Tema 6. Propiedades elásticas de los materiales

Fı́sica I. Curso 2010/11
Departamento de Fı́sica Aplicada. ETSII de Béjar. Universidad de Salamanca
Profs. Alejandro Medina Domı́nguez y Jesús Ovejero Sánchez
Tema 6. Propiedades elásticas de los
materiales. Dinámica de fluidos
Índice
1. Propiedades Elásticas de los Materiales
3
1.1. Curvas esfuerzo-deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2. Constantes elásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2. Estados de la materia
7
3. Fluidos en reposo
8
3.1. Presión en un fluido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
3.2. Variación de la presión con la altura en un fluido incompresible . . . . . . . . . .
9
3.3. Variación de la presión con la altura en un fluido compresible . . . . . . . . . . . 10
3.4. Principio de Arquı́medes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4. Fluidos en movimiento
13
4.1. Fluido ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.2. Ecuación de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
4.3. Ecuación de Bernoulli
5. Problemas
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
18
Tema 6. Dinámica de fluidos
2
3
Tema 6. Dinámica de fluidos
1.
Propiedades Elásticas de los Materiales
1.1.
Curvas esfuerzo-deformación
Hemos definido anteriormente un sólido rı́gido como aquel cuerpo en que la distancia entre
sus puntos es constante. Dicho de otro modo, es un material que no se deforma. Pero, en
realidad, cuando sobre un material se aplica una fuerza éste se deforma. La deformación depende
del tipo de material (propiedades microscópicas), de la fuerza aplicada (módulo, dirección,
tiempo de aplicación, . . . ) y de las condiciones termodinámicas (temperatura, presión, . . . ).
l0
A
∆l
f
Consideremos como ejemplo una varilla de un cierto material sobre la que aplicamos una
fuerza f~. Si A es la sección, se denominan:
esfuerzo
−→
σ=
f
;
A
deformación
−→
ε=
∆`
`0
donde `0 es la longitud de la varilla en ausencia de tensión.
La experiencia en los laboratorios dice que si la fuerza aplicada no es muy grande, la relación
entre σ y ε es aproximadamente lineal y que, al cesar la fuerza, la varilla recupera la longitud
inicial. Es decir,
f ' k∆`.
Se dice que el comportamiento del material es lineal y esa relación es la ley de Hooke (formalmente análoga a la que relaciona fuerza y elongación en un muelle).
4
Tema 6. Dinámica de fluidos
σ
régimen elástico
r. plástico
zona lineal
límite
elástico
punto de
ruptura
ε
Pero al seguir aumentando la fuerza sobre el material llega un momento en que esa relación
lineal deja de ser válida. Si el material recupera su longitud inicial al cesar la fuerza, sigue
siendo elástico pero no lineal. Aumentando aún más f , llega un momento en que el material no
recupera `0 cuando f = 0. Se dice que el material ha sobrepasado su lı́mite elástico y entra en la
zona plástica. Aumentando aún más la fuerza llega un momento en que el material se fractura.
El punto en que eso sucede se llama punto de ruptura o fractura. El tamaño y la localización de
estas regiones depende del tipo de material, pero cualitativamente el comportamiento es similar
para todos los materiales. Se puede esquematizar en una curva σ − ε, que se denomina curva
esfuerzo-deformación.
Normalmente, en la vida cotidiana, se emplea el término elástico cuando la zona que abarca
su régimen elástico es amplia y es plástico cuando, incluso para fuerzas no muy grandes, queda
deformado permanentemente al cesar la acción.
σ
material elástico
σ
material plástico
zona elástica
zona plástica
ε
ε
5
Tema 6. Dinámica de fluidos
1.2.
Constantes elásticas
Se denomina ası́ a los diferentes parámetros que caracterizan el comportamiento elástico de
un material en función del tipo de esfuerzo aplicado.
a) Módulo de Young (Y).
Y ≡
σ
ε
S.I. −→ N/m2 ≡ Pa
Esta unidad, el Pascal, como veremos un poco más adelante es la unidad de presión en el
S.I. Mide el comportamiento del material sometido a una fuerza de tracción (estiramiento)
o compresión. Por ejemplo, para una goma de caucho, Y ' 1 × 106 − 2 × 106 Pa.
b) Módulo de cizalladura (C). Otro tipo de elasticidad proviene del caso en que una de las
caras del cuerpo permanezca en posición fija y actúe una fuerza tangencial sobre la opuesta
tal y como se muestra en el siguiente esquema.
f
∆x
h
A
Este tipo de deformación se denomina cizalladura y en ella no tiene lugar cambio de volumen
del sistema.
C≡
f /A
∆x/h
S.I. −→ N/m2 = Pa.
c) Módulo de compresibilidad (k).
Otro tipo de deformación es el experimentado cuando sobre cada uno de los puntos de las
caras exteriores de un objeto actúa una misma fuerza en módulo. O sea, un sistema sometido
a una presión uniforme. En este caso se produce un cambio de volumen, pero no un cambio
en la forma.
6
Tema 6. Dinámica de fluidos
∆P
V
V0
Se define la compresibilidad como la variación de la presión respecto a la variación del
volumen del sistema.
∆P
;
S.I. −→ N/m2 = Pa.
∆V /V0
Se introduce un signo negativo en la definición para que sea un número positivo:
k=−
∆P > 0
−→
∆V < 0
−→
k>0
∆P < 0
−→
∆V > 0
−→
k>0
En la siguiente tabla representamos valores numéricos concretos para los módulos que hemos
definido. Nótese que los lı́quidos no tienen ni módulo de Young ni cizalladura, porque son
fluidos.
Material
Y (N/m2 )
C (N/m2 )
k (N/m2 )
Aluminio
Cobre
Acero
Tungsteno
Vidrio
Agua
Mercurio
7 × 1010
11 × 1010
11 × 2010
35 × 1010
6,5 − 7,8 × 1010
−
−
2,5 × 1010
4,2 × 1010
8,4 × 1010
14 × 1010
2,6 − 3,2 × 1010
−
−
7 × 1010
14 × 1010
16 × 1010
20 × 1010
5,0 − 5,5 × 1010
0,21 × 1010
2,8 × 1010
7
Tema 6. Dinámica de fluidos
2.
Estados de la materia
Normalmente, la materia se clasifica según tres tipos de estados: sólido, lı́quido y gaseoso,
aunque en ciertas condiciones muy especiales se puede hablar de un cuarto estado de la materia,
el plasma.
Las diferencias entre unos estados y otros se pueden entender a varios niveles:
A nivel macroscópico, los sólidos tienen forma y volumen definidos. Sin embargo, los
fluidos en general no tienen forma definida. Dentro de ellos, los lı́quidos sı́ tienen un
volumen concreto (en el sentido de que su compresibilidad es pequeña), pero los gases,
debido a su alta compresibilidad ni siquiera tienen un valor definido, sino que ocupan por
completo el volumen donde estén confinados.
A nivel microscópico, los sólidos están formados por átomos o moléculas que ocupan
puntos fijos del espacio, no se trasladan, aunque sı́ pueden vibrar. Las moléculas que
forman lı́quidos y gases se mueven más o menos libremente por el espacio.
Atendiendo a la forma en que están dispuestos los átomos en un sólido, éstos se dividen en
amorfos y cristalinos. En estos últimos, los átomos se distribuyen de forma ordenada sobre
una red en el espacio. Por contra, los amorfos están formados por átomos distribuidos de
forma irregular.
La distribución espacial de las moléculas que componen la materia se debe a la relación
entre las energı́as cinética y potencial a nivel microscópico.


Sólidos: U >> K





Lı́quidos: U ∼ K
−→
−→
Orden superior a la agitación térmica.
Interacciones similares al desorden térmico.
Orden a corto alcance



Gases: U << K
−→ Agitación térmica mucho mayor




que la intensidad de las interacciones.

(

Distancia entre moléculas pequeña.


Sólidos: U >> K porque



Existen a temperaturas no muy altas.


(


Existen en condiciones donde
Lı́quidos: U ∼ K porque

la temperatura da lugar a U ∼ K.


(



Las moléculas están muy separadas.


porque

Gases: U << K
Existen a altas temperaturas.
8
Tema 6. Dinámica de fluidos
Cualquier material puede adoptar uno u otro estado de la materia dependiendo de las
condiciones termodinámicas.


T ↓↓, P ↑↑
Sólidos:
Lı́quidos: Estados intermedios


Gases :
T ↑↑, P ↓↓
El cuarto estado de la materia, el plasma, ocurre cuando esta se calienta a temperaturas
muy altas, por ejemplo, dentro de las estrellas. Lo que sucede es que la energı́a térmica es tan
grande que algunos electrones que rodean al núcleo para formar el átomo se desprenden y se
mueven libremente por todo el material. Entonces el sistema se compone de iones cargados
eléctricamente y electrones, también cargados, y que se mueven por todo el espacio entre los
iones.
Cada estado de la materia se estudia en Fı́sica con determinado formalismo matemático y
con ciertos modelos especı́ficos. Pero al nivel más sencillo se puede dar una descripción realista
de los distintos estados utilizando simplemente las leyes de la Mecánica Clásica que ya hemos
estudiado.
3.
Fluidos en reposo
3.1.
Presión en un fluido
En general, se define la presión como la fuerza por unidad de área que se ejerce sobre un
cierto sistema. Esta presión puede ser igual en todos los puntos del sistema, pero hay ciertos
casos donde la presión puede variar en las distintas partes del sistema. En este caso, se puede
definir la presión localmente como:
∆f
df
=
.
∆A→0 ∆A
dA
P = lı́m
Esta es la definición más general de presión. Si fuese independiente del punto del sistema
considerado, serı́a simplemente P = f /A.
Dimensiones de P :
[P ] =
Unidades :
[f ]
M LT −2
=
= M L−1 T −2 .
[A]
L2
9
Tema 6. Dinámica de fluidos
• S.I. −→
N/m2 = Pa
• mmHg −→
• atm −→
• bares −→
760 mmHg = 1 atm
1 atm = 1, 013 × 105 Pa
1 atm = 1013 mb
Llamaremos fluido compresible a aquel cuya densidad en un recipiente depende de la profundidad a que nos encontremos. Es decir, la compresibilidad es tal que el peso de la columna
del propio fluido a una cierta profundidad hace que el volumen de una determinada masa cambie con la altura de esa columna. Fluido incompresible es aquel cuya densidad es constante,
independiente de la profundidad.
3.2.
Variación de la presión con la altura en un fluido incompresible
En un fluido cualquiera en reposo, la presión depende de la profundidad. Esta variación de
presión se debe a la fuerza gravitatoria que experimental las partı́culas del fluido, o dicho de
otra manera, al peso del fluido que se encuentra por encima.
Consideremos una porción de fluido (marcada en lı́nea discontinua en la figura) contenida
en un cilindro imaginario de sección A y altura dy.
Fuerza hacia arriba sobre el fondo del cilindro: P A.
Fuerza hacia abajo en la parte superior: (P + dP )A.
Peso del fluido contenido en el cilindro: dW = ρgdV = ρgAdy, donde ρ es la densidad del
fluido.
(P+dP)A
y1
P1
dy
h
y
y2
PA
P2
10
Tema 6. Dinámica de fluidos
Como el cilindro está en equilibrio, la suma de las fuerzas que actúan sobre él debe ser cero.
X
fy = P A − (P + dP )A − ρgAdy = 0
=⇒
dP
= −ρg.
dy
Esta variación de presión está asociada a la diferencia de peso que soportan las caras superior e
inferior del cilindro y debe existir para que el fluido esté en equilibrio. El signo negativo significa
que la presión disminuye al aumentar la altura, puesto que ρ y g son siempre positivos.
Z y2
Z P2
ρg dy.
dP = −
dP = −ρgdy −→
y1
P1
Haciendo aquı́ la hipótesis de que el fluido es incompresible, ρ 6= ρ(y) ó ρ 6= ρ(P ), y puede
considerarse constante al integrar:
P2 − P1 = ρg(y1 − y2 ).
=⇒
Normalmente, se considera que el recipiente que contiene el fluido está abierto por la parte
superior a la atmósfera y se toma el origen de alturas en la cara en contacto con ella. En ese
caso:


y1
y2


P1
−→
−→
−→
0
−h
P0
donde P0 es la presión atmosférica y entonces la presión, P , a una profundidad h viene dada
por:
P = P0 + ρgh.
Dos consecuencias importantes de esta ecuación son:
a) Dos puntos del fluido a la misma profundidad tienen la misma presión.
b) La presión no depende de la forma del recipiente.
3.3.
Variación de la presión con la altura en un fluido compresible
En realidad, sólo los lı́quidos pueden considerarse fluidos incompresibles. Los gases son
sistemas de elevada compresibilidad. Una pequeña variación de la presión sobre un gas provoca
una notable alteración de su densidad. En este caso hace falta conocer una relación concreta,
ρ = ρ(P ), para integrar dP/dy = −ρg.
11
Tema 6. Dinámica de fluidos
El caso más simple es el que sucede en el aire que forma la atmósfera. En este caso la relación
entre presión y densidad viene dada aproximadamente por la siguiente expresión:
P
ρ
=
P0
ρ0
−→
ρ = ρ0
P
,
P0
donde P0 y ρ0 son dos valores de la presión y la densidad de referencia, por ejemplo, en y = 0.
dP
ρ0
= − gP
dy
P0
=⇒
log
P
P0
=−
ρ0
gy
P0
−→
dP
ρ0
= − gdy
P
P0
P
ρ0
ρ0
= exp − gy
=⇒ P = P0 exp − gy .
P0
P0
P0
−→
3.1 Ejemplo
Sabiendo que la densidad del aire en condiciones normales es 1,29 kg/m3 , determinaremos la
diferencia de presión entre el techo y el suelo de una habitación de 4 m de altura.
ρ
− P0 gy
P = P0 e
0
ρ0 g
1,29 kg/m3 9,8 m/s2
=
= 1,25 × 10−4 m−1
P0
1,013 × 105 N/m2
=⇒
−1
P = P0 exp[−1,25 × 10−4
m
4
m
]
−→
0,99950 P0 .
Otro caso serı́a la diferencia de presión entre la base y la altura del monte Everest (y '
7000m). En este caso, cálculos análogos dan como resultado: P ' 0,42P0 .
3.4.
Principio de Arquı́medes
”Cualquier cuerpo parcial o totalmente sumergido en un fluido es empujado hacia arriba por
una fuerza que es igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo”.
Además, la fuerza de empuje tiene una lı́nea de acción que pasa por el centro de gravedad
del fluido desalojado, es vertical y hacia arriba. La comprobación de este principio a partir de
las leyes de Newton es sencilla.
Cuando el objeto está sumergido, se encuentra en equilibrio traslacional y rotacional, al
igual que el fluido inicialmente. La fuerza que el resto del fluido ejerce sobre el cuerpo es igual
a la que ejerce sobre ese mismo volumen de fluido. Y esa fuerza coincide precisamente con el
peso del fluido. Además debe estar dirigida hacia arriba y vale:
fe = ρf gVf ,
donde ρf es la densidad del fluido y Vf el volumen desalojado.
12
Tema 6. Dinámica de fluidos
fluido
desalojado
objeto
Caso I. Objeto totalmente sumergido, Vf = Vc (Vc , volumen del cuerpo).
(
empuje
−→ fe = ρf gVc
−→ fneta = fe − P = (ρf − ρc )gVc
peso del cuerpo
−→ P = ρc gVc
Entonces existen dos posibilidades:
(
ρf > ρc
=⇒ fneta hacia arriba
ρf < ρc
=⇒ fneta hacia abajo
−→
−→
el objeto flota
el objeto se hunde
Un hecho importante es que cuando un objeto se pesa en el aire sufre un empuje ascensional, debido a que el aire es un fluido. Pero su densidad es tan pequeña que este empuje
no es más que una corrección pequeñı́sima al peso del cuerpo en el vacı́o.
Caso II. Objeto parcialmente sumergido, Vf 6= Vc .
En este caso la fuerza de empuje y el peso del objeto deben ser iguales, para que exista
equilibrio.
(
empuje
−→
peso del cuerpo −→
como P = fe
−→
ρc Vc = ρf Vf
fe = ρf gVf
P = ρc gVc
=⇒
Vf =
ρc
Vc .
ρf
3.2 Ejemplo
¿Qué fracción del volumen de un iceberg queda debajo del mar?
(
ρf = ρmar = 1, 024 g/cm3
ρc = ρhielo = 0, 917 g/cm3
Vf =
ρc
Vc
ρf
−→
Vf
ρc
0, 917
=
=
= 0,895
Vc
ρf
1, 024
=⇒
89,5 %
Tema 6. Dinámica de fluidos
4.
13
Fluidos en movimiento
Hasta ahora hemos estudiado fluidos en reposo. Dedicaremos ahora nuestra atención al
estudio de la dinámica de fluidos. Para ello consideraremos la variación de las propiedades del
fluido en un punto determinado como función del tiempo. Es decir, no estudiaremos la variación
en el tiempo de la posición de cada partı́cula, sino de las propiedades globales del fluido.
4.1.
Fluido ideal
Cuando un fluido está en movimiento existen dos grandes tipos de flujo:
i) Estacionario: Cada partı́cula del fluido sigue un camino uniforme y las trayectorias de dos
partı́culas no se cortan. La velocidad, presión y densidad del fluido en un punto cualquiera
no dependen del tiempo, aunque sı́ varı́en de punto a punto del fluido. Estas condiciones
suelen verificarse cuando las velocidades del flujo son pequeñas.
ii) Turbulento: Por encima de una cierta velocidad crı́tica (para cada tipo de fluido) el flujo
deja de ser estacionario. Se convierte en irregular, se forman remolinos y turbulencias y
las velocidades y demás parámetros dejan de ser constantes.
Se dice que el flujo es laminar , si se puede asimilar a un conjunto de láminas paralelas
deslizándose entre sı́ sin rozamiento. Esto sólo es una simplificación de trabajo, puesto que
en los fluidos reales existen problemas de rozamiento entre unas capas del fluido y otras, con
lo que la energı́a mecánica no se conserva ya que parte de la energı́a cinética se transforma
progresivamente en energı́a térmica.
El camino seguido por una partı́cula del fluido en un flujo estacionario se denomina lı́nea de
corriente. La velocidad de la partı́cula siempre es tangente a la lı́nea de corriente. Dos lı́neas de
corriente no se pueden cortar por considerar el flujo como estacionario. Un conjunto de lı́neas
de flujo se denomina tubo de flujo.
El estudio de un fluido real es muy complejo, por lo que comenzaremos modelizando un fluido
en base a ciertas hipótesis sencillas. Se dice que un fluido es ideal si se verifica lo siguiente:
a) Fluido no viscoso: se desprecia la fricción interna. Un objeto que se desplace dentro del
fluido no sufre fuerzas opuestas a su movimiento.
14
Tema 6. Dinámica de fluidos
b) Flujo estacionario: la velocidad, densidad y presión en un punto del fluido son constantes
en el tiempo.
c) Fluido incompresible: la densidad del fluido es igual en todos los puntos (es constante espacialmente)1 .
d) Flujo irrotacional : no hay momento angular del fluido respecto a ningún punto. Es decir, si
se coloca una pequeña rueda en el seno del fluido, simplemente se traslada, no se producen
giros2 .
4.2.
Ecuación de continuidad
Consideremos ahora una tuberı́a de sección no uniforme por la que circula un flujo estacionario, con la notación de la figura adjunta.
Si el fluido es incompresible y el flujo estacionario la masa m1 que pasa por la sección de
entrada, A1 en un tiempo ∆t debe ser igual que la que pasa por A2 en ese mismo tiempo:
∆m1 = ∆m2 .
Si la velocidad del fluido en A1 es v1 , la masa que entra en ∆t recorre un espacio ∆x1 = v1 ∆t,
es decir, llena un cilindro de sección A1 y longitud x1 . La masa contenida en él es:
∆m1 = ρ1 A1 ∆x1 = ρ1 A1 v1 ∆t.
En el otro extremo ocurre lo mismo, luego:
∆m2 = ρ2 A2 ∆x2 = ρ2 A2 v2 ∆t,
pero como la masa se conserva:
∆m1 = ∆m2
=⇒
= ρ2 A2 v2
ρ1 A1 v1
∆t
∆t
=⇒
ρ1 A1 v1 = ρ2 A2 v2 .
Esta expresión se denomina ecuación de continuidad y no es más que una manifestación de la
conservación de la masa para un flujo estacionario.
1
Esta suele ser una buena aproximación en lı́quidos y también en gases si no hay grandes diferencias de
presión.
2
Por ejemplo, un flujo con turbulencias no es irrotacional.
15
Tema 6. Dinámica de fluidos
v
2
A2
v
1
A1
x2
x1
En un fluido incompresible la densidad es constante, ρ1 = ρ2 , entonces,
A1 v1 = A2 v2
=⇒
Av = cte.
en cualquier par de puntos de la tuberı́a. Es decir, que la velocidad del fluido en la tuberı́a es
mayor cuanto más estrecha es la tuberı́a y al contrario.
4.3.
Ecuación de Bernoulli
A medida que un fluido se mueve a lo largo de una tuberı́a no horizontal y de sección
variable, la presión cambia a lo largo de la tuberı́a. No lo demostraremos explı́citamente aquı́,
pero como consecuencia de la conservación de la energı́a se puede construir una ecuación que
relacione presión, velocidad y altura para un fluido ideal.
Si 1 y 2 son dos puntos cualquiera de una tuberı́a por la que circula un fluido ideal de
densidad ρ y P , v e y denotan la presión, la velocidad del fluido y la altura respectivamente,
se verifica que:
1
1
P1 + ρv12 + ρgy1 = P2 + ρv22 + ρgy2
2
2
Esta es la ecuación de Bernoulli , que establece que la suma de la presión, la energı́a cinética
por unidad de volumen y la energı́a potencial por unidad de volumen es constante a lo largo
de una lı́nea de corriente. Escrita de forma más general:
1
P + ρv 2 + ρgy = cte.
2
Casos particulares:
Cuando el fluido está en reposo,
v1 = v2 = 0
=⇒
P1 − P2 = ρgh
16
Tema 6. Dinámica de fluidos
lo que está de acuerdo con la variación de presión con la profundidad para un fluido
incompresible.
Tuberı́a horizontal de sección no constante.
y1 = y2
1
P + ρv 2 = cte.
2
−→
Esto quiere decir que cuando aumenta la velocidad del fluido, debe disminuir la presión
y, al contrario, para que esa suma permanezca constante. Este resultado se suele conocer
como efecto Venturi. Esto también se puede asociar a la ecuación de continuidad, Av =
cte.
A ↓↓ −→
v ↑↑ −→
P ↓↓
A ↑↑ −→
v ↓↓ −→
P ↑↑
El efecto Venturi tiene una aplicación real muy interesante. El ala de los aviones se diseña
de manera que el aire se mueva con más rapidez en su parte superior que en la inferior.
Esta diferencia de velocidades da lugar a una diferencia de presiones que tiene como efecto
el provocar un empuje ascensional sobre el ala que hace elevarse el avión.
fe
v1
P1
P2
v2
v1 > v2
−→
P1 < P2
−→
f~e
hacia arriba
Estas fuerzas se denominan fuerzas de sustentación. Su valor depende de la velocidad del
avión, el área del ala, su forma y su inclinación respecto a la horizontal.
Tema 6. Dinámica de fluidos
5.
17
Problemas
1. Un bloque de un material desconocido pesa 3 N en aire y 1,89 N cuando está sumergido
en agua. ¿Cuál es su densidad? ¿Qué corrección deberá tenerse en cuenta debido a la
fuerza ascensional en el aire cuando se pesa en él?
(Respuestas: ρ = 2,7 × 103 kg/m3 ; Paire /Pvacio = 0,9995 )
2. Por una tuberı́a horizontal circula agua a 4 m/s bajo una presión de 200 kPa. La tuberı́a
se estrecha progresivamente hasta llegar a la mitad de su diámetro original. Halla la
velocidad y la presión del agua en la parte más estrecha de la tuberı́a.
(Respuestas: v2 = 16,0 m/s; P2 = 80 kPa )
3. Una presa está llena de agua hasta una altura H. Si su anchura es a, determı́nese la fuerza
total que actúa sobre ella.
1
(Respuestas: P = ρ g a H 2 )
2
4. Un globo lleno de gas sufre una fuerza de fricción con el aire que viene dada por: fr = 0,2 v,
donde v es su velocidad en el S.I.. Si la masa total del globo y el gas que contiene es 10
g y el globo parte del reposo:
a) Representa gráficamente la aceleración del globo en función de la velocidad si el empuje
es de 1,8 N.
b) ¿Cuál es la máxima velocidad que alcanzará el globo?
(Respuestas: b) vmax = 8,5 m/s)
5. El ala de un avión tiene 4 m2 de superficie y 300 kg de masa. La velocidad del aire en
la cara superior es de 70 m/s y debajo de la cara inferior 50 m/s. ¿Cuál es la fuerza de
sustentación del ala? ¿Cuál es la fuerza total que actúa sobre ella? (densidad del aire:
ρ = 1,29 kg/m3 ).
(Respuestas: f = 3252 N )
6. Un depósito de gran superficie, de 10 m de altura, se encuentra lleno de agua. De una
pared lateral sale una tuberı́a de 500 cm2 de sección, que acaba horizontalmente 2 m por
debajo del depósito. En la parte final de este tramo horizontal la tuberı́a se estrecha hasta
18
Tema 6. Dinámica de fluidos
presentar una sección final uniforme de 250 cm2 . Calcula la presión en la parte horizontal
de la tuberı́a de sección 500 cm2 .
(Respuestas: P = 1,88 × 105 Pa )
7. Disponemos de una plancha de corcho de 1 dm de espesor. Calcula la superficie mı́nima
que debe tener para flotar en el agua sosteniendo a un naufrago de 70 kg. Masa especı́fica
del corcho: 0,24 g/cm3 .
(Respuestas: A = 0,92 m2 )
8. Un vaso cilı́ndrico tiene un radio de 5 cm y se encuentra lleno de agua hasta una altura de
20 cm. Se echa un cubito de hielo de arista 1 cm. Calcular el incremento de presión sobre
el fondo del vaso al echar el cubito. (Datos: ρagua = 103 kg/m3 ;
ρhielo = 900 kg/m3 .)
9. Un deposito se encuentra prácticamente lleno de agua hasta una altura de 4 m. A 1 m del
fondo se encuentra una abertura de 6 cm2 . La base del depósito está a 3 m del suelo. a)
¿Qué rapidez tiene el agua al salir por la abertura? b) ¿Cuál es su caudal? c) ¿Qué sección
tiene el chorro del agua al chocar con el suelo? d) ¿Qué distancia alcanzará?
10. Un deposito cilı́ndrico de radio R = 3 m y abierto a la atmósfera por su parte superior,
se llena de agua hasta una altura H = 10 m. En ese momento se observa que en el tubo
manométrico colocado sobre el punto 2 del dibujo hay una altura de agua d2 = 1 m. Para
dicho instante, calcular: a) Las velocidades en los puntos 2 y 3 , y la altura del punto 3.
b) La presión en el punto 1. c) La velocidad con la que llega el fluido al suelo. (Datos:
r2 = 1 cm; r3 = 9 mm; Patm = 1,013 × 105 Pa; ρagua = 1000 kg/m3 .)
Tema 6. Dinámica de fluidos
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11. En un medidor de Venturi, la sección del tubo es 5 cm2 y la sección de la garganta A2 = 2
cm2 . El fluido del tubo es agua y el fluido del tubo manométrico es mercurio. Hállese la
velocidad del fluido en la entrada si la diferencia de alturas en el tubo manométrico es
h = 3 cm. (Datos: ρmercurio = 13600 kg/m3 ).