4. Congruencias.

TEORíA DE NÚMEROS. HOJA 4.
CONGRUENCIAS
1. Definición. Sea n ∈ N. Dos enteros a y b se dicen congruentes módulo n si n divide a a − b,
es decir, si existe k ∈ Z tal que a − b = kn. En este caso denotaremos a ≡ b (mod n).
2. Probar que todo entero es congruente módulo n con uno y sólo uno de los números 0, 1, 2, ...,
n − 1.
3. Definición. Se dice que un conjunto de n enteros {a1 ..., an } es un sistema completo de
residuos módulo n si todo entero es congruente módulo n a exactamente uno de los ai . Por
ejemplo, {−12, −4, 11, 13, 22, 82, 91} es un sistema completo de residuos módulo 7. El conjunto
{0, 1, ..., n − 1} se dice que es el menor sistema de residuos positivos módulo n.
4. Proposición. a ≡ b (mod n) si y sólo si a y b dejan el mismo resto positivo al dividirlos
por n.
5. Proposición. Sean n ∈ N, a, b, c, d ∈ Z. Se tiene:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
a ≡ a (mod n)
a ≡ b (mod n)
a ≡ b (mod n),
a ≡ b (mod n),
a ≡ b (mod n)
a ≡ b (mod n)
⇐⇒ b ≡ a (mod n)
b ≡ c (mod n) =⇒ a ≡ c (mod n)
c ≡ d (mod n) =⇒ a + c ≡ b + d (mod n), y ac ≡ bd (mod n)
=⇒ a + c ≡ b + c (mod n), y ac ≡ bc (mod n)
=⇒ ak ≡ bk (mod n) ∀k ∈ N.
Las tres primeras propiedades nos dicen que la relación a ≡ b (mod n) es de equivalencia en
Z. El conjunto cociente de Z por esta relación de equivalencia se suele denotar Zn . Las demás
propiedades implican que la suma y el producto en Z inducen al pasar al cociente una suma y
un producto en Zn que dotan a este conjunto de una estructura de anillo conmutativo con n
elementos. Además, puede verse que Zn es un cuerpo si y sólo si n es primo.
6. Probar que 41 divide a 220 − 1.
7. Teorema. Si ca ≡ cb (mod n) entonces a ≡ b (mod n/d), donde d = mcd(c, n).
8. Corolario. Si ca ≡ cb (mod n) y mcd(c, n) = 1 entonces a ≡ b (mod n).
9. Corolario. Si ca ≡ cb (mod p), p es primo y no divide a c, entonces a ≡ b (mod p).
10. Probar que en general el producto de dos enteros no congruentes con cero puede ser congruente con cero. Sin embargo, si p es primo y ab ≡ 0, probar que o bien a o b son congruentes
con 0 (mod p).
11. Probar lo siguiente:
1.
2.
3.
4.
5.
a ≡ b (mod n),
a ≡ b (mod n),
a ≡ b (mod n),
a ≡ b (mod n)
a ≡ 1 (mod n)
m | n =⇒ a ≡ b (mod m)
c > 0 =⇒ ca ≡ cb (mod cn)
0 < d | a, b, n =⇒ a/d ≡ b/d (mod n/d).
=⇒ mcd(a, n) = mcd(b, n).
⇐⇒ mcd(a, n) = 1.
12. Hallar los restos de la división por 7 de 250 y de 4165 .
13. Hallar el resto de la división por 4 de 15 + 25 + 35 + ... + 995 + 1005 .
14. Probar que 53103 + 10353 es divisible por 39, y que 111333 + 333111 es divisible por 7.
15. Si p es primo y n < p < 2n, probar que
2n
≡ 0 (modp).
n
16. Si a1 , ..., an es un sistema completo de residuos módulo n y mcd(a, n) = 1, probar que
aa1 , ..., aan es también un sistema completo de residuos módulo n.
17. Probar lo siguiente:
1. Si mcd(a, n) = 1 entonces los enteros
c, c + a, c + 2a, ..., c + (n − 1)a
forman un sistema completo de residuos módulo n, para cualquier c.
2. Cualesquiera n enteros consecutivos forman un sistema completo de residuos módulo n.
3. El producto de n enteros consecutivos es divisible por n.
18. Probar que si n1 , n2 son primos entre sí y a ≡ b (mod ni ), i = 1, 2, entonces a ≡ b (mod
n1 n2 ).
19. Probar que si ab ≡ cd (mod n) y b ≡ d (mod n), con mcd(b, n) = 1 entonces a ≡ c (mod
n).
20. Sea b ∈ N, b ≥ 2. Probar que todo número N ∈ N puede escribirse de manera única en
base b, es decir, existen números únicos ak ∈ {0, 1, ..., b − 1}, k = 0, 1, ..., m, tales que
N = am bm + am−1 bm−1 + ... + a1 b + a0 .
21. Escribir 79 en base 2.
P
k
22. Sea P (x) = m
k=0 ck x un polinomio con coeficientes enteros ck . Probar que si a ≡ b (mod
n) entonces P (a) ≡ P (b) (mod n).
23. Si a es solución de la ecuación P (x) ≡ 0 (mod n) y a ≡ b (mod n), entonces b también es
solución de dicha ecuación.
24. Proposición. Sea N = am 10m + am−1 10m−1 + ... + a1 10 + a0 la expansión decimal de
N ∈ N, y sea S = a0 + a1 + ... + am . Entonces 9 | N si y sólo si 9 | S.
Indicación: usar que 10 ≡ 1 (mod 9).
25. Proposición. Sea N = am 10m + am−1 10m−1 + ... + a1 10 + a0 la expansión decimal de
N ∈ N, y sea T = a0 − a1 + a2 − ... + (−1)m am . Entonces 11 | N si y sólo si 11 | T .
26. Determinar si los números 176521221 y 149235678 son divisibles por 9 y por 11.
27. Probar que (en base 10) la cifra de las unidades de un cuadrado es 0, 1, 4, 5, 6, o 9.
28. Encontrar las dos últimas cifras de 99
9
Indicación: 99 ≡ 9 (mod 10), y 99 ≡ 89 (mod 100).
29. Si am bm + am−1 bm−1 + ... + a1 b + a0 es la expansión en base b de N , probar que b − 1 | N
si y sólo si b − 1 | am + ... + a1 + a0 .
30. Si 447836 es la expansión en base 9 de un número, ¿es este número divisible por 8?
31. Hallar las cifras perdidas en los cálculos siguientes:
1. 51840 · 273581 = 1418243x040.
2. 2x99561 = [3(523 + x)]2 .
3. 2784x = x · 5569.
32. Probar que:
1. Un entero es divisible por 2 si y sólo si acaba en 0, 2, 4, 6, o 8.
2. Un entero es divisible por 3 si y sólo si la suma de sus cifras es divisible por 3.
3. Un entero es divisible por 4 si y sólo si el número formado por sus dos últimas cifras es
divisible por 4.
4. Un entero es divisible por 5 si y sólo si acaba en 0 o en 5.
33. Hallar el resto de 44444444 al dividirlo por 9.
34. Probar que 2n divide a N si y sólo si divide al número formado por las últimas n cifras de
N.
35. Se llama palindroma a un número (o, en general, una palabra) que se lee igual de izquierda
a derecha que de derecha a izquierda. Probar que todo palindroma con un número par de cifras
es divisible por 11.
36. Una factura parcialmente ilegible muestra que 72 botes de anchoas fueron adquiridos por
x67, 9y euros. ¿Cuáles son los dígitos ilegibles x, y?
37. Si 792 divide al número 13xy45z, decir cuáles son las cifras x, y, z.