Desarrollo Filtro Paralelo
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Electrónica de Comunicaciones Desarrollo de Filtro RLC Sintonizado Harold Molina-Bulla Octubre 14 2008 Tenemos un circuito RLC excitado por una fuente de tensión alterna de frecuencia ω0 , cuyo circuito corresponde a la figura 1 y su modelo equivalente Norton es el de la figura 2. La tensión de salida Vout la medimos en los extremos de la inductancia L. Si calculamos su tensión salida: Vout = VRin1 Y1T Vout = R11 Y1T Vin Donde YT es la admitancia del filtro RLC. La admitancia se calcula de la siguiente manera: 1 YT = R11 + R12 + jωC + jωL 1 2 YT = RR11+R + jωC + jωL R2 Figura 1: Circuito RLC Paralelo excitado con fuente de tensión 1 Figura 2: Modelo equivalente Norton Entonces: Vout = R11 R1 +R2 Vin R1 R2 Vout Vin = 1 R1 R1 +R2 +j R1 R2 Factorizando mos: Vout Vin 1 1 +jωC+ jωL = 1+j 1 (ωC− ωL ) R1 +R2 R1 R2 en el denomindador y pasandolo al numerador, obtene- 1 R1 R2 R1 R1 +R2 R1 R2 R1 R2 R1 +R2 ωC− R1 +R2 ωL Denominemos RL = Vout Vin = R2 R1 +R2 ! R1 R2 R1 +R2 y simplifiquemos el numerador: ” “ RL 1+j RL Cω− ωL En el término complejo factoricemos RL C: Vout Vin = Vout Vin = R2 R1 +R2 1 1+jRL C (ω− ωLC ) R2 1 R1 +R2 1+jRL C (ω− 1 ) ωLC Se considera que un circuito RLC está en resonancia a la frecuenca en la cual su componente imaginaria es igual a 0: 1 ω − ωCL =0 De donde 1 ω = ωCL 1 2 ω = CL 1 ω = √LC Definimos la frecuencia de resonancia ω0 la frecuencia a la cual el término 2 imaginario es 0, es decir ω0 = q 1 , LC como hemos calculado previamente. Observese que a frecuencia de resonancia, tenemos que: Vout 1 2 = R1R+R Vin 2 1+jRL C(0) Vout 1 2 = R1R+R Vin 2 1+j0 1 Vout 2 = R1R+R Vin 2 1 Vout 2 = R1R+R Vin 2 Esto que quiere decir: A frecuencia de resonancia las reactancias se anulan mutuamente, dejandonos un circuito resistivo neto y su resultado es el clásico divisor resistivo. Adicionalmente, podemos decir que a frecuencia de resonancia, el circuito tiene máxima ganancia. Volviendo a las ecuaciones originales, sustituyendo Vout 1„ 2 « = R1R+R ω2 Vin 2 1 LC por ω02 , tenemos: 0 ω 1+jRL C ω− Factorizando ω0 en el término complejo del denominador: Vout 1“ 2 ” = R1R+R ω0 ω Vin 2 1+jω0 RL C ω0 − ω De las notas de clase de filtros sabemos que para un filtro RLC paralelo el factor de calidad es: Q = ωR0LL Multiplicando numerador y denominador por ω0 C tenemos: 0C Q = RωL2ωLC 0 Q= RL ω0 C ω02 12 ω0 RL ω0 C Q= Sustituyendo: Vout 2 = R1R+R Vin 2 1+jQ Vout Vin = Vout Vin = R2 R1 +R2 1+jQ “1 ” „1 « ω ω − ω0 ω0 2 ω 2 −ω0 ω0 ω R2 1 “ ” R1 +R2 1+jQ (ω+ω0 )(ω−ω0 ) ω ω 0 Si ω → ω0 tenemos: ω + ω0 ≈ 2ω0 ω − ω0 ≈ ∆ω 3 Entonces, Vout 2 = R1R+R Vin 2 Vout Vin = Vout Vin = 1+jQ “1 2ω0 ∆ω ω0 ω0 ” R2 1 “ ” R1 +R2 1+jQ 2∆ω ω0 R2 1 R1 +R2 1+j2Q ∆ω ω 0 entonces tenemos que: Si definimos X = 2Q ∆ω ω0 R2 Vout 1 = R1 +R2 1+jX Vin 2 es la gananQue es la expresión a la que llegamos en clase: El término R1R+R 2 1 cia del del filtro a ω0 y el término 1+jX es la parte afectada por la frecuencia. 4
