Evaluación de la Constante de Kolmogorov para flujos turbulentos

Resumen: T-062
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL NORDEST E
Comunicaciones Científicas y Tecnológicas 2005
Evaluación de la Constante de Kolmogorov
para flujos turbulentos utilizando datos experimentales
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Guilherme Sausen Welter , Wittwer, Adrián R.
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Degrazia, Gervásio A. - Loredo-Souza, Acir M. - Camaño Schettini, Edith B.
1) Universidade Federal de Santa Maria, Santa Maria, Brasil.
2) Universidad Nacional del Nordeste, Resistencia, Argentina.
3) Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, Brasil.
Introducción
La turbulencia es considerada el más difícil de los problemas de la mecánica clásica no resueltos. No fue posible
elaborar una teoría basada en los primeros principios, solamente teorías estadísticas, de campos aleatorios y teorías
multi-fractales fueron desarrolladas. Dentro de ellas, la que tuvo mayor suceso hasta el presente es la teoría de A. N
Kolmogorov de 1941. No obstante, la cuestión de la universalidad de sus resultados está todavía en discusión.
La dispersión atmosférica de contaminantes, estrechamente relacionada a la turbulencia, es simulada con éxito
utilizando modelos estocásticos Lagrangianos. Estos modelos están basados en la ecuación generalizada de Langevin.
Se supone que la velocidad ui (i =u, v, w) de un elemento de fluido, para una escala de tiempo varias veces mayor que la
micro-escala de Kolmogorov, es un proceso de Markov. Anfossi et al. (2000) muestran que la constante de Kolmogorov
C0 es fundamental para la eficiencia de estos modelos de dispersión. De acuerdo con Kolmogorov, la constante de la
función estructura Lagrangiana C0 es de caracter universal. No obstante, su valor no está bien establecido aún y la gran
variabilidad de los resultados encontrados para C0 sugiere que no es una constante universal. Este hecho apoya el
argumento de Landau e Lifshitz(1989) que sostiene que es una función del tipo de escurrimiento.
La obtención de C0 puede realizarse a partir datos de velocidad medidos en la atmósfera con instrumentos de alta
resolución frecuencial (por ej. anemómetros sónicos) o mediciones con anemómetros de hilo caliente realizadas en túnel
de viento. Los valores atmosféricos, si bien son más representativos para el posterior análisis de procesos de dispersión
en la atmósfera, al ser generalmente no estacionarios presentan dificultades en su utilización para el análisis de la
turbulencia. El túnel de viento tiene la ventaja de reproducir flujos estacionarios, aunque es necesario tener en cuenta
que el No. de Reynolds es menor y verificar si existe homogeneidad e isotropía.
En este trabajo se presenta un método basado en la teoría estadística de Taylor para determinar el valor de C0 a partir de
datos experimentales obtenidos en túneles de viento y en la atmósfera. Los resultados que se presentan son parciales
pero permiten una primera discusión relacionada con los datos de origen.
Descripción teórica
La teoría de A. N. Kolmogorov (1941) está basada en las simetrías de la ecuación de Navier-Stokes (traslaciones en el
espacio y en el tiempo, transformaciones galileanas, paridad, rotaciones y escala). Kolmogorov observó que a medida
que un escurrimiento laminar (Re→ 0) pasa a un régimen transitorio y luego al régimen turbulento, las simetrías de las
ecuaciones de Navier-Stokes se van quebrando hasta que ninguna de las propiedades de simetría permitidas con Re→ 0
son válidas.
Las Hipótesis de la Teoría de Kolmogorov establecen:
• 1. En el límite del número de Reynolds tendiendo a infinito, todas las posibles simetrías de la ecuación de NavierStokes, normalmente quebradas por los mecanismos de producción del escurrimiento turbulento, son restauradas en un
sentido estadístico para las pequeñas escalas y lejos de las fronteras.
• 2. Bajo las suposiciones anteriores, el escurrimiento turbulento es auto-similar en las pequeñas escalas, esto es, posee
un único exponente de escala h.
• 3. Con las mismas suposiciones, el escurrimiento turbulento tiene una tasa media de disipación no nula ε por unidad
de masa.
Kolmogorov usó las funciones estructura de los incrementos de las velocidades longitudinales para investigar la
estructura de la turbulencia. Bajo las condiciones de la primera hipótesis, L0 << r << η, donde L0 es el tamaño
característico de los grandes turbillones y η es la escala de longitud donde los efectos viscosos se tornan importantes, la
función estructura tendría la siguiente forma:
S p ( r ) = [u1 ( x + r ) − u1 ( x )] p = C p ε
hp hp
r
(1)
A partir de la ecuación de Navier-Stokes, encontró una expresión exacta para la función estructura de tercer orden
asumiendo homogeneidad, isotropía y la hipótesis 3. La primera ley, conocida como ley de los "4/5", se expresa de la
siguiente forma:
4
DIII ( r ) ≡ S3 ( r ) = [u( x + r ) − u ( x )]3 = − ε r
(2)
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Utilizando argumentos de similaridad y de escala, obtenidos a partir de la ecuación (3), se concluye que h=1/3,
determinándose para la función estructura de segundo orden la expresión:
DII ( r ) ≡ S 2 ( r ) = [u ( x + r ) − u( x )]2 = C0 ε
2/3 2/3
r
(3)
Las ecuaciones (2) y (3) son conocidas como leyes de Kolmogorov. Según esta derivación, la constante C0 es una
constante universal adimensional. A partir de la ecuación (3), se encontró las siguientes expresiones para la densidad
espectral de energía de la componente longitudinal y para las componentes transversales del espectro, respectivamente:
E II ( k ) = C ( ε )2 / 3 k −5 / 3
Eii ( k ) =
4
C ( ε )2 / 3 k − 5 / 3
3
(4)
(5)
donde C0 = C/4.02, y el factor 4/3 se debe a la isotropía que garantiza la propiedad Dii = 4/3 DII.
Obukhov, en 1941, vonWeizäcker y Heisenberg, en 1948, también encontraron dependencia de k−5/3 para la densidad
espectral en la sub-región inercial.
Obtención y Procesamiento de Datos
A. Datos obtenidos en Túnel de Viento
Los datos utilizados para este análisis fueron obtenidos en dos túneles de viento. El túnel “Jacek P. Gorecki” de la
UNNE (Wittwer & Möller, 2000), que es de circuito abierto y tiene una cámara de ensayos de 2; 40 m de ancho x 1; 80
m de altura x 22; 80 m de longitud, y el túnel de viento TV2, también de Laboratorio de Aerodinámica de la UNNE
(Alvarez y Alvarez, 2004), de circuito abierto, cuya longitud total es de 7,50 m y cuya cámara de ensayos es un
conducto de sección cuadrada de 0,48 m de lado y de 4,45 m de longitud.
En el túnel más grande, fue simulada físicamente una capa atmosférica superficial utilizando el método propuesto por
Standen (1972). Se realizaron dos tipos de mediciones, un grupo a velocidades relativamente altas entre 10 y 15 m/s, y
otro a velocidades bajas, inferiores a 2 m/s. En el túnel pequeño, se analizaron tres tipos de escurrimientos de capa
límite, generados mediante diferentes formas de simulación incluyendo elementos de rugosidad y generadores de
turbulencia.
Las medidas fueron realizadas con un anemómetro de hilo caliente conectado a un sistema de adquisición de datos. Los
registros, según el caso, fueron de 32000 y 90000 valores, y se utilizó una frecuencia de adquisición de 3000 Hz con un
filtro analógico pasa-bajos ajustado a 1000 Hz.
B. Datos obtenidos en la Atmósfera
Para este trabajo fueron utilizados datos recolectados en una estación meteorológica automática (EMA) localizada en la
punta de una torre micrometeorológica de 8 m de altura que está en operación de manera continua en la localidad de
Paraíso do Sul (29º 44’ 40” S; 53º 09’ W), RS, Brasil, desde finales del mes de junio de 2003. La localización es una
plantación de arroz, siendo la superficie bastante húmeda.
El sitio experimental es parte de un proyecto coordenado por el CPTEC/INPE, que comprende observaciones
semejantes en siete diversos ecosistemas de Brasil. Las variables de la turbulencia son medidas por un anemómetro
sónico tridimensional, que mide componentes del viento y temperatura, y por un analizador de gas infrarrojo (H2O e
CO2). Las medidas son tomadas con una tasa de adquisición de 16 Hz.
Fue utilizada una media móvil de aproximadamente 34 minutos (215 puntos), luego, con los datos de velocidad
(componentes u, v, w), fue hecha una rotación tridimensional para asegurar que la componente u estuviese alineada con
la dirección principal del viento medio. Finalmente, fueron obtenidas las variables turbulentas, conforme las medias de
Reynolds. Fueron seleccionados solamente datos que tuviesen velocidad media mayor o igual a 2 m/s por causa de las
oscilaciones de baja frecuencia conocidas como meandro del viento. Las tendencias lineales de los datos fueron
eliminadas por el método de los mínimos cuadrados para obtener muestras “estacionarias”.
C. Metodología de análisis
Fueron usados los datos descriptos anteriormente, obtenidos en la atmósfera y en túnel de viento. En el túnel grande
fueron seleccionados 6 registros de datos correspondientes a un mismo tipo de escurrimiento pero con variación de la
velocidad. En el túnel más pequeño se usaron 12 registros correspondientes a 3 escurrimientos de capa límite diferentes,
con velocidad prácticamente constante en cada caso. Con respecto a los datos atmosféricos, a partir de muestras de 4
meses de datos, se seleccionaron series temporales correspondientes a aproximadamente 20 horas en condiciones de
viento bastante fuerte (5 a 8 m/s). En especial se usaron casos donde había poca convección, en los que no aparece la
superposición de producción de turbulencia por los dos mecanismos (mecánico y térmico).
Con base en la teoría clásica, para estimar a tasa de disipación se utilizó la función estructura de tercer orden (ecuación
2), haciendo el ajuste de los valores experimentales. Una vez estimada la tasa de disipación, la constante de
Kolmogorov es obtenida con la función estructura de segundo orden (ecuación 3). Para convertir coordenadas
temporales en espaciales se utiliza la hipótesis de Taylor.
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Discusión de resultados
En las siguientes figuras se muestran los gráficos representativos de la función estructura de segundo orden DII, de la
función estructura de tercer orden DIII, del espectro de energía de las fluctuaciones EII y de la constante de Kolmogorov
C0. De todos los registros analizados fueron elegidos tres, cada uno de ellos representativo de los datos en el túnel de
viento pequeño P ( Figura 1), grande G (Figura 2) y en la atmósfera (Figura 3). En la tabla 1 se indican los valores
promedio de la tasa de disipación ε, el número de Reynolds de la micro-escala de Taylor Rλ y la constante C0, obtenidos
para cada caso.
Figura 1: Ejemplo representativo –Resultados obtenidos con datos de túnel de viento pequeño.
Figura 2: Ejemplo representativo -Resultados obtenidos con datos de túnel de viento grande.
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Figura 3: Ejemplo representativo - Resultados obtenidos con datos de la atmósfera.
Tabla 1: Resumen de los resultados
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ε [m /s ]
Rλ
C0
Túnel de viento P
30
600
2.37
Túnel de viento G
5
1200
2.23
Atmósfera
0.03
13000
2.16
De acuerdo a la derivación de Kolmogorov, si se cumple la ley referida a la función estructura de tercer orden, significa
que en el intervalo sub-inercial del espectro existe homogeneidad e isotropía. Si en el espectro es obedecida la ley de 5/3, la turbulencia es homogénea pero no necesariamente isotrópica. En el caso referido a los datos del túnel pequeño
(figura 1), DIII no obedece a la ley de Kolmogorov, y además, el espectro y DII son ligeramente diferentes de la ley de 5/3 (o 2/3). En el gráfico de datos de túnel grande (Figura 2) se observa que DIII más o menos obedece la ley de
Kolmogorov, mientras que la ley de 2/3 y de -5/3 se cumple con claridad. Finalmente, en el caso referido a la atmósfera
(Figura 3), el comportamiento general de DII, DIII y el espectro parece obedecer a las leyes de Kolmogorov. Es posible
expresar entonces que los tres casos representan situaciones claramente definidas.
Conclusiones
El objetivo de este trabajo es evaluar un método para obtener el valor de la constante de Kolmorov C0 basado en la
teoría estadística de Taylor, a partir de datos experimentales medidos en dos túneles de viento y en la atmósfera. Los
resultados presentados son parciales y por lo tanto no conclusivos respecto a la universalidad C0, pero permiten una
discusión referida al comportamiento de cada uno de los tipos de escurrimientos analizados. Los valores obtenidos, si
bien difieren para cada caso, se mantienen dentro del rango de valores que aparece en la bibliografía. Posteriores
análisis permitirán establecer más claramente el comportamiento de la turbulencia (homogeneidad e isotropía) y evaluar
la utilización de la correción por intermitencia que sugirió el propio Kolmorov.
Bibliografía
Alvarez y Alvarez, Gisela M.; Wittwer, Adrián R.; Natalini, Mario B. (2004) “Análisis de las características turbulentas
del flujo de capa límite reproducido en el Túnel de viento TV2 de la Facultad de Ingeniería” Jornadas de Ciencia y
Técnica de la Universidad Nacional del Nordeste, Argentina.
Afonssi, D., Degrazia, G. A., Ferrero, E., Gryning, S., Morselli, M. G., Trini Castelli, S., “Estimation of the lagrangian
structure function constant C0 from surface-layer wind data”, Boundary-Layer Metereology 95, 249-270, 2000.
Landau, L.D.; Lifschitz, E.M. (1959), Fluid Mechanics., Pergamon Press, Traducido de ruso a ingles por J. B. Sykes y
W. H. Reid.
Standen, N. M. (1972), “A Spire Array for Generating Thick Turbulent Shear Layers for Natural Wind Simulation in
Wind Tunnels”. National Research Council of Canada, NAE, Report LTRLA-94.
Wittwer, A. R., Möller, S. V. (2000), “Characteristics of the low speed wind tunnel of theUNNE”, Journal of Wind
Engineering Industrial Aerodynamics, 84, pp. 307-320.