NÚMEROS NÚMEROS REALES

NÚMEROS
NÚMEROS REALES
A los números que utilizamos para contar la cantidad de elementos de un conjunto no vacío se los
denomina números naturales. Designamos con N al conjunto de dichos números.
N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }
Si a , b ∈ N entonces a + b ∈ N y
a.b∈N .
No es cierto en general que si a , b ∈ N entonces
a - b ∈ N . Esto ocurre si y sólo si b < a .
1-1=0 ∉N
1 - 2 = -1 ∉ N
3-1= 2 ∈ N
Ejemplo:
Indicamos con
-
N = {- a / a ∈ N }
-
o sea
N = {-1 , -2 , -3 , -4 , -5 , ...}
N0 = N ∪ {0}
Observamos que:
Š a ∈ N si y sólo si - a ∈ N
-
-
Š N∩N = ∅
Definimos al conjunto de los números enteros como
-
Z = N ∪ {0} ∪ N
Los naturales se identifican con los enteros positivos, es decir N ⊂ Z
Ejercicio 1 : ¿Existe un número entero que sea menor o igual que todos los demás?, y ¿mayor o
igual que todos los demás?.
Ejercicio 2 : ¿Cuántos enteros existen entre los números consecutivos 2 y 3?; ¿y entre 5 y 6?; ¿y
entre n y n + 1 ?.
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Curso de Apoyo en Matemática
Ejercicio 3 : ¿Cuántos enteros existen entre 2 y 10?; ¿y entre -3 y 7?.
Ejercicio 4 : ¿Qué puede afirmarse sobre la cantidad de enteros que existen entre dos enteros
dados?. ¿Cuántos números enteros existen entre dos números enteros dados?.
Observemos que:
Š b∈Z
implica
-b∈Z
Š a ,b∈Z
implica
a+b∈Z
a ,b∈Z
implica
a-b∈Z
Š a ,b∈Z
implica
a.b∈Z
pues: a - b = a + (- b) ; como - b ∈ Z ; por lo
anterior resulta a + (- b) ∈ Z .
Sean a , b ∈ Z , a ≠ 0 . Existen enteros únicos q , r tales que b = a . q + r con 0 ≤ r < a
Ejemplo:
a)
b)
c)
d)
Para
Para
Para
Para
b = 84
b = 84
b = - 84
b = - 84
,
,
,
,
a = 45
a = - 45
a = 45
a = - 45
resulta
resulta
resulta
resulta
q = 1 , r = 39
q = - 1 , r = 39
q=-2 , r=6
q=2 , r=6
pues
pues
pues
pues
84 = 45 . 1 + 39
84 = (- 45) . (- 1) + 39
- 84 = 45 . (- 2) + 6
- 84 = (- 45) . 2 + 6
Si r = 0 , resulta b = a . q y se dice que a divide a b (o que b es múltiplo de a , o que b
es divisible por a , o que a es divisor de b ).
Ejemplo:
2 divide a 6 pues 6 = 2 . 3
5 no divide a 12 pues no existe ningún entero que multiplicado por 5 dé 12.
Si se descomponen dos enteros positivos a y b en sus factores primos, el máximo común divisor
entre a y b, es el producto de los factores comunes, con el menor exponente. Se denota mcd (a , b).
Recordemos que un número entero positivo a es primo si tiene exactamente cuatro divisores: 1,
-1, a y -a.
Ejemplo: Algunos números primos son 2 , 11 , 463
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Números
Ejemplo: Si a = 72 y b = 84 resulta
72 2
36 2
18 2
9 3
3 3
1
72 = 23 . 32
84
42
21
7
1
2
2
3
7
84 = 22 . 3 . 7
mcd (72 , 84) = 22 . 3 = 12
o sea 12 es el mayor de los divisores comunes entre 72 y 84.
Si se descomponen dos enteros positivos a y b en sus factores primos, el mínimo común múltiplo
entre a y b es el producto de los factores comunes y no comunes con el mayor exponente.
Se denota mcm (a , b)
Ejemplo: Tomando los números del ejemplo anterior resulta
mcm (72 , 84) = 23 . 32 . 7 = 504
o sea 504 es el menor de los múltiplos comunes entre 72 y 84.
No es cierto en general que si a , b ∈ Z entonces a : b ∈ Z . Por ejemplo 1 : 2 =
1
∉Z.
2
Llamamos número racional a todo número que se puede expresar como fracción
n
donde n y
m
m son enteros y m ≠ 0.
Con Q denotamos la totalidad de los números racionales.
Observemos que:
Š Todo número entero es racional, pues si m ∈ Z escribimos m =
Š La recíproca es falsa, por ejemplo,
m
∈ Q . Es decir Z ⊂ Q
1
1
1
∈ Q pero
∉Z
2
2
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Curso de Apoyo en Matemática
Si u , v ∈ Q entonces:
Š u+v∈Q
Š u-v∈Q
Š u.v∈Q
Š Si u ≠ 0 entonces
1
∈Q
u
Ejercicio 5 : ¿Existe un número racional que sea menor o igual que todos los demás?; y ¿mayor o
igual que todos los demás?.
2
3
7
8
y
. Hallar un número racional entre
y
.
3
7
3
3
¿Puede hallarse más de un número racional con esta propiedad?; ¿Qué se concluye?.
Veamos ahora la expresión decimal de los números racionales.
Ejercicio 6 : Hallar un número racional entre
Ejemplo: El número racional tres cuartos puede expresarse como:
3
-3
6
9
75
=
=
=
=
= 0,75 = 0,750 = ....
4
-4
8
12
100
El mismo está escrito en forma fraccionaria en las cinco primeras expresiones y en forma decimal
en las dos últimas.
Todo número racional puede expresarse como número decimal exacto o periódico.
Ejemplo:
1
= 0,5
2
1
= 0,333..... = 0,3
3
∩
86
= 7,81818181... = 7, 81
11
29
= 4,83333... = 4,83
6
es decimal exacto
período 3
período 81
período 3
A continuación se indica cómo pasar de la forma decimal a la forma fraccionaria mediante
ejemplos:
Página 6
Números
FORMA
DECIMAL
EJEMPLO
75
100
15
0,015 =
1000
223
2,23 =
100
3
0,333... = 0,3 =
9
0,75 =
Exactas
Puras
∩
0,2525... = 0, 25 =
25
99
∩
Periódicas
28
127
=
99
99
83 - 8
75
0,8333... = 0,83 =
=
90
90
1,282828... = 1, 28 = 1 +
Mixtas
∩
754 - 7
747
12627
= 12 +
=
990
990
990
124 - 12
112
4612
= 5+
=
5,12444... = 5,124 = 5 +
900
900
900
12,75454... = 12,7 54 = 12 +
A los números reales que no se los puede expresar en forma de fracción, se los denomina números
irracionales. Es decir, expresado en forma decimal no es exacto ni periódico.
Ejemplos:
a) 0,1234567891011...
La parte decimal de este número irracional es la sucesión de los números naturales.
b) π ≅ 3,141592654
Representa una aproximación del número irracional π . Notemos que también existen otras
aproximaciones para este número; por ejemplo: 3,14 ; 3,141 ; 3,14159 ; 3,1416 ; ... etc.
2 ≅ 1,414213562
c)
d) e ≅ 2,71
e)
f)
1+
5
2
3
≅ 1,618033989
3 ≅ 1,4422
La unión del conjunto Q de números racionales y el conjunto de los números irracionales es el
conjunto R de los números reales.
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El conjunto de los números reales también puede representarse sobre una recta. A cada número real
le corresponde un único punto de la recta y cada punto de la recta representa un único número real.
A esta recta la llamamos recta real.
Representemos:
2 ; - 3 ; 0,2 ;
5
; 2
4
No es posible representar la totalidad de los números irracionales por métodos geométricos. Sí
podremos representar una aproximación de los mismos.
Si en R definimos la relación de orden que indicamos “≤” (a ≤ b se lee: a es menor o igual
que b) observamos que dados dos números reales a y b , se tiene una y sólo una de las siguientes
situaciones:
a<b
;
b<a
;
a=b
Esto nos permite representar “ordenadamente” los números reales en la recta numérica.
Además se satisfacen las siguientes propiedades:
Š a<b
Š a<b y
Š a<b y
c>0
c<0
⇔
⇔
⇔
a+c < b+c
a.c < b.c
a.c > b.c
Ejemplos:
a) - 3 < 4
⇔ -3+1<4+1
b) - 3 < 4 y 2 > 0
⇔ -3.2<4.2
c) - 3 < 4 y - 2 < 0 ⇔ - 3 . (- 2) > 4 . (-2)
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Números
Ejercicio 7 : Completar con > ó < según corresponda:
a) - 2 < 0 y
b)
1
>0
4
1
1
..... 0 .
4
4
5
7
. (- 1) .....
⇔
. (- 1)
2
3
⇔ -2.
5 7
>
y -1<0
2 3
c) 1,4 <
⇔ 1,4 + 0,01 ......
2
 1
 1
⇔ - 7 .  -  ..... (- 6) .  - 
 2
 2
1
<0
2
d) - 7 < - 6 y -
2 + 0,01
POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN EN R
Definimos
an = a .
a . a .... a
donde a es un número real al que denominaremos base y n es
n veces
un número natural que llamaremos exponente.
4
16
 2  2  2  2
 2
Ejemplo:  −  =  −  .  −  .  −  .  −  =
81
 3
 3  3  3  3
Extendemos la definición para exponentes enteros.
Por convención se tiene: a0 = 1 ; a-n =
Ejemplo:
Definimos
5-3 =
1
5
=
3
n
1
an
(a ≠ 0)
1
125
a =b
si bn = a
donde: n es un número natural.
n
a se lee raíz n-ésima de a .
Denominamos a n índice de la raíz, y a radicando.
Observemos que para que la definición tenga sentido,
Š si n es par, a debe ser un número real positivo,
Š si n es impar, a puede ser cualquier número real.
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Ejemplos:
a)
3
- 27 = -3 pues (-3)3 = - 27
b)
4
81 = 3
pues 34 = 81
1
n
La raíz n-ésima de un número suele también denotarse como potencia
Además
n
a
p
= a
p
n
a = an
.
si a ≥ 0 .
Observación: Si a < 0, esta afirmación no siempre tiene sentido, ya que pueden presentarse casos
como el siguiente:
(-3)4/2 =
(- 3)4
pero
(-3)4/2 = ((- 3)1/2)4 =
(
-3
)4
no tiene sentido en el conjunto R.
También se satisfacen las siguientes propiedades:
• a > 0 , b > 0 y a < b ⇒ a-1 > b-1
•
a < 0 , b < 0 y a < b ⇒ a-1 > b-1
Ejemplos:
a) 2 < 3 ⇒ 2-1 > 3-1
b) -
3
2
< 2
3
⇒
 3
- 
 2
−1
 2
> - 
 3
−1
El siguiente cuadro resume las propiedades que verifican las operaciones de suma, producto,
potencia y raíz en R y en cada subconjunto de éste. Tener en cuenta que la propiedad no se cumple
en el conjunto numérico correspondiente a la celda sombreada.
OPERACIONES
PROPIEDADES
1. Asociativa
Suma
2. Conmutativa
Producto
Página 10
Z
Q
a + (b + c) = (a + b) + c
a+b = b+a
3. Elemento neutro
0
4. Elemento opuesto de a
-a
5. Asociativa
(a . b) . c = a . (b . c)
6. Conmutativa
a.b = b.a
7. Elemento neutro
1
8. Elemento inverso de a (a ≠ 0)
Suma-Producto
N
9. Distributiva
1
a
a . (b + c) = a . b + a . c
R
Números
Potencias
1. Producto de potencias con la misma base am . an = am+n
2. Cociente de potencias con la misma base am : an = am-n
Raíces
3. Potencia de una potencia
(am)n = am.m
4. Potencia de un producto
(a . b)n = an . bn
5. Potencia de un cociente
(a : b)n = an : bn
1. Producto de radicales con el mismo
índice
n
a .
n
b =
n
a .b
2. Cociente de radicales con el mismo
índice
n
a :
n
b =
n
a :b
3. Raíz de una raíz
m n
4. Potencia de un radical
(n a )m = n
a
=
n.m
a
am
Observación: Las propiedades de las raíces son válidas en el conjunto de los números reales,
siempre que las expresiones involucradas tengan sentido.
En virtud de las propiedades que verifican la suma y el producto de números reales, se dice que R
es un cuerpo, y por la relación de orden ≤ ,definida anteriormente, es ordenado.
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Ejercicio 8 : Efectuar las siguientes operaciones:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
5 - (-2) + (-8) : (-4) - 5
7 - (-3) - (-8) : (-8) + (-3) : (-1)
6 : (-2) + (-7) . (-15) : (-3)
22 - 42 : 8 + 25
42 : 2 - 1 - 82 : 2 - 1
32 : 2 - 1 - 32 : 2
3-1 . 3 - 30 + 1 - 25
Ejercicio 9 : Calcular las siguientes expresiones:
a) x2 . x5
b) (- x)2 . x5
c) (- x)2 . (- x)5
-
d) x5: x 5
-
e) x3: x 4
f) (- x)3 : x5
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g) (- x)3 : (- x)5
h) x-3 : x-6
Ejercicio 10 : El número - 15 es menor que 3 .
a) ¿Es (-15)2 menor que 32?
b) ¿Es (-15)3 menor que 33?
Ejercicio 11 : El número -12 es menor que -3 .
a) ¿Es (-12 ) . 6 menor que (-3) . 6 ?
b) ¿Es (-12 ) . (-6) menor que (-3) . (-6) ?
Ejercicio 12 : Verdadero o falso. (Justificar)
a) Si z ∈ Z
entonces - z ∈ Z.
b) Si z2 ∈ Z
entonces
z ∈ Z.
c) Si 2 z ∈ Z entonces
z ∈ Z.
2
d) Si z = 1
entonces
z ∈ Z.
Ejercicio 13 : Si el cubo de un número es 13824, ¿cuál es el cubo del doble de ese número?.
Resolver sin calcular el valor de dicho número.
Ejercicio 14 : El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cuadrados?
Ejercicio 15 : El cociente de dos números es 9, ¿cuál es el cociente de sus cubos?
Ejercicio 16 : Se lanzan tres monedas diferentes. ¿Cuántos resultados distintos pueden aparecer?.
Ejercicio 17 : Sabemos de dos números enteros x e y que su producto
positivo.
a) Cuál es el signo de cada uno de los productos siguientes:
ƒ x.y.x.y
ƒ (-1) x . y
ƒ x.x.y
ƒ ( - x )( - y )( - x )
b) Calcular el resultado de cada uno de los productos siguientes:
Página 12
x . y = - 16
y que x es
Números
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
(-1)(-x)y=
xy:(-4)=
-2xy=
xy:4=
3xy=
Ejercicio 18 : p y q representan números enteros, de los cuales sabemos que p ≤ q. Completar
con ≤ o ≥ según corresponda:
a)
b)
c)
d)
3 p ..... 3 q
- 4 p ..... - 4 q
- p ..... - q
p . a ..... q . a
Ejercicio 19 :
a) Sean a y b enteros, b ≠ 0. Si a - b = 175 y la división de a por b tiene cociente 15 y resto
7, hallar a y b.
b) Si se divide un número natural a por 2 se obtiene como cociente entero un número que
llamamos b y el resto 0. Al dividir b por 2 obtenemos como cociente entero en número c y el
resto 1. Luego dividimos c por 2 y en este caso el cociente es 1 y el resto 0. ¿Cuál es el número
a?
Ejercicio 20 :
a) Hallar el mínimo común múltiplo entre 8 y 14.
b) Hallar el máximo común divisor entre 544 y 1492.
Ejercicio 21 : Tengo cierta cantidad de botones. Si los agrupo en montones de a cuatro me queda
uno suelto. Si los agrupo de a tres, también me queda uno suelto y lo mismo me sucede si los
coloco de a dos. Cuando los pongo en grupos de a cinco no me sobra ninguno.
a) Si tengo menos de 30 botones, ¿cuántos tengo?
b) Si tengo más de 50 botones y menos de 100, ¿cuántos tengo?
Ejercicio 22 : En el país ABC las elecciones presidenciales son cada 6 años, las de gobernadores
son cada 4 años y las de senadores cada 8 años. En 1974 coincidieron las elecciones para
presidente, gobernadores y senadores. ¿Cuándo volverán a coincidir?.
Ejercicio 23 : Tres hombres recorren 28, 35 y 40 kilómetros por día respectivamente.
a) ¿A qué distancia del punto de partida está el lugar más cercano al que pueden llegar los tres
simultáneamente, en un número entero de días?.
b) ¿Cuántos días empleará cada uno en llegar a él?.
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Ejercicio 24 : Escribir V (verdadero) o F (falso) según corresponda:
a) ∀ x ∈ Z, x - 1 > 2
b) ∃ b ∈ Z / b + 0 = 0
c) ∀ a ∈ Z, a + 0 ≠ 0
d) ∃ t ∈ Z / t - 2 ≥ 1
e) ∀ a ∈ Z, a + 0 = a
Ejercicio 25 : Se sabe que 24 = 42 . ¿Tiene la potenciación la propiedad conmutativa am = ma
Ejercicio 26 : Indicar el error cometido:
4 - 10 = 9 - 10
25
25
4 -10 +
= 9 - 15 +
4
4
22 – 2 . 2 .
2
5 5
5
5
+   = 32 – 2 . 3 . +  
2 2
2
2
2
 5
 5
 2 -  = 3 - 
 2
 2
5
5
2=32
2
2 = 3
Ejercicio 27 : Calcular
a)
3 5 1 4  3 1
⋅ -  - ⋅ - 
8  3 2  11  4 5 
b)
5  3 1  10  1 3 
- - +  + . - 
9  4 2 3  2 5
c)
3 2 4 4 1 3 3
: - ⋅ + - :
5 3 5 3 3 4 7
 2 -7 5 1  4 2 1
d)  + - +  :  - + - 
3 2 6 4  3 3 6
e)
2 -7 5 1  4 2 1
+
- + :-  + 3 2 6 4  3 3 6
Ejercicio 28 : Calcular
2
2 2
a)   ⋅  
3 3
Página 14
5
2
2
Números
7
1 1
b)   :  
5 5
4
4
 2 2
c)  −  :  
 7 7
 1  2
d)   ⋅
 2 
1
 
2
 3  7
e)   :
 4 
3
 
4
3
32


32


Ejercicio 29 : Calcular las siguientes potencias:
a)
 2
- 
 5
b)
1
 
5
c)
2-2
3
0
d) (- 3)-2
e)
(- 3)2
f)
105
g)
3
 
2
h)
1
 
 10 
i)
j)
k)
l)
- 125
(- 1)25
(0,1)-2
- 12325
−3
−1
Ejercicio 30 : Expresar en forma fraccionaria y resolver:
a)
(1,2 + 1,8)2
1,5
-
6
(1,5 - 0,3)2 - 0,24
2
1
1

 
 0,09 + + 0,7  -  0,7 - 
2
5

 
b)
3
- 0,25
2
2
Página 15
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c) 0,09 : 0 ,3 - 0 ,12 : 0 ,3 - 0 ,05 . 2 + 0 ,5 . 3,3 - 0,1
4 + 0,3 - 1,5 : (0 ,32 - 0 ,2 1 )
d)
(0,19 - 0,3 )-1
Ejercicio 31 : Escribir en forma decimal y fraccionaria:
a)
b)
c)
d)
5 décimos
5 centésimos
123 centésimos
82 milésimos
Ejercicio 32 :
a) ¿De qué número es 200 la quinta parte?.
b) ¿De qué número es 850 el 52%?.
Ejercicio 33 : ¿Cuál es mayor
11
12
ó
?
12
13
Ejercicio 34 : ¿Cuál de las siguientes expresiones es negativa cuando x = 2/3 ?.
a)
b)
c)
d)
e)
(2 x - 3)(2 x - 3)
(3 - 2 x)(2 x - 3)
(2 - 3 x)(3 - 2 x)
(3 x - 2)(3 - 2 x)
(2 - 3 x)(3 x - 2)
Ejercicio 35 : Completar la tabla con los signos > ; < ; = según corresponda:
Página 16
a
b
a ........b
8
2
8>2
-6
-10
-4
8
-10
-2
0
4
a
b
.......
2
2
8
2
>
2
2
a(-3) ........b(-3)
8 (-3) < 2 (-3)
Números
Ejercicio 36 : Expresar en unidades fraccionarias cada una de las piezas del TANGRAN. El lado
del cuadrado a partir del cual se obtienen las piezas mide 1.
Ejercicio 37 : En un colegio,
1
de los alumnos estudian inglés y el 33% francés. ¿Cuál es la
3
lengua más elegida?
Ejercicio 38 : Un auto recorre 50 km. en tres cuartos de hora, y otro recorre 36 km. en 27 minutos.
¿Cuál es el más rápido?
Ejercicio 39 : Al tostarse el café, éste pierde un quinto de su peso. Si se tuestan 80 kg., ¿cuánto
pesarán después?
Ejercicio 40 : El agua al congelarse aumenta su volumen un décimo del mismo. ¿Qué volumen
ocuparán 200 litros de agua después de helarse?.
24
4
1
de cobre,
de estaño y
de cinc.
29
29
29
¿Cuántos kilogramos de cada metal habrá en 348 kg. de aleación?.
Ejercicio 41 : Una aleación está compuesta por
Ejercicio 42 : Si al numerador de una fracción le aumentamos 21, la fracción queda aumentada en
3. ¿Cuál es el denominador de la fracción?. Justifique su respuesta.
Ejercicio 43 : Juan toma la mitad de un cordel; de lo que queda, Pedro toma la mitad; de lo que
2
queda, María toma la mitad; de lo que resta, Carmen toma . Al final quedan 30 cm. ¿Cuál era la
5
longitud del cordel?.
Ejercicio 44 :
a) Javier y Carlos son dos hermanos. Javier tiene los
9
2
de la edad de su padre y Carlos los .
20
5
¿Cuál es el mayor?.
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Curso de Apoyo en Matemática
b) Un curso tiene 32 alumnos. Para colaborar en la organización de un acto fue convocada a
concurrir 1 hora antes del inicio la cuarta parte del curso. De los que se esperaban sólo asistió la
mitad. Tomando como unidad el curso, ¿cómo expresaría la parte del curso que asistió?
Ejercicio 45 : Indicar cuál de los siguientes números es racional y cuál es irracional.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
3
5
0,494949...
3,75
0,141144111444...
3,2222...
0,437537537...
0,101001000100001...
7
Ejercicio 46 : Escribir:
a) Tres números racionales entre 0,12 y 0,2.
b) Tres números periódicos entre 0,12 y 0,2.
c) Dos números irracionales entre 0,12 y 02.
Ejercicio 47 : Indicar si el desarrollo decimal es periódico o no:
a)
b)
c)
d)
3,2222........
0,101001000100001.........
0.43753753.........
0,12112111211112..........
Ejercicio 48 : Completar con SI o NO, según corresponda, la siguiente tabla:
Número
¿Natural?
¿Entero?
¿Racional?
¿Irracional?
¿Real?
Página 18
7
10
-2,08
1,1212212221...
25
-2,2424...
−4
7
6
−
8
2
Números
Ejercicio 49 : Indicar si es V (Verdadero) o F (Falso). Justificar.
a)
b)
c)
d)
Todo número real es racional.
Todo número natural es entero.
Todo número entero es racional.
Todo número real es irracional.
Ejercicio 50 : Indicar cuáles de las siguientes igualdades son V (Verdaderas) y cuáles son F
(Falsas). En este último caso justificar:
a)
5 5
=
7 7
b)
18
=
3
c)
8
=2
2
2
d) (52)7 = 59
e) (5 5 )2 = 25 5
f) ( 3 )3 = 3
g)
3
2 +
3
3
2=
h) 7 2 - 4
3
4
2 =3
2
i) 2 2 . 3 2 = 6 2
j)
k)
1
2
=
2
2
1
3 3
=
3
9
Ejercicio 51 : El valor de (2 -
a)
b)
c)
d)
e)
3 )2 + (2 +
3 )2 es:
negativo
menor que 14
igual a 14
mayor que 14
no puede responderse si no se conoce un valor aproximado de
3
Ejercicio 52 : Sean a , b , c números reales. Indicar V (verdadero) o F (falso); en este último caso,
justificar la respuesta proponiendo un contraejemplo que la pruebe.
Página 19
Curso de Apoyo en Matemática
a) a.0 = 0
b) (-a)(-b) = -(ab)
c) a + (-b + c) = a - b + c
d)
a
a a
= + , siendo b + c ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0
b+c b c
e) a - (b + c) = a - b + c
f)
b+c b c
= + , siendo a ≠ 0
a
a a
g) el cociente entre un número y su opuesto es igual a (-1)
h) ∀ a ∈ R, a . a-1 = 1
i) ∀ a ∈ R, (a-1)-1 = a
j) a (-b) = ab
k) a (b - c) = ab - ac
l) - (-a) = a
Ejercicio 53 : Si a y b son reales positivos y además a < b y b > 1, ¿cuál de las siguientes
proposiciones es falsa?
a) a b > 0
b) b2 > a
c)
1
>0
a −b
1
>0
b+a
e) b + a > 1
Ejercicio 54 : Simplificar, si es posible:
d)
a)
4
32
b)
8
54
c)
9
27
d)
5
1024
Ejercicio 55 : Calcular usando propiedades:
a)
2 ⋅ 32
b)
2 ⋅ 8 0 ,5
c)
d)
3
3 ⋅3 9
2 ⋅ 15
Página 20
Números
e)
3
32 : 3 2
f)
3
8 :3 2
g)
15 : 3
h)
3: 4
i)
3
2 :3 5
j)
2 : 3 32
k)
8 :4 2
l)
3
9 :6 3
Ejercicio 56 : Extraer factores del radicando:
a)
b)
c)
8
18
32
50
d)
Ejercicio 57 : Resolver usando propiedades y reduciendo las expresiones:
a)
2 + 8 + 18 - 32
b)
5 + 45 + 180 - 80
c)
24 - 5 6 + 486
d)
3
3
54 - 16
2
2
2
- 5 50 +
-5
3
9
9
e) 3
2
25
Ejercicio 58 : Escribir como radicales los siguientes números:
21/2 , 72/3 , 50,5 , 120,2 , 7-1/2 , 9-1/3 , 510/5 , 8-2/3
Ejercicio 59 : Expresar como potencia fraccionaria
a)
1
x
b)
x :3 x
c)
x ⋅3 x ⋅5 x2
Página 21
Curso de Apoyo en Matemática
d)
1
5
x
Ejercicio 60 : Simplificar las siguientes expresiones:
2⋅ 2 ⋅ 2
a)
1

b) 5 . 3 5 :  . 5 25 
5

c)
d)
(
4
6 ⋅ 12
1
3
1
18 2
:
1
- 100 2
3 10 :
0 ,001
(2 )
 3
3 2
3 -2
e)
)
3
-
⋅


2
3



1
(2 )
1
10 2
⋅ 33
Ejercicio 61 : Eliminar las raíces del denominador y simplificar:
a)
b)
c)
d)
3
3- 2
1
3- 2
2
2 2+ 5
x +
y
x- y
Ejercicio 62 : Indicar el valor de x:


 2/3
3/ 2 
8 − 3⋅ 9 
x= 
  1  −1
0
   − (3a ) 
 2

a) x =
35
9
Página 22
−2
Números
81
1225
35
x=
18
323
x=
81
18
x=
35
ninguno de los anteriores
b) x =
c)
d)
e)
f)
Ejercicio 63 : Indicar el resultado correcto
a)
b)
161/ 4 ⋅ 27 1/ 3
=
4 1/ 2
i.
3
ii.
6
iii.
9
iv. 12
v. 24
vi. ninguna de las anteriores
64 2 / 3 − 27 1/ 3 − 1
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
c)
 1
 
 11
46
11
14
33
4
3
46
3
−1
=
14
3
ninguna de las anteriores
[( a + b)
2
− ( a − b)
]
2 1/ 2
=
Página 23
Curso de Apoyo en Matemática
4ab
2ab
2 a2 b
2 a b2
2 (a b)1/2
ninguna de las anteriores
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
d) (5 a)2 - 5 a2 =
i. 5
ii. 25 a - a2
iii. 20 a2
iv. 0
v. 20
vi. ninguna de las anteriores
e)  a − 3
i.
ii.
3
a
6
−1
=
a
1
a
iii.
iv.
a 2 
7/6
a
6
a
-6/7
v.
a
vi.
ninguna de las anteriores
Ejercicio 64 : Escribir un número comprendido entre los siguientes:
1
2
y
3
5
b) 1,4142 y 1,4143
a)
c)
2 y
d) π y
3
355
113
Ejercicio 65 : Representar en la recta real los siguientes números:
a) 2
b) -5
Página 24
Números
1
3
3
d) 7
c)
e)
5
f)
10
g) 2,5
Ejercicio 66 : Calcular la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 10 cm. y 12 cm. Expresar
el resultado con dos decimales.
Ejercicio 67 : Calcular el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 10 cm. Expresar el
resultado con tres decimales.
Ejercicio 68 : El área de un cuadrado mide 50 cm2. ¿Cuál es el área del cuadrado construido sobre
su diagonal?.
Ejercicio 69 : Calcular el área de un círculo de 100 cm. de radio y expresar el resultado con tres
decimales exactos.
Ejercicio 70 : Determinar entre qué números enteros se encuentra la raíz cuadrada positiva de: 17,
50, 105, 420.
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