UNIVERSIDAD NACIONAL DE PILAR

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE PILAR
FACULTAD DE CIENCIAS APLICADAS
INSTITUTO TECNOLOGICO – INGENIERÍA INDUSTRIAL 2º CURSO
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA
APUNTES PARA EL AULA:
Lic. Roberto Riveros Escurra
VARIACIONES, PERMUTACIONES, COMBINACIONES
Teorema 1:
Si una operación consta de dos pasos, de los cuales el primero puede efectuarse en n1
formas y para cada una de estas el segundo puede realizarse en n2 formas, entonces toda la
operación se lleva a cabo de (n1  n2) maneras.
Ejemplo 1:
Supóngase que alguien desea viajar en autobús, en avión o automóvil a uno de los inco
departamentos del país. Determine el número de las diferentes formas en que se puede
lograr esto.
Solución:
El departamento puede escogerse en n1 = 5 formas y el medio de transporte de n2 = 3
maneras. Por lo tanto el viaje puede realizarse en 5  3 = 15 posibles formas.
Si se desea una lista de todas las posibilidades, se puede graficar en un diagrama de árbol.
Ejemplo 2:
¿De cuantas formas posibles puede caer un dado rojo y uno azul si se tiran
simultáneamente?
Solución:
El dado rojo puede caer en una de las seis formas posibles y para cada una de estas,
también el dado azul puede caer de seis formas diferentes. Por lo tanto, un par de dados
puede caer en 6  6 formas.
Teorema 2
Si una operación consta de k pasos, de los cuales el primero puede efectuarse en n1 formas,
para cada una de estas el segundo puede realizarse de n2 maneras, para cada un de estas el
tercero puede realizarse en n3 formas, etc., entonces toda la operación puede llevarse a
cabo en n1 n1  n2 … nk formas.
Ejemplo3.
¿Cuántos almuerzo diferentes son posibles, si se componen de una sopa, un milanesa, un
postre y una bebida y puede elegirse entre cuatro sopas, tres milanesas, cinco postres y
cuatro bebidas?
Solución:
El numero total de almuerzo diferentes sería: n1  n2 n3  n4 o sea: 4  3  5  4 = 240
Ejemplo 4
¿En cuantas formas puede marcarse una prueba de verdadero y falso que consta de 20
preguntas?
Solución:
Las opciones son dos, verdaderas o falsas y consta de 20 preguntas.
Lic. R. Riveros
2
Luego: 2  2  2  … 2 (20 veces) = 1 048 576 formas diferentes en que puede marcarse
y solo una de estas corresponde al caso donde todas las respuestas son correctas.
Variaciones ordinarias o Variaciones sin repetición
Las variaciones ordinarias responden a la pregunta: ¿de cuantas maneras se pueden ordenar
n elementos de un conjunto de m elementos sin que se repita ninguno?
Para formar las variaciones de un conjunto de m elementos tomándolos de n e n, el primer
elemento se puede tomar entre los m iniciales, el segundo elemento se puede tomar entre
los n – 1 que quedan, el tercer elemento se puede tomar entre los m – 2 que quedan… el nèsimo elemento se puede tomar entre los m – (n – 1) restantes. Por consiguiente, el número
de variaciones n-arias para un conjunto de m elementos será:
Vm,n = m (m – 1) (m – 2) (m – 3) … [m – (n – 1)]
Vm,n = m (m – 1) (m – 2) (m – 3) … (m – n + 1)
Ejemplo.
¿Cuántos numero de tres cifras, todas ellas distintas, se pueden formar con los dígitos 1, 2,
3 y 4?
Solución.
El total de números obtenidos es: 4  3  2 = 24
Ejemplo:
¿De cuantas maneras se pueden cubrir los puestos de presidente, vicepresidente y
secretario de una asociación de vecinos, si hay 15 candidatos, y una persona no puede
desempeñar más de un cargo?
Solución:
V15, 3 = 15  14  13 = 2.730 formas distintas de efectuar el reparto de cargos.
Ejemplo:
En una competencia de matemáticas quedan ocho finalistas. Si se van a dar cuatro premios
y ningún competidor puede llevarse más de uno, ¿de cuantas maneras pueden quedar
clasificados?
Solución:
Para el primer puesto hay 8 posibilidades. Una vez determinado este, quedan 7 para el
segundo lugar, 6 para el tercero y 5 para el cuarto. Por lo tanto, habrá:
V 8, 4 = 8  7  6  5 = 1.680 formas de quedar clasificados.
Ejemplo:
¿Cuantos números de cuatro cifras distintas, y menores que 6.500, pueden formarse con los
dígitos 2, 4, 6, 7, 8?
Solución:
Los números menores que 6.500 son todos los que empiezan por 2, 4, 62 y 64.
Si empiezan por 2, los tres lugares restantes hay que ocuparlos con tres números, a escoger
entre 4, 6, 7, 8.
Después del 2 (2……….), el primero puede ser cualquiera de los cuatro, el segundo
cualquiera los tres que quedan y el tercero cualquiera de los dos sobrantes. Por lo tanto
hay:
Lic. R. Riveros
3
V4, 3 = 4  3  2 = 24 números distintos que empiezan con el 2
Si empiezan con el numero 4, se razona del mismo modo, luego hay 24 números distintos
que empiezan con el numero 4.
Si empiezan con 62, los dos lugares restantes hay que llenarlos con dos números a escoger
entre 4, 7, 8.
Después del 62 (62……….), el primero puede ser cualquiera de los tres, el segundo
cualquiera los dos que quedan. Por lo tanto hay:
V3, 2 = 3  2 = 6 formas de obtener números distintos que empiezan con el 62.
Igualmente, 6 números que empiezan con el numero 64.
En total se pueden formar: V4, 3 + V4, 3 + V3, 2 + V3, 2 = 24 + 24 + 6 + 6 = 60 números
Variaciones con repetición:
Las variaciones con repetición responden a la pregunta ¿de cuantas maneras se pueden
ordenar n elementos, pudiéndose repetir, de un conjunto de m elementos?
Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n, son todas las ordenaciones
que se pueden hacer tomando n elementos entre los m dados, pudiéndose repetir los
elementos.
Dos variaciones con repetición son diferentes si tienen distintos elementos, o, teniendo los
mismos elementos, su orden de colocación es distinto.
Para obtener el numero de las variaciones con repetición que se puedan formar tomando n
elementos entre los m dados, se razona así: el primer elemento se puede escoger entre los
m iniciales; el segundo elemento se puede volver a escoger entre los m anteriores, puesto
que se pueden repetir; así sucesivamente; hasta llegar al n-ésimo elemento que se puede
volver a escoger entre m elementos.
Por lo tanto, el numero de variaciones con repetición de m elementos n en n será: VRm,n =
mn
Ejemplo:
Se tira una moneda al aire 10 veces. ¿Cuántos resultados distintos pueden obtenerse?
Resolución:
VRm,n = mn , VR2,10 = 210 = 1.024.
Pueden obtenerse 1.024 resultados distintos.
¿Cuantas columnas distintas hay que rellenar en una quiniela de fútbol para tener la
seguridad de acertar los 14 resultados?
Resolución:
VRm,n = mn, VR3,14 = 314 = 4.782.969
Hay que llenar 4 782 969 columnas distintas.
Permutaciones ordinarias y sin repetición:
Las permutaciones ordinarias o sin repetición responden a la pregunta: ¿de cuantas
maneras se pueden ordenar todos los elementos de un conjunto?
Permutaciones ordinarias o permutaciones sin repetición de m elementos son todas las
ordenaciones que se pueden hacer con los m elementos.
La única diferencia existente entre variaciones y permutaciones es que en aquellas se
tomaban unos cuantos elementos del conjunto y en las permutaciones intervienen todos los
Lic. R. Riveros
4
elementos. Por lo tanto, las permutaciones de m elementos se pueden definir como las
variaciones de m elementos tomados de m en m.
Pm = Vm,n
Dos permutaciones son distintas si sus elementos están ordenados de modo diferente.
Para obtener de un modo ordenado todas las permutaciones de un conjunto, conviene
utilizar un diagrama de árbol.
Número de permutaciones ordinarias:
Considerando que Pm = Vm,n, se tiene que el numero de permutaciones ordinarias de m
elementos es: Pm = Vm,n = m (m – 1) (m – 2) … 1
Factorial de un numero:
El factorial de un numero de m es el resultado de multiplicar m por (m – 1), (m – 2)…
hasta llegar a 1.
El factorial de un numero m se representa por: m! = m (m – 1) (m – 2) (m – 3) … 1.
Ejemplo:
El factorial de 5 es 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
Por definición: 0! = 1 y 1! = 1
Como Pm = m (m – 1) (m – 2) … 1, se puede escribir: Pm = m!
Ejercicios con factoriales:
12!
10!
12! 12 11 10!
Resolución:
=
= 12  11 = 132
10!
10!
x!
2) Simplificar la expresión:
( x  2)!
1) Simplificar la expresión:
Resolución:
1
x!
x!
1
=
=
= 2
x  3x  2
( x  2)! ( x  2)(x  1) x! ( x  2)(x  1)
¿De cuantas formas distintas pueden sentarse 8 personas en un banco? ¿y en una mesa
circular?
Resolución:
Pm = m!, P8 = 8! = 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 40 320.
Ocho personas pueden sentar de 40 320 formas diferentes en un banco.
Pm = m!, P7 = 7! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 5 040.
Ocho personas pueden sentarse de 5.040 formas diferentes es una mesa circular, puesto
que se debe considerar a una persona fija, porque puede ocurrir que al moverse todas las
personas hacia un lado lo único que cambian son los asientos y no la ubicación.
Estas permutaciones son las permutaciones circulares y se representan por: PCn = Pn–1
Calcular la suma de todos los números de cinco cifras que se pueden formar con los dígitos
1, 2, 3, 4, 5.
Resolución:
Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5 se pueden formar P5 = 5! = 120 números.
Para obtener su suma hay que imaginarlos colocados en columnas y calcular cuantas veces
aparece cada digito en cada lugar (unidades, decenas, centenas,…)
P 120
Cada digito aparece en cada lugar 5 
= 24 veces.
5
5
Lic. R. Riveros
5
Así, la suma de todos los números que ocupan el lugar de las unidades será:
24 . 1 + 24 . 2 + 24 . 3 + 24 . 4 + 24 . 5 = 360
La suma de todos los números que ocupan el resto de los lugares es la misma. Por lo tanto,
la suma de todos los números será:
360 + 360 . 10 + 360 . 102 + 360 . 103 + 360 . 104 = 3.999.960
Permutaciones con repetición:
Las permutaciones con repetición responden a la pregunta: ¿de cuantas maneras se pueden
ordenar n elementos de un conjunto, en lo que el primero se repite a veces, el segundo se
repite b veces… y el ultimo se repite k veces, siendo a + b + … + k = n?
Las permutaciones con repetición de n elementos, en lo que el primero se repite a veces, el
segundo se repite b veces… y el ultimo se repite k veces, siendo a + b + … + k = n, son
todas ordenaciones que se pueden hacer con los n elementos.
Dos permutaciones con repetición se diferencian en el orden de colocación de sus
elementos, puesto que en todas ellas intervienen los mismos elementos.
La formula general con la que se calcula el numero de permutaciones con repetición de n
elementos en los que el primero se repite a veces, el segundo b veces…, el ultimo k veces y
a + b +… + k = n, es:
Pn
n!
a ,b ,...k
PR n


a!b!...k! a!b!...k!
Ejemplo:
De todas las posibles formas de rellenar una quiniela de fútbol, ¿en cuantas aparece nueve
veces el 1, tres veces la x y dos veces el 2?
PR n
a ,b ,...k
PR14
9 , 3, 2
Pn
n!

a!b!...k! a!b!...k!
14!
14.13.12.11.10.9! 14.13.12.11.10



 20.020
9!.3!2!
9!3!2!
3.2.1.2.1


¿Cuantos números distintos se pueden formar utilizando los números 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7?
Resolución:
Como no existen diferencias entres los números, salvo por la ubicación que puedan tener,
las posibles ordenaciones de estos sietes elementos serán:
PR7
4,3

7! 7.6.5.4! 7.6.5


 35
4!3!
4!3!
3.2.1.
¿Cuánto números de 6 cifras significativas se pueden escribir con los digitos 0, 0, 0, 3, 3,
5?
Resolución:
La ordenación se debe hacer prescindiendo de los que empiezan por 0.
3,1,1
Si empiezan por 3 serán PR5 , puesto que quedan los elementos 0, 0, 0, 3, 5 por ordenar:
5!
5.4.3!
3,1,1
PR5 

 20
3!1!1! 3!1!1!
Lic. R. Riveros
6
3, 2
Si empiezan por 5 serán PR5 , puesto que quedan los elementos 0, 0, 0, 3, 3 por ordenar:
5! 5.4.3!
3, 2
PR5 

 10
3!2!
3!2!
3,1,1
3, 2
En total habrá: PR5
+ PR5 = 20 + 10 = 30 números.
Combinaciones ordinarias o sin repetición.
Las combinaciones ordinarias o combinaciones sin repetición responden a la pregunta: ¡de
cuantas maneras se pueden tomar n elementos, entre los m de un conjunto, sin que se repita
ninguno?
Combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n son todos los subconjuntos
que se pueden formar tomando n elementos entre los m del conjunto.
Dos combinaciones son distintas si se diferencian en algún elemento, pero no en el orden
de colocación de los mismos.
Así, la combinación (1, 2, 3) es la misma que la combinación (3, 1, 2). Solo importan los
elementos que intervienen y no su orden de colocación.
El número de combinaciones de m elementos tomadas de n en n es:
V
 m
m!
Cm ,n  m ,n 
  
Pn
n!(m  n)!  n 
 m
Este último modo de expresar las combinaciones de m elementos tomados de n en n   ,
n 
se llama numero combinatorio y se lee “m sobre n”.
Ejemplos:
1. ¿De cuantas formas se puede elegir a seis alumnos, entre 15, para representar una
obra de teatro (sin reparar en el papel que desempeñará cada uno)? ¿En cuantas de
ellas estará un alumno determinado?
Resolución:
El orden de elección no importa, lo que cuenta son las personas que intervendrán en la
obra.
V
 m
15
m!
15!
15!
Cm ,n  m ,n 
    C15,6    

 5.005
Pn
n!(m  n)!  n 
 6  6!(15  6)! 6!.9!
Suponiendo que un alumno determinado va a intervenir en la obra, quedan 14 alumnos
para escoger los 5 restantes.
Cm ,n 
Vm,n
Pn

 m
14
m!
14!
14!
    C14,5    

 2.002
n!(m  n)!  n 
 5  5!(14  5)! 5!.9!
2. ¿Cuántas mezclas de tres colores se pueden hacer utilizando 7 colores distintos?
Resolución:
Con 7 colores, tomándolos de 3 3n 3 hay  C7,3 mezclas diferentes.
7
7!
7!
C7,3    

 35
 3  3!(7  3)! 3!.4!
3. De cuantas maneras se puede elegir un equipo formado por 3 mujeres y 2 varones
de un grupo de 5 mujeres y 4 varones?
Resolución:
Lic. R. Riveros
7
5
La elección de 3 mujeres entre 5, se puede hacer de   formas diferentes.
3
 5
5!
5!
C5,3    

 10
 3  3!(5  3)! 3!.2!
 4
La elección de 2 varones entre 4, se puede hacer de   formas diferentes.
 2
 4
4!
4!
C4, 2    

6
 2  2!(4  2)! 2!.2!
5  4
Luego, en total hay      = 10 . 6 = 60 formas de elegir el grupo.
3  2
Combinaciones con repetición:
Las combinaciones con repetición responden a la pregunta: ¿de que manera se pueden
tomar n elementos entre los m de un conjunto, si los elementos se pueden repetir?
Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son todos los
grupos que se pueden formar tomando n elementos entre los m iniciales, pudiéndose
repetir los elementos.
Dos combinaciones con repetición se diferencian en los elementos que intervienen,
pero no en el orden de colocación de los mismos: la combinación a, a, b es la misma
que la combinación a, b, a, puesto que en ellas intervienen los mismos elementos.
El número de combinaciones con repetición de m elementos distintos, tomados de n en
n, viene dado por la formula:
(m  n  1)!  m  n  1
CRm,n  PRmn1 

 Cmn1,n

n!(m  1)!  n


La técnica utilizada para calcular el número de combinaciones con repetición se utiliza,
a menudo, para resolver problemas de permutaciones con repetición.
m1,n
Ejemplos.
1. Una fabrica de caramelos hace bolsitas de 12 caramelos tomándolos de 5 clases
diferentes ¿Cuántas bolsitas distintas ser pueden hacer?
Resolución:
(m  n  1)!  m  n  1

 Cmn1,n

n!(m  1)!  n


(5  12  1)! 16! 16.15.14.13.12!



 1.820
12!(5  1)! 12!4!
12!4.3.2.1
m1,n
Aplicando la expresión CRm,n  PRmn1 
Se tiene: CR5,12
Números combinatorios
Al número de combinaciones de m elementos tomados de n en n se llama también
 m
numero combinatorio y se escribe   .
n 
El numero m recibe el nombre de índice y el numero n recibe el nombre de orden.
 m
m!
Cm,n    
 n  n!(m  1)!
Lic. R. Riveros
8
Dos números combinatorios del mismo índice se llaman complementarios cuando la
suma de sur ordenes es igual al índice.
15 15
Los números combinatorios   y   son complementarios porque la suma de sus
 5  10
ordenes, 10 y 5, es igual al índice 10 + 5 = 15
En general, dos números combinatorios complementarios se expresan por
 m   m 
  y
, donde n + (m – n) = m
 n   m  n 
Propiedades de los números combinatorios:
 m
1. Todo numero combinatorio de orden 0 es igual a 1:   = 1
0 
 m
2. Todo numero combinatorio de orden 1 es igual al índice:   = m
1 
 m
3. Todo numero combinatorio cuyo orden es igual al índice equivale a 1:   = 1
 m


 m  m 
4. Dos números combinatorios complementarios son iguales:   = 

n   m  n


 m   m   m  1
+  =

5. 

  n   n 


 n  1
Ecuaciones combinatorias.
1. Resolver la ecuación V m, 4 = = 20Vm,2
Resolución:
V m, 4 = m(m – 1) (m – 2) (m – 3) y V m, 2 = m(m – 1)
V m, 4 = = 20Vm,2  m(m – 1) (m – 2) (m – 3) = 20 m(m – 1)
m(m  1)(m  2)(m  3)
 20
Transponiendo:
m(m  1)
Simplificando: (m – 2) (m – 3) = 20
Multiplicando: m2 – 5m + 6 = 20  m2 – 5m – 14 = 0
Resolviendo: m = 7,
Como es una ecuación de 2º grado tiene dos raíces, la otra raíz es 2, pero no verifica.
Resolver la ecuación: Pn = 132 Pn-2
Resolución:
Pn = n! = n (n – 1) (n – 2)!
Pn-2 = (n – 2)!
 Por lo tanto: Pn = 132 Pn-2
 n (n – 1) (n – 2)! = 132 (n – 2)!
n(n  1)(n  2)!
 132
Transponiendo:
(n  2!
Simplificando: n (n – 1) = 132
Multiplicando: n2 – n – 132 = 0  luego m = 12


Lic. R. Riveros
9
 x
 x
Resolver la ecuación    20 
4
2
Resolución:






 x
x!
x( x  1)(x  2)(x  3)(x  4)! x( x  1)(x  2)(x  3)
  


4!( x  4)!
4!
 4  4!( x  4)!
 x
x!
x( x  1)(x  2)! x( x  1)
  


2!( x  2)!
2!
 2  2!( x  2)!
 x
 x
x( x  1)( x  2)( x  3)
x( x  1)
 20
Si    20  
4!
2!
4
2
x( x  1)(x  2)(x  3)
4!
 20
Transponiendo:
x( x  1)
2!
Simplificando: (x – 2) (x – 3) = 20 . 4 . 3  x2 – 5x – 234 = 0
Resolviendo x = 18
Cuadro de resumen de combinatoria
Variaciones
Importa el orden
Vm,n  m(m  1)(m  2)...(m  n  1) 
Permutaciones
Importan los elementos
Solo importa el orden
Intervienen todos los elementos
VRm,n = mn
Pm = m! = Vm,n
m!
a ,b ,...k
PR m

a!b!...k!
 m V
m!
Cm,n     m,n 

n!(m  n)!
 n  Pn
 m  n  1
C
CRm,n  
m n1,n
 n



Combinaciones No importa el orden
Solo importan los elementos
Que intervienen
Lic. R. Riveros
m!
(m  n)!
10
Lic. R. Riveros