4. Se ve entonces, que, si no existiese el ruido, z(T) tendría sólo dos valores posibles,
a1 y a2, dependiendo de la señal transmitida. Pero, debido al efecto del ruido, z(T) es en
realidad un número que se mueve en un entorno de a1 y a2, (una vez más, según la señal
binaria transmitida), con una distribución Gaussiana.
Figura 5. Funciones de densidad de probabilidad condicional.
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
5
El segundo paso en el proceso de detección consiste en hacer una comparación
estadística. Esto se representa en el bloque 2 de la Figura 4. Se compara z(T) contra un valor
umbral γ para de esa manera estimar cuál valor fue transmitido, si s1(t) o s2(t). Si z(T) es
mayor que γ se decide por una señal, caso contrario se decide por la opuesta.
Una vez que la señal recibida r(t) es convertida en un número z(T), ya no importa más
la verdadera forma de la señal. Todas las formas de onda que sean transformadas al mismo
valor de z(T) son idénticas desde el punto de vista de la detección. Veremos más adelante que
un cierto tipo de filtro, llamado filtro adaptado, ubicado en el bloque 1, “mapea” las señales de
igual energía en el mismo punto z(T). Por lo tanto, lo que importa en el proceso de detección
no es la forma de onda de la señal sino su energía. Por eso, el análisis para el proceso de
detección en banda base es igual que para el caso de pasabanda (se verá con abundante
detalle en un capítulo posterior). El paso final en el bloque 2 es tomar una decisión a partir de
la siguiente comparación:
H1
z(T )
>
<
γ
(12)
H2
donde H1 y H2 son las dos posibles hipótesis binarias. Elegir H1 es equivalente a decidir
que s1(t) se ha enviado, y elegir H2 es equivalente a decidir que s2(t) fue enviado. La
desigualdad en la relación anterior indica que si z(T) > γ entonces se elige H1. De lo contrario,
se elige H2. Para el caso de la igualdad la decisión es arbitraria y se ajusta al detector de
manera tal que elija una de las dos hipótesis al azar, como si tirara una moneda.
Esta comparación es similar a la que se hizo en el ejemplo al comienzo del texto. Allí,
una vez tomada la muestra, se la comparaba con cero: si el número era positivo se decidía por
un “1” binario, caso contrario se decidía por un “0” binario.
Estructura de un receptor de máxima verosimilitud
¿Qué valor debe tener γ? Hasta ahora no hemos dicho nada acerca de qué valor debe
tener para que sea un nivel umbral apropiado. Un criterio para elegir γ se basa en la
minimización de la probabilidad de error. Es decir, se busca un valor tal de γ como para que el
detector se “equivoque” lo menos posible en su toma de decisiones. Este valor óptimo de γ que
hace mínima la probabilidad de error lo llamaremos γ0.
Para hallar tal valor partimos de la siguiente relación, llamada
verosimilitud:
test de relación de
H1
p( z | s1 ) > P(s2 )
p( z | s2 ) < P(s1 )
(13)
H2
donde P(s1) y P(s2) son las probabilidades a priori de que s1(t) y s2(t), respectivamente,
sean transmitidos, y H1 y H2 son las dos posibles hipótesis. Según la regla de la ecuación (13),
para minimizar la probabilidad de error, debemos elegir la hipótesis H1 si la relación de
verosimilitudes es mayor que la relación entre las probabilidades a priori. Caso contrario se
elige la hipótesis H2. Esta ecuación (13) surge de la teoría de la probabilidad condicional.
Si P(s1) = P(s2) y si las funciones de densidad de probabilidad p(z|si), (i=1,2) son
simétricas la ecuación (13) queda, luego de dividir (10) sobre (11):
6
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
H1
z(T )
> a1 + a2
= γ0
2
<
(14)
H2
donde a1 es la componente de señal de z(T) cuando s1(t) es transmitido, y a2 es la
componente de z(T) cuando s2(t) es transmitido. El nivel umbral γ0 es el umbral óptimo que
minimiza la probabilidad de tomar una decisión incorrecta. Esta estrategia es conocida como
criterio del mínimo error.
Para señales igualmente probables, el umbral óptimo γ0 pasa através de la intersección
de las funciones de densidad de probabilidad, como se ve en la Figura 5. De esta manera,
siempre se elige la hipótesis que presenta la máxima verosimilitud (máxima probabilidad).
Dicho en términos de las funciones de densidad de probabilidad condicional, el detector elige,
por ejemplo, s1(t) si:
p(z a | s1 ) > p(z a | s2 )
(15)
en caso contrario, el detector elige s2(t). Un detector que minimiza la probabilidad de
error (para el caso en que ambas señales son igualmente probables) es conocido con el
nombre de detector de máxima verosimilitud.
Una vez más, volviendo a nuestro ejemplo del comienzo del texto, y para el caso
particular del circuito integrador que se ha usado, a1 sería VT/τ, a2 sería –VT/τ y γ0 sería 0.
Obviamente, si las probabilidades a priori no son iguales (ambas igual a 0,5), entonces
γ0 se desplaza hacia la izquierda o hacia la derecha.
Si en lugar de una transmisión binaria fuese una transmisión M-aria, debería haber M
funciones de densidad de probabilidad representando a las M señales. La decisión de máxima
verosimilitud debe ser hecha entonces según el máximo valor de probabilidad de todas las fdp.
Probabilidad de error
Para el caso de una transmisión binaria, hay dos maneras por las cuales se puede
producir un error. Un error e va a ocurrir cuando se envíe una señal s1(t) y el ruido del canal
resulte tal que el valor z(T) sea menor que el umbral γ0 (una vez más la Figura 5 sirve de
ayuda). Dicha probabilidad se puede expresar como:
P(e | s1 ) = P(H2 | s1 ) =
∫
γ0
−∞
p(z | s1 )dz
(16)
En palabras esto es, la probabilidad de que se produzca un error, sabiendo que se
transmitió s1, o, la probabilidad de elegir la hipótesis H2 sabiendo que se transmitió s1. Esto se
ilustra en la Figura 5 como el área sombreada a la izquierda de γ0. De manera similar, ocurre
un error cuando s2(t) es enviado y debido al ruido del canal el valor de z(T) resulta mayor que
el umbral γ0. Esto se expresa como:
P(e | s2 ) = P(H1 | s2 ) =
∞
∫γ
p( z | s2 )dz
(17)
0
La probabilidad de error es la suma de las probabilidades de todas las maneras en que
un error puede ocurrir. Para el caso binario, podemos expresar la probabilidad de error de bit
PB de la siguiente manera:
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
7
2
∑ P(e, s )
PB =
(18)
i
i =1
Combinando las ecuaciones (16) a (18), tenemos:
PB = P(e | s1 )P(s1 ) + P(e | s2 )P(s2 )
(19)
PB = P(H2 | s1 )P(s1 ) + P(H1 | s2 )P(s2 )
(20)
o equivalentemente,
(Las ecuaciones (19) y (20) surgen del teorema de Bayes). Es decir, dado que fue
transmitido s1(t), ocurre un error si se elige la hipótesis H2; o dado que se transmitió s2(t),
ocurre un error si fue elegida la hipótesis H1. Para el caso en que las probabilidades a priori
sean iguales, o sea, P(s1) = P(s2) = ½,
PB =
1
1
P(H2 | s1 ) + P(H1 | s2 )
2
2
(21)
y por la simetría de las funciones de densidad de probabilidad:
(22)
PB = P(H2 | s1 ) = P(H1 | s2 )
La probabilidad de error de bit, PB, es numéricamente igual al área debajo de la curva
fdp que está del lado “incorrecto” del umbral. Por lo tanto, se puede calcular PB integrando
P(z|s1) entre los límites -∞ y γ0 ó también integrando p(z|s2) entre los límites γ0 y ∞:
PB =
∞
∫γ
(23)
p( z | s2 )dz
0
Si reemplazamos p(z|s2) por su equivalente distribución Gaussiana, tenemos:
PB =
∫γ
0
 1z − a
2
exp − 
2
σ

2π
0


1
∞
σ0




2
dz


(24)
y como ya sabemos, σ o2 es la varianza del ruido a la salida del correlador. Haciendo
u = (z-a2)/σ0 tenemos:
1
du
=
σ0
dz
Por lo tanto,
dz = σ 0 du
En la ecuación (24) la variable de integración es z, que varía entre γ0 e ∞. Pero γ0 es
(a1 + a2)/2. Por lo tanto, el límite de integración inferior, en función de u es:
z = σ 0 u + a2 =
8
a1 + a2
= γ0
2
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
a1 + a2
− a2
2
a + a2
a
u = 1
− 2
2σ 0
σ0
σ 0u =
u =
a1 − a2
2σ 0
Entonces, reemplazando u en la ecuación (24) nos queda:
PB =
∫
 u2 
 a − a2
du = Q 1
exp −
 2σ


2π
0

 2 
1
u=∞
u = (a1 − a2 ) / 2σ 0




(25)
donde Q(x) se llama función complementaria de error o función de co-error. Q(x) se
define como
Q( x ) =
 u2 
du
exp −
 2 
2π x


1
∫
∞
(26)
La variable de integración es u, siendo el límite inferior u = x y el límite superior u = ∞.
Q(x) no puede ser evaluada en forma cerrada y sus valores se presentan en forma de tablas.
Si se observa bien, Q(x) no es otra cosa que P(X ≥ x) para una fdp Gaussiana normalizada (es
decir, con media cero y varianza 1). De aquí se ve que para minimizar la probabilidad de error,
x debe ser lo más grande posible (o sea, lo más “a la derecha” posible debajo de la curva de
Gauss).
Para el ejemplo visto al comienzo de esta exposición habíamos visto que a la salida del
filtro integrador, en el instante de muestreo, obteníamos los siguientes valores de a1 y a2:
a1 =
a2 =
VT
τ
− VT
τ
y σ 02 era:
σ 02 =
N 0T
2τ
2
⇒ σ0 =
N 0T
2τ 2
Teniendo en cuenta esto entonces, el cálculo de la probabilidad de error de bit nos
conduce a:
 a − a2
PB = Q 1
 2σ 0






 VT τ + VT τ
PB = Q
N 0T

 2
2τ 2








Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
9
 V 2T 2 τ 2
PB = Q
 N T 2τ 2
0





 V 2T 

PB = Q
 N /2 
0


Hasta aquí hemos optimizado el valor del umbral γ haciendo mínima la probabilidad de
error PB y hallando una expresión para el cálculo de dicha probabilidad de error. Ahora
veremos cómo debe ser el filtro que, a la salida del muestreador, maximiza la relación señal a
ruido, y cómo puede usárselo para que maximice el argumento de la función Q(x) a fin de
que la probabilidad de error sea mínima (es decir, mínima no en función del umbral de
detección γ0 sino en función del valor z(T) que entrega el filtro en el instante de muestreo).
Filtro adaptado
Un filtro adaptado es un filtro lineal, diseñado para que pueda dar, a su salida, la
máxima relación señal a ruido para una determinada forma de onda del símbolo transmitido.
Supongamos que una señal conocida s(t) más RBGA n(t) se presenta a la entrada de un filtro
lineal e invariante en el tiempo, seguido éste por un muestreador, como se muestra en la
Figura 4. En el tiempo t = T la salida z(T) del receptor consiste en una componente de señal ai
y una componente de ruido n0. La varianza del ruido de salida (potencia media de ruido) se
denota por σ 02 , de manera que la relación entre la potencia de la señal y la potencia media de
ruido, (S/N)T en el tiempo t = T, a la salida del receptor del bloque 1 es:
a2
S
  = i2
σ0
 N T
(27)
Lo que queremos hacer ahora es encontrar qué característica debe tener nuestro filtro.
Cuál debe ser su función de transferencia. Para ello, debemos hallar la función H0(f) que
maximice la ecuación (27). Podemos expresar la señal a(t), a la salida del filtro, en términos
de la función de transferencia H(f) (antes de su optimización) y de la transformada de Fourier
de la señal de entrada:
a(t ) =
∫
∞
−∞
H(f )S(f )e j 2πft df
(28)
donde S(f) es la transformada de Fourier de la señal de entrada s(t). Si la densidad
espectral del ruido de entrada es N0/2 watts/hertz, podemos expresar la potencia de ruido a la
salida como:
σ 02 =
N0
2
∫
∞
2
−∞
(29)
H(f ) df
Recordar que (29) surge de plantear:
∫
∞
−∞
G no (f )df =
∫
∞
−∞
2
G ni (f ) ⋅ H(f ) df
y además
G ni (f ) =
10
N0
2
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
Combinando ecuaciones, podemos expresar la relación señal a ruido como sigue:
S
  =
 N T
∫
∞
2
H(f )S(f )e j 2πfT df
−∞
N0 / 2
∫
∞
(30)
2
−∞
H(f ) df
Ahora tenemos que hallar un valor tal H(f) = H0(f) para el cual la relación señal a ruido
(S/N)T se hace máxima. Para ello usaremos la desigualdad de Schwarz que expresa lo
siguiente:
∫
2
∞
−∞
f1 (x )f2 (x )dx
∫
≤
∞
2
−∞
f1 (x ) dx
∫
∞
2
f 2 (x ) dx
−∞
(31)
El término de la izquierda es menor o igual al término de la derecha. La igualdad se
cumple cuando f1 (x ) = kf 2∗ (x ) , donde k es una constante arbitraria y el asterisco indica
complejo conjugado. Si identificamos H(f) con f1(x) y S(f)ej2πfT con f2(x), podemos escribir:
∫
∞
−∞
2
≤
∫
2
S
  ≤
N0
 N T
∫
H(f )S(f )e j 2πfT df
∞
−∞
2
H(f ) df
∫
∞
−∞
2
S(f ) df
(32)
luego
∞
2
S(f ) df
(33)
2E
E
S
=
max  =
N0
N0 2
 N T
(34)
−∞
o
donde E es la energía de la señal si(t):
E =
∫
∞
−∞
2
(35)
S(f ) df
De esta manera vemos que el máximo para (S/N)T depende de la energía de la
señal y no de la forma de onda que se use. Y para que se cumpla la igualdad en la
ecuación (34) debemos hacer:
H(f ) = kS ∗ (f )e − j 2πfT = H 0 (f )
(36)
o bien, aplicando la antitransformada de Fourier, podemos hallar la respuesta impulsiva
del filtro:
{
h(t ) = ℑ −1 kS ∗ (f )e − j 2πfT
}
(37)
podemos escribir para h(t):
ks(T − t )
h(t ) = 
0
0≤t ≤T
para cualquier otro valor
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
(38)
11
O sea, la respuesta impulsiva de este filtro que tiene a su salida la máxima relación
señal a ruido, es la imagen invertida de la señal s(t), retardada en un tiempo T que es la
duración de símbolo. En la Figura 6 se puede ver un ejemplo de composición de h(t).
Figura 6. Respuesta impulsiva de un filtro adaptado.
El término filtro adaptado también es usado con el nombre de producto integrador o
correlador. La propiedad básica del filtro adaptado es: su respuesta impulsiva es una versión
retardada y rotada sobre el eje de las abcisas, de la señal de entrada o forma de onda. Por lo
tanto, si la señal de entrada es s(t), la imagen o “espejo” es s(-t), y a la vez esta última
retardada es s(T-t). La salida z(t) del filtro (es decir, señal más ruido), puede escribirse en el
dominio del tiempo como la convolución entre la señal recibida r(t) y la respuesta impulsiva del
filtro:
z(t ) = r (t ) ∗ h(t ) =
t
∫ r(τ )h(t − τ )dτ
0
(39)
Sustituyendo la (38) en la (39) y tomando arbitrariamente k = 1 obtenemos:
t
∫ r(τ )s[T − (t − τ )]dτ
= ∫ r (τ )s(T − t + τ )dτ
z(t ) =
0
t
(40)
0
Finalmente, cuando actúa el muestreador que se encuentra a continuación del filtro z(t)
se convierte en
z(T ) =
T
∫ r(τ )s(τ )dτ
0
(41)
La operación descripta por la ecuación (41) es la integración del producto entre la señal
recibida r(t) y una réplica de la forma de onda transmitida s(t) sobre el intervalo de un tiempo
de símbolo T. Esta operación se la conoce como correlación entre r(t) y s(t).
Aplicación del filtro adaptado
Anteriormente, al determinar el umbral de decisión óptimo hemos visto que para tal
caso la probabilidad de error es PB = Q[(a1-a2)/2σ0]. El hecho de encontrar un umbral óptimo
no es suficiente para optimizar el proceso de detección. Para minimizar PB necesitamos elegir
un filtro tal que maximice el argumento de Q(x). Es decir, un filtro que maximice (a1-a2)/2σ0, o
equivalentemente que maximice
(a1
− a2 )
2
σ 02
12
(42)
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
donde (a1-a2) es la diferencia de las componentes de señal a la salida del filtro en el
tiempo t = T, y el cuadrado de esta diferencia es la potencia instantánea de la diferencia de
señales. Hemos visto que un filtro adaptado es aquel que maximiza la relación señal a ruido a
la salida del mismo. Consideremos un filtro que está adaptado a la diferencia de las señales de
entrada, o sea, adaptado a s1(t)-s2(t). La relación de potencias instantáneas entre la señal y el
ruido, a la salida del filtro y en el instante T, se puede expresar como:
(a − a )
S
  = 1 22
N
σ0
 T
2
2E d
N0
=
(43)
donde N0/2 es la densidad espectral de potencia del ruido y Ed es la energía de la
diferencia entre las señales s1(t) y s2(t) a la entrada del filtro:
Ed =
es:
T
∫ [s (t ) − s
0
1
]2 dt
2 (t )
(44)
Finalmente, usando la función complementaria de error, la probabilidad de error de bit
 Ed 

PB = Q
 2N 0 


(45)
Aquí se ve que si aumenta Ed entonces disminuye la probabilidad de error, como se
puede deducir intuitivamente. De igual manera, la probabilidad de error disminuye si
disminuye la potencia de ruido, representada por el valor de N0.
Figura 7. Equivalencia entre (a) filtro adaptado y (b) correlador.
Por lo tanto, del análisis hecho en este apartado, concluimos que el filtro que se usa
previo al muestreo de la señal en un esquema de detección binaria, es un filtro adaptado a la
diferencia entre las señales s1(t) y s2(t) o su equivalente implementado con un correlador.
Ambos casos se muestran en la Figura 7.
Probabilidad de error en sistemas binarios
Señalización unipolar.
Una señal unipolar se puede representar matemáticamente como:
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
13
s1(t ) = A
0≤t ≤T
para el 1 binario
s2(t ) = 0
0≤t ≤T
para el 0 binario
(46)
donde A > 0 es la amplitud de la señal s1(t). Supongamos que esta señal unipolar, más
ruido blanco Gaussiano, se presenta a la entrada de un filtro adaptado, con tiempo de
muestreo t = T. El correlador para detectar este tipo de señal se muestra en la Figura 8. El
correlador multiplica e integra la señal que llega, r(t), con la diferencia de las señales
prototipo, [s1(t) – s2(t)] = A, y luego del tiempo T compara el valor obtenido z(T) con el valor
umbral γ0. El valor del umbral óptimo en este caso es γ0 = (a1 + a2)/2 = (½)A2T. Si la salida
del correlador es mayor que γ0 entonces se declara que se recibió s1(t); caso contrario se
declara s2(t).
Figura 8. Señal unipolar y esquema de detección.
Aplicando la (44) la energía de la diferencia entre señales es A2T. Entonces, la
probabilidad de error de bit para este esquema unipolar es
 Ed
PB = Q
 2N 0

2


 = Q A T


2N 0



 = Q E b

 N0






(47)
donde la energía media por bit es Eb = A2T/2.
Señalización bipolar.
Una forma de onda bipolar se puede expresar matemáticamente como:
s1(t ) = + A
0≤t ≤T
para el 1 binario
s2(t ) = − A
0≤t ≤T
para el 0 binario
(48)
Cuando las señales son como lo describe la (48) se llaman señales antipodales y se
puede ver en la Figura 9(a). La detección de la señal se puede hacer mediante dos
correladores como se ve en la Figura 9(b). Un correlador multiplica e integra la señal r(t) con
el prototipo de señal s1(t) y el segundo correlador multiplica e integra r(t) con s2(t). Un
correlador entrega una salida z1(T) y el otro una salida z2(T). El punto z(T) en el espacio de
decisión está formado por:
14
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
z(T ) = z1 (T ) − z 2 (T )
Para señales antipodales resulta ser a1 = -a2, por lo tanto el umbral de decisión óptimo
es γ0 = 0. De esta manera, si el test estadístico z(T) es positivo se decide por s1(t); caso
contrario se decide por s2(t).
Figura 9. Señal bipolar y esquema de detección.
La energía de la diferencia entre señales es Ed = (2A)2T, por lo tanto, la probabilidad de
error de bit para este esquema bipolar es:
 2 A 2T
PB = Q
 N
0


 = Q 2E b

 N0






(49)
donde la energía media por bit es Eb = A2T.
Comparando ambos esquemas, con el bipolar se puede tener una relación Eb/N0 3 dB
inferior al esquema unipolar y sin embargo tener la misma probabilidad de error de bit.
Cada esquema de señalización tiene su propia performance de error de bit que se
describe mediante una curva tipo cascada como la que se muestra en la Figura 10.
Normalmente se habla de BER, tasa de error de bit (Bit Error Rate en Inglés).
Propiedades del filtro adaptado
El filtro adaptado presenta ciertas propiedades interesantes, que pueden resultar útiles
de aplicar (quizás para comprender mejor algunos otros temas) y que describiremos a
continuación.
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
15
Figura 10. Performance de error de bit para señalización unipolar y bipolar.
1. El espectro de la señal de salida de un filtro adaptado, que tiene como entrada a su
señal adaptada, es proporcional (salvo un factor de retardo) a la densidad espectral de energía
de la señal de entrada.
Si So(f) es la transformada de Fourier de la salida del filtro, so(t), entonces,
S o (f ) = H o (f ) ⋅ S(f )
= S * (f ) ⋅ S(f ) ⋅ exp(− j2πfT )
(50)
2
= S(f ) exp(− j2πfT )
Como So(f) es el espectro de la señal de salida, y el cuadrado del módulo de S(f) es la
densidad espectral de energía de s(t), la propiedad queda demostrada.
2. La señal de salida de un filtro adaptado es proporcional a una versión desplazada de
la función de autocorrelación de la señal de entrada a la cual el filtro está adaptado.
Esta propiedad surge de la anterior, teniendo en cuenta que la función de
autocorrelación y la densidad espectral de energía forman un par transformado. Por lo tanto,
aplicando la transformada inversa de Fourier a la última expresión de la (50), se puede
expresar la salida el filtro adaptado como:
s o (t ) = R x (t − T )
tiene:
donde Rx(τ) es la función de autocorrelación de la señal s(t). Nótese que para t = T se
s o (T ) = R x (0) = E
16
(51)
(52)
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
donde E es la energía de la señal. Esto es, en ausencia de ruido, el máximo valor
obtenido a la salida de un filtro adaptado, en el tiempo t = T, es proporcional a la energía de la
señal.
3. La relación señal a ruido a la salida de un filtro adaptado depende sólo de la relación
entre la energía de la señal y la densidad espectral de potencia del ruido blanco a la entrada
del filtro.
La potencia media de ruido, a la salida del filtro óptimo es:
{
}
E n 2 (t ) =
N0
2
∫
∞
−∞
2
H 0 (f ) df
Teniendo en cuenta la igualdad expresada por la (36) y haciendo arbitrariamente k =1,
la anterior ecuación queda:
{
}
E n 2 (t ) =
N0
2
∫
∞
−∞
2
S(f ) df =
N0
E
2
(53)
Teniendo en cuenta la propiedad 2 (máximo valor de energía de la señal, en el tiempo
t = T), el máximo valor de SNR (siempre son potencias normalizadas...) a la salida del filtro
es:
(SNR )O,max
=
E2
2E
=
N0 E / 2
N0
(54)
Aquí se ve que la SNR a la salida del filtro no depende de la forma de onda de la señal
de entrada.
Detección de señales binarias en presencia de ruido blanco Gaussiano
17